Resistência dos Materiais - Carga Excêntrica

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FLEXÃO GERAL 
carregamento excêntrico 
Professor Humberto Ritt 
Engenheiro Civil, M.Sc. 
http://lattes.cnpq.br/1994972650209034 
 
 
4- 2 
Carregamento axial excêntrico em um 
plano de simetria – flexão composta 
Os resultados obtidos são válidos somente 
quando satisfeitas as condições de aplicabilidade 
da superposição, ou seja, as tensões envolvidas 
não devem ultrapassar o limite de 
proporcionalidade do material e a seção 
transversal onde as tensões são calculadas não 
devem ser próximas aos pontos D ou E. 
Carregamento excêntrico 
PdM
PF


 A distribuição de tensões na seção transversal 
de uma viga sob carregamento axial pode ser 
considerada uniforme somente quando a linha 
de ação das cargas passa pelo centróide da 
seção transversal 
   
I
My
A
P
x
flexãoxxx




centrada
4- 3 
Uma corrente de elos abertos é obtida 
dobrando-se barras de aço de baixo teor 
de carbono na forma mostrada. 
Sabendo-se que a corrente suporta 750 
N de carga, determine (a) as tensões 
máximas de tração e compressão, (b) 
distância entre o centróide e a linha 
neutra da seção. 
SOLUÇÃO: 
 
Encontrar a carga centrada e o 
momento fletor equivalentes. 
Sobrepor a tensão uniforme devido à 
carga centrada e a tensão linear 
devido ao momento fletor. 
Avaliar as tensões máximas de tração 
e de compressão da distribuição de 
tensões superpostas nas bordas 
interna e externa, respectivamente. 
Encontrar o eixo neutro, 
determinando o local onde a 
tensão normal é zero. 
EXEMPLO: 
4- 4 
A= pc2 = p 6´10-3( )
2
=1,131´10-4m2
s 0 =
P
A
=
750N
1,131´10-4m2
= 6, 63MPa
Tensão normal devido a 
uma carga centrada 
 
  
MPa
m
mmN
I
Mc
m
mcI
m
73,70
10018,1
10612
10018,1
106
49
3
49
43
4
14
4
1












Tensão normal devido 
ao momento fletor 
Carga centrada e momento 
fletor equivalente. 
P= 750N
M = Pd = 750N( ) 0,016m( )
=12N.m
4- 5 
 Tensões máximas de tração e de 
compressão 
s t =s 0 +sm
= 6, 63+ 70, 73
s c =s 0 -sm
= 6, 63- 70, 73
s t = 77,36MPa
s c =-64,10MPa
Localização do eixo neutro 
0 =
P
A
-
My0
I
y0 =
P
A
I
M
= 6, 63´106 N /m( )
1, 018´10-9m4
12N ×m
y0 = 0,56mm
4- 6 
As maiores tensões admissíveis para a 
peça de ferro fundido são de 30 MPa na 
tração e 120 MPa na compressão. 
Determinar a maior força P que pode ser 
aplicada na peça. 
SOLUÇÃO: 
 
Determinar a carga centrada e o momento 
fletor equivalente. 
Avaliar as cargas críticas para a tração e para 
a compressão. 
A maior carga permitida é a menor das 
duas cargas críticas. 
49
23
m10868
m038.0
m103





I
Y
A
Sobrepor as tensões devido a uma carga 
centrada e devido ao momento fletor. 
EXEMPLO: 
4- 7 
Determinar a carga centrada equivalente e o momento 
fletor. 
 
d = 0.038-0.010 = 0.028m
P=carga centrada
M = Pd = 0.028P= momento fletor
Avaliar as cargas críticas de tensões admissíveis. 
kN0.77MPa1201559
kN6.79MPa30377


PP
PP
B
A


kN 0.77P
A maior carga admissível 
Sobrepor tensões devido a cargas centrada e 
momento fletor   
  
P
PP
I
Mc
A
P
P
PP
I
Mc
A
P
A
B
A
A
1559
10868
022.0028.0
103
377
10868
022.0028.0
103
93
93














4- 8 
Caso geral de carregamento axial excêntrico 
 Flexão oblíqua composta 
Considere um elemento reto AB submetido a 
forças axiais centradas iguais e opostas. 
Pelo princípio da superposição, a tensão 
provocada pelo carregamento é: 
y
y
z
z
x
I
zM
I
yM
A
P

A força excêntrica é equivalente ao sistema 
de uma força centrada e dois momentos. 
P= força centrada
M y = Pa Mz = Pb
O bloco retangular de peso desprezível está sujeito a 
uma força vertical de 40 kN aplicada em seu canto. 
 
Determine a distribuição da tensão normal que age 
sobre uma seção que passa por ABCD. 
Uma coluna curta em madeira é 
confeccionada unindo-se quatro 
pranchas de 2x5 cm a uma peça de 
5x5 cm. Determine a máxima 
tensão normal de compressão, 
quando uma carga de 100 kN é 
aplicada no centro da peça 5x5, se: 
 
a) A coluna for como descrita; 
b) Se a prancha 1 é removida; 
c) Se as pranchas 1 e 2 forem 
removidas; 
d) Se as pranchas 1, 2 e 3 forem 
removidas; 
e) Se todas as pranchas forem 
removidas. 
Uma carga excêntrica P é aplicada como mostrado em uma 
barra de aço (E = 200 GPa) com seção transversal 25 x 90 
mm. As deformações específicas medidas nos pontos A e 
B foram de : 
 
Determine a distância d e a magnitude de P. 
O tubo mostrado na figura tem espessura de parede uniforme de 
12 mm. Para o carregamento indicado, determine a tensão 
normal atuante nos pontos A e B e a posição da linha neutra. 
Uma força horizontal P 
de magnitude 100 kN é 
aplicada à viga, 
conforme indicado. 
Determine a máxima 
distância “a” para a qual 
a máxima tensão de 
tração na seção não 
exceda 75 MPa. 
a 
Determine o máximo 
valor da carga P que 
pode ser aplicada sobre 
a coluna curta, 
sabendo-se que a 
tensão máxima de 
compressão não pode 
exceder 90 MPa. 
Considere a = 36,8 mm. 
 
O perfil metálico da 
coluna é o W150x24. 
 
A = 3060 mm2 
Ix = 13,4 x106 mm4 
Iy = 1,83 x106 mm4 
d = 160 mm 
bf = 102 mm 
 
d 
bf