MECANICA DOS SOLOS I Aula 8 Percolacao

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MECÂNICA DOS SOLOS I 
Prof. Thiago Martins
Aula 8 - Percolação da Água no Solo
CIV-244
 Considerando o meio isotrópico em relação à condutividade 
hidráulica:
Equação geral do fluxo em meio poroso
𝑘𝑥 = 𝑘𝑧
𝜕2ℎ
𝜕𝑥2
+
𝜕2ℎ
𝜕𝑧2
= 0
EQUAÇÃO DE LAPLACE
CIV-244 Equação geral do fluxo em meio poroso
 Considerando as condições de isotropia, o fato da equação
básica do fluxo ser uma equação de Laplace, significa que as
a velocidade de fluxo é perpendicular às linhas de carga
hidráulica constante;
 Cargas hidráulicas em todos os pontos: h (z,y);
 Velocidade de fluxo:
v
x
z
v
v
h1 h2 h3
𝑣𝑥 = 𝑘𝑖𝑥 𝑣𝑧 = 𝑘𝑖𝑧
Rede de fluxo
CIV-244 Redes de fluxo
Representação gráfica dos caminhos percorridos pela água (linhas de fluxo) e
da correspondente perda de carga hidráulica (linhas equipotenciais).
Considerando a referência na face inferior:
Face inferior: a carga altimétrica nula, a carga piezométrica 
é de 20cm e a carga total é de 20cm;
Face superior: a carga altimétrica é de 12cm; a carga 
piezométrica é de 2cm e a carga total é de 14cm;
A diferença de carga de 6cm dissipa-se ao longo de 12cm 
(altura da amostra). O gradiente hidráulico é, portanto, 0,5.
Se k = 0,2cm³/s e a amostra possuir 8cm de largura e 1cm 
na direção perpendicular ao desenho, q é igual a: 
𝑞 = 𝑘𝑖𝐴 = 0,2𝑥0,5𝑥8 = 0,02𝑐𝑚3/𝑠
CIV-244 Redes de fluxo
Uma partícula de água que se desloca da base para o topo 
segue uma linha (linha de fluxo);
As paredes verticais do permeâmetro são linhas de fluxo;
As linhas de fluxo delimitam 4 canais de fluxo;
Em qualquer ponto da base ou do topo da amostra a carga 
hidráulica é igual (linha equipotencial);
A diferença de carga, de 6cm, dissipa-se linearmente ao 
longo da linha de percolação;
Em todos os pontos a 2cm da face inferior, ocorre uma 
dissipação de 1cm de carga, pois com o gradiente igual a 
0,5, a cada 1cm de percurso corresponde uma perda de 
potencial de 0,5cm.
 Considerando agora a rede de fluxo:
CIV-244 Redes de fluxo
Elementos da rede
CIV-244 Redes de fluxo
 A rede de fluxo define:
 Número de canais de fluxo: Nf
 Número de faixas de perda de potencial: Nq
 Dimensões de um quadrado genérico: b é a largura do canal e l é
a distância entre as equipotenciais.
Nf e Nq não precisam ser números inteiros. O ideal é escolher
espaçamento entre linhas que em escala produzam quadrados.
Traçada a rede de fluxo, podem ser obtidos a perda de carga entre
equipotenciais, o gradiente hidráulico e a vazão.
CIV-244 Redes de fluxo
 Perda de carga entre equipotenciais: ∆ℎ =
ℎ
𝑁𝑞
 Gradiente: 𝑖 =
∆ℎ
𝑙
=
ℎ
𝑙 ∙ 𝑁𝑞
 Vazão: 𝑞 = 𝑘
ℎ
𝑙 ∙ 𝑁𝑞
𝑏 = 𝑘
ℎ
𝑁𝑞
No exemplo
𝑖 =
6
2.6
 A vazão é a mesma em todos os elementos ao longo do canal de fluxo a que
pertence o elemento. Nos outros canais, a vazão também é a mesma.
