AD2 CÁLCULO2 2017 2 GABARITO CEDERJ

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
Cálculo II – AD2 (2017/2) - Gabarito 
 
Solução da Questão 1 
 
Usando a identidade trigonométrica 
2 2sec 1 tgx x 
, a integral pode ser reescrita como 
65 2 100 36 tgtg ..sec xx dxx 
 
 
Considerando a substituição simples 
 
6 5 2 5 2100 36 tg 216 tg .sec tg .sec
216
du
u x du x xdx x xdx       
 
a integral fica 
 
 
6 1/2 3/2
3/2
3/2 6
5 2 1 1 2100 36 tg .
216 216 216 3
1 1
. . 100 36 tg
324 324
tg ..sec
du
x u u du u C
u C x C
x dxx       
      
  
 
 
 
Portanto 
 
 
3/2
6 65 2 1100 36 tg . 100 36 tg
324
tg .(1 tg ). x x Cx x dx    
 
 
 
 
Solução da Questão 2 a) 
 
 
Queremos estudar a convergência de 
23
( )f x dx


, onde 
 
2
1/7
5 6 9 8
2
( )
10 3 8 . 5 4
x
f x
x x x x x


   
 
 
é contínua no intervalo de integração 
[23, )
. 
 
Notemos que a função 
( )f x
 é positiva, pois é o quociente de funções positivas, no intervalo de 
integração considerado. 
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P
ág
in
a2
 
Note que, como 
23x 
 no intervalo de integração (em particular, 
0x 
), podemos escrever 
 
2
1/7
5 6 9 8
2
( )
10 3 8 . 5 4
x
f x
x x x x x


   
 
 
9 8
5 7
103 33
35 35
2
2 2
1 1 1
7 5 7
9 8
5
8 3 7 88 3 7 8
2
2 2
1 1
5 7
8 3 7 8 8 3
2
. 1
2
( )
10 3 5 410 3 5 4
. 8 . . 18 . . 1
2 2
. 1 1
10 3 5 4 10 3
. 8 . 1 . 8
x
x x
f x
x xx x
x x x xx x x x
x
x x
x x
x x x x x x
 
    
                               
   
    
    
   
        
   
1 1
5 7
7 8
5 4
. 1
x x
   
    
   
 
 
 
 
Agora notemos que o expoente no denominador é 
33
1
35
p  
 , o que pelos exemplos de referência 
vistos em aula, sugere a divergência. Mostremos isto então! 
Sendo 
33
35
1
( )g x
x

, temos que 
 
33
35
33
35
2 2
1 1 1 1
5 7 5 7
8 3 7 8 8 3 7 8
2 2
1 1
( ) 1
( ) 10 3 5 4 10 3 5 4
. 8 . 1 8 . 1
f x x x
g x x
x
x x x x x x x x
   
    
     
       
              
       
 
 
assim 
 
 
2
1 1 1 5
5 7 5
8 3 7 8
2
1
( ) 1 1
lim lim 0
( ) 8810 3 5 4
8 . 1
x x
f x x
g x
x x x x
 
 
 
    
   
      
   
. 
 
De acordo com o critério do limite do quociente, no que diz respeito à convergência, as integrais impróprias 
23
( )f x dx


 e 
23
( )g x dx


 comportam-se da mesma forma : ambas convergem ou ambas divergem. 
 
Agora 
33
35
23 23
( )
1
g x dx dx
x
 
 
. 
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P
ág
in
a3
 
De acordo com os exemplos de referência vistos nas aulas, a integral imprópria 
23
1
p dxx


 é convergente 
se, e somente se, 
1p 
. Portanto 
33
35
23 23
( )
1
g x dx dx
x
 
 
 diverge, já que 
33
35 1p  
. 
 
Assim, 
 
1/7
6 9 8
2
5
23 23
( )
10 3 8 5 4
2
.
f x
x x x x x
dx dx
x

  



 
 é divergente . 
 
 
 
Solução da Questão 2 b) 
 
 
3 2
0
19
9 9
x
x x x
dx


  
 
 
Observe que a integral dada é imprópria do primeiro tipo, pois intervalo de integração 
[0, )
é infinito. 
Note-se que o integrando 
3 2
19
9 9
x
x x x

  
 pode ser escrito como 
 
3 2 2 2
19 19 19
9 9 ( 1) 9( 1) ( 1)( 9)
x x x
x x x x x x x x
  
 
       
 
e está definido no intervalo dado. Pela definição de integral imprópria, onde o limite de integração superior 
é infinito, temos 
 
3 2 2 2
0 0 0
lim
19 19 19
9 9 ( 1)( 9) ( 1)( 9)t
t
x x x
dx dx dx
x x x x x x x
 
  
 
        
 (*) 
 
