Aula 06

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FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA II
Aula 6- PRISMAS
Prof.: Kléber Albanêz Rangel
FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA II
CONCEITOS BÁSICOS – AULA1
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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
 1.Superfície Prismática ou Prisma Ilimitado
 2.Prismas –Definição
 3.Elementos
 4.Secções
 5.Classificação
 6.Paralelepípedos
 7.Áreas do Prisma
 8.Princípio de Cavalieri
 9.Volume do Prisma
10.Paralelepípedo Retângulo: Diagonal,Área e Volume
11.Cubo:Diagonal,Área e Volume
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FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA II
1.SUPERFÍCIE PRISMÁTICA OU PRISMA ILIMITADO
 
 Considere uma região poligonal convexa plana A1,A2,A3,..., An de n lados e uma reta r não paralela nem contida no plano da região.
 Chama-se PRISMA ILIMITADO CONVEXO ou PRISMA CONVEXO INDEFINIDO à 
reunião das retas paralelas a r e que passam pelos pontos da região poligonal dada. 
 
 
 
 
 
2. PRISMAS – DEFINIÇÃO
 Considere dois planos paralelos distintos  e , uma reta concorrente a esses planos e um polígono convexo contido em . 
 Denomina-se PRISMA a reunião de todos os segmentos de reta congruentes e paralelos a r com uma extremidade no polígono dado e a outra no plano .
 

3. ELEMENTOS
.BASES – são os polígonos situados em cada um dos planos paralelos.
. ARESTAS DAS BASES – são os lados desses polígonos.
. FACES LATERAIS – são os paralelogramos cujos lados opostos são arestas correspondentes às bases.
. ARESTAS LATERAIS – são os segmentos das faces laterais paralelos à reta r.
. ALTURA DO PRISMA – é a distância entre os planos das bases.
 
Aresta da Base
Aresta da Base
Aresta Lateral
Face Lateral
Aresta da Base
Face Lateral
Aresta Lateral
Altura
Vértice
Base
Base
Base
Base
Altura
r
r
4. SECÇÕES
 SECÇÃO de um prisma é a interseção do prisma com um plano que intercepta todas as suas arestas laterais.
 SECÇÃO TRANSVERSAL é uma secção cujo plano é paralelo às bases. A secção transversal é um polígono congruente às bases.
 SECÇÃO RETA OU NORMAL é uma secção cujo plano é perpendicular às arestas laterais.
 
 
secção reta secção transversal secção inclinada
5.CLASSIFICAÇÃO 
 Um prisma pode ser classificado:
Segundo seu polígono da base em:
 . Triangular – se a base for um triângulo
 . Quadrangular – se a base for um quadrilátero
 . Pentagonal – se a base for um pentágono
 . Hexagonal – se a base for um hexágono e assim sucessivamente
 
Prisma quadrangular
B. Segundo a inclinação de suas arestas laterais em:
 PRISMA RETO – se as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. Nesse caso as faces laterais são retângulos.
 PRISMA OBLÍQUO – se as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.
C. Segundo a forma das bases em:
 - PRISMA REGULAR – é o prisma reto cujas bases são polígonos regulares.
 - PRISMA NÃO REGULAR – é aquele que ou não é reto ou as bases não são polígonos regulares.
 
Note que o prisma quadrangular acima, embora reto, não é regular pois a base não é um polígono regular
 
 
 
 6.PARALELEPÍPEDOS
 Alguns prismas quadrangulares recebem nomes especiais de acordo com suas características. 
 Assim temos:
 .PARALELEPÍPEDO - é o prisma quadrangular cujas bases são paralelogramos. Um paralelepípedo pode ser: reto ou oblíquo
 . PARALELEPÍPEDO RETO – é o prisma reto cujas bases são paralelogramos. paralelogramo 
 
 retângulo
 
 Paralelepípedo Reto
 
 . PARALELEPÍPEDO OBLÍQUO – é o prisma oblíquo cujas bases são paralelogramos. paralelogramo
 paralelogramo
 
 
 
 
 
Paralelepípedo Oblíquo
Dentre os paralelepípedos, temos ainda:
 . PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO – é o paralelepípedo cujas bases são retângulos. retângulo 
 paralelogramo
 
 Paralelepípedo Retângulo
 . PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO – é o paralelepípedo reto cujas bases são retângulos. Êle é também conhecido como ORTOEDRO ou BLOCO RETANGULAR.
 retângulo
 
 
Paralelepípedo reto-retângulo
.HEXAEDRO REGULAR OU CUBO – é um paralelepípedo reto retângulo em que todas as faces são quadrados.
 quadrado
 quadrado 
 quadrado 
 
 Hexaedro regular ou cubo
7.ÁREAS DO PRISMA
 . ÁREA LATERAL (Al ou Sl) – de um prisma é a soma das áreas das faces laterais.
 . ÁREA DA BASE (Ab ou Sb) – de um prisma é a área de sua base.
 . ÁREA TOTAL (At ou St) – de um prisma é a soma da área lateral com as áreas das duas bases.
Área lateral do prisma
8. PRINCÍPIO DE CAVALIERI
 Dados dois sólidos e um plano, suponha que todo plano paralelo ao plano dado, ao interceptar um dos sólidos, intercepta também o outro, de tal modo que as duas secções obtidas tenham mesma área. Sendo assim os dois sólidos têm o mesmo volume.
9.VOLUME (V) DO PRISMA
 O volume de um prisma é igual ao produto da área da sua base pela altura:
 V = Sb . h
onde V=volume, Sb=área da base e h=altura (esta afirmação pode ser facilmente justificada pelo Princípio de Cavalieri) 
 
10.PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO OU ORTOEDRO: DIAGONAL, ÁREA E VOLUME
 Considere um paralelepípedo reto retângulo de dimensões : a , b e c. 
 Temos: . D = diagonal do paralelepípedo
 . At ou St = área total e V = volume
 
 
HEXAEDRO REGULAR OU CUBO: DIAGONAL , ÁREA E VOLUME
 
 Considere um hexaedro regular ou cubo de aresta “a”.
 Temos: . D = diagonal do cubo
 . At ou St = área total e V = volume
EXERCÍCIOS
1.Uma caixa tem a forma de um paralelepípedo reto retângulo e dimensões 3x , 2x e 6x. Se a sua diagonal mede 21cm, calcule o volume dessa caixa.
2.Calcule o volume de um prisma oblíquo indicado abaixo, sabendo que a base é um hexágono regular de aresta 2m e que a aresta lateral mede 6m e faz um ângulo de 60° com o plano da base.
3.A altura h de um paralelepípedo retângulo mede 60cm, sendo a sua base
 um quadrado. A diagonal do paralelepípedo forma um ângulo de 60° com o plano da base.Determine
o volume do paralelepípedo retângulo.
4. Calcule o volume de um cubo, sabendo que a distância entre os centros de duas faces contíguas é de 5cm.
a
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