Estatística não paramétrica, Material de Probabilidade Eng Elétrica

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ 
CAMPUS DE FOZ DO IGUAÇU 
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA NÃO 
PARAMÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Carlos dos Santos 
 
Novembro/2015 
2 
 
Sumário 
5.1 Introdução ........................................................................................................................................................................ 3 
5.2 O teste dos sinais ............................................................................................................................................................ 4 
5.2.1 O teste dos sinais para uma população ............................................................................................................... 6 
5.2.2 O teste dos sinais envolvendo dados nominais ou categóricos ................................................................... 13 
5.2.3 O teste dos sinais envolvendo dados pareados ou emparelhados............................................................... 16 
5.3 O teste dos postos com sinais de Wilcoxon............................................................................................................. 18 
5.3.1 O teste dos postos com sinais de Wilcoxon para uma população ................................................................ 19 
5.3.2 O teste dos postos com sinais de Wilcoxon para dados pareados .............................................................. 25 
5.4 O teste da soma dos postos de Wilcoxon para duas amostras independentes ................................................ 31 
5.5 O teste de Kruskal-Wallis ............................................................................................................................................. 38 
5.6 Sequência de Exercícios .............................................................................................................................................. 42 
5.7 Respostas dos exercícios ............................................................................................................................................ 47 
5.8 Tabelas Estatísticas ...................................................................................................................................................... 51 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
5.1 Introdução 
 
Os procedimentos de testes de hipóteses e intervalos de confiança vistos anteriormente, se baseiam na 
suposição de que os dados amostrais são provenientes de populações com distribuição normal. Felizmente, a 
maioria desses procedimentos é relativamente insensível a ligeiros afastamentos da normalidade. Em geral, os testes 
Z, t e F (análise de variância), têm níveis reais de significância ou de confiança que diferem dos níveis de 
significância nominais () ou de confiança (1 - )x100%, anunciados ou escolhidos pelo experimentador, embora a 
diferença entre os níveis reais e os anunciados pelo experimentador seja pequena, quando a população em estudo 
tem distribuição normal. Tradicionalmente esses procedimentos são chamados de paramétricos, porque se baseiam 
em uma família paramétrica de distribuições. Alternativamente, é dito que esses procedimentos não são livres de 
distribuição porque dependem da hipótese de que os dados amostrais devem ter sido coletados de uma população 
com distribuição normal. 
Os testes não paramétricos não exigem suposições sobre a natureza ou forma distribuições populacionais, 
logo, são ditos livres de distribuição. Embora seja usado o termo não paramétrico, para sugerir que esses métodos 
não dependem de parâmetros, existem procedimentos não paramétricos que dependem de um parâmetro, como a 
mediana. Embora o termo livre de distribuição seja o mais adequado, a nominação não paramétrica é a mais usada. 
As principais vantagens e desvantagens dos testes não paramétricos são as seguintes: 
 
Vantagens dos testes não paramétricos 
 
1. Os métodos não paramétricos se aplicam a uma grande variedade de situações, porque não possuem as 
exigências mais rígidas dos métodos paramétricos correspondentes. Em particular, os métodos não paramétricos não 
exigem populações normalmente distribuídas. 
 
2. Diferentemente dos métodos paramétricos, podem aplicar-se, em geral, a dados categóricos, tais como: sexo 
masculino ou feminino, casado ou solteiro, peça defeituosa ou perfeita, sim ou não, etc. 
 
3. Os procedimentos não paramétricos em geral envolvem cálculo mais simples do que os exigidos pelos métodos 
paramétricos correspondentes e são, portanto, mais fáceis de ser entendidos e aplicados. 
 
 
Desvantagens dos testes não paramétricos 
 
1. Os métodos paramétricos tendem a desperdiçar informação, porque os dados numéricos exatos são, em geral, 
reduzidos a uma forma qualitativa. Por exemplo, no teste não paramétrico dos sinais descrito na seção a seguir, as 
diferenças das forças de resistência ao cisalhamento da união dos dois tipos de propulsores, em relação à mediana 
de 2000psi, são registradas simplesmente como sinais negativos e positivos; as magnitudes reais dessas diferenças 
são ignoradas. 
 
2. Os testes não paramétricos são menos eficientes que os testes paramétricos. Essa perda de eficiência geralmente 
se reflete pela exigência de evidência mais forte, como a de um tamanho de amostra maior, ou em diferenças 
maiores, para que o teste não paramétrico rejeite a hipótese H0, sendo ela falsa. 
4 
 
Os métodos não paramétricos descritos a seguir são competidores dos testes paramétricos Z, t e F(Análise 
de Variância). Consequentemente, é importante comparar os desempenhos dos testes paramétricos e não 
paramétricos, sob as hipóteses de populações normais, como mostra a tabela 5.1. 
 
Tabela 5.1 Eficiência dos testes não paramétricos em relação aos paramétricos para populações normais. 
Aplicação Teste Paramétrico Teste Não Paramétrico Eficiência do teste não 
paramétrico 
Duas amostras pareadas Teste t 
Teste dos sinais 
Teste dos postos com sinais de 
wilcoxon 
0,63 
Duas amostras 
independentes 
Teste t ou teste z 
Teste da soma dos postos de 
wilcoxon 
0,95 
Três ou mais amostras 
independentes 
Teste F (Análise de 
Variância) 
Teste de Kruskall Wallis 0,95 
 
5.2 O teste dos sinais 
 
 
 
O teste dos sinais é um teste não paramétrico ou livre de distribuição, que usa os sinais positivos e negativos para 
testar diferentes afirmações, incluindo: 
1. Afirmações que envolvem a mediana de uma única população. 
2. Afirmações que envolvem a proporção p de dados nominais ou categóricos. 
3. Afirmações que envolvem dados pareados ou emparelhados. 
 
A ideia fundamental do teste dos sinais é a de analisar se há diferença significativa entre as frequências de 
sinais positivos e negativos. 
Suposições do teste dos sinais 
1. Os dados amostrais foram selecionados aleatoriamente. 
2. Não há qualquer exigência de que os dados amostrais provenham de uma população com uma distribuição 
particular. 
 
Notação 
1. x = número de vezes que o sinal menos frequente ocorreu. 
2. n é o número total de sinais positivos e negativos. 
 
Estatística do teste 
1. Para n ≤ 25 a estatística do teste é: x = número de vezes que o sinal menos frequente ocorreu. 
2. Para n > 25 a estatística do teste é:: 
 
2
n
2
n
5,0x
z







 
Valores Críticos 
1 Se n ≤ 30, o valor crítico T é encontrado na tabela A-7. 
2 Se n > 30, os valores crítico de z são encontrados na tabela 2.2 da distribuição normal. 
 
Definição 
5Início 
Faça x igual ao número de sinais de 
menor frequência 
 
A estatística do teste será x 
(número de vezes que o sinal 
menos frequente ocorreu) 
 
Sim 
n ≤ 25? 
A estatística do teste será: 
 
 𝑧 =
 𝑥+0,5 − 𝑛/2 
 𝑛
2 
 
Não 
O valor da 
estatística do 
este é menor do 
que ou igual ao 
valor crítico? 
Ache o valor crítico na tabela A-7 
Ache o valor crítico de z na 
tabela 2.2 da distribuição 
normal. 
Não se rejeita a 
hipótese H0 
Rejeita-se a 
hipótese H0 
Sim 
Não 
Associe os sinais positivos e 
negativos e descarte quaisquer 
zeros 
 
Os dados 
amostrais 
contrariam H1 
num teste 
unilateral? 
Não 
Faça n igual ao número total de 
sinais positivos e negativos 
 
Figura 5.1 – Procedimentos do teste dos Sinais. 
 
Sim 
O valor da 
estatística do teste 
cai na região de 
rejeição? 
Não 
Não se rejeita a 
hipótese H0 
Sim 
Rejeita-se a 
hipótese H0 
6 
 
Observação: A figura 5.1 resume o procedimento para o teste dos sinais e inclui esta verificação: “Os dados 
amostrais contradizem H1?” Se os dados amostrais contradizem H1, não se rejeita a hipótese H0. O fluxograma 
mostra esta observação, porque é sempre aconselhável observar os dados e evitar tirar conclusões erradas ao 
aplicar o teste dos sinais a um teste unilateral, quando um sinal ocorre significativamente com mais frequência do que 
o outro, mas os dados amostrais contradizem a hipótese alternativa H1. 
Por exemplo: Suponha que estejamos testando a afirmativa de que uma técnica de seleção de sexo favoreça 
aos meninos, sendo eles a maioria (H1: p > 0,5), mas obtém-se uma amostra de 10 meninos e 90 meninas, com uma 
proporção amostral de meninos 
10,0
100
10pˆ 
. Nesse caso, os dados amostrais contradizem a hipótese 
alternativa (H1). Não há como apoiar a afirmativa de H1, de modo que, imediatamente, não se rejeita a hipótese nula 
(H0) e não se prossegue com o teste dos sinais, incluindo-se essa verificação. 
 
 
5.2.1 O teste dos sinais para uma população 
 
O teste dos Sinais para uma amostra é usado para o teste de afirmações sobre a mediana 
~
de uma 
distribuição contínua qualquer, portanto é livre de distribuição. Vale lembrar que a mediana de uma distribuição é um 
valor tal que a probabilidade de que um valor observado de X seja menor ou igual à mediana é 0,5, e a probabilidade 
de que X seja maior ou igual à mediana é 0,5, ou seja, 
 
5,0)~X(P)~X(P 
 
 
Como a distribuição normal é simétrica, a média de uma distribuição normal é igual à mediana. Assim, o teste 
dos sinais para uma amostra pode ser usado para testar afirmações sobre a média populacional  de uma população 
com distribuição normal, porém, com menos eficiência que os testes paramétricos z e t. Note que, enquanto os testes 
Z e t foram planejados para amostras de uma população com distribuição normal, o teste dos sinais é apropriado 
para qualquer distribuição contínua. Como o teste dos sinais para uma pulação tem menos eficiência que os testes 
similares paramétricos, se os dados amostrais aderem a uma população normalmente distribuída, o ideal é utilizar os 
testes z e t. 
Os procedimentos do teste dos sinais para uma população são os seguintes: 
 
1 Elaborar as hipóteses nula e alternativa. O teste dos sinais para uma amostra ou teste da mediana, tem as 
seguintes hipóteses: 
1º caso) 
00
~~:H 
 
 
01
~~:H 
 
2º caso) 
00
~~:H 
 
 
01
~~:H 
 
3º caso) 
00
~~:H 
 
 
01
~~:H 
 
2 Calcular todas as diferenças (xi - 
0μ
) 
Suponha que x1, x2, . . ., xn, seja um amostra aleatória de n observações da população de interesse, calcular 
todas as diferenças (xi - 0) , i =1,2, . . .,n e anotar os sinais negativos e positivos. Agora, se 
00
~:H 
 é 
verdadeira, qualquer diferença xi - 
0
é positiva ou negativa de maneira igualmente provável. 
 
