Resistência dos Materiais - Esforços Internos Parte 2

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PROF. HUMBERTO RITT 
Esforços Internos – parte 2 
Esforços Internos 
3 
Diagramas de Esforços Internos 
Vigas são elementos estruturais projetados para 
suportar carregamentos aplicados perpendicularmente 
aos seus eixos (carregamento transversal). 
Em geral, as vigas são barras retas e longas, com uma 
área de seção transversal constante. 
As vigas são classificadas de acordo com seus apoios e 
estão, geralmente, sujeitas à esforço cortante e 
momento fletor. 
No caso de termos apenas momento fletor, é dita 
flexão pura. Se atuar também o esforço cortante, 
tem-se a flexão simples. Se, além destes, houver 
esforço normal, denomina-se flexão composta. 
Viga simplesmente apoiada ou biapoiada 
Viga em balanço ou engastada-livre 
Viga contínua 
5 
É preciso conhecer como variam o 
esforço cortante e normal, além do 
momento fletor ao longo da viga, 
indicando os valores máximos e 
onde estes ocorrem. 
 
Esta informação é usualmente 
apresentada através de gráficos ou 
diagramas (valor +/- e posição). 
 
6 
Diagramas 
Definição: 
Lugar geométrico das ordenadas 
representativas da intensidade e sinal de 
um determinado esforço na seção 
transversal, ao longo do elemento. 
 
7 
DEC - Diagrama de Esforço Cortante 
DEN - Diagrama de Esforço Normal 
DMF - Diagrama de Momento Fletor 
DMT - Diagrama de Momento Torsor 
Em estruturas planas tem-se, 
geralmente, o DEC, DEN e DMF. 
Em estruturas espaciais pode-se ter 
ainda o DMT. 
 
Viga biapoiada – carga distribuída Viga biapoiada – carga concentrada 
DEC 
DMF 
9 
Procedimento 
1. Determine as reações de apoio; 
2. Identifique as seções principais (pontos 
críticos); 
3. Determine os esforços nas seções 
principais; 
4. Construa os diagramas; 
5. Lembre-se que os valores são marcados 
perpendicularmente ao eixo do elemento. 
10 
Seções Principais 
1. Extremidades do elemento; 
2. Vínculos/Apoios; 
3. Pontos de aplicação de carga concentrada; 
4. Pontos de aplicação de momento; 
5. Início e fim de carga distribuída; 
6. Mudanças no valores da carga distribuída. 
11 
Regras básicas 
1. Os valores positivos para EC e EN são 
marcados “para cima” em barras 
horizontais e “para fora” em verticais; 
2. O momento fletor é marcado para o 
lado da fibra tracionada, sendo 
positivo, lembrando, quando traciona o 
lado interno ou inferior do elemento; 
3. É conveniente fazer os diagramas de 
esforço cortante e momento fletor 
abaixo do diagrama de corpo livre da 
viga, devidamente alinhados. 
Casos de descontinuidades: 
 
-no DMF: quando houver um carga 
momento aplicada; 
 
-no DEC: quando houver uma carga 
concentrada não paralela ao eixo; 
 
- no DEN: quando houver uma carga 
concentrada não perpendicular ao eixo. 
14 
Observações 
1. O DMF apresenta uma convexidade no 
sentido de aplicação da carga; 
2. No ponto onde o EC é nulo, 
corresponde a um valor de momento 
máximo no trecho; 
3. O DEC em um trecho descarregado 
será representado por um reta paralela 
ao eixo, enquanto que o DMF será 
representado por uma reta inclinada; 
4. Em um trecho com uma carga 
concentrada não paralela ao eixo, o 
DMF apresenta uma angulosidade e o 
DEC uma descontinuidade; 
 
5. Em um trecho com carga 
uniformemente distribuída, o DEC será 
representado por uma reta inclinada, 
enquanto que o DMF será uma 
parábola de segundo grau. 
Mmáx 
V = 0 V = 0 
Mmáx 
DEC 
DMF 
17 
RELAÇÕES ENTRE CARGA 
DISTRIBUÍDA, ESFORÇO CORTANTE E 
MOMENTO FLETOR 
Se a viga está sujeita a várias forças 
concentradas e/ou distribuídas, a utilização do 
método das seções torna-se bastante onerosa 
para a construção dos diagramas. 
Um método mais simples para construir estes 
diagramas baseia-se nas relações diferenciais 
existentes entre o carregamento, o esforço 
cortante e o momento fletor. 
18 
0 < k < 1 
Se w(x) for uniforme, k = 1/2 
19 
Aplicando-se as equações de 
equilíbrio, tem-se: 
20 
Dividindo-se a expressão ΔV = - w(x)Δx por Δx e 
fazendo o lim Δx 0 obtém-se: 
 
dV/dx = - w(x) 
 