Calculemos separadamente a integral indefinida 
2
19
( 1)( 9)
x
dx
x x

 
 
Decompondo o integrando em frações parciais , fica: 
 
2 2
19
( 1)( 9) 1 9
x
x x
A Bx C
x x

 
 

 
, e então 
 
2 29 19Ax A Bx Bx Cx C x      
 
 
0 2
1 2
9 19 1
A B A
B C B
A C C
    
 
     
      
 
 
Assim: 
 
 
 
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P
ág
in
a4
 
 
2 2
19
( 1)( 9)
2 2 1
1 9
x
x x
x
x x

 
 
 
 
 
e portanto 
 
2
2
2
2 2 2
1 ( 9) 1
9
3 3 ( 1) 3 3
19 2 2 1
1( 1)( 9) 9 9
2ln | 1| ln( ) ln
x x x
x arctg C arctg C
x
x x
dx dx dx dx
xx x x x
x
 
    
 

    
   
     
   
 
 
 
 
Logo, substituindo em (*); 
 
 2
3 2 2
00
19 ( 9) 1
lim
9 9 ( 1) 3 3
ln
t
t
x x x
arctg
x x x x
dx


   
  
     
 
 
2 2
2 2
( 9) 1 (0 9) 1 0
lim ln(9)
( 1) 3 3 (0 1) 3 3 6
ln ln
t
t t
arctg arctg
t


       
          
       
 
, 
pois 
 
 
2
2 22 2
2 2
2
2 2
9 9
1 1
( 9) ( 9)
lim lim lim 1 limln 0
2 1 2 1( 1) ( 1)
1 1
t t t t
t
t tt t
t t
t
t t t t
   
   
               
            
   
 e 
1 1
lim .
3 3 3 2 6t
t
arctg
 

 
. 
 
Logo 
3 2
0
19
2ln(3)
9 9 6
x
x x x
dx
 

  
 
 , em particular, é convergente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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P
ág
in
a5
 
 
 
 
 
 
Solução da Questão 3 a) 
 
 
A região considerada é mostrada na figura 3.1 a seguir: 
 
 
 
Figura 3.1 
 
Note que como o eixo de rotação é o eixo 
x
e a integração tem que ser feita em relação a 
x
, o método 
dos discos ou arruelas é o indicado. 
Vamos dividir a região dada em duas regiões 
1R
 e 
2R
, como mostram as figuras em 3.2 a seguir, e então 
somar os volumes dos sólidos obtidos girando cada uma delas em torno do eixo 
x
. 
 
 
 
 
 Figura 3.2 
 
 
Na figura 3.2 são mostradas também as arruelas típicas correspondentes ao problema. O sólido é 
mostrado na figura 3.3 
 
 
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P
ág
in
a6
 
 
 
Figura 3.3 
 
 
Neste caso, na região R1 para 
0 6x 
 resulta 
( )
2
x
R x 
 , logo denotando por 
1V
 o volume obtido 
ao girar esta região em torno do eixo x , temos que 
 
6 6 6
2 2
1
0 0 0
( )
2 2
x x
V R x dx dx dx      
 
  
 
Analogamente na região R2 para 
6 18x 
 resulta 
( )
2
x
R x 
 e 
6
( )
4
x
r x


, ,logo denotando por 
2V
 
o volume obtido ao girar esta região em torno do eixo x , temos que 
   
2 2 218 18 18
2 2
2
6 6 6
6 6
( ) ( )
2 4 2 4
x x x x
V R x r x dx dx dx                                     
 
 
Assim neste caso 26 18
0 6
218 18
0 6
6
2 2 4
6
2 4
x x x
V dx dx
x x
dx dx
 
 
  
     
   
 
   
 
 
 
. 
 
 
Solução da Questão 3 b) 
 
 
Para calcular o volume deste sólido por integração em relação a 
y
, observe que o método das 
cascas cilíndricas é o indicado. 
A figura 3.4 mostra a casca típica associada ao problema, em que 
2( ) (4 6) 2h y y y  
 e 
( )r y y
, com 
0 3y 
. 
 
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P
ág
in
a7
 
 
 
Figura 3.4 
 
 
 
Assim, o volume 
V
 do sólido é dado por 
 
3 3 3
2 2 3
0 0 0
2 ( ). ( ) 2 (4 6 2 ) 2 (6 4 2 )V r y h y dy y y y dy y y y dy          . 
 
O sólido é o mesmo exibido na figura 3.3 anterior. 
 
Solução da Questão 3 c) 
 
Note que o eixo de rotação é o eixo 
y
 e como a integração tem que ser feita em relação a 
x
 , o método 
das cascas cilíndricas é o conveniente. 
Como no item (a), vamos dividir a região dada em duas regiões 
1R
 e 
2R
, como mostrado na figura 3.5 a 
seguir, e então somar os volumes dos sólidos obtidos girando cada uma delas em torno do eixo 
y
. 
A figura 3.5 mostra também as cascas típicas associadas ao problema. 
 