7 
 
3 Achar o valor da Estatística do teste 
Sendo n é o número total de sinais negativos e positivos e x é o número de vezes que o sinal menos 
frequente ocorreu, teremos os seguintes casos: 
 
1º caso) Para n ≤ 25 a estatística do teste será x 
2º caso) Para n > 25 a estatística do teste será =
 +0,5 − /2 
 
2 
 
 
Fundamentos para a estatística do teste usada quando n > 25 
 
Quando ocorre n >25, a estatística do teste se baseia em uma aproximação normal à distribuição binomial, 
com p = q = ½. Lembre de que, na parte de probabilidade, foi visto que a aproximação normal à distribuição binomial 
é aceitável quando ocorre np  5 e nq  5. Lembrando que  = np e  = √ para a distribuição de probabilidade 
binomial. Como o teste dos sinais supõe p = q =1/2, são satisfeitos os pré-requisitos de np  5 e nq  5 sempre que 
ocorre n  10. Também com a suposição de p = q = 1/2, obtém-se  = np = n/2 e e  = √ = √ / = / , de 
modo que = 

 se torna =
 − /2 
 
2 
. Finalmente, substituímos x po x + 0,5 como correção de continuidade. 
Isto é, os valores de x são discretos, mas, como estamos usando uma distribuição de probabilidade contínua, um 
valor discreto tal como 10 é, na verdade, representado pelo intervalo de 9,5 a 10,5. Como x representa o sinal menos 
frequente, procede-se de modo conservador e preocupa-se apenas com x + 0,5, obtendo, assim, a estatística 
 =
 +0,5 − /2 
 
2 
 . 
 
4 Achar o valor crítico 
 
1º caso) Para n ≤ 25, o valor crítico X é achado na tabela A-7, em anexo. 
2º caso) Para n > 25, o valor crítico Z é achado na tabela 2.2 da distribuição normal. 
 
4 Conclusão 
 
1º caso) Para n ≤ 25, se o valor da estatística do teste X for menor do que ou igual ao valor crítico, rejeita-se 
H0, em caso contrário, não se rejeita. 
2º caso) Para n > 25, se o valor da estatística do teste z cair na região de rejeição, rejeita-se H0, em caso 
contrário, não se rejeita. 
 
 
Observação. Quando a hipótese H0 é verdadeira, e ocorre n ≤ 25, a variável X(número de vezes que o sinal menos 
frequente ocorreu), tem uma distribuição binomial com parâmetro p = 0,5. Assim, encontramos um valor crítico da 
distribuição binomial que garanta o valor P, isto é, a probabilidade exata de rejeitar H0, sendo H0 verdadeira. Se o 
valor P for maior do que o nível de significância , não se rejeita H0, em caso contrário, rejeita-se. 
 
 
8 
 
Exemplos 
( 1 ) Montgomery, Peck e Vining (2001) relatam um estudo no qual um motor de foguete é feito pela união de um 
propulsor de explosão e um propulsor de manutenção dentro de uma cápsula de metal. A força de resistência ao 
cisalhamento da união dos dois tipos de propulsores é uma característica importante. Os dados a seguir mostram os 
resultados de teste de 20 motores selecionados aleatoriamente. Supondo que as forças de cisalhamento observadas 
não seguem a distribuição normal, verifique pelo teste dos sinais se a força de cisalhamento mediana é de 2000 psi 
ao nível de significância de 5%. 
2158,70 1678,15 2316,00 2061,30 2207,50 1708,30 1784,70 2575,10 2357,90 2256,70 
2165,20 2399,55 1779,80 2336,75 1765,30 2053,50 2414,40 2200,50 2654,20 1753,70 
 
a) Elaborar as hipóteses nula e alternativa 
2000~:H0 
psi (a força de cisalhamento mediana da união dos dois tipos de propulsores é de 2000 psi) 
2000~:H1 
psi (a força de cisalhamento mediana da união dos dois tipos de propulsores é diferente de 2000 psi) 
 
b) Calcular as diferenças (xi - 
0μ
) e anotar os sinais 
Observação i X
i
 X
i
 - 2000 Sinal 
1 2158,70 158,70 + 
2 1678,15 -321,85 - 
3 2316,00 316,00 +4 2061,30 61,30 + 
5 2207,50 207,50 + 
6 1708,30 -291,70 - 
7 1784,70 -215,30 - 
8 2575,10 575,10 + 
9 2357,90 357,90 + 
10 2256,70 256,70 + 
11 2165,20 165,20 + 
12 2399,55 399,55 + 
13 1779,80 -220,20 - 
14 2336,75 336,75 + 
15 1765,30 -234,70 - 
16 2053,50 53,50 + 
17 2414,40 414,40 + 
18 2200,50 200,50 + 
19 2654,20 654,20 + 
20 1753,70 -246,30 - 
 
c) Achar o valor da Estatística do teste 
Temos n = 20 sinais positivos e negativos. Para n ≤ 25 a estatística do teste é x = número de vezes que o 
sinal menos frequente ocorreu. O sinal positivo (+) ocorreu 14 vezes, enquanto o sinal negativo (-) ocorreu 6 vezes, 
logo, x = 6. 
9 
 
d) Achar o valor crítico 
Temos n = 20 sinais positivos e negativos. Para n ≤ 25, utiliza-se a tabela A-7 para achar o valor crítico X. 
Na margem esquerda dessa tabela procure n = 20. O nível de significância é de 5%. Então, na margem superior 
procure  = 0,05 (duas caudas, porque o sinal de H1 é “”, ou seja, o teste é bilateral). No cruzamento da linha do n 
= 20 com a coluna do  = 0,05, acha-se o valor crítico X = 5, como mostra o esquema a seguir. 
 
 
Tabela A-7 – Valores críticos para o teste dos sinais. 
n 
 
0,005 
(uma cauda) 
0,01 
(duas caudas) 
0,01 
(uma cauda) 
0,02 
(duas caudas) 
0,025 
(uma cauda) 
0,025 
(uma cauda) 
0,05 
(duas caudas) 
0,05 
(duas caudas) 
1 

 
20 5 

 
25 
 
Logo, o valor crítico é X = 5. 
 
 
 
e) Conclusão 
 
Haja vista que ocorreu (X= 6) > (X = 5), não se rejeita H0 ao nível de significância de 5%. Portanto, a força 
de cisalhamento mediana da união dos dois tipos de propulsores é de 2000 psi. 
 
 Observe que X é uma variável aleatória com distribuição Binomial. Assim, poderíamos testar a hipótese Ho, 
calculando diretamente o valor P da distribuição binomial. Quando 
2000~:H0 
é verdadeira, X tem uma 
distribuição binomial com parâmetros n = 20 e p = 0,5. Assim, a probabilidade de observar seis ou menos sinais 
negativos em uma amostra de 20 observações é: 
xnxx
n )p1(pC)xX(P)p,n(f

 
  3203320
22022
20
12011
20
02000
20 )5,01(5,0C)5,01(5,0C)5,01(5,0C)5,01(5,0C)6X(P
 
 
62066
20
52055
20
42044
20 )5,01(5,0C)5,01(5,0C)5,01(5,0C
 
 
 
0577,0)6X(P 
 
Haja vista que ocorreu (P = 0,0577) > ( = 0,05), não se rejeita H0 ao nível de significância de 5%. Portanto, a 
força de cisalhamento mediana da união dos dois tipos de propulsores é de 2000 psi. 
 
 
( 2 ) Quando perguntado sobre a temperatura média de um adulto sadio, todo mundo sempre responde que é de 
98,6ºF. Os dados a seguir são referentes a 106 temperaturas constantes obtidas por pesquisadores da Universidade 
de Maryland, ao meio dia, no segundo dia da pesquisa, de indivíduos adultos. Foi realizado o teste de normalidade e 
chegou-se à conclusão de que os dados não aderem à distribuição normal. Utilize o teste dos sinais para testar a 
10 
 
hipótese de que a temperatura corporal de indivíduos adultos sadios é inferior a 98,6ºF, utilizando o nível de 
significância de 5%. 
 
98,6 98,7 98,0 97,8 98,6 
98,8 99,4 98,6 98,0 98,0 
96,5 98,0 98,4 99,4 98,2 
99,6 97,1 97,1 97,9 98,6 
98,0 97,8 99,1 98,7 98,0 
96,9 98,7 97,9 97,0 97,6 
98,8 98,6 97,4 98,4 98,6 
98,6 97,8 98,4 98,8 97,6 
98,9 98,0 97,6 97,5 98,2 
98,0 97,0 98,6 97,2 98,4 
98,6 97,4 98,6 99,0 98,7 
98,6 98,2 98,6 97,5 99,2 
97,3 98,4 97,3 98,4 98,6 
98,7 97,9 97,4 98,8 98,3 
97,8 98,0 98,6 97,6 98,2 
97,6 98,8 98,8 98,4 98,2 
98,7 97,1 98,0 98,0 98,0 
98,3 98,4 98,4 97,3 98,5 
98,4 99,0 97,7 98,4 98,5 
98,4 98,8 99,5 96,5 98,5 
98,0 98,9 98,6 97,6 97,8 
97,0 
 
 
a) Elaborar as hipóteses nula e alternativa 
6,98~:H0 
ºF (a temperatura corporal mediana de adultos saudáveis não é menor do que 98,6ºF) 
6,98~:H1 
ºF (a temperatura corporal mediana de adultos saudáveis é menor do que 98,6ºF) 
 
 
 
 
11 
 
b) Calcular as diferenças (xi - 
0μ
) e anotar os sinais 
 
Obs. i xi xi - 98,6 Sinal Obs. i xi xi - 98,6 Sinal Obs. i xi xi -98,6 Sinal 
1 98,6 0,0 
 
37 98,0 -0,6 - 73 97,5 -1,1 - 
2 98,8 0,2 + 38 98,8 0,2 + 74 97,2 -1,4 - 
3 96,5 -2,1 - 39 97,1 -1,5 - 75 99,0 0,4 + 
4 99,6 1,0 + 40 98,4 -0,2 - 76 97,5 -1,1 - 
5 98,0 -0,6 - 41 99,0 0,4 + 77 98,4 -0,2 - 
6 96,9 -1,7 - 42 98,8 0,2 + 78 98,8 0,2 + 
7 98,8 0,2 + 43 98,9 0,3 + 79 97,6 -1,0 - 
8 98,6 0,0 
 
44 98,0 -0,6 - 80 98,4 -0,2 - 
9 98,9 0,3 + 45 98,6 0,0 
 
81 98,0 -0,6 - 
10 98,0 -0,6 - 46 98,4 -0,2 - 82 97,3 -1,3 - 
11 98,6 0,0 
 
47 97,1 -1,5 - 83 98,4 -0,2 - 
12 98,6 0,0 
 
48 99,1 0,5 + 84 96,5 -2,1 - 
13 97,3 -1,3 - 49 97,9 -0,7 - 85 97,6 -1,0 - 
14 98,7 0,1 + 50 97,4 -1,2 - 86 98,6 0,0 
 15 97,8 -0,8 - 51 98,4 -0,2 - 87 98,0 -0,6 - 
16 97,6 -1,0 - 52 97,6 -1,0 - 88 98,2 -0,4 - 
17 98,7 0,1 + 53 98,6 0,0 
 
89 98,6 0,0 
 18 98,3 -0,3 - 54 98,6 0,0 
 
90 98,0 -0,6 - 
19 98,4 -0,2 - 55 98,6 0,0 
 
91 97,6 -1,0 - 
20 98,4 -0,2 - 56 97,3 -1,3 - 92 98,6 0,0 
 21 98,0 -0,6 - 57 97,4 -1,2 - 93 97,6 -1,0 - 
22 97,0 -1,6 - 58 98,6 0,0 
 
94 98,2 -0,4 - 
23 98,7 0,1 + 59 98,8 0,2 + 95 98,4 -0,2 - 
24 99,4 0,8 + 60 98,0 -0,6 - 96 98,7 0,1 + 
25 98,0 -0,6 - 61 98,4 -0,2 - 97 99,2 0,6 + 
26 97,1 -1,5 - 62 97,7 -0,9 - 98 98,6 0,0 
 27 97,8 -0,8 - 63 99,5 0,9 + 99 98,3 -0,3 - 
28 98,7 0,1 + 64 98,6 0,0 
 
100 98,2 -0,4 - 
29 98,6 0,0 
 
65 97,8 -0,8 - 101 98,2 -0,4 - 
30 97,8 -0,8 - 66 98,0 -0,6 - 102 98,0 -0,6 - 
31 98,0 -0,6 - 67 99,4 0,8 + 103 98,5 -0,1 - 
32 97,0 -1,6 - 68 97,9 -0,7 - 104 98,5 -0,1 - 
33 97,4 -1,2 - 69 98,7 0,1 + 105 98,5 -0,1 - 
34 98,2 -0,4 - 70 97,0 -1,6 - 106 97,8 -0,8 - 
35 98,4 -0,2 - 71 98,4 -0,2 - 
 36 97,9 -0,7 - 72 98,8 0,2 + 
 
 
Observação: Os dados amostrais não contradizem 
6,98~:H1 
ºF, pois de um total de 91 sinais, há 68 sinais 
negativos, indicando que a maioria das temperaturas é inferior a 98,6 ºF. Se os dados amostrais fossem conflitantes 
com a hipótese alternativa (H1), terminaríamos o teste imediatamente, concluindo por não rejeitar a hipótese nula 
(H0). 
 
