EXERCICIOS DE ALGEBRA LINEAR LISTA 4

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EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR – LISTA 04 
 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
 
Função Vetorial. 
Definição. Uma função (ou aplicação) em que o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais 
é denominada função vetorial. Assim, tanto a variável independente como a variável dependente 
são vetores. 
Para dizer que uma função vetorial f está definida de um espaço vetorial V num espaço vetorial 
W, escreve-se f: V → W. 
Interessa, aqui, as funções vetoriais denominadas transformações lineares, definidas a seguir. 
Transformação Linear 
Definição. Sejam V e W espaços vetoriais. Uma função (ou aplicação) T: V → W é uma 
transformação linear de V em W se: 
 i) T(u + v) = T(u) + T(v), ∀ u,v ∈ V. 
ii) T(αu) = αT(u), ∀ u ∈ V e α um escalar. 
 
OBS. Uma transformação linear T: V → V (o caso em que V = W) é chamada operador linear 
 sobre V. 
Propriedades: 
P-1. Em toda transformação linear T: V → W a imagem do vetor 0 ∈ V é o vetor 0 ∈ W, isto é 
 T(0) = 0. 
P-2. T(αu + βv) = αT(u) + βT(v). 
 
OBS. Se T: V → W é linear, então T(0) = 0. Porém, a reciproca não é verdadeira. Pode ocorrer 
 que T(0) = 0 e T não ser linear. 
Núcleo de uma Transformação Linear. 
Definição. O núcleo de uma transformação linear T: V → W, denotado por N(T) ou Ker(T), é o 
conjunto formado por todos vetores v ∈ V tais que T(v) = 0 ∈ W. 
N(T) = { v ∈ V| T(v) = 0}. 
OBS. Note que N(T) ⊂ V e N(T) ≠ ∅, pois 0 ∈ N(T) visto que T(0) = 0. 
Imagem de uma Transformação Linear. 
Definição. A imagem de uma transformação linear T: V → W, denotada por Im(T) ou T(V) é o 
conjunto dos vetores w ∈W que são imagens de pelo menos um vetor v ∈V. 
ImT) = { w ∈W | w = T(v) para algum v ∈V }. 
OBS. Note que Im(T) ⊂ W e Im(T) ≠ ∅, pois 0 ∈ Im(T) visto que 0 = T(0) ∈ Im(T). 
Propriedades do Núcleo e da Imagem de uma Transformação Linear. 
P-1. O núcleo de uma transformação linear T: V → W é um subespaço vetorial de V. 
P-2. A imagem de uma transformação linear T: V → W é um subespaço vetorial de W. 
P-3. Uma transformação linear T: V → W é injetora se, e somente se, N(T) = {0}. 
P-4 Uma transformação linear T: V → W é sobrejetora se, e somente se, Im(T) = W. 
Teorema da Dimensão 
Se V é um espaço vetorial de dimensão finita e T: V → W é uma transformação linear, então 
dim V = dim N(T) + dim Im(T). 
Matriz de uma Transformação Linear. 
Seja uma transformação linear T: V → W, onde dimV = n e dim W = m e sejam 
A = {v1, v2, … , vn} e B = {w1,w2, … ,wm} bases de V e W, respectivamente. 
Um vetor v ∈ V pode ser expresso por v = x1v1 + x2v2 +⋯+ xnvn ou 
vA = (x1, x2, … , xn) e sua imagem T(v) = y1w1 + y2w2 +⋯+ ymwm ou 
T(v)B = (y1, y2, … , ym). Por outro lado, 
T(v) = T(x1v1 + x2v2 +⋯+ xnvn) = x1T(v1) + x2T(v2) + ⋯+ xnT(vn) 
Sendo T(v1), T(v2),… , T(vn) vetores de W, eles são combinações lineares dos vetores 
w1,w2,, … ,wm de B, isto é, 
T(v1) = a11w1 + a21w2 +⋯+ am1wm 
T(v2) = a12w1 + a22w2 +⋯+ am2wm 
. . . . . 
. . . . . 
. . . . . 
T(vn) = a1nw1 + a2nw2 +⋯+ amnwm 
Assim, 
T(v) = x1(a11w1 + a21w2 +⋯+ am1wm) + x2(a12w1 + a22w2 +⋯+ am2wm) + … + 
xn(a1nw1 + a2nw2 +⋯+ amnwm) ou 
T(v) = (a11x1 + a12x2 +⋯+ a1nxn)w1+ (a21x1 + a22x2 +⋯+ a2nxn)w2 + ... + 
 (am1x1 + am2x2 +⋯+ amnxn)wm. 
Mas, T(v) = y1w1 + y2w2 +⋯+ ymwm, então 
y1 = a11x1 + a12x2 +⋯+ a1nxn 
y2 = a21x1 + a22x2 +⋯+ a2nxn 
. . 
. . 
. . 
ym = am1x1 + am2x2 +⋯+ amnxn 
Logo, tem-se o sistema cuja forma matricial é 
 