Ou seja , a inclinação do diagrama de esforço cortante 
é igual à intensidade da carga distribuída aplicada no 
trecho. 
 Reescrevendo a equação na forma dV = -w(x)dx e integrando 
entre dois pontos quaisquer B e C, tem-se: 
 
Ou seja, a variação no esforço 
cortante é igual à área sob a 
curva de carregamento. 
RELAÇÃO ENTRE A CARGA DISTRIBUÍDA E O ESFORÇO CORTANTE 
21 
 
Assim, quando uma carga uniformemente distribuída q atua 
no trecho, o esforço cortante varia ao longo deste, com uma 
taxa de variação igual a -q. 
Esta relação somente pode ser aplicada diretamente em 
trechos sem carga concentrada, pois esta causa uma 
descontinuidade. 
 Vdir – Vesq = - área de carga 
Esta relação é utilizada para determinar a seção aonde o 
momento fletor é máximo no trecho, que corresponde à 
seção aonde o esforço cortante é nulo. 
22 
 
Vdir – Vesq = - área de carga 
 
0 – Vesq = - q.x 
 
Vdir = 0 
x 
 Vesq 
conhecido 
DEC 
Trecho de 
viga sujeito 
à carga 
distribuída q 
X = Vesq / q 
23 
RELAÇÃO ENTRE O ESFORÇO CORTANTE E O MOMENTO FLETOR 
Dividindo-se a expressão ΔM = VΔx – k w(x)Δx2 por 
Δx e fazendo o lim Δx 0 obtém-se: 
 
dM/dx = V 
 
Ou seja , a inclinação do diagrama de momento fletor é 
igual ao esforço cortante. 
 
Reescrevendo a equação na forma dM = Vdx e 
integrando entre dois pontos quaisquer B e C, tem-se: 
Ou seja, a variação no 
momento fletor é igual à área 
sob o diagrama de esforço 
cortante no trecho. 
24 
Esta relação somente pode ser aplicada diretamente em trechos 
sem carga momento, pois esta causa uma descontinuidade. 
 Mdir – Mesq = área do DEC 
Esta relação pode ser utilizada para determinar o valor do 
momento fletor máximo no trecho, que ocorre no ponto 
aonde a inclinação dM/dx = 0, que corresponde à seção aonde 
o esforço cortante é nulo. 
25 
 
V = 0 
DEC 
Trecho de 
viga sujeito 
à carga 
distribuída q 
Mdir = Mmáx 
DMF 
Mesq 
conhecido 
Vesq 
A DEC 
Mdir – Mesq = área do DEC 
26 
Pontos Importantes - Variações no EC e MF 
1. A variação no esforço cortante entre os 
pontos B e C é igual ao valor negativo da 
área sob a curva da carga distribuída entre 
esses pontos. 
2. A variação no momento fletor entre os 
pontos B e C é igual à área sob a curva do 
diagrama de forças cortantes na região BC. 
3. Não se aplicam a pontos onde atuam forças 
e momentos concentrados. 
27 
Força 
V 
V+V 
F 
x 
 
yF 0
V V V F 0
V F

    
  

A variação da força cisalhante é 
negativa, de modo que o 
diagrama de forças cisalhantes 
apresentará uma descontinuidade 
para baixo quando F atuar sobre 
a viga de cima para baixo. 
28 
Momento 
  O
O
M 0
M M M M 0
M M

     
 

A variação no momento fletor é 
positiva, ou o diagrama de 
momentos fletores apresentará 
uma descontinuidade para baixo 
se Mo estiver no sentido horário. 
M 
M+M 
MO 
x 
29 
Variações em Cortante e Momento 
1. Se w(x) é um polinômio de grau n, então V(x) 
é um polinômio de grau n+1, e M é uma 
curva de grau n+2 
2. w = 0 V= constante M=linear 
3. w=constante V= linear M=quadrática 
4. w=linear V= quadrática M=cúbica 
Regiões de força 
e momento 
concentrados 
 