 
12 
 
c) Achar o valor da Estatística do teste 
Temos n = 91 sinais positivos e negativos. Para n > 25 a estatística do teste é 
 
2
n
2
n
5,0x
z







 
O sinal positivo ocorreu 23 vezes, enquanto o sinal negativo ocorreu 68 vezes. Então, 
 
x = número de vezes que o sinal menos frequente ocorreu = 23 
 
n = número total de sinais positivos e negativos = 23 + 68 = 91 
 
Logo, 
 
 
61,4
2
91
2
91
5,023
z 







 
 
d) Achar o valor crítico 
 
Temos n = 91. Para n > 25, utiliza-se a tabela 2.2 da distribuição normal para achar o valor crítico z. Temos  = 
0,05, então tentamos localizar o valor 0,05 no centro da tabela 2.2 da distribuição normal, ou o mais próximo, se esse 
valor não ocorrer. Os dois valores mais próximos de 0,05 são 0,0505 e 0,0495, os quais possuem a mesma diferença 
em relação a este. O primeiro valor (0,0505) fornece Z = 1,64 nas margens da tabela, o segundo valor (0,0495), 
fornece Z = 1,65, então, calcula-se a média aritmética dos dois valores de Z para achar o valor crítico Z = 1,645, 
como mostra a figura a seguir. 
 
 Tabela 2.2 Distribuição normal reduzida (P(Z  -zc) ou P(Z  -zc) 
 
Uma vez que o sinal da hipótese H1 é “<”, o teste é unilateral à esquerda e a região de rejeição (R.R.) é igual a  = 
0,05, situando-se na extremidade esquerda da distribuiçãonormal (por isso foi utilizada a tabela 2.2), a partir de - 
Z = -1,645, como mostra o gráfico a seguir. 
 
13 
 
 
 
e) Conclusão 
 
Observa-se pelo gráfico que, o valor da estatística do teste (Z = -4,61) cai na região de rejeição (R.R), então, 
rejeita-se H0 ao nível de significância de 5%. Portanto, há evidências amostrais para acreditarmos que a temperatura 
corporal mediana de adultos saudáveis é menor do que 98,6ºF. 
 
 
5.2.2 O teste dos sinais envolvendo dados nominais ou categóricos 
 
Lembre-se de que dados nominais envolvem nomes, atributos ou categorias apenas. Por exemplo, sim, não; 
masculino, feminino; férteis, não férteis; defeituoso, não defeituoso, etc. Embora tais conjuntos de dados nominais 
limitem os cálculos, é possível identificar a proporção dos dados amostrais que pertence a uma categoria particular, 
possibilitando testar afirmativas sobre a proporção populacional p. Os procedimentos para o teste dos sinais 
envolvendo dados nominais são os seguintes: 
 
1 Elaborar as hipóteses nula e alternativa. O teste dos sinais envolvendo dados nominais ou categóricos tem 
as seguintes hipóteses: 
 
1º caso) 
5,0p:H0 
 
 
5,0p:H1 
 
2º caso) 
5,0p:H0 
 
 
5,0p:H1 
 
3º caso) 
5,0p:H0 
 
 
5,0p:H1 
 
 
2 Atribuição dos sinais: Arbitrariamente, atribua sinais positivos a uma das categorias e sinais negativos à outra, e 
anote o número de vezes que cada sinal ocorre. 
 
3 Achar o valor da Estatística do teste 
 
Sendo n é o número total de sinais negativos e positivos e x é o número de vezes que o sinal menos 
frequente ocorreu, teremos os seguintes casos: 
 
1º caso) Para n ≤ 25 a estatística do teste será x. 
14 
 
2º caso) Para n > 25 a estatística do teste será 
 
2
n
2
n
5,0x
z







 
4 Achar o valor crítico 
 
1º caso) Para n ≤ 25, o valor crítico X é achado na tabela A-7, em anexo. 
2º caso) Para n > 25, o valor crítico Z é achado na tabela 2.2 da distribuição normal. 
 
Exemplo 
 
A cadeia de restaurantes Halters foi processada por discriminação baseada no sexo, porque apenas 30 
homens foram contratados juntamente com 70 mulheres. Um representante da companhia admite que, da mão de 
obra qualificada, metade é de homens e metade é de mulheres, mas afirma que a Halters não discrimina, e o fato de 
que 30 dos últimos 100 novos empregados são homens, é apenas ao acaso. Use o teste dos sinais a um nível de 
significância de 5% para testar a hipótese de que homens e mulheres são igualmente contratados por essa 
companhia. 
 
a) Elaborar as hipóteses nula e alternativa 
 
H0: p = 0,5 (homens e mulheres são igualmente contratados por essa companhia). 
H1: p  0,5 (homens e mulheres não são igualmente contratados por essa companhia). 
 
b) Atribuição de sinais positivos e negativos 
 
Este exemplo usa dados nominais ou categóricos que consistem em sexos masculino e feminino. O teste dos 
sinais é usado, representado os homens com o sinal positivo (+) e as mulheres com o sinal negativo (-). Vale lembrar 
que a escolha dos sinais é arbitrária. 
 
c) Cálculo da estatística do teste 
 
O fato de, dos últimos cem novos empregados contratados, 30 serem homens e 70 serem mulheres, resulta 
que o sinal positivo (+) ocorreu 30 vezes e o sinal negativo (-) ocorreu 70 vezes, ou vice versa, então, 
x = número de vezes que o sinal menos frequente ocorreu = 30 
n = número total de sinais positivos e negativos = 30 + 70 = 100 
 
Temos n =100. Para n > 25 a estatística do teste é 
 
2
n
2
n
5,0x
z







 
15 
 
 
90,3
2
100
2
100
5,030
z 







 
 
 
d) Achar o valor crítico 
 
Temos n = 100. Para n > 25, utiliza-se a tabela 2.2 da distribuição normal para achar o valor crítico z. Temos  = 
0,05, como o teste é bilateral, devido à ocorrência do sinal  em H1, calcula-se /2 = 0,05/2 =0,025. No centro da 
tabela 2.2 da distribuição normal, procura-se o valor 0,025. Na margem esquerda e na mesma linha do valor 0,025 
ocorre o valor 1,9 na margem superior e na mesma coluna, ocorre o valor 6, portanto Z/2 = 1,96 como mostra o 
esquema seguir. 
 Tabela 2.2 Distribuição normal reduzida (P(Z  -zc) ou P(Z  -zc)) 
 
Uma vez que o sinal da hipótese H1 é “”, o teste é bilateral e a região de rejeição (R.R.) é igual a  = 0,05, sendo 
dividida em duas partes de 0,025, situando-se nas extremidades esquerda e direita da distribuição normal (por isso 
foi utilizada a tabela 2.2), aparecendo à esquerda de -1,96 e à direita de 1,96, como mostra a figura a seguir. 
 
 
 
 
 
e) Conclusão 
 
Observa-se pelo gráfico que, o valor da estatística do teste Z = -3,90 cai na região de rejeição (R.R), portanto, 
rejeita-se H0 ao nível de significância de 5%. Portanto, há evidências amostrais para acreditarmos que homens e 
mulheres não são contratados igualmente por essa companhia. Essa companhia parece discriminar, não contratando 
proporções iguais de homens e mulheres. 
16 
 
5.2.3 O teste dos sinais envolvendo dados pareados ou emparelhados 
 
Dados pareados são aqueles onde cada indivíduo da amostra é o controle de si mesmo, ou seja, são dados 
obtidos nos mesmos indivíduos ou exemplares, em momentos ou situações diferentes. No uso do teste dos sinais 
com dados que são combinados aos pares, convertem-se os dados brutos em sinais de mais ou menos, como segue. 
Esse teste pode substituir o teste t para dados pareados da diferença entre as médias populacionais 1 e 2, se os 
dados amostrais não seguem a distribuição normal. São exemplos de dados pareados: Pesos de indivíduos antes e 
após a dieta; medição de impurezas das mesmas amostras de um produto químico tomadas por dois pesquisadores 
diferentes, utilização de dois tipos de aparelhos de medida diferentes para um sistema de injeção eletrônica, 
utilizando os mesmos 12 carros. 
Os procedimentos para o teste dos sinais envolvendo dados pareados são os seguintes: 
 
1 Elaborar as hipóteses nula e alternativa. O teste dos sinais para uma amostra ou teste da mediana, tem as 
seguintes hipóteses: 
1º caso) 
0~:H d0 
 
 
0~:H d1 
 
2º caso) 
0~:H d0 
 
 
0~:H d1 
 
3º caso) 
0~:H d0 
 
 
0~:H d1 
 
Onde 
d
~
representa a mediana das diferenças 
 
2 Calcular as diferenças di = X1i – X2i e anotar os sinais 
 
Suponha que, x11, x12, . . ., x1n, sejam os valores de uma amostra aleatória na primeira situação e que, x21, 
x22, . . ., x2n, sejam os valores da mesma amostra, porém, na segunda situação. Calcular todas as diferenças di = X1i 
– X2i, com i = 1, . . ., n e anotar os sinais negativos (-) e positivos (+). A ideia é a de que, se o número de sinais 
positivos (+) for aproximadamente igual ao número de sinais negativos (-), teoricamente, a mediana das diferenças 
será igual a zero e, consequentemente, H0 não será rejeitada. 
 
3 Achar o valor da Estatística do teste 
 
Sendo n o número total de sinais negativos e positivos e x é o número de vezes que o sinal menos frequente 
ocorreu, temos os seguintes casos: 
1º caso) Para n ≤ 25 a estatística do teste é x. 
2º caso) Para n > 25 a estatística do teste é 
 
2
n
2
n
5,0x
z







 
4 Achar o valor crítico 
 
1º caso) Para n ≤ 25, o valor crítico x é achado na tabela A-7, em anexo. 
2º caso) Para n > 25, o valor crítico z é achado na tabela 2.2 da distribuição normal. 
 