(
 
 
 
y1
y2
.
.
.
ym)
 
 
 
B
=
(
 
 
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
. . .
. . .
. . .
am1 am2… amn)
 
 
(
 
 
x1
x2
.
.
.
xm)
 
 
A
. 
A matriz 
(
 
 
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
. . .
. . .
. . .
am1 am2… amn)
 
 
 é denominada matriz da transformação linear T em relação às 
base A e B., geralmente denotada por [T]B
A. 
Nota-se que a matriz coluna
(
 
 
 
y1
y2
.
.
.
ym)
 
 
 
 é formada pelas componentes do vetor T(v) na base B, 
a matriz coluna 
(
 
 
x1
x2
.
.
.
xm)
 
 
 é formada pelas componentes do vetor v na base A e que as colunas da 
matriz [T]B
A = 
(
 
 
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
. . .
. . .
. . .
am1 am2… amn)
 
 
 são as componentes dos vetores T(v1), T(v2), ..., T(vn), 
imagens dos vetores v1, v2, … , vn da base A em relação à base B. 
E mais, a matriz [T]B
A é de ordem m x n, isto é, o número de linhas m = dim W e o número de 
colunas n = dim V. 
Tendo em vista que a matriz da transformação linear depende das bases A e B escolhidas, então a 
transformação linear poderá ser representada por uma infinidade de matrizes. 
Porém, escolhidas duas bases A e B a matriz [T]B
A é única. 
Se as bases A e B forem as bases canônicas, representa-se a matriz simplesmente por [T]. 
Na prática cada matriz pode ser interpretada como matriz canônica de uma transformação linear. 
Operações com Transformações Lineares 
1. Adição 
Sejam S: V → W e T: V → W transformações lineares. A soma de S com T é a transformação 
linear S + T: V → W tal que (S + T)(v) = S(v) + T(v ), ∀v ∈ V. 
Se A e B são bases quaisquer de V e W, respectivamente, então 
[S + T]B
A = [S]B
A + [T]B
A 
2. Multiplicação por Escalar 
Seja T: V → W uma transformação linear e α seja um escalar. O produto de α por T é a 
transformação linear αT: V → W tal que (αT)(v) = αT(v), ∀v ∈ V. 
Se A e B são bases quaisquer de V e W, respectivamente, então 
[αT]B
A = α[T]B
A 
3. Composição 
Sejam S: V → W e T: W → U transformações lineares. A composta de S com T, denotada por 
T ∘ S, é a transformação linear T ∘ S: V → U tal que (T ∘ S)(v) = T(S(v)), ∀v ∈ V. 
Se A, B e C são bases quaisquer de V, W e U, respectivamente, então 
[T ∘ S]C
A = [T]C
B × [S]B
A 
Transformações Lineares Planas 
Transformação linear plana é toda transformação linear T cujos domínio e contradomínio são o 
ℝ2. 
Serão vistas, aqui, algumas dessas transformações: 
1. Reflexões 
2. Dilatações e Contrações 
3. Cisalhamentos 
4. Rotação do Plano 
 