𝑄 = 𝑘ℎ
𝑁𝑓
𝑁𝑞
 Vazão total:
No exemplo
𝑄 = 0,05𝑥6𝑥
4
6
= 0,2cm3/s
CIV-244 Redes de fluxo bidimensional
As redes de fluxo bidimensionais devem ser traçadas segundo os mesmos
princípios: canais de igual vazão e zonas de igual perda de potencial.
CIV-244 Redes de fluxo
SOLUÇÃO DAS REDES DE 
FLUXO
ANALÍTICA
MODELO REDUZIDO
NUMÉRICA
GRÁFICA
CIV-244 Redes de fluxo: modelo reduzido
CIV-244 Redes de fluxo: solução numérica
 -30 
 -20 
 -10 
 0 10 20 30 40 50 
Distância (m)
-50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550
E lev a
ção ( m
)
870
880
890
900
910
920
930
940
950
960
970
980
CIV-244 Redes de fluxo: solução gráfica
 Procedimentos para o traçado:
(i) desenhar o problema de fluxo em escala.
(ii) determinar a direção geral do fluxo (da região de maior potencial para a 
de menor potencial hidráulico).
(iii) identificar as fronteiras do domínio de fluxo (equipotenciais e linhas de 
fluxo limites da rede).
 Linhas equipotenciais limites: interfaces água livre - solos permeáveis.
 Linhas de fluxo limites: interfaces solos permeáveis – zonas 
impermeáveis do domínio de fluxo. 
CIV-244 Redes de fluxo: solução gráfica
 Procedimentos para o traçado (cont.):
(iv) escolher o número de tubos de fluxo da rede (comumente entre 3 e 5).
(v) definir a relação entre as dimensões médias das malhas da rede de 
fluxo (comumente uma relação 1:1, rede formada por ‘quadrados 
curvilíneos’).
(vi) traçar algumas linhas de fluxo e equipotenciais da rede, obedecendo a 
condição de ortogonalidade entre elas e a conformação da rede em 
quadrados curvilíneos, levando-se em conta as eventuais zonas de 
singularidades do domínio de fluxo.
Atenção: linhas equipotenciais não se cruzam. A mesma condição
vale para as linhas de fluxo.
CIV-244 Redes de fluxo: solução gráfica
 Exemplo: fluxo sob estaca prancha
Areia
N.A.
4,5m
1,5m
8,0m
4,0m
N.A.
Base
impermeável
CIV-244 Redes de fluxo: solução gráfica
 Exemplo: fluxo sob estaca prancha
N.A.
h=9,5m
N.A.
h=12,5m
CIV-244 Redes de fluxo: solução gráfica
 Exemplo: fluxo sob estaca prancha
N.A.
h=9,5m
N.A.
h=12,5m
CIV-244 Redes de fluxo: solução gráfica
 Exemplo: fluxo sob estaca prancha
N.A.
h=9,5m
N.A.
h=12,5m
CIV-244 Redes de fluxo: solução gráfica
 Exemplo: fluxo sob estaca prancha
N.A.
h=9,5m
N.A.
h=12,5m
CIV-244 Redes de fluxo: solução gráfica
 Exemplo: fluxo sob estaca prancha
N.A.
h=9,5m
N.A.
h=12,5m
CIV-244 Redes de fluxo: solução gráfica
 Exemplo: fluxo sob estaca prancha
 cálculo da vazão por metro:
𝑘 = 2,5𝑥10−3𝑚/𝑠
ℎ = 3𝑚
𝑁𝑓 = 3,2 𝑁𝑞 = 6
𝑄 = 𝑘ℎ
𝑁𝑓
𝑁𝑞
𝑄 = 2,5𝑥10−3𝑥3𝑥
3,2
6
= 4x10−4
𝑚3
s
/m
Interpretação da rede de fluxoCIV-244
gráfica;
 Exemplo de rede de fluxo (fluxo sob pranchada): solução gráfica
e numérica.
