Guia de Estudos Teorema de Green

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Roteiro de estudos:
Orientac¸a˜o
Desenhe, em um pedac¸o de papel, uma curva fechada, isto e´, uma curva na qual o ponto
inicial e´ igual ao ponto final. Fac¸a isso sem que a curva intercepte a sı´ mesma e obtenha a
curva C. (Essa e´ a definic¸a˜o de uma curva fechada simples, p. 965 e 966 do livro texto.)
Para simplificar, corte com uma tesoura ao longo de sua curva fechada simples C. Assim,
voceˆ obte´m duas regio˜es, uma correspondente a um lado da folha de papel, a outra dada pelo
outro lado. Marque com cores diferentes esses dois lados. O lado de cima de vermelho e o de
baixo de azul, por exemplo.
Agora imagine que voceˆ esta´ caminhando exatamente sobre a sua curva de fronteira dessa
regia˜o. Dizemos que a orientac¸a˜o de C e´ positiva se, ao caminhar sobre essa curva, voceˆ veˆ a
regia˜o colorida de vermelho a` sua esquerda. (E´ claro que isso corresponde a caminhar sobre
a fronteira no sentido anti-hora´rio.)
Agora, sem virar a folha, imagine que voceˆ esta´ caminhando sobre a mesma curva C, mas
olhando o lado colorido de azul. (Isso significa que voceˆ teria que andar “de cabec¸a para
baixo” com relac¸a˜o a` caminhada inicial.) Seguindo a mesma definic¸a˜o de orientac¸a˜o positiva,
voceˆ percebera´ que a curva de fronteira deve ser percorrida no sentido hora´rio.
Dedique algum tempo a comprovar e, assim, entender o conceito de orientac¸a˜o positiva.
Ele sera´ fundamental quando tratarmos do Teorema de Stokes e tambe´m estara´ presente no
Teorema de Green.
O Teorema de Green O Teorema