Exercícios aulas 5 e 6

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Cálculo Vetorial 
Prof.: Carla Pinheiro Moreira 
Lista de Exercícios aulas 5 e 6 
 
 
1) Considere os vetores u = (5, 3, -4), v = (8 , 3, 2) e w = (7, -4, 3). 
 
a) Determine o módulo de cada um dos três vetores 
b) Calcule o valor de (u.v).w + (v.w).u 
c) Calcule o valor de (u x v) x w 
d) Calcule o valor de u x (v x w) 
e) Calcule o valor de u . (v x w) 
f) Calcule o valor de (u x v).w 
g) Os vetores u e v são perpendiculares ? 
h) Determine o valor de x para que (2 + x , x + 3 , 5x + 7) seja perpendicular a w. 
 
2) Considere os vetores u = (3t2 – 4t + 7 , 6t – 3) e v = ( 5 , 3t). Determine t para que u e v 
sejam perpendiculares. 
 
3) Considere o triângulo ABC em que A = (8, 2, 3), B = (6, 5,7) e C = (1,1,2). 
a) Represente esse triângulo no plano 
b) Determine a medida de cada lado desse triângulo 
c) Calcule o perímetro dessa figura 
d) Calcule a área desse triângulo 
e) Determine a medida de cada ângulo desse triângulo 
 
4) Considere o triângulo ABC em que A = (1,2), B = (8,3), o ponto C está no quarto 
quadrante, o lado AC mede 18 e o lado BC mede 22. Determine a medida do ângulo C. 
 
5) Uma pirâmide tem como base o quadrado ABCD, com A = (0,0,0), B = (10,0,0), C = 
(10,10,0) e D = (0,10,0). O vértice V da pirâmide é o ponto (4,6,7). 
a) Determine a distância de V a cada um dos pontos A, B, C e D. 
b) Qual é o ângulo entre os segmentos VA e VB ? 
c) Qual é o ângulo entre os segmentos VB e VC ? 
d) Qual é o ângulo entre os segmentos VC e VD ? 
e) Qual é o ângulo entre os segmentos VD e VA ? 
f) Qual é a área de cada um dos triângulos que compõe a lateral dessa pirâmide ? 
Essa pirâmide está, fora de escala, desenhada abaixo 
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6) A figura abaixo mostra um cubo ABCDEFGH de lado 10cm. Os pontos I,J,K,L,M e N são 
os centros das faces do cubo. 
 
 
Considere que F é a origem de um sistema cartesiano, com o eixo x na reta FE, o eixo y na reta 
FG e o eixo z na reta FB. 
 
a) Quais são as coordenadas de todos os pontos mostrados na figura ? 
b) Determine a distância de M até C 
c) Qual o ângulo entre os segmentos LK e LI ? 
d) As retas IJ e LN são paralelas ? 
e) As retas JN e JI são perpendiculares ? 
 
7) Faça o que se pede: 
a) Represente no plano o triângulo ABC, com A = (1,1), B = (7,2) e C = (5,6) 
b) Determine a medida de cada lado desse triângulo 
c) Determine a medida de cada ângulo desse triângulo. 
d) Represente no espaço o triângulo A’B’C’, com A’ = (1,1,0), B’ = (7,2,0) e C’ = (5,6,0) 
e) Determine a medida de cada lado desse novo triângulo 
f) Determine a medida de cada ângulo desse novo triângulo. 
g) Calcule a área desse novo triângulo. 
h) Qual é a área do triângulo ABC ? 
 
8) Considere os pontos A = (1,1,1), B = (8,2,3) e C = (4, 7, 5). 
a) Determine as coordenadas de um ponto D tal que ABCD seja um paralelogramo. 
b) Represente esse paralelogramo no espaço 
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c) Calcule a área e o perímetro desse paralelogramo. 
 
9) Dados os pontos A = (3,5,2), B = (8, 3, 9), C = (3 + 5t , 5 – 2t , 2 + 7t) e D = (2, -1, 3). 
Determine t para que tenhamos ⃗⃗⃗⃗ ⃗  ⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
10) Pelos pontos (3,0,0), (0,4,0) e (0,0,5) passa um plano. Represente esses pontos e esse 
plano no espaço e determine as coordenadas de um vetor que seja perpendicular a 
esse plano. 
 
11) Dado o vetor u = (1,2,2), determine as coordenadas e o módulo do vetor v = 
 
| ⃗⃗ |
 ⃗ . 
 
12) Observe a linda figura dada abaixo: 
 
 
 
Ela mostra um sistema cartesiano (o eixo x em vermelho, o eixo y em verde e o eixo z 
em azul) e um sólido em azul escuro. A base desse sólido é o quadrado OABC (em 
verde), que possui lado medindo 5. O segmento BD mede 8 e é perpendicular tanto a 
AB quanto a BC. A parte superior do sólido também é um quadrado de lado 5. 
 
Veja essa mesma figura com o sólido cheio. 
 
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a) Determine as coordenadas de todos os vértices do sólido 
b) Determine o ângulo entre AD e AB 
c) Determine a distância entre C e D.