1. Reflexões 
1.1 – Reflexão em relação ao eixo x 
 É a transformação linear T: ℝ2⟼ℝ2 tal que T(x, y) = (x, -y), sendo 
 M = (
1 0
0 −1
) sua matriz canônica. Isto é, (
𝑥
−𝑦) = (
1 0
0 −1
) (
𝑥
𝑦) 
1.2 – Reflexão em relação ao eixo y 
 É a transformação linear T: ℝ2⟼ℝ2 tal que T(x, y) = (-x, y), sendo 
 M = (
−1 0
0 1
) sua matriz canônica. Isto é, (
−𝑥
𝑦 ) = (
−1 0
0 1
) (
𝑥
𝑦) 
1.3 – Reflexão em relação à origem 
 É a transformação linear T: ℝ2⟼ℝ2 tal que T(x, y) = (-x, - y), sendo 
 M = (
−1 0
0 −1
) sua matriz canônica. Isto é, (
−𝑥
−𝑦) = (
−1 0
0 −1
) (
𝑥
𝑦) 
1.4 – Reflexão em relação à reta y = x 
 É a transformação linear T: ℝ2⟼ℝ2 tal que T(x, y) = (y, x), sendo 
 M = (
0 1
1 0
) sua matriz canônica. Isto é, (
𝑦
𝑥
) = (
0 1
1 0
) (
𝑥
𝑦) 
1.5 – Reflexão em relação à reta y = - x 
 É a transformação linear T: ℝ2⟼ℝ2 tal que T(x, y) = (-y, - x), sendo 
 M = (
0 −1
−1 0
) sua matriz canônica. Isto é, (
−𝑦
−𝑥) = (
0 −1
−1 0
) (
𝑥
𝑦) 
 
 2. Dilatações e Contrações 
2.1 – Dilatação ou contração na direção do vetor. 
 É a transformação linear T: ℝ2⟼ℝ2 tal que T(x, y) = 𝛼(x, y) = (𝛼x, 𝛼y), 𝛼 ∈ ℝ, sendo 
 M = (
𝛼 0
0 𝛼
) sua matriz canônica. Isto é, (
𝛼𝑥
𝛼𝑦) = (
𝛼 0
0 𝛼
) (
𝑥
𝑦). 
 Note que: 
 - se |𝛼| > 1, T dilata o vetor; 
 - se |𝛼| < 1, T contrai o vetor; 
 - se 𝛼 = 1, T é a transformação identidade; 
 - se 𝛼 < 0, T muda o sentido do vetor. 
 
2.2 – Dilatação ou contração na direção do eixo x. 
 É a transformação linear T: ℝ2⟼ℝ2 tal que T(x, y) = (𝛼𝑥, 𝑦), 𝛼 ≥ 0, sendo 
 M = (
𝛼 0
0 1
) sua matriz canônica. Isto é, (
𝛼𝑥
𝑦 ) = (
𝛼 0
0 1
) (
𝑥
𝑦). 
 Note que: 
 - se 𝛼 > 1, T dilata o vetor; 
 - se 0≤ 𝛼 < 1, T contrai o vetor. 
 - se 𝛼 = 0, ter-se-ia T(x, y) = (0, y) e T seria a projeção do plano sobre o eixo y. 
 ∗ Essa transformação também é chamada dilatação ou contração na direção horizontal de 
 um fator 𝛼. 
 
2.3 – Dilatação ou contração na direção do eixo y. 
 É a transformação linear T: ℝ2⟼ℝ2 tal que T(x, y) = (𝑥, 𝛼𝑦), 𝛼 ≥ 0, sendo 
 M = (
1 0
0 𝛼
) sua matriz canônica. Isto é, (
𝑥
𝛼𝑦) = (
1 0
0 𝛼
) (
𝑥
𝑦). 
 Note que: 
 - se 𝛼 > 1, T dilata o vetor; 
 - se 0≤ 𝛼 < 1, T contrai o vetor. 
 - se 𝛼 = 0, ter-se-ia T(x, y) = (x, 0) e T seria a projeção do plano sobre o eixo x. 
 ∗ Essa transformação também é chamada dilatação ou contração na direção vertical de 
 um fator 𝛼. 
 
3. Cisalhamentos 
3.1 – Cisalhamento na direção do eixo x. 
 É a transformação linear T: ℝ2⟼ℝ2 tal que T(x, y) = (𝑥 + 𝛼𝑦, 𝑦), sendo 
 M = (
1 𝛼
0 1
) sua matriz canônica. Isto é, (
𝑥 + 𝛼𝑦
𝑦 ) = (
1 𝛼
0 1
) (
𝑥
𝑦). 
 * Essa transformação também é chamada cisalhamento na direção horizontal de 
 um fator 𝛼. 
 