 Conhecimento das redes de fluxo;
 Propriedades das redes de fluxo;
 Possibilidade de solução analítica, modelo reduzido, numérica ou
CIV-244 Interpretação da rede de fluxo
 Exemplo: fluxo sob estaca prancha
N.A.
h=9,5m
N.A.
h=12,5m
CIV-244 Interpretação da rede de fluxo
 Exemplo: fluxo sob estaca prancha
 cálculo da vazão por metro:
𝑘 = 2,5𝑥10−3𝑚/𝑠
ℎ = 3𝑚
𝑁𝑓 = 3,2 𝑁𝑞 = 6
𝑄 = 𝑘ℎ
𝑁𝑓
𝑁𝑞
𝑄 = 2,5𝑥10−3𝑥3𝑥
3,2
6
= 4x10−3
𝑚3
s
/m
Interpretação da rede de fluxoCIV-244
 Gradientes hidráulicos;
 Velocidade de percolação;
 Cargas e pressões (poropressões ou subpressões).
Além da vazão, que informações adicionais podem
ser obtidas a partir da rede de fluxo?
CIV-244 Interpretação da rede de fluxo
N.A.
h=9,5m
N.A.
h=12,5m
A partir da rede acima, determine o gradiente hidráulico e a velocidade de 
percolação na saída, a carga piezométrica e a poropressão em A.
A
CIV-244 Interpretação da rede de fluxo
 Gradiente hidráulico: a diferença de carga total que provoca a
percolação, dividida pelo número de faixas de perda de
potencial, indica a perda de carga de uma equipotencial. A
perda de carga dividida pela distância entre equipotenciais é o
gradiente.
𝑖 =
ℎ
𝑙 ∙ 𝑁𝑞
 Gradiente hidráulico na saída:
𝑖 =
ℎ
𝑙 ∙ 𝑁𝑞
=
3
1,8 ∙ 6
= 0,278
 Velocidade de percolação:
𝑣 = 𝑘𝑖 = 2,5 ∙ 10−3 ∙ 0,278
𝑣 = 6,94 ∙ 10−4m/s
CIV-244 Interpretação da rede de fluxo
h=9,5mh=12,5m
𝑙 = 1,8𝑚 (𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎)
CIV-244 Interpretação da rede de fluxo
 Carga piezométrica:
 Pela equação abaixo
ℎ = 𝑧 +
𝑢
𝛾𝑤
Considerando um ponto P, temos:
𝑢𝑝 = 𝛾𝑤 ℎ𝑝 − 𝑧𝑝 Onde zp é a cota do ponto P, a partir de um referencial
(nívelmais baixo da água).
ℎ𝑝 =
𝑛𝑞
𝑁𝑞
∙ ℎ A equipotencial na saída é considerada igual a zero e
enumera-se as demais até a de carga mais alta.
CIV-244 Interpretação da rede de fluxo
N.A.
h=9,5m
N.A.
h=12,5m
A
Nq=0
1
2
34
5
6
Datum (referencial)
CIV-244 Interpretação da rede de fluxo
𝑢𝐴 = 𝛾𝑤 ℎ𝐴 − 𝑧𝐴
ℎ𝐴 =
𝑛𝑞
𝑁𝑞
∙ ℎ =
2
6
∙ 3 = 1𝑚
zA é igual a -5,5 (a partir do referencial definido).
𝑢𝐴 = 𝛾𝑤 1 + 5,5 = 6,5𝛾𝑤
𝑢𝐴 = 𝛾𝑤 1 + 5,5 = 6,5 ∙ 10𝑘𝑁/𝑚
3 = 65𝑘𝑃𝑎
𝑢𝐴
𝛾𝑤
= 6,5m
Carga piezométrica expressa
em unidade de pressão.
