Aula 06

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Fundamentos de Geometria I
Kléber A. Rangel
Aula 6
*
Conteúdo Programático desta aula
Semelhança: Figuras Congruentes.
Figuras Semelhantes.
Figuras Equivalentes.
Polígonos Semelhantes.
Triângulos Semelhantes.
Teorema.
Casos de Semelhança de Triângulos.
*
Semelhança
FIGURAS CONGRUENTES – são figuras que possuem a mesma forma e o mesmo tamanho. Podem coincidir por superposição.
D
E
A
B
C
d
e
a
b
c
α
β
γ
δ
ε
D’
E’
A’
B’
C’
d’
e’
a’
b’
c’
α’
β’
γ’
δ’
ε’
R1
R2
R3
B
A
FIGURAS SEMELHANTES – são figuras que têm a mesma forma mas não têm o mesmo tamanho.
Observe que figuras congruentes são semelhantes, porém figuras semelhantes não são necessariamente congruentes.
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Temos ainda as FIGURAS EQUIVALENTES que são aquelas que têm a mesma área.
L
L
Área = L2
2L
L
Possuem ângulos homólogos (correspondentes) congruentes e lados homólogos proporcionais.
 k = razão de semelhança ou escala
S1
S2
Polígonos Semelhantes 
Sendo S1 e S2 as áreas dos polígonos ABCDE e PQRST , temos: 
 k = razão de semelhança ou escala 
e
a 
a’
=
b
b’
=
c
c’
=
d
d’
=
e
e’
= k
Possuem: 
- os três ângulos ordenadamente congruentes - lados homólogos proporcionais
 Temos então: ΔABC ~ ΔA’B’C’
Triângulos Semelhantes
 
Toda paralela a um dos lados de um triângulo que intercepta os outros dois lados em pontos distintos, determina um triângulo semelhante ao primeiro.
Temos que Δ ABC ~ Δ A’B’C’
Teorema Fundamental 
A
D
B
C
E
DE
BC
 Temos três casos a considerar: 1º) ALA - Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes então são semelhantes.
A’
 B’
C’
A
B
C
a
b
c
c
b
a
ABC ~ A’B’C’
Casos de Semelhança de Triângulos
2º) LAL – Dois triângulos são semelhantes quando têm dois lados respectivamente proporcionais e os ângulos por eles compreendidos respectivamente congruentes.
A
B
C
a
b
c
c
b
a
A
B
C
A = A’
^
^
=
L.A.L.
ABC ~ A’B’C’
3º) LLL – Dois triângulos são semelhantes quando têm os seus lados respectivamente proporcionais. 
A
B
C
Q
R
P
1. Dois triângulos de lados respectivamente paralelos ou perpendiculares são semelhantes.
O
R
A
F
T
D
N
F’
V
A
B
C
E
x
y
D
Propriedades
2. Toda paralela a um dos lados de um triângulo determina um outro triângulo semelhante ao primeiro.
C
A
B
M
N
A
C
E
B
D
P
P’
3. Dois polígonos semelhantes podem ser divididos em igual número de triângulos ordenadamente semelhantes
 
 T1~T’1
=> P~P’ => T2~T’2
 T3~T’3 , ... .
e
a
b
c
d
e
a’
b’
c’
d’
OBSERVAÇÕES
Em função dos casos de semelhança e, sendo k a razão de semelhança, temos que:
 - a razão entre lados homólogos é k; - a razão entre os perímetros é k; - a razão entre as medianas homólogas é k; - a razão entre as alturas homólogas é k; - a razão entre as bissetrizes homólogas é k; - a razão entre os raios dos círculos inscritos é k; - a razão entre os raios dos círculos circunscritos é k; ..................................................................; - a razão entre dois elementos lineares homólogos é k; - e os ângulos homólogos são congruentes.
Fundamentos de Geometria I
Kléber A. Rangel
Atividade 6
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1. O perímetro de um triângulo é 60m e um dos lados tem 25m. Qual o perímetro do triângulo semelhante cujo lado homólogo ao lado dado mede 15m? 
*
2. A base maior de um trapézio vale 40cm e a base menor 28cm. Sabendo que a altura do trapézio vale 12cm, calcular a que distância da base menor cortam-se os prolongamentos dos lados não paralelos.
*
3. Mostre que, se a razão de semelhança entre dois triângulos é k, então a razão entre seus perímetros é também k.