3.2 – Cisalhamento na direção do eixo y. 
 É a transformação linear T: ℝ2⟼ℝ2 tal que T(x, y) = (𝑥, 𝛼𝑥 + 𝑦), sendo 
 M = (
1 0
𝛼 1
) sua matriz canônica. Isto é, (
𝑥
𝛼𝑥 + 𝑦) = (
1 0
𝛼 1
) (
𝑥
𝑦). 
 * Essa transformação também é chamada cisalhamento na direção vertical de 
 um fator 𝛼. 
 
4. Rotação do plano 
 A rotação do plano em torno da origem, que faz cada ponto do plano descrever um ângulo 𝜃, é 
 a transformação linear Tθ: ℝ
2⟼ℝ2 tal que 
 Tθ(x, y) = (x cos 𝜃 − 𝑦 sen𝜃, 𝑥 sen𝜃 + 𝑦 cos 𝜃), sendo (Tθ) = (
cos 𝜃 − sen𝜃
sen𝜃 cos𝜃
) sua 
 matriz canônica, ainda chamada matriz de rotação de um ângulo 𝜃, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋. 
 Isto é, (
𝑥 cos𝜃 − 𝑦 sen𝜃
𝑥 sen𝜃 + 𝑦 cos 𝜃) = (
cos 𝜃 − sen𝜃
sen𝜃 cos 𝜃
)(
𝑥
𝑦). 
 Note que 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 indica que a rotação se dá no sentido anti-horário. Porém, nada impede 
 que a rotação seja no sentido horário, isto é, 𝜃 < 0. Assim o ângulo de rotação será designado 
 por -θ e a matriz canônica por (T−θ) = (
cos𝜃 sen𝜃
−sen𝜃 cos 𝜃
). 
 Como se pode observar a matriz de rotação do ângulo -𝜃 é a inversa da matriz de rotação do 
 ângulo 𝜃, ou seja (T−θ) = (Tθ)
−1. Isso significa que a matriz (Tθ) leva o vetor v = (x, y) à sua 
 imagem Tθ(x, y) = (x’, y’) e matriz (Tθ)
−1 leva o vetor v’ = (x’, y’) de volta ao vetor v = (x, y). 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01.Verificar se as transformações seguintes são lineares. 
a) T: ℝ² ⟶ ℝ²; T(x, y) = (3y, -2x) 
b) T: ℝ² ⟶ ℝ³; T(x, y) = (x – y, 3x, -2y) 
c) T: V⟶ W; T(v) = 0, ∀v ∈ V. 
d) T: V⟶ W; T(v) = v, ∀v ∈ V. 
02. a) Seja V o espaço vetorial da matrizes quadradas, de ordem n e seja M uma matriz arbitrária 
 fixada de V e seja a transformação T: V → V, definida por T(A) = AM + MA, ∀ A ∈ V. 
 Verificar que T é linear. 
 b) Seja o espaço vetorial V = Pn(t) dos polinômios de grau menor ou igual que n e seja 
 W = ℝ. A transformação T: Pn ⟶ℝ definida por T(u) = ∫ 𝑢𝑑𝑡
𝑏
𝑎
, a,b ∈ ℝ é linear. 
 Verificar. 
03. Dada a transformação linear T: ℝ² ⟶ ℝ²; T(x, y) = (3x – 2y, x + 4y) e os vetores u = (2, 3) e 
v = (-3, 1), calcular: 
a) T(u) + T(v) b) T(2u – v) c) T(3u + 2v) 
 
04. Fazer um gráfico de um vetor genérico v = (x, y) do domínio e de sua imagem T(v) da 
transformação linear T: ℝ² ⟶ ℝ², dada por: 
a) T(x, y) = (3x, 0) b) T(x, y) = (2x, -3y) c) T(x, y) = (x, -y) 
 