CIV-244 Interpretação da rede de fluxo
N.A.
h=9,5m
N.A.
h=12,5m
A
Nq=0
1
2
34
5
6
Datum (referencial)
6,5m
CIV-244 Interpretação da rede de fluxo
N.A.
h=9,5m
N.A.
h=12,5m
A
Datum (referencial)
𝑢𝑝
𝛾𝑤
= 6,5m
ℎ𝑝 = 1𝑚
𝑧𝑝 = −5,5𝑚
CIV-244 Interpretação da rede de fluxo
 Outro exemplo:
ℎ𝑝 = 3,33𝑚
𝑧𝑝 = −5,0𝑚
𝑢𝑝
𝛾𝑤
= 8,33m
𝑢𝑝 = 83,3kPa
𝑄 = 1,43x10−7
𝑚3
s
/m
CIV-244 Interpretação da rede de fluxo
Diagrama de subpressões na
base de uma barragem
Fluxo em meio não confinadoCIV-244
 Fluxo através de barragens de terra
 Fluxo não confinado: a linha de fluxo superior (linha freática) não
é conhecida previamente;
 Linha Freática: definida como sendo o lugar geométrico dos
pontos submetidos à pressão atmosférica, ou seja, onde as
poropressões são iguais a zero;
A
B
C
ℎ = 𝑧 +
𝑢
𝛾𝑤
0
ℎ𝐴 = 𝑧𝐴
ℎ𝐵 = 𝑧𝐵
ℎ𝐶 = 𝑧𝐶
D
Fluxo em meio não confinadoCIV-244
 Fluxo através de barragens de terra
 Face de percolação: superfície livre do fluxo (linha CD), onde a
poropressão também é nula e ocorre o fluxo;
A
B
C
ℎ = 𝑧 +
𝑢
𝛾𝑤
0
ℎ𝐷 = 𝑧𝐷
D
Face de percolação
A face de percolação é uma região de elevado potencial
erosivo.
Fluxo através de barragens de terraCIV-244
 Soluções para afastamento da linha freática do talude de
jusante
 Controle da percolação:
Dreno de pé
Tapete drenante
Filtro inclinado + tapete 
drenante
Fluxo através de barragens de terraCIV-244
Como é definida a linha freática?
Fluxo através de barragens de terraCIV-244
 Determinação gráfica da parábola básica de Kozeny:
 Dupuit, no ano de 1963 estabeleceu as primeiras bases para a
solução de fluxo não confinado;
Mais tarde, Kozeny propôs uma solução teórica para uma
barragem homogênea com filtro horizontal a jusante e fundação
impermeável;
 A solução Kozeny admite que a rede de fluxo é constituída por
dois conjuntos de parábolas confocais conjugadas, um deles
representando as linhas de fluxo e o outro representando as
linhas equipotenciais. A parábola básica de Kozeny foi obtida
através da teoria das variáveis complexas (solução analítica
exata para a equação de Laplace).