O sólido está mostrado na figura 3.6. 
 
 
 
 Figura 3.5 
 
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P
ág
in
a8
 
 
 
 
 Figura 3.6 
 
 
Neste caso na região R1 , para 
0 6x 
 resulta 
( )r x x
 e 
( ) 0
2 2
x x
h x   
, logo denotando por 
1V
 o volume obtido ao girar esta região em torno do eixo y , temos que 
6 6
1
0 0
2 ( ). ( ) 2 .
2
x
V r x h x dx x dx   
 
Analogamente na região R2 para 
6 18x 
 resulta 
( )r x x
 e 6
( )
2 4
x x
h x

 
 ,logo denotando por 
2V
 o volume obtido ao girar esta região em torno do eixo x , temos que 
18 18
2
6 6
6
2 ( ). ( ) 2 .
2 4
x x
V r x h x dx x dx      
 
 
 
Assim neste caso 
 
6 18
0 6
18 18
0 6
6
2 . 2 .
2 2 4
6
2 . 2 .
2 4
x x x
V x dx x dx
x x
x dx x dx
 
 
 
    
 
 
   
 
 
 
 
 
 
Solução da Questão 3 d) 
 
Note que o eixo de rotação é o eixo 
y
 e como a integração tem que ser feita em relação a 
y
, o método 
dos discos ou arruelas é o indicado. 
 
 
 
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P
ág
in
a9
 
 
 
Figura 3.7 
 
 
A arruela típica é mostrada na figura 3.7. 
Observemos que 
( ) 4 6R y y 
 e 
2( ) 2r y y
, em que 
0 3y 
. 
 
Assim, denotando o volume por 
V
, temos que: 
 
3 3 3
2 2 2 2 2 4 2
0 0 0
( ( )) ( ( )) (4 6) (2 ) ( 4 16 48 36)V R y r y dy y y dy y y y dy                    
 
O sólido é o mesmo mostrado na figura 3.6. 
 
Solução da Questão 3 e) 
 
Note que o eixo de rotação é a reta vertical 
18x 
. Neste caso o método dos discos ou arruelas pode ser 
usado. A arruela típica é mostrada na figura 3.8 e o sólido na figura 3.9. 
 
 
 Figura 3.8 Figura 3.9 
 
Aqui 
2( ) 18 2R y y 
 e 
( ) 18 (4 6) 12 4r y y y    
, com 
0 3y 
. Assim 
2 2 2( ( )) (18 2 )R y y 
 e 
2 2( ( )) (12 4 )r y y 
 . 
 
 
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P
ág
in
a1
0
 
Portanto, o volume do sólido é dado por 
 
3 3 3
2 2 2 2 2 2 4
0 0 0
( ) ( ) (18 2 ) (12 4 ) 180 96 88 4V R y r y dx y y dy y y y dy                       . 
 
 
 
Solução da Questão 3 f) 
 
 
 
Note que o eixo de rotação é a reta horizontal 
3y 
. Neste caso, o método das cascas cilíndricas se aplica 
bem. A casca típica é mostrada na figura 3.10 abaixo e o sólido na figura 3.11. 
 
 
 
 
 Figura 3.10 Figura 3.11 
 
Tem-se 
2( ) (4 6) 2h y y y  
 e 
( ) 3r y y 
, com 
0 3y 
. O volume 
V
 do sólido é portanto dado 
por 
 
3 3 3
2 2 3
0 0 0
2 ( ) ( ) 2 (3 ).(6 4 2 ) 2 (18 6 10 2 )V r y h y dy y y y dy y y y dy            . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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P
ág
in
a1
1
 
Solução da Questão 4) 
 
 
 
De acordo com a aula 29 do caderno didático, se uma curva é dada por 
( )x x y
 , com 
a y b 
, então 
seu comprimento é dado por 
21 ( '( ))
b
a
L x y dy 
 
Temos 
 
 
 
22 2
cossec( ).cotg ( )
cossec ( ) ln | cossec | '( ) cotg ( )
cossec( )
1 ( '( )) 1 cotg( ) cossec | cossec | cossec
x y yx y y x y y
y
x y y y y y
ye

      
        
 
pois 
cossec 0
6 4
3
yy
 
  
.
 
Assim 
 
     
3
34
4
6
6
2 3
cossec ln | cossec cotg | ln 2 ( 1) ln 2 3 ln
2 1
L y dy y y
 

 
               

 
 
Logo 2 3
ln
2 1
L
 
    
 unidades de comprimento.