 
 
 
17 
 
5 Conclusão1º caso) Para n ≤ 25, se estatística do teste “x” for menor do que ou igual ao valor crítico X, rejeita-se 
0H
, 
em caso contrário não se rejeita H0. 
2º caso) Para n > 25, se a estatística do teste z cair na região de rejeição, rejeita-se 
0H
, em caso contrário 
não se rejeita H0. 
 
 
Exemplos 
 
 
( 1 ) Um engenheiro de automóveis está estudando dois tipos de aparelhos de medida por um sistema de injeção 
eletrônica a fim de determinar se eles diferem em seus desempenhos de milhagem de combustível. O aparelho 1 é 
instalado em 12 carros diferentes, e o teste é realizado em cada carro. O aparelho 2 é instalado, em seguida, nos 
mesmos 12 carros, e o mesmo teste é realizado em cada um deles. Supondo que os dados amostrais não aderem a 
distribuição normal (neste caso o teste t para dados pareados não é adequado), aplique o teste dos sinais para 
verificar se os dois tipos de aparelhos diferem em seus desempenhos de milhagem de combustível. Use o nível de 
significância de 5%. Os dados do desempenho da milhagem de combustível são apresentados a seguir. 
 
Aparelho 1 17,6 19,4 19,5 17,1 15,3 15,9 16,3 18,4 17,3 19,1 17,8 18,2 
Aparelho 2 16,8 20 18,2 16,4 16 15,4 16,5 18 16,4 20,1 16,7 17,9 
 
a) Elaborar as hipóteses nula e alternativa 
 
 
0~:H d0 
(os dois tipos de aparelhos não diferem em seus desempenhos de milhagem de combustível)
0~:H d1 
(os dois tipos de aparelhos diferem em seus desempenhos de milhagem de combustível) 
 
b) Calcular as diferenças di = X1i – X2i e anotar os sinais 
 
Aparelho 1 17,6 19,4 19,5 17,1 15,3 15,9 16,3 18,4 17,3 19,1 17,8 18,2 
Aparelho 2 16,8 20 18,2 16,4 16 15,4 16,5 18 16,4 20,1 16,7 17,9 
di = X1i – X2i 0,8 -0,6 1,3 0,7 -0,7 0,5 -0,2 0,4 0,9 -1 1,1 0,3 
Sinal 
 
+ - + + - + - + + - + + 
 
 
c) Achar o valor da Estatística do teste 
Temos n =12 sinais positivos e negativos. Para n ≤ 25 a estatística do teste é x = número de vezes que o 
sinal menos frequente ocorreu. O sinal positivo (+) ocorreu 8 vezes, enquanto o sinal negativo (-) ocorreu 4 vezes, 
logo, x = 4. 
 
 
18 
 
d) Achar o valor crítico 
Temos n = 12. Para n ≤ 25, utiliza-se a tabela A-7 para achar o valor crítico x. Na margem esquerda dessa 
tabela procure n = 12. O nível de significância é de 5%. Então, na margem superior procure  = 0,05 (duas caudas, 
porque o sinal de H1 é “”, ou seja, o teste é bilateral). No cruzamento da linha do n = 12 com a coluna do  = 0,05, 
acha-se o valor crítico x = 2, como mostra o esquema a seguir. 
 
Tabela A-7 – Valores críticos para o teste dos sinais. 
n 
 
0,005 
(uma cauda) 
0,01 
(duas caudas) 
0,01 
(uma cauda) 
0,02 
(duas caudas) 
0,025 
(uma cauda) 
0,025 
(uma cauda) 
0,05 
(duas caudas) 
0,05 
(duas caudas) 
1 

 
12 2 

 
25 
 
Logo, o valor crítico é X = 2. 
 
 
e) Conclusão 
 
Haja vista que ocorreu (X= 4) > (X = 2), não se rejeita H0 ao nível de significância de 5%. Portanto, os dois 
tipos de aparelhos não diferem em seus desempenhos de milhagem de combustível. 
 
5.3 O teste dos postos com sinais de Wilcoxon 
 
Na seção 5.2 o teste dos sinais foi usado para analisar três tipos diferentes de situações: afirmações que 
envolvem a mediana de uma única amostra, afirmações que envolvem a proporção p de dados nominais ou 
categóricos, e afirmações que envolvem dados pareados ou emparelhados. O teste dos sinais usou apenas os sinais 
das diferenças e não suas magnitudes reais. Esta seção introduz o teste dos postos com sinais de Wilcoxon que, 
também é usado com dados amostrais que envolvem a afirmação da mediana e afirmações que envolvem dados 
pareados ou emparelhados. Como o teste dos postos com sinais de Wilcoxon incorpora e usa mais informação que o 
teste dos sinais, tende a fornecer conclusões que refletem melhor a verdadeira natureza dos dados. 
 
 
 
O teste dos postos com sinais de Wilcoxon é um teste não paramétrico que usa os postos com sinais de dados 
amostrais. É usado para testar a mediana de uma população. No caso de dados pareados, serve para testar se a 
mediana das diferenças é igual a zero, ou seja, para testar diferenças nas distribuições populacionais 
 
 
 
 
Definição 
19 
 
 
Teste dos Postos com sinais de Wilcoxon 
Suposições 
1. Os dados são selecionados aletoriamente. 
2. A população das diferenças tem uma distribuição contínua e simétrica. 
 
Notação 
1. T = a menor das soma dos postos em valor absoluto. 
2. T
-
 = a soma dos postos negativos em valor absoluto. 
3. T
+
 = a soma dos postos positivos em valor absoluto. 
 
Estatística do teste 
Sendo n o número de diferenças não nulas: 
1º caso) Para n ≤ 30 a estatística do teste é T. 
2º caso) Para n > 30 a estatística do teste é 
24
)1n2)(1n(n
4
)1n(n
T
z



 
Valores Críticos 
 
1 Se n ≤ 30, o valor crítico T é encontrado na tabela A-8. 
2 Se n > 30, os valores críticos de z são encontrados na tabela 2.2 da distribuição normal. 
 
 
 
 
5.3.1 O teste dos postos com sinais de Wilcoxon para uma população 
 
Assim como o teste dos sinais para uma população, o teste dos postos com sinais de Wilcoxon para uma 
população, também realiza o teste da mediana. 
Os procedimentos do teste dos postos com sinais de Wilcoxon para uma população são os seguintes: 
 
1 Elaborar as hipóteses nula e alternativa. 
O teste do dos postos com sinais de Wilcoxon para uma população ou teste da mediana, tem as seguintes 
hipóteses: 
 
1º caso) 
00
~~:H 
 
 
01
~~:H 
 
2º caso) 
00
~~:H 
 
 
01
~~:H 
 
3º caso) 
00
~~:H 
 
 
01
~~:H 
 
 
2 Calcular todas as diferenças (xi - 
0μ
) e atribuir os postos com sinais 
 
20 
 
Suponha que x1, x2, . . ., xn, seja um amostra aleatória de uma distribuição contínua, com mediana 
0
~ 
. 
Calcule todas as diferenças di = xi - 0, com i =1,2, . . .,n. Conserve os sinais, mas ignore quaisquer diferenças di = 
0. Ignore os sinais das diferenças e ordene-as da menor para a maior. Logo após, atribua os postos a cada diferença, 
mantendo o sinal da diferença. Quando as diferenças tiverem o mesmo valor numérico, associe a elas a média dos 
postos envolvidos no empate. 
. 
3 Achar o valor da Estatística do teste 
Faça a soma dos postos com sinais negativos, em valor absoluto (T
-
). Faça a soma dos postos com sinais 
positivos, em valor absoluto (T
+
). Sendo, n é o número de diferenças (di) não nulas e T a menor das somas entre T
- e 
T
+
: 
1º caso) Para n ≤ 30 a estatística do teste é T 
2º caso) Para n > 30 a estatística do teste é: 
24
)1n2)(1n(n
4
)1n(n
T
z



 
4 Achar o valor crítico 
1º caso) Para n ≤ 30, o valor crítico X é achado na tabela A-8, em anexo. 
2º caso) Para n > 30, o valor crítico Z é achado na tabela 2.2 da distribuição normal. 
 
5 Conclusão 
 
1º caso) Para n ≤ 30, se estatística do teste “x” for menor do que ou igual ao valor crítico “x,” rejeita-se 
0H
, 
caso contrário não se rejeita H0. 
2º caso) Para n > 30, se estatística do teste “z” cair na região de rejeição (R.R.), rejeita-se 
0H
, caso 
contrário não se rejeita H0. 
 
Exemplos 
( 1 ) Montgomery, Peck e Vining (2001) relatam um estudo no qual um motor de foguete é feito pela união de um 
propulsor de explosão e um propulsor de manutenção dentro de uma cápsula de metal. A força de resistência ao 
cisalhamento da união dos dois tipos de propulsores é uma característica importante. Os dados a seguir mostram os 
resultados de teste de 20motores selecionados aleatoriamente. Supondo que as forças de cisalhamento observadas 
não seguem a distribuição normal (Neste caso o teste t para a média não é adequado), verifique pelo teste dos 
postos com sinais de Wilcoxon se a força de cisalhamento mediana é de 2000 psi ao nível de significância de 5%. 
2158,70 1678,15 2316,00 2061,30 2207,50 1708,30 1784,70 2575,10 2357,90 2256,70 
2165,20 2399,55 1779,80 2336,75 1765,30 2053,50 2414,40 2200,50 2654,20 1753,70 
 
a) Elaborar as hipóteses nula e alternativa 
2000~:H0 
psi (a força de cisalhamento mediana da união dos dois tipos de propulsores é de 2000 psi) 
2000~:H1 
psi (a força de cisalhamento mediana da união dos dois tipos de propulsores é diferente de 2000 psi) 
21 
 
 
b) Calcular as diferenças (xi - 
0μ
), e anotar os postos com sinais 
Observação i X
i
 X
i
 - 2000 Posto com sinal 
16 2053,50 53,50 +1 
4 2061,30 61,30 +2 
1 2158,70 158,70 +3 
11 2165,20 165,20 +4 
18 2200,50 200,50 +5 
5 2207,50 207,50 +6 
7 1784,70 -215,30 -7 
13 1779,80 -220,20 -8 
15 1765,30 -234,70 -9 
20 1753,70 -246,30 -10 
10 2256,70 256,70 +11 
6 1708,30 -291,70 +12 
3 2316,00 316,00 +13 
2 1678,15 -321,85 +14 
14 2336,75 336,75 +15 
9 2357,90 357,90 +16 
12 2399,55 399,55 +17 
17 2414,40 414,40 +18 
8 2575,10 575,10 -19 
19 2654,20 654,20 +20 
 
c) Achar o valor da Estatística do teste 
Temos n = 20 diferenças não nulas. Para n ≤ 25 a estatística do teste é T = a menor das somas dos postos 
em valor absoluto. 
T
+
 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5+ 6 + 11 +13 +15 +16 +17+ 18 +19 + 20 = 150 
T
- 
= 7 + 8 +9 +10 + 12 + 14 = 60. Logo, T = 60 
d) Achar o valor crítico 
Temos n = 20. Para n ≤ 30, utiliza-se a tabela A-8 para achar o valor crítico T. Na margem esquerda dessa 
tabela procure n = 20. O nível de significância é de 5%. Então, na margem superior procure  = 0,05 (duas caudas, 
porque o sinal de H1 é , ou seja, o teste é bilateral). No cruzamento da linha do n = 20 com a coluna do  = 0,05, 
acha-se o valor crítico T = 52, como mostra o esquema a seguir. 
 