Fluxo através de barragens de terraCIV-244
 Traçado da parábola básica de Kozeny (procedimento):
 Define-se o ponto G como sendo igual a 0,3HC, onde H é definido
através de uma vertical originada no pé da barragem (montante);
B
H C
HC
0,3HC
G
Fluxo através de barragens de terraCIV-244
 Traçado da parábola básica de Kozeny (procedimento):
 Traça se o raio GA a partir do centro no ponto G e determina-se o ponto
E sobre o prolongamento da horizontal HC. A é o foco da parábola;
B
H C
HC
0,3HC
G
A
E
Fluxo através de barragens de terraCIV-244
 Traçado da parábola básica de Kozeny (procedimento):
 Traça uma vertical pelo ponto E e determina-se EF (diretriz da parábola);
B
H C
HC
0,3HC
G
A
E
F
Fluxo através de barragens de terraCIV-244
 Traçado da parábola básica de Kozeny (procedimento):
 No ponto médio de AF traça-se uma vertical MN;
B
H C
HC
0,3HC
G
A
E
F
M
N
Fluxo através de barragens de terraCIV-244
 Traçado da parábola básica de Kozeny (procedimento):
 Faz-se a divisão dos segmentos GM e MN em partes iguais;
B
H C
HC
0,3HC
G
A
E
F
M
N
12345
1
2
3
4
5
Fluxo através de barragens de terraCIV-244
 Traçado da parábola básica de Kozeny (procedimento):
 Liga-se os pontos obtidos na divisão de GM ao ponto N (linhas auxiliares
radiais);
B
H C
HC
0,3HC
G
A
E
F
M
N
12345
1
2
3
4
5
Fluxo através de barragens de terraCIV-244
 Traçado da parábola básica de Kozeny (procedimento):
 Traça-se horizontais pelos pontos obtidos na divisão de MN (linhas
auxiliares horizontais);
B
H C
HC
0,3HC
G
A
E
F
M
N
12345
1
2
3
4
5
Fluxo através de barragens de terraCIV-244
 Traçado da parábola básica de Kozeny (procedimento):
 A interseção das linhas auxiliares radiais e horizontais são pontos da
parábola de básica de Kozeny;
B
H C
HC
0,3HC
G
A
E
F
M
N
12345
1
2
3
4
5
Fluxo através de barragens de terraCIV-244
 Traçado da parábola básica de Kozeny (procedimento):
 Após a construção, torna-se necessário a correção da linha de fluxo. O
procedimento é feito visualmente.
B
H C
HC
0,3HC
G
A
E
F
M
N
12345
1
2
3
4
5
Fluxo através de barragens de terraCIV-244
 Correção na saída:
 
 30 60 90 120 150 180 
a / a 0,36 0,32 0,26 0,18 0,10 0 
 
Parábola básica
Parábola básica
Dreno (filtro)
Dreno (filtro)
*Medido na escala do desenho
Fluxo através de barragens de terraCIV-244
 Aplicação
 Calcule a poropressão no ponto P, com base na figura abaixo (defina as
dimensões pela escala do desenho):
10m
P
25m
Fluxo através de barragens de terraCIV-244
 Solução:
 Inicialmente, traça se a parábola básica de Kozeny;
10m
P
25m
Fluxo através de barragens de terraCIV-244
 Solução:
 Traça-se as linha de fluxo (recomenda-se em torno de 3);
10m
P
25m
Fluxo através de barragens de terraCIV-244
10m
P
25m
 Solução:
 Traça-se as equipotenciais, obedecendo as perpendicularidades e os
‘quadrados curvilíneos’;
Fluxo através de barragens de terraCIV-244
10m
P
25m
 Solução:
 Define-se a cota do ponto P (por escala), a partir do nível mais baixo da
água;
1,6m
Fluxo através de barragens de terraCIV-244
10m
P
25m
 Solução:
 Define-se a cota do ponto P (por escala), a partir do nível mais baixo da
água;
1,6m
Fluxo através de barragens de terraCIV-244
 Solução:
 Com os dados, realiza-se os cálculos
10m
P
25m
1,6m
𝑢𝑝 = 𝛾𝑤 ℎ𝑝 − 𝑧𝑝
ℎ𝑝 =
𝑛𝑞
𝑁𝑞
∙ ℎ =
4
8
∙ 10 = 5𝑚
𝑢𝑝 = 𝛾𝑤 5 − 1,6
𝑢𝑝 = 3,4 ∙ 10𝑘𝑁/𝑚
3 = 34𝑘𝑃𝑎
Referências bibliográficasCIV-244
DAS, B. M. Fundamentos de Engenharia Geotécnica. São Paulo: Thomson Learning,
561 p. 2007.
PINTO, C. S. Curso Básico de Mecânica dos Solos. São Paulo: Oficina de Textos,
365 p. 2012.