05. Determinar a lei que define cada transformação linear, abaixo: 
a) T: ℝ² ⟶ ℝ³ tal que T(-1, 1) = (3, 2, 1) e T(0, 1) = (1, 1, 0) 
b) T: ℝ³ ⟶ ℝ² tal que T(1, -1, 0) = (1, 1), T(0, 1, 1) = (2, 2) e T(0, 0, 1) = (3, 3) 
c) T: P2⟶ P2 tal que T(1) = x, T(x) = 1 – x² e T(x²) = x + 2x². 
 (P2 é espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a dois) 
 
06. Seja a transformação linear T: ℝ³ ⟶ ℝ² definida por T(1, 1, 1) = (1, 2), 
T(1, 1, 0) = (2, 3) e T(1, 0, 0) = (3, 4). 
a) Determinar T(x, y, z) 
b) Determinar v ∈ ℝ³ tal que T(v) = (-3, -2) 
 
07. Seja T o operador linear em ℝ³ tal que T(1, 0, 0) = (0, 2, 0), T(0, 1, 0) = (0, 0, -2) e 
T(0, 0, 1) = (-1, 0, 3). 
a) Determinar T(x, y, z) 
b) Determinar v ∈ ℝ³ tal que T(v) = (5, 4, -9) 
 
08. Seja o operador linear T: ℝ² ⟶ ℝ² tal que T(x, y) = (2x +y, 4x + 2y). 
 i) Quais dos vetores seguintes pertencem a N(T)? 
a) u = (1, -2) b) v = (2, -3) c) w = (-3, 6) 
ii) Quais dos vetores seguintes pertencem a Im(T)? 
a) u = (2, 4) b) v = (−
1
2
, −1) c) w = (-1, 3) 
 
09. Para cada transformação linear, abaixo, determinar seu núcleo e sua imagem. 
a) T: ℝ² ⟶ ℝ²; T(x, y) = (3x – y, -3x +y) 
b) T: ℝ² ⟶ ℝ²; T(x, y) = (x – 2y, x + y) 
c) T: ℝ³ ⟶ ℝ²; T(x, y, z) = (x + 2y – z, 2x – y + z) 
d) T: ℝ³ ⟶ ℝ³; T(x, y, z) = (x – y – 2z, -x +2y + z, x – 3z) 
e ) T: M(2 × 2) ⟶ℝ²; T([
a b
c d
]) = (a − b, a + b) 
 
10. Seja a transformação linear T: ℝ² ⟶ ℝ³ definida por T(x, y) = (2x – y, x + 3y, -2y) e 
as bases A = {(-1, 1), (2, 1)} e B = {(0, 0, 1), (0, 1, -1), (1, 1, 0)}. Determinar a matriz [T]B
A. 
 
11. Sabendo que [T]B
A = [
3 1
2 5
1 −1
] é a matriz de uma transformação linear T: ℝ² ⟶ ℝ³ nas bases 
A = {(-1, 1), (1, 0)} e B = {(1, 1, -1), (2, 1, 0), (3, 0, 1)}´, encontrar a expressão de T(x, y) e sua 
matriz [T]. 
 
12. Considerar as transformações lineares S e T, de ℝ² ⟶ ℝ³, definidas por 
S(x, y) = (x – y, 2x + y, -2x) e T(x, y) = (2x – y, x – 3y, y). Calcular: 
a) (S + T)(x, y) b) (S – T)(x, y) c) (3S + 2T) 
 
 
13. Sejam S e T operadores lineares de ℝ² definidos por S(x, y) = (x – 2y, y) e 
T(x, y) = (2x, -y). Determinar: 
a) (S ∘ T)(x, y) b) (T ∘ S)(x, y) c) (S ∘ S)(x, y) 
 
14) Sejam as transformações lineares S: ℝ³ ⟶ ℝ4, e T: ℝ² ⟶ ℝ³, tais que 
S(x, y, z) = (x + y, z, x – y, y + z) e T(x, y) = (2x + y, x – y, x – 3y). 
a) (S ∘ T)(x, y) b) Determinar a matriz canônica de (S ∘ T). 
 
15. Sejam S e T operadores lineares de ℝ³ definidos por S(x, y, z) = (x, 2y, x - y) e 
T(x, y, z) = (x - z, y, z). Determinar: 
a) [S ∘ T] b) [T ∘ S] 
 
16. Em um triângulo ABC, os ângulos B e C medem 75º cada. Sendo A(1, 1) e B(-1, 5), 
determinar o vértice C, utilizando a matriz de rotação do plano. 
 