Tabela A-8 – Valores críticos para o teste dos postos com sinais de Wilcoxon. 
N 
 
0,005 
(uma cauda) 
0,01 
(duas caudas) 
0,01 
(uma cauda) 
0,02 
(duas caudas) 
0,025 
(uma cauda) 
0,025 
(uma cauda) 
0,05 
(duas caudas) 
0,05 
(duas caudas) 
1 

 
20 52 
22 
 

 
25 
Logo, o valor crítico é T = 52. 
 
 
e) Conclusão 
 
Haja vista que ocorreu (T= 60) > (T = 52), não se rejeita H0 ao nível de significância de 5%. Portanto, a força 
de cisalhamento mediana da união dos dois tipos de propulsores é de 2000 psi. 
 
( 2 ) Quando perguntado sobre a temperatura média de um adulto sadio, todo mundo sempre responde que é de 
98,6ºF. Os dados a seguir são referentes a 106 temperaturas constantes obtidas por pesquisadores da Universidade 
de Maryland, ao meio dia, no segundo dia da pesquisa, de indivíduos adultos. Foi realizado o teste de normalidade e 
chegou-se à conclusão de que os dados não aderem à distribuição normal. Utilize o teste dos postos com sinais de 
Wilcoxon para testar a hipótese de que a temperatura corporal de indivíduos adultos sadios é inferior a 98,6ºF, 
utilizando o nível de significância de 5%. 
 
98,6 98,4 97,9 98,6 98,8 98,0 
98,8 98,4 98,0 98,6 97,5 97,6 
96,5 98,0 98,8 97,3 97,2 98,6 
99,6 97,0 97,1 97,4 99,0 97,6 
98,0 98,6 98,4 98,6 97,5 98,2 
96,9 98,7 99,0 98,8 98,4 98,4 
98,8 99,4 98,8 98,0 98,8 98,7 
98,6 98,0 98,9 98,4 97,6 99,2 
98,9 97,1 98,0 97,7 98,4 98,6 
98,0 97,8 98,6 99,5 98,0 98,3 
98,6 98,7 98,4 97,8 97,3 98,2 
98,6 98,6 97,1 98,0 98,4 98,2 
97,3 97,8 99,1 97,8 96,5 98,0 
98,7 98,0 97,9 99,4 97,6 98,5 
97,8 97,0 97,4 97,9 98,6 98,5 
97,6 97,4 98,4 98,7 98,0 98,5 
98,7 98,2 97,6 97,0 98,2 
 98,3 98,4 98,6 98,4 98,6 
 
a) Elaborar as hipóteses nula e alternativa 
6,98~:H0 
ºF (a temperatura corporal mediana de adultos saudáveis não é menor do que 98,6ºF) 
6,98~:H1 
ºF (a temperatura corporal mediana de adultos saudáveis é menor do que 98,6ºF) 
 
b) Calcular as diferenças (xi - 
0μ
) e anotar postos com sinais 
 
xi di = xi - 98,6 xi di = xi - 98,6 xi di = xi - 98,6 
98,6 0,0 98,0 -0,6 97,5 -1,1 
98,8 0,2 98,8 0,2 97,2 -1,4 
23 
 
96,5 -2,1 97,1 -1,5 99,0 0,4 
99,6 1,0 98,4 -0,2 97,5 -1,1 
98,0 -0,6 99,0 0,4 98,4 -0,2 
96,9 -1,7 98,8 0,2 98,8 0,2 
98,8 0,2 98,9 0,3 97,6 -1,0 
98,6 0,0 98,0 -0,6 98,4 -0,2 
98,9 0,3 98,6 0,0 98,0 -0,6 
98,0 -0,6 98,4 -0,2 97,3 -1,3 
98,6 0,0 97,1 -1,5 98,4 -0,2 
98,6 0,0 99,1 0,5 96,5 -2,1 
97,3 -1,3 97,9 -0,7 97,6 -1,0 
98,7 0,1 97,4 -1,2 98,6 0,0 
97,8 -0,8 98,4 -0,2 98,0 -0,6 
97,6 -1,0 97,6 -1,0 98,2 -0,4 
98,7 0,1 98,6 0,0 98,6 0,0 
98,3 -0,3 98,6 0,0 98,0 -0,6 
98,4 -0,2 98,6 0,0 97,6 -1,0 
98,4 -0,2 97,3 -1,3 98,6 0,0 
98,0 -0,6 97,4 -1,2 97,6 -1,0 
97,0 -1,6 98,6 0,0 98,2 -0,4 
98,7 0,1 98,8 0,2 98,4 -0,2 
99,4 0,8 98,0 -0,6 98,7 0,1 
98,0 -0,6 98,4 -0,2 99,2 0,6 
97,1 -1,5 97,7 -0,9 98,6 0,0 
97,8 -0,8 99,5 0,9 98,3 -0,3 
98,7 0,1 98,6 0,0 98,2 -0,4 
98,6 0,0 97,8 -0,8 98,2 -0,4 
97,8 -0,8 98,0 -0,6 98,0 -0,6 
98,0 -0,6 99,4 0,8 98,5 -0,1 
97,0 -1,6 97,9 -0,7 98,5 -0,1 
97,4 -1,2 98,7 0,1 98,5 -0,1 
98,2 -0,4 97,0 -1,6 97,8 -0,8 
98,4 -0,2 98,4 -0,2 
 97,9 -0,7 98,8 0,2 
 
 
 
 
 
 
 
di em ordem 
crescente 
Posto 
com sinal 
di em ordem 
crescente 
Posto 
com sinal 
di em ordem 
crescente 
Posto com 
sinal 
0,1 5 -0,3 -31 0,8 61 
0,1 5 -0,4 -36 -0,8 -61 
0,1 5 0,4 36 -0,9 -65,5 
0,1 5 0,4 36 0,9 65,5 
0,1 5 -0,4 -36 1 70 
0,1 5 -0,4 -36 -1 -70 
 
 
= 
24 
 
-0,1 -5 -0,4 -36 -1 -70 
-0,1 -5 -0,4 -36 -1 -70 
-0,1 -5 0,5 40 -1 -70 
0,2 19 -0,6 -48 -1 -70 
0,2 19 -0,6 -48 -1 -70 
-0,2 -19 -0,6 -48 -1,1 -74,5 
-0,2 -19 -0,6 -48 -1,1 -74,5 
-0,2 -19 -0,6 -48 -1,2 -77 
0,2 19 -0,6 -48 -1,2 -77 
-0,2 -19 -0,6 -48 -1,2 -77 
0,2 19 -0,6 -48 -1,3 -80 
-0,2 -19 -0,6 -48 -1,3 -80 
-0,2 -19 -0,6 -48 -1,3 -80 
0,2 19 -0,6 -48 -1,4 -82 
-0,2 -19 -0,6 -48 -1,5 -84 
-0,2 -19 0,6 47,5 -1,5 -84 
0,2 19 -0,6 -48 -1,5 -84 
-0,2 -19 -0,7 -56 -1,6 -87 
0,2 19 -0,7 -56 -1,6 -87 
-0,2 -19 -0,7 -56 -1,6 -87 
-0,2 -19 -0,8 -61 -1,7 -89 
-0,2 -19 0,8 61 -2,1 -90,5 
0,3 30,5 -0,8 -61 -2,1 -90,5 
-0,3 -31 -0,8 -61 
0,3 30,5 -0,8 -61 
 
 
c) Achar o valor da Estatística do teste 
T
+
 = ( 5 + 
. . .
 + 70) = 641 
T
- 
= ( 5 + 
. . .
 + 90,5) = 3545 
T = menor soma entre T
+ 
e T
-
 = 641 
Temos n =91 diferenças não nulas. Para n > 30 a estatística do teste é: 
24
)1n2)(1n(n
4
)1n(n
T
z



 
 
75,5
27,317
5,2194
24
)1912)(191(91
4
)191(91
641
z 





 
 
d) Achar o valor crítico 
 
25 
 
Temos n = 91 diferenças não nulas. Para n > 30, utiliza-se a tabela 2.2 da distribuição normal para achar o valor 
crítico z. Temos  = 0,05, então tentamos localizar o valor 0,05 no centro da tabela 2.2 da distribuição normal, ou o 
mais próximo, se esse valor não ocorrer. Os dois valores mais próximos de 0,05 são 0,0505 e 0,0495, os quais 
possuem a mesma diferença em relação a este. O primeiro valor (0,0505) fornece Z = 1,64 nas margens da tabela, o 
segundo valor (0,0495), fornece Z = 1,65, então, calcula-se a média aritmética dos dois valores de Z para achar o 
valor crítico Z/2 = 1,645, como mostra a figura a seguir. 
 
 Tabela 2.2 Distribuição normal reduzida (P(Z  -zc) ou P(Z  -zc) 
 
Uma vez que o sinal da hipótese H1 é “<”, oteste é unilateral à esquerda e a região de rejeição (R.R.) é igual a  = 
0,05, situando-se na extremidade esquerda (por isso foi utilizada a tabela 2.2)da distribuição normal, a partir de z = -
1,645, como mostra o gráfico a seguir. 
 
 
e) Conclusão 
 
Observa-se pelo gráfico que, o valor da estatística do teste Z = -6,92 cai na região de rejeição (R.R), então, 
rejeita-se H0 ao nível de significância de 5%. Portanto, há evidências amostrais para acreditarmos que a temperatura 
corporal mediana de adultos saudáveis é menor do que 98,6ºF. 
 
 
5.3.2 O teste dos postos com sinais de Wilcoxon para dados pareados 
 
Os procedimentos para o teste dos sinais envolvendo dados pareados são os seguintes: 
 
1 Elaborar as hipóteses nula e alternativa. O teste dos sinais para uma amostra ou teste da mediana, tem as 
seguintes hipóteses: 
26 
 
1º caso) 
0~:H d0 
 
 
0~:H d1 
 
2º caso) 
0~:H d0 
 
 
0~:H d1 
 
3º caso) 
0~:H d0 
 
 
0~:H d1 
 
Onde 
d
~
representa a mediana das diferenças 
 
 
2 Achar o valor da Estatística do teste 
 
Faça a soma dos postos com sinais negativos, em valor absoluto (T
-
). Faça a soma dos postos com sinais 
positivos (T
+
). Sendo, n é o número de diferenças não nulas, T = T
+
 se o teste for unilateral à direita (
0~:H d1 
), T 
= T
-
 se o teste for unilateral à esquerda (
0~:H d1 
) e T = menor das somas entre T
- e T+, se o teste for bilateral (
0~:H d1 
) temos: 
 
1º caso) Para n ≤ 30 a estatística do teste é T , ou 
2º caso) Para n > 30 a estatística do teste será: 
24
)1n2)(1n(n
4
)1n(n
T
z



 
3 Achar o valor crítico 
 
1º caso) Para n ≤ 30, o valor crítico X é achado na tabela A-8, em anexo. 
2º caso) Para n > 30, o valor crítico Z é achado na tabela 2.2 da distribuição normal. 
 
 
4 Conclusão 
 
1º caso) Para n ≤ 30, se estatística do teste “x” for menor do que ou igual ao valor crítico X, rejeita-se 
0H
, 
caso contrário não se rejeita H0. 
2º caso) Para n > 30, se estatística do teste “z” cair na região de rejeição (R.R.), rejeita-se 
0H
, caso 
contrário não se rejeita H0. 
 
 
Exemplos 
 
 
( 1 ) Um engenheiro de automóveis está estudando dois tipos de aparelhos de medida por um sistema de injeção 
eletrônica a fim de determinar se eles diferem em seus desempenhos de milhagem de combustível. O aparelho 1 é 
instalado em 12 carros diferentes, e o teste é realizado em cada carro. O aparelho 2 é instalado, em seguida, nos 
mesmos 12 carros, e o mesmo teste é realizado em cada um deles. Supondo que os dados amostrais não aderem a 
distribuição normal (neste caso teste t para dados pareado não é adequado), aplique o teste dos sinais para verificar 
se os dois tipos de aparelhos diferem em seus desempenhos de milhagem de combustível. Use o nível de 
significância de 5%. Os dados do desempenho da milhagem de combustível são apresentados a seguir. 
 
27 
 
Aparelho 1 17,6 19,4 19,5 17,1 15,3 15,9 16,3 18,4 17,3 19,1 17,8 18,2 
Aparelho 2 16,8 20 18,2 16,4 16 15,4 16,5 18 16,4 20,1 16,7 17,9 
 
a) Elaborar as hipóteses nula e alternativa 
 
 
0~:H d0 
(os dois tipos de aparelhos não diferem em seus desempenhos de milhagem de combustível)
0~:H d1 
(os dois tipos de aparelhos diferem em seus desempenhos de milhagem de combustível) 
 
b) Calcular as diferenças di = X1i – X2i e atribuir os postos com sinais 
 
Para cada par de dados, ache a diferenças di = X1i – X2i, com i = 1, . . ., n . Conserve os sinais, mas ignore 
quaisquer pares para os quais di = 0. Ignore os sinais das diferenças e ordene-as da menor para a maior. Logo após, 
atribua os postos a cada diferença, mantendo o sinal da diferença. Quando as diferenças tiverem o mesmo valor 
numérico, associe a elas a média dos postos envolvidos no empate. 
 
Aparelho 1 17,6 19,4 19,5 17,1 15,3 15,9 16,3 18,4 17,3 19,1 17,8 18,2 
Aparelho 2 16,8 20 18,2 16,4 16 15,4 16,5 18 16,4 20,1 16,7 17,9 
di = X1i – X2 i 0,8 -0,6 1,3 0,7 -0,7 0,5 -0,2 0,4 0,9 -1 1,1 0,3 
di (ordem crescente em valor absoluto) -0,2 0,3 0,4 0,5 -0,6 0,7 -0,7 0,8 0,9 -1,0 1,1 1,3 
Posto com sinal -1 +2 +3 +4 -5 6,5 -6,5 8 9 -10 11 12 
 
c) Achar o valor da Estatística do teste 
T
-
 = soma dos postos negativos em valor absoluto = 1 + 5 + 6,5 + 10 = 22,5 
T
+
 = soma dos postos positivos = 2 + 3 + 4 + 6,5 + 8 +9 + 11 +12 = 55,5 
T = menor das somas entre T
- e T+ = 22,5 
 
d) Achar o valor crítico 
Temos n = 12 pares com diferenças não nulas. Para n ≤ 30, no teste dos postos com sinais de Wilcoxon 
utiliza-se a tabela A-8 para achar o valor crítico T. Na margem esquerda dessa tabela procure n = 12. O nível de 
significância é de 5%. Então, na margem superior procure  = 0,05 (duas caudas, porque o sinal de H1 é “”, ou 
seja, o teste é bilateral). No cruzamento da linha do n = 12 com a coluna do  = 0,05, acha-se o valor crítico T = 14, 
como mostra o esquema a seguir. 
 
Tabela A-8 – Valores críticos para o teste dos sinais. 
28 
 
N 
 
0,005 
(uma cauda) 
0,01 
(duas caudas) 
0,01 
(uma cauda) 
0,02 
(duas caudas) 
0,025 
(uma cauda) 
0,025 
(uma cauda) 
0,05 
(duas caudas) 
0,05 
(duas caudas) 
1 

 
12 14 

 
30 
 
Logo, o valor crítico é T = 14. 
 
 
e) Conclusão 
 
Haja vista que ocorreu (T= 22,5) > (T = 14), não se rejeita H0 ao nível de significância de 5%. Portanto, os 
dois tipos de aparelhos não diferem em seus desempenhos de milhagem de combustível. 
 
( 2 ) Dois tipos de pontas podem ser usados em um teste de dureza de Rockwell. São selecionados aleatoriamente, 
32 corpos de prova de lingote, de uma liga à base de níquel, e cada um é testado duas vezes, uma com cada tipo de 
ponta. As leituras das durezas da escala C Rockwell são mostradas a seguir. Admitindo que os dados não seguem a 
distribuição normal (neste caso o teste t para dados parados não é adequado), use o teste dos postos com sinais de 
Wilcoxon ao nível de significância de 5%, para determinar se os dois tipos de pontas produzem leituras de dureza 
equivalentes. 
 
Corpo de prova Ponta 1 Ponta 2 Corpo de prova Ponta 1 Ponta 2 
1 62 65 18 63 62 
2 59 57 19 54 54 
3 52 61 20 58 58 
4 59 51 21 58 59 
5 57 54 22 58 58 
6 51 58 23 58 52 
7 60 54 24 58 54 
8 57 58 25 59 58 
9 54 62 26 56 49 
 
Corpo de prova Ponta 1 Ponta 2 Corpo de prova Ponta 1 Ponta 2 
10 57 60 27 63 58 
11 58 55 28 61 54 
12 54 56 29 59 51 
13 61 56 30 63 55 
14 55 52 31 57 62 
15 62 50 32 50 55 
16 55 56 33 53 55 
17 58 54 34 54 56 
 
a) Elaborar as hipóteses nula e alternativa 
 
29 
 
0~:H d0 
(os dois tipos de pontas produzem leituras de dureza equivalentes) 
0~:H d1 
(os dois tipos de pontas produzem leituras de dureza diferentes) 
 
b) Calcular as diferenças di = X1i – X2i e atribuir os postos com sinais 
 
Para cada par de dados, ache a diferenças di = X1i – X2i, com i = 1, . . ., n . Conserve os sinais, mas ignore 
quaisquer pares para os quais di = 0. 
 
Corpo de prova Ponta 1 Ponta 2 di =X1i –x2i Corpo de prova Ponta 1 Ponta 2 di =X1i –x2i 
1 62 65 -3 18 63 62 1 
2 59 57 2 19 54 54 0 
3 52 61 -9 20 58 58 0 
4 59 51 8 21 58 59 -1 
5 57 54 3 22 58 58 0 
6 51 58 -7 23 58 52 6 
7 60 54 6 24 58 54 4 
8 57 58 -1 25 59 58 1 
9 54 62 -8 26 56 49 7 
10 57 60 -3 27 63 58 5 
11 58 55 3 28 61 54 7 
12 54 56 -2 29 59 51 8 
13 61 56 5 30 63 55 8 
14 55 52 3 31 57 62 -5 
15 62 50 12 32 50 55 -5 
16 55 56 -133 53 55 -2 
17 58 54 4 34 54 56 -2 
 
Ignore os sinais das diferenças e ordene-as da menor para a maior. Logo após, atribua os postos a cada 
diferença, mantendo o sinal da diferença. Quando as diferenças tiverem o mesmo valor numérico, associe a elas a 
média dos postos envolvidos no empate. 
 
 
 
Corpo de prova di crescente Posto com sinal Corpo de prova di crescente Posto com sinal 
8 -1 -3 13 5 18,5 
16 -1 -3 27 5 18,5 
18 1 3 31 -5 -18,5 
21 -1 -3 32 -5 -18,5 
25 1 3 7 6 21,5 
2 2 7,5 23 6 21,5 
12 -2 -7,5 6 -7 -24 
33 -2 -7,5 26 7 24 
34 -2 -7,5 28 7 24 
 
 
= 
30 
 
1 -3 -12 4 8 27,5 
5 3 12 9 -8 -27,5 
10 -3 -12 29 8 27,5 
11 3 12 30 8 27,5 
14 3 12 3 -9 -30 
17 4 15,5 15 12 31 
24 4 15,5 
 
c) Achar o valor da Estatística do teste 
T
-
 = soma dos postos negativos em valor absoluto 
T
-
 = 3 + 3 + 3 + 7,5 + 7,5 + 7,5 + 12 + 12 + 18,5 + 18,5 + 24 + 27,5 + 30 
T
-
 = 174 
T
+
 = soma dos postos positivos 
T
+
 = 3 + 3 + 7,5 + 12 + 12 + 12 + 15,5 + 16,5 + 18,5 + 18,5 + 21,5 + 21,5 + 24 + 24 +27,5 + 27,5 + 27,5 + 31 
T
+
 = 323 
 T = menor das somas entre T
- e T+ = 174 
Temos n = 31 pares com diferença não nula. Para n > 30 a estatística do teste é: 
24
)1n2)(1n(n
4
)1n(n
T
z



 
45,1
0294,51
74
24
)1312)(131(31
4
)131(31
174
z 





 
 
d) Achar o valor crítico 
Temos n = 31 pares com diferença não nula. No teste dos postos com sinais de Wilcoxon, para n > 30, utiliza-se 
a tabela 2.2 da distribuição normal para achar o valor crítico z. Temos  = 0,05, como o teste é bilateral, devido à 
ocorrência do sinal  em H1, calcula-se /2 = 0,05/2 =0,025. No centro da tabela 2.2 da distribuição normal, procura-
se o valor 0,025. Na margem esquerda e na mesma linha do valor 0,025 ocorre o valor 1,9 na margem superior e na 
mesma colunado valor 0,025, ocorre o valor 6, portanto Z/2 = 1,96 como mostra o esquema seguir. 
 
 Tabela 2.2 Distribuição normal reduzida (P(Z  -zc) ou P(Z  -zc)) 
31 
 
 
Uma vez que o sinal da hipótese H1 é “”, o teste é bilateral e a região de rejeição (R.R.) é igual a  = 0,05, sendo 
dividida em duas partes de 0,025, situando-se nas extremidades esquerda e direita da distribuição normal (por isso 
foi utilizada a tabela 2.2), aparecendo à esquerda de -1,96 e à direita de 1,96, como mostra a figura a seguir. 
 
 
 
e) Conclusão 
 
Observa-se pelo gráfico que, o valor da estatística do teste Z = -1,45 cai na região de aceitação (R.A.), 
portanto, não se rejeita-se H0 ao nível de significância de 5%. Portanto, há evidências amostrais para acreditarmos 
que os dois tipos de pontas produzem leituras de dureza equivalentes. 
 
5.4 O teste da soma dos postos de Wilcoxon para duas amostras independentes 
 
Nesta seção é estudado o teste da soma dos postos de Wilcoxon, um teste não paramétrico de que dois 
conjuntos independentes de dados amostrais provenham de populações com a mesma distribuição. Vale lembrar 
que, duas amostras são independentes se os valores selecionados de uma população não estão associados de 
alguma forma com os valores amostrais da outra população. 
 
 
 
 
 
O teste da soma dos postos de Wilcoxon é um teste não paramétrico que usa os postos de dados amostrais de 
duas populações independentes. A hipótese nula desse teste é: 
Definição 
32 
 
210
~~:H 
(as duas medianas populacionais são iguais) 
 
Conceito básico: O teste da soma dos postos de Wilcoxon é equivalente ao teste U de Mann-Whitney, que é 
incluído em alguns livros e programas computacionais, como o Minitab. A ideia fundamental do teste da soma dos 
postos de Wilcoxon é a seguinte: Se duas amostras são extraídas de populações idênticas e se associam postos a 
todos os valores individuais combinados em um único conjunto de dados, então os postos altos e baixos devem se 
distribuir igualmente entre as duas amostras, nesse caso, as duas medianas populacionais são iguais. Se os postos 
baixos se concentrarem predominantemente em uma amostra e os altos, na outra, suspeitamos de que as duas 
populações não sejam idênticas, isto é, as duas medianas populacionais não são iguais. 
 
Teste da soma dos postos de Wilcoxon 
Suposições 
1. Ha duas amostras independentes de dados selecionados aletoriamente. 
2. Não ha qualquer exigência de que as duas populações tenham distribuição normal ou qualquer outra distribuição 
particular. 
 
Notação 
1. n1 e n2 são os tamanhos das amostras 1 e 2, respectivamente . 
2. R1 e R2 são as somas dos postos das amostras 1 e 2, respectivamente . 
3. R
 
= R1 = soma dos postos da amostra 1. 
4. R e R, são, respectivamente, a média e o desvio padrão dos valores amostrais de R que são esperados quando 
as duas populações são idênticas. 
 
Estatística do teste 
Sendo n o número de diferenças não nulas: 
1º caso) Sendo n1 ≤ n2, para n1 ≤ 10 ou n1 ≤ 10, ou ambos, a estatística do teste será representada por R1 
e R2. 
2º caso) Para n1 > 10 e n2 > 10 a estatística do teste será: 
1R
1R1Rz



, em que: 
2
)1nn(n 211
1R


 e 
12
)1nn(nn 2121
1R


 
Valores Críticos 
1 Se n1 ≤ 10 ou n2 ≤ 10, om ambos, o valor crítico R é encontrado na tabela IX, em anexo. 
2 Se n1 > 10 e n2 > 10, os valores crítico de z são achados na tabela 2.2 da distribuição normal. 
 
Os procedimentos para o teste da soma dos postos de Wilcoxon para amostras independentes são os 
seguintes: 
 
1 Elaborar as hipóteses nula e alternativa. 
 
33 
 
O teste da soma dos postos de Wilcoxon, tem as seguintes hipóteses: 
a) 
210
~~:H 
 
 
211
~~:H 
 
b) 
210
~~:H 
 
 
211
~~:H 
 
 
c) 
210
~~:H 
 
 
211
~~:H 
 
2 Atribuir os postos 
 
Sejam, 
11n1211
 x., . . , x,x
 e 
22n2221
 x., . . , x,x
, duas amostras aleatórias independentes de duas populações 
contínuas. Organize todas as n1 + n2 observações em uma única grande amostra, em ordem crescente, e atribua os 
postos. O menor valor recebe o posto 1, o segundo menor o posto 2, e assim por diante. Se houver empates entre 
postos, atribua a média dos postos. 
 
3 Achar o valor da Estatística do teste 
 
1º caso) para n1 ≤ 10 ou n2 ≤ 10, ou ambos, a estatística do teste será representada por R1 e R2: 
R1 = menor soma dos postos 
R2 = n1(n1 +n2 +1) – R1 
 
2º caso) Para n1 > 10 e n2 > 10, a estatística do teste será: 
R
RRz



 em que: 
R1 = soma dos postos da amostra 1, R2 = soma dos postos da amostra 2, R = R1, 
2
)1nn(n 211
R


 e 
12
)1nn(nn 2121
R


 
 
4 Achar o valor crítico 
1º caso) para n1 ≤ 10 ou n2 ≤ 10, ou ambos, R é achado na tabela XI, em anexo. 
2º caso) Para n1 > 10 e n2 > 10, o valor crítico Z é achado na tabela 2.2 da distribuição normal. 
 
5 Conclusão 
 
1º caso) para n1 ≤ 10 ou n2 ≤ 10, ou ambos. 
a) Para 
211
~~:H 
se R1  R ou R2  R, rejeita-se H0, caso contrário não se rejeita H0. 
b) Para 
211
~~:H 
 se R1  R, rejeita-se H0, caso contrário não se rejeita H0. 
c) Para 
211
~~:H 
 se R2  R, rejeita-se H0, caso contrário não se rejeita H0. 
 
2º caso) Para n1 > 10 e n2 > 10, se estatística do teste “z” cair na região de rejeição (R.R.), rejeita-se 
0H
, 
caso contrário não se rejeita H0. 
 
 
Exemplos 
 
34 
 
( 1 ) Está sendo estudado o esforço axial médio em membros extensíveis usados nas estrutura de aeronaves. Duas 
ligas estão sendo investigadas. A liga 1 é um materialtradicional, e a liga 2 é uma nova liga de alumínio e lítio, muito 
mais leve do que o material padrão. Dez espécimes de cada liga são testados, medindo o esforço axial em psi. Os 
dados amostrais estão reunidos na ta bela a seguir. Testar a afirmação de que ambas as ligas apresentam o mesmo 
esforço axial médio, ao nível de significância de 5%. 
 
Liga 1 Liga 2 
3238 3254 3261 3248 
3195 3229 3187 3215 
3246 3225 3209 3226 
3190 3217 3212 3240 
3204 3241 3258 3234 
 
a) Elaborar as hipóteses nula e alternativa. 
 
O teste da soma dos postos de Wilcoxon, tem as seguintes hipóteses: 
210
~~:H 
(ambas as ligas apresentam o mesmo esforço axial médio). 
211
~~:H 
(As ligas não apresentam o mesmo esforço axial médio). 
 
b) Atribuir os postos 
Sejam, 
11n1211
 x., . . , x,x
 e 
12n2221
 x., . . , x,x
, duas amostras aleatórias independentes de duas populações 
contínuas. Organize todas as n1 + n2 observações em uma única grande amostra, em ordem crescente, e atribua os 
postos. O menor valor recebe o posto 1, o segundo menor o posto 2, e assim por diante. Se houver empates entre 
postos, atribua a média dos postos. 
Número da liga Tensão Axial Posto Número da liga Tensão Axial Posto 
2 3187 1 1 3229 11 
1 3190 2 2 3234 12 
1 3195 3 1 3238 13 
1 3204 4 2 3240 14 
2 3209 5 1 3241 15 
2 3212 6 1 3246 16 
2 3215 7 2 3248 17 
1 3217 8 1 3254 18 
1 3225 9 2 3258 19 
2 3226 10 2 3261 20 
 
3 Achar o valor da Estatística do teste 
 
Temos n1 = n2 = 10. Sendo n1  n2, para n1 ≤ 10 ou n1 ≤ 10, ou ambos, a estatística do teste será representada 
por R1 e R2. 
35 
 
 
R1 = menor soma dos postos 
R1 = (2 + 3 +4 + 8 + 9 + 11 + 13 + 15 + 16 + 18) = 99 
R2 = n1(n1 +n2 +1) – R1 
R2 = 10 (10 + 10 + 1) - 99 = 111 
 
4 Achar o valor crítico 
Temos n1 = n2 = 10. Para n1 ≤ 10 ou n2 ≤ 10, ou ambos, o valor crítico R é achado na tabela XI, em anexo, 
como mostra a figura a seguir: 
Tabela XI – Valores críticos para o Teste de Wilcoxon de duas amostras R*0,05. 
 
 
5 Conclusão 
 
Temos n1 = n2 = 10 para n1 ≤ 10 ou n2 ≤ 10, ou ambos. Para 
211
~~:H 
se R1  R ou R2  R, rejeita-se 
0H
, caso contrário não se rejeita H0. 
Como ambos R1 = 99 e R2 = 111 são maiores do que R = 78, não se rejeita H0 ao nível de significância de 5%. 
Portanto, ambas as ligas apresentam o mesmo esforço axial médio. 
 
 
( 2 ) Um engenheiro eletricista deve projetar um circuito que forneça a quantidade máxima de corrente de um tubo de 
imagem para se alcançar brilho suficiente da imagem. Dentro de suas restrições de projeto ele desenvolve dois tipos 
de circuitos candidatos e testa os protótipos de cada um. Os dados resultantes (em microampères) são mostrados a 
seguir: 
 
Protótipo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
Circuito 1 251 255 258 257 250 251 254 250 248 252 253 255 256 
Circuito 2 250 253 249 256 259 252 260 251 258 250 251 
 
Use o este da soma dos postos de Wilcoxon para testar se a corrente mediana do circuito 1 é menor do que a 
corrente mediana do circuito 2. Use  = 0,05. 
 
 
1 Elaborar as hipóteses nula e alternativa. 
 
210
~~:H 
(a corrente mediana do circuito 1 é igual a corrente mediana do circuito 2). 
211
~~:H 
(a corrente mediana do circuito 1 é menor do que a corrente mediana do circuito 2). 
36 
 
 
2 Atribuir os postos 
 
Sejam, 
11n1211
 x., . . , x,x
 e 
12n2221
 x., . . , x,x
, duas amostras aleatórias independentes de duas populações 
contínuas. Organize todas as n1 + n2 observações em uma única grande amostra, em ordem crescente, e atribua os 
postos. O menor valor recebe o posto 1, o segundo menor o posto 2, e assim por diante. Se houver empates entre 
postos, atribua a média dos postos. 
Circuito X Postos Postos 
1 248 1 1 
2 249 2 2 
1 250 3 4,5 
1 250 4 4,5 
2 250 5 4,5 
2 250 6 4,5 
1 251 7 8,5 
1 251 8 8,5 
2 251 9 8,5 
2 251 10 8,5 
1 252 11 11,5 
2 252 12 11,5 
1 253 13 13,5 
2 253 14 13,5 
1 254 15 15 
1 255 16 16,5 
1 255 17 16,5 
1 256 18 18,5 
2 256 19 18,5 
1 257 20 20 
1 258 21 21,5 
2 258 22 21,5 
2 259 23 23 
2 260 24 24 
 
3 Achar o valor da estatística do teste 
Temos n1 = 13 e n2 = 11. Para n1 > 10 e n2 > 10, a estatística do teste será: 
R
RRz



 em que: 
R1 = soma dos postos da amostra 1 
R1 = 1 + 4,5 + 4,5 + 8,5 + 8,5 + 11,5 + 13,5 + 15 + 16,5 + 16,5 + 18,5 + 20 + 21,5 = 160 
R2 = soma dos postos da amostra 2 
R2 = 2 + 4,5 + 4,5 + 8,5 + 8,5 + 11,5 + 13,5 + 18,5 + 21,5 + 23 + 24 = 140 
R = R1 = 160 
 
 
= , 
= , 
37 
 
5,162
2
)11113(13
2
)1nn(n 211
R 




 
 
2603,17
12
)11113(1113
12
)1nn(nn 2121
R 




 
 
1448,0
2603,17
5,162160R
z
R
R 





 
 
4 Achar o valor crítico 
Temos n1 = 13 e n2 = 11. Para n1 > 10 e n2 > 10, o valor crítico Z é achado na tabela 2.2 da distribuição normal. 
Temos  = 0,05, então tentamos localizar o valor 0,05 no centro da tabela 2.2 da distribuição normal, ou o mais 
próximo, se esse valor não ocorrer. Os dois valores mais próximos de 0,05 são 0,0505 e 0,0495, os quais possuem a 
mesma diferença em relação a este. O primeiro valor (0,0505) fornece Z = 1,64 nas margens da tabela, o segundo 
valor (0,0495), fornece Z = 1,65, então, calcula-se a média aritmética dos dois valores de Z para achar o valor crítico 
Z/2 = 1,645, como mostra a figura a seguir. 
 