Alguns dos casos 
comuns de 
carregamento 
31Regras para a construção dos diagramas de esforço cortante 
Exemplo: Determine o EC para x = 4 e x = 10 m. 
1. Uma carga concentrada causa uma descontinuidade 
(salto) no DEC no ponto de aplicação desta. 
32 
33 
Exemplo: Determine o EC para x = 5 e x = 16 m. 
Exemplo: Determine o EC para x = 1,5 e x = 3,5 m. 
2. A variação no EC entre duas seções é igual à área sob 
o diagrama de carga. 
Exemplo: Determine o EC para x = 2 e x = 15 m. 
Exemplo: Determine o valor de x para V = 0. 
X = V/q 
 
X = 27/6 
X = 4,5 m 
3. A inclinação do DEC é igual ao valor da carga 
distribuída aplicada no trecho. 
X = v/q 
53,3 – 40 = 13,3 
 
X = 13,3/10 + 4 
 
X = 5,33 m 
Exemplo: Determine o valor de x para V = 0. 
Regras para a construção dos diagramas de momento fletor 
 
 Seções com momento nulo 
4. A variação do momento fletor entre dois pontos é 
igual à área do DEC. 
Exemplo: Determine o M para x = 3 e x = 5,5 m. 
Exemplo: Determine o M para x = 5 e x = 12 m. 
5. A inclinação do diagrama de momento fletor é igual 
ao esforço cortante. 
Exemplo: Determine a posição e o valor do momento 
máximo positivo. 
6. Uma carga momento aplicada causa uma descontinuidade 
(salto) no DMF no ponto de aplicação desta. 
Exemplo: Faça o traçado do DMF para viga. 
Represente graficamente os diagramas de força cortante 
e momento fletor para a viga dada. 
Solução: 
Um diagrama de corpo livre do segmento esquerdo é mostrado abaixo. 
 
A aplicação das equações de equilíbrio produz: 
  (4) 
222
 ;0 
(3) 
2
0
2
 ;0
 xL
P
Mx
PL
xPMM
P
VVP
P
Fy














(2) 
2
 ;0
(1) 
2
 ;0
x
P
MM
P
VFy
O segmento esquerdo da viga se 
estende até a distância x na região BC. 
O DEC representa as equações 1 e 3  
O DMF representa as equações 2 e 4  
Represente graficamente os diagramas de força cortante 
e momento fletor para a viga dada. 




(2) )x-(Lx
2
q
2
 
2
 ;0
(1) qx -
2
 ;0
2xqxx
qL
MM
qL
VFy
O DEC representa a equação1 
O DMF representa a equação 2 
2
L
x 0 2x)-(L
2
q
0 
dx
dM




(2) )x-(Lx
2
q
2
 
2
 ;0
(1) qx -
2
 ;0
2xqxx
qL
MM
qL
VFy
Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento 
fletor para a viga mostrada na figura. 
Solução: 
A carga distribuída é substituída por sua força resultante. 
L
w
w
L
w
x
w 00 ou 
 
 





















(2) 0
3
1
2
1
23
 ;0
(1)
2
0
2
1
2
 ;0
00
2
0
22000
Mxx
L
xw
x
LwLw
M
 xL
L
w
VVx
L
xwLw
Fy
A intensidade da cargar triangular na seção é determinada por cálculo 
proporcional: 
A resultante do carregamento distribuído é determinada pela área sob o 
diagrama: 
O DEC representa a equação 1  
O DMF representa a equação 2  
Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento 
fletor para a viga mostrada. 
Solução: 
Duas regiões de x devem ser consideradas para se descreverem as 
funções de cisalhamento e momento da viga inteira. 
  (2) kNm 8075,5075,580 ;0
(1) kN 75,5075,5 ;0
m, 50
11
1





xMMxM
VVF
x
y
   
 
  (4) kNm 5,9275,155,2 
0
2
5
551575,580 ;0
(3) kN 575,150551575,5 ;0
m, 10m 5
2
2
2
2
21
22
1






 





xxM
M
x
xxM
xVVxF
x
y
O DEC representa as 
equações 1 e 3  
O DMF representa as 
equações 2 e 4  
Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento 
fletor para as vigas. 
57 
Represente 
graficamente os 
diagramas de força 
cortante e momento 
fletor para a viga. 
58 
59 
Represente 
graficamente os 
diagramas de força 
cortante e momento 
fletor para a viga. 
60 
61 
Determine as reações de apoio e construa o DEC e DMF para as vigas. 
Faça o DEC e DMF para as vigas. 
Obs.: os valores das reações de apoio foram fornecidos. 
Faça o DEC e DMF para as vigas. 
Obs.: os valores das reações de apoio foram fornecidos.