17. Os pontos A(-1, -1), B(4, 1) e C(a, b) são vértices de um triângulo retângulo isósceles, reto em 
A. Determinar o vértice C, utilizando a matriz de rotação do plano. 
 
18. Determinar, em cada caso, a matriz da transformação linear T, de ℝ² em ℝ2, que representa a 
sequência de transformações dadas: 
a) Uma reflexão em relaçãoao eixo dos y, seguida de um cisalhamento de fator 5 na direção 
horizontal. 
b) Uma rotação de 60°, seguida de uma reflexão em relação ao eixo dos y. 
c) Uma reflexão em relação à reta y = -x, seguida de uma dilatação de fator 2 na direção Ox e, 
finalmente, um cisalhamento de fator 3 na direção vertical. 
 
19. O vetor v = (3, 2) experimenta sequencialmente: Uma reflexão em relação à reta y = x, um 
cisalhamento horizontal de fatos 2, uma contração de fator 
1
3
 na direção do eixo y e finalmente 
uma rotação de 90º no sentido anti-horário. Pede-se 
a) o vetor v’ resultante dessa sequência de operações; 
b) a expressão da transformação linear T: ℝ² ⟶ ℝ² que representa a composta das quatro 
operações. 
c) Determinar a matriz canônica da composta das operações. 
 
RESPOSTAS 
01. São lineares: a, b, c e d. 
03. a) T(u) + T(v) = (-11, 15) b) T(2u – v) = (11, 27) c) T(3u + 2v) = (-22, 44) 
05. a) T(x, y) = (-2x+ y, -x + y, -x) b) T(x, y, z) = (-y + 3z, -y + 3z) 
 c) T(ax² + bx + c) = (2a – b)x² + (a +c)x + b 
06. a) T(x, y, z) = (3x – y – z, 4x – y – z) b) v = (1, 6 – z, z) 
07. a) T(x, y, z) = (-z, 2x, -2y + 3z) b) v = (2, -3, -5) 
08. i) u e w ii) u e v 
09. a) N(T) = {(x, 3x); x ∈ ℝ } b) N(T) = {(0, 0)} 
 Im(T) = {(-y, y); y ∈ ℝ} Im(T) = ℝ² 
 c) N(T) = {(x, -3x, -5x); x ∈ ℝ} d) N(T) = {(3z, z, z); z ∈ ℝ } 
 Im(T) = ℝ² Im(T) = {(x, y, z) ∈ ℝ³, 2x + y – z = 0} 
 e) N(T) = {(
0 0
c d
) ; c, d ∈ ℝ} Im(T) = ℝ² 
10. [T]B
A = [
3 0
5 2
−3 3
] 11. T(x, y) = (8x + 18y, 6x + 11y, -2x – 4y) e [T] = [
8 18
6 11
−2 −4
] 
12. a) (S + T)(x, y) = (3x – 2y, 3x – 2y, -2x +y) b) (S – T)(x, y) = (-x, x + 4y, -2x – y) 
 c) (3S + 2T)(x, y) = (7x – 5y, 8x – 3y, -6x + 2y) 
13. a) (S ∘ T)(x, y) = (2x + 2y, -y) 
 b) (T ∘ S)(x, y) = (2x – 4y, -y) 
 c) (S ∘ S)(x, y) = (x – 4y, y) 
14. a) (S ∘ T)(x, y) = (3x, x – 3y, x + 2y, 2x – 4y) 
 b) T = (
3 0
1 − 3
1 2
2 − 4
) 
15. a) [S ∘ T] = [
1 0 −1
0 2 0
1 −1 −1
] b) [T ∘ S] = [
0 1 0
0 2 0
1 −1 0
] 
16. C(-1 - √3, 2√3) ou C’(3 - √3, 2 + 2√3) 
17. C(-3, 4) ou C’(1, -6) 
18. a) [
−1 5
0 1
] b) [
−
1
2
√3
2
√3
2
1
2
] c) [
0 −2
−1 −6
] 
19. a) v’ = (-1, 8). b) T(x, y) = (−
1
3
𝑥, 2𝑥 + 𝑦) c) [T] = [−
1
3
0
 2 1
]