 Tabela 2.2 Distribuição normal reduzida (P(Z  -zc) ou P(Z  -zc) 
 
 
Uma vez que o sinal da hipótese H1 é “<”, o teste é unilateral à esquerda e a região de rejeição (R.R.) é igual a  = 
0,05, situando-se na extremidade esquerda (por isso foi utilizada a tabela 2.2) da distribuição normal, a partir de z = -
1,645, como mostra o gráfico a seguir. 
 
38 
 
 
 
 
5 Conclusão 
 
Temos n1 = 13 e n2 = 11. Para n1 > 10 e n2 > 10, se estatística do teste “z” cair na região de rejeição (R.R.), 
rejeita-se 
0H
, caso contrário não se rejeita H0. Observa-se que z = -0,1448 cai na região de aceitação (R.A), então 
não se rejeita H0 ao nível de significância de 5%. Portanto, a corrente mediana do circuito 1 é igual a corrente 
mediana do circuito 2. 
 
 
5.5 O teste de Kruskal-Wallis 
 
O teste de Kruskal-Wallis é usado para testar a hipótese nula de que três ou mais amostras independentes 
provêm de populações idênticas. A ideia é a de que, se as populações que estão sendo comparadas, são idênticas, 
suas médias também o são. Esse teste é uma alternativa ao teste F paramétrico (análise de variância envolvendo um 
fator). A vantagem do teste de Kruskall-Wallis em relação ao teste F, é a de que o mesmo não exige que as 
populações envolvidas tenham distribuição normal. 
 
 
 
O teste de Kruskal-Wallis é um teste não paramétrico que usa os postos de dados amostrais de três ou mais 
populações independentes. As hipóteses nula e alternativa desse teste são: 
a210 :H  
(as médias populacionais são iguais). 
:H1
Pelo menos uma das médias 
i
é diferente das demais. 
 
Teste teste de Kruskal-Wallis 
Suposições 
1. Temos pelo menos três amostras independentes, todas elas selecionadas aletoriamente. 
2. Cada amostra tem pelos menos cinco observações. (Se as amostras tiverem menos de cinco observações, 
consulte as tabelas especiais de valores críticos, como CRC Standard Probabilities and Statistics Tables and 
formulae, publicado por CRC Press) 
Definição 
39 
 
3. Não há qualquer exigência de que as duas populações tenham distribuição normal ou qualqueroutra distribuição 
particular. 
 
Notação 
1. N = número total de observações em todas as amostras. 
2. a = número de grupos que estão sendo comparados, ou número de amostras. 
3. Ri é a soma dos postos da i-ésima amostra. 
4. Rij é o posto da j-ésima observação da i-ésima amostra. 
5. ni = tamanho da i-ésima amostra. 
Estatística do teste 
A estatística do teste é: 
)1N(3
n
R
)1N(N
12
H
a
1i i
2
i 

 

 
 
Valores Críticos 
1 O teste é unilateral à direita. 
2 Como a estatística H pode ser aproximada por uma distribuição qui-quadrado com  = a – 1 graus de liberdade, 
onde “a’ é o número de amostras, utiliza-se a tabela 5.2 da distribuição qui-quadrado para achar o valor crítico. 
 
Os procedimentos para o teste de Kruskal-Wallis são os seguintes: 
 
1 Elaborar as hipóteses nula e alternativa. 
 
a210 :H  
(as médias populacionais são iguais). 
:H1
Pelo menos uma das médias 
i
, com i = 1, 2, . . .,a é diferente das demais. 
 
2 Atribuir os postos 
Observe todas as N = n1 + n2 . . . +na observações como se fosse uma única grande amostra, em ordem 
crescente, e atribua os postos. O menor valor recebe o posto 1, o segundo menor o posto 2, e assim por diante. Se 
houver empates entre postos, atribua a média dos postos. 
 
3. Achar o valor da Estatística do teste 
 
Seja N o número total de observações de todas as amostras. Combine temporariamente as N observações 
em única grande amostra, em ordem crescente, e atribua os postos. O menor valor recebe o posto 1, o segundo 
menor o posto 2, e assim por diante. Se houver empates entre postos, atribua a média dos postos envolvidos. 
Calcule a soma dos postos de cada amostra e o valor da estatística do teste, a qual é dada por: 
 
)1N(3
n
R
)1N(N
12
H
a
1i i
2
i 

 

 
Em que: 
N = número total de observações em todas as amostras. 
40 
 
a = número de grupos que estão sendo comparados, ou número de amostras. 
Ri é a soma dos postos da i-ésima amostra. 
ni = tamanho da i-ésima amostra. 
 
4 Achar o valor crítico e a região de rejeição 
A estatística H pode ser aproximada por uma distribuição qui-quadrado com  = a – 1 graus de liberdade, 
onde “a’ é o número de amostras. Então, utiliza-se a tabela 5.2 da distribuição qui-quadrado para achar o valor crítico 
2

. O teste de Kruskal-Wallis é sempre unilateral à direita, logo, a região de região rejeição (R.R.) é igual a  e fica a 
direita de 
2

, como mostra o gráfico a seguir. 
 
5 Conclusão 
Se ocorrer H > 
2

, H cairá na região de região rejeição (R.R), como mostra o gráfico acima, então H0 será 
rejeitada ao nível de significância adotado. Se ocorrer H < 
2

, H cairá na região de região aceitação (R.A) e H0 não 
será rejeitada. 
 
Exemplo 
Em Design and Analysis of experiments, 5ª Edição (John Wiley & Sons, 2001), D. C. Montgomery apresenta 
dados de um experimento, no qual cinco níveis diferentes de conteúdo de algodão em uma fibra sintética foram 
testados para determinar se o conteúdo de algodão tem efeito sobre a força de tração da fibra. Os dados amostrais 
são apresentados a seguir. Use o nível de significância de 1%. 
Porcentagem de algodão 
15% 20% 25% 30% 35% 
7 12 14 19 7 
7 17 18 25 10 
15 12 18 22 11 
11 18 19 19 15 
9 18 19 23 11 
41 
 
1 Elaborar as hipóteses nula e alternativa. 
 
543210
~~~~~:H 
(o conteúdo de algodão não tem feito sobre a força de tração da fibra). 
:H1
Pelo menos uma das médias 
i
, com i =1, 2, 3, 4, 5 é diferente das demais (o conteúdo de algodão tem 
efeito sobre a força de tração da fibra). 
 
2 Atribuir os postos 
 
Seja N o número total de observações de todas as amostras. Combine temporariamente as N observações 
em única grande amostra, em ordem crescente, e atribua os postos. O menor valor recebe o posto 1, o segundo 
menor o posto 2, e assim por diante. Se houver empates entre postos, atribua a média dos postos envolvidos. 
Calcule a soma dos postos de cada amostra e o valor da estatística do teste, a qual é dada por: 
 
 
 
 
Porcentagem de algodão 
15 20 25 30 35 
Tração R
1j
 Tração R
2j
 Tração R
3j
 Tração R
4j
 Tração R
5j
 
7 2 12 9,5 14 11,0 19 20,5 7 2 
7 2 17 14 18 16,5 25 25 10 5 
15 12,5 12 9,5 18 16,5 22 23 11 7 
11 7 18 16,5 19 20,5 19 20,5 15 12,5 
9 4 18 16,5 19 20,5 23 24 11 7 
Ri 27,5 
66,0 
 
85 
 
113 
 
33,5 
 
3 Achar o valor da Estatística do teste 
 
A estatística do teste é: 
)1N(3
n
R
)1N(N
12
H
a
1i i
2
i 

 

 
 
7,5245
5
5,33
5
113
5
85
5
66
5
5,27
n
R 22222a
1i i
2
i 

 
84,18
4
)26(25
7,5245
2625
1
H
2





 
 
4 Achar o valor crítico e a região de rejeição 
A estatística H pode ser aproximada por uma distribuição qui-quadrado com  = a – 1 graus de liberdade, 
onde “a’ é o número de amostras. Então, utiliza-se a tabela 5.2 da distribuição qui-quadrado para achar o valor crítico 
 
 
= 
 
 
42 
 
2

. Como ha 5 amostras e o nível de significância é de 1%, na margem esquerda da tabela 5.2 da distribuição qui 
quadrado, procure  = a – 1 = 5 – 1 = 4 e na margem superior procure  = 0,01. No cruzamento da linha do  = 4 
coma coluna do  = 0,01, acha-se 
2

=13,277, como mostra a figura a seguir. 
 
O teste de Kruskal-Wallis é sempre unilateral à direita, logo, a região de região rejeição (R.R.) é igual a  = 
0,01 e fica a direita de 
2

=13,277, como mostra o gráfico a seguir. 
 
 
5 Conclusão 
 
Haja vista que ocorreu (H =18,84) >(
2

=13,277), H caiu na região de região rejeição (R.R), como mostra o 
gráfico acima, então rejeita-se H0 ao nível de significância de 1%. Portanto, temos evidências amostrais pra acreditar 
que o conteúdo de algodão tem efeito sobre a força de tração da fibra. 
 
5.6 Sequência de Exercícios 
 
01. Extrai-se uma amostra de 10 exemplares de um banho de galvanização usado em um processo de fabricação 
eletrônica e mede-se o pH do banho. Os valores da amostra são listados a seguir. 
 
7,91 7,85 6,82 8,01 7,46 6,95 7,05 7,35 7,25 7,42 
 
43 
 
A engenharia de produção acredita que o pH tenha um valor mediano de 7,0. Os dados amostrais indicam que essa 
afirmativa esteja correta? Use o teste dos sinais para investigar essa hipótese. Use o nível de significância de 5%. 
Siga o roteiro abaixo: 
 
a) Elabore as hipóteses Ho e H1. 
b) Calcule as diferenças e atribua os sinais. 
c) Ache o valor da Estatística do teste. 
d) Ache o valor crítico. Se necessário, ache a região de rejeição. 
e) Dê a conclusão. 
 
02. Considere os dados do exercício 1. Use o teste dos postos com sinais de Wilcoxon para testar se o pH mediano é 
7,0. Use o nível de significância de 5%. Siga o roteiro abaixo: 
a) Elabore as hipóteses Ho e H1. 
b) Calcule as diferenças e atribua os postos com sinais. 
c) Ache o valor da Estatística do teste. 
d) Ache o valor crítico. Se necessário, ache a região de rejeição. 
e) Dê a conclusão. 
 
03. O conteúdo de titânio de uma liga para aeronaves é um determinante importante para resistência. Uma amostra 
de 32 espécimes de coupons de teste revela os seguintes conteúdos de titânio (em porcentagem). 
8,32 8,05 8,93 8,65 8,25 8,46 8,52 8,35 8,36 8,41 8,42 8,30 8,71 8,75 8,60 8,60 
8,83 8,55 8,38 8,29 8,46 8,55 8,34 8,33 8,32 8,56 8,74 8,61 8,66 8,30 8,51 8,52 
O conteúdo mediano de titânio deveria ser 8,5%. Use o teste dos sinais para testar essa hipótese. Use o