Resistência dos Materiais - Centróide Parte 1

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1 
PROF: HUMBERTO RITT 
MECÂNICA GERAL 
MECÂNICA DOS MATERIAIS 
 
2 
 
Centróide 
 e 
Centro de 
Gravidade 
3 
Objetivos 
Discutir os conceitos de centro de gravidade, 
centro de massa e centróide . 
Mostrar como determinar a localização destes 
centros, para um sistema discreto de 
partículas e para um corpo de forma 
arbitrária. 
4 
Centro de Gravidade 
O centro de gravidade G é o ponto que localiza a 
posição da aplicação do peso resultante de um sistema 
de partículas. 
 
Os pesos das partículas são considerados como um 
sistema de forças paralelas, que podem ser 
substituídas por um único peso resultante 
(equivalente) aplicado no ponto G. 
5 



n
1i
iR WW
Peso Resultante 
nn332211RR Wx
~Wx~Wx~Wx~Wx 
Coordenada x : 
nn332211RR Wy
~Wy~Wy~Wy~Wy 
Coordenada y: 
nn332211RR Wz
~Wz~Wz~Wz~Wz 
Coordenada z: 
6 











 
n
1i
i
i
n
1i
i
n
1i
i
i
n
1i
i
n
1i
i
i
n
1i
i
W
Wz~
z
W
Wy~
y
W
Wx~
x
i partícula da peso
i partícula da scoordenada~,~,~
gravidade de centro do scoordenada,,
i
iii
W
zyx
zyx
7 











 
n
1i
i
i
n
1i
i
n
1i
i
i
n
1i
i
n
1i
i
i
n
1i
i
m
mz~
z
m
my~
y
m
mx~
x
i partícula da massa
i partícula da scoordenada~,~,~
massa de centro do scoordenada,,
mi
zyx
zyx
iii
Centro de Massa 
8 
Centro de Gravidade, Centro 
de Massa e Centróide de um 
corpo 
Considerando o 
corpo rígido como 
um sistema 
composto de um 
número infinito de 
partículas 
9 

















 
1i
i
i
1i
i
1i
i
i
1i
i
1i
i
i
1i
i
W
Wz~
z
W
Wy~
y
W
Wx~
x
i partícula da peso
i partícula da scoordenada~,~,~
gravidade de centro do scoordenada,,
i
iii
W
zyx
zyx
10 







dW
dWz~
z
dW
dWy~
y
dW
dWx~
x
 
VdWd 



 volumede unidadepor peso
corpo do específico peso
11 















V
V
V
V
V
V
dV
dVz~
z
dV
dVy~
y
dV
dVx~
x
Centro de Gravidade 
12 















V
V
V
V
V
V
dV
dVz~
z
dV
dVy~
y
dV
dVx~
x
Centro de Massa 
A massa específica  está relacionada ao peso específico  
pela equação  = g. Substituindo esta relação nas equações e 
cancelando g (aceleração da gravidade), tem-se as equações 
para determinar o centro de massa. 
13 
CENTRÓIDE 
O centróide C é um ponto que define o centro 
geométrico de um objeto. 
Sua localização pode ser determinada a partir 
de expressões similares àquelas utilizadas para 
determinar o CG e o CM. 
14 







V
V
V
V
V
V
dV
dVz~
z
dV
dVy~
y
dV
dVx~
x
Centróide de um Volume 
15 







A
A
A
A
A
A
dA
dAz~
z
dA
dAy~
y
dA
dAx~
x
Centróide de uma Área 
16 







L
L
L
L
L
L
dL
dLz~
z
dL
dLy~
y
dL
dLx~
x
Centróide de uma Linha 
17 
Simetria 
• Quando a figura apresentar um eixo de 
simetria, o seu centróide localiza-se sobre este 
eixo. 
• Quando a figura apresentar dois ou mais 
eixos de simetria, o centróide localiza-se na 
interseção destes eixos. 
18 
19 
Pontos Importantes 
• O centróide representa o centro geométrico do 
corpo. Este ponto apenas coincide com o centro de 
massa ou centro de gravidade se o material do corpo 
for uniforme e homogêneo. 
• Em alguns casos (tubo, perfil C), o centróide é 
localizado em um ponto que não está sobre o objeto. 
•A determinação do centróide é importante para 
definir os eixos de uma peça, como uma viga, que 
serão usados para sua representação gráfica e para os 
quais serão calculados os momentos de inércia. 
20 
21 
y 
x 
b 
h 
y = (h/b) (b - x) 
C 
Localize o centróide da área do triângulo 
mostrado na figura. 
22 
 
 
yy~
yh
h
b
2
1
x~
dyyh
h
b
dA
dyxdA










23 
 
 
3
h
hb
2
1
hb
6
1
y
dyyh
h
b
dyyh
h
b
y
dA
dAy~
y
2
h
0
h
0
A
A




















24 
   
 
h
0A
h
A
0
2
1 b b
h y h y dyx dA
2 h h
x
bdA
h y dy
h
1
b h
b6x
1 3
b h
2
  
   
  
 
 
 
 
 

 
25 
y 
x 
b 
h 
y = (h/b) (b - x) 
 y~,x~
dy 
x 
Por Integrais Duplas 
26 
yy~
xx~
dydxdA



27 
3
h
hb
2
1
hb
6
1
y
bh
)xb(
b6
h
bh
dx)xb(
b2
h
y
bh
dx)xb(
b2
h
dydx
ydydx
dA
dAy~
y
2
2
1
3
2
2
2
1
b
0
2
2
2
2
1
b
0
2
2
2
b
0
)xb(
b
h
0
b
0
)xb(
b
h
0
A
A









 
 




28 
Localize o centróide da área sombreada 
limitada pelas curvas 
29 
 
 
 
 
ft5.0
6
1
12
1
dxxx
dxxxx
x
dxyy
dxyyx
dA
dAx~
x
1
0
2
1
0
2
1
0
12
1
0
12
A
A













Solução I 
 
xx~
dxyydA 12


30 
 
   
2
yy
2
yy
yy~
dxyydA
1212
1
12





31 
   
 
   
 
ft4.0y
6
1
60
4
dxxx
dxxx
2
xx
y
dxyy
dxyy
2
yy
dA
dAy~
y
1
0
2
1
0
2
2
1
0
12
1
0
12
12
A
A










 







 







32 
Solução II 
 
   
2
xx
2
xx
xx~
dyxxdA
2121
2
21





33 
   
 
 
 
 
 
 
 
5.0
dyyy
dy
2
yy
dyyy
dy
2
yy
x
yx
yx
dyxx
dy
2
xx
dyxx
dyxx
2
xx
dA
dAx~
x
1
0
1
0
2
1
0
1
0
22
2
1
1
0
21
1
0
2
1
2
1
1
0
21
1
0
21
21
A
A









 




















34 
 
   
2
yy
2
yy
yy~
dxyydA
1212
1
12





35 
   
 
   
 
ft4.0y
6
1
60
4
dxxx
dxxx
2
xx
y
dxyy
dxyy
2
yy
dA
dAy~
y
1
0
2
1
0
2
2
1
0
12
1
0
12
12
A
A










 







 







36 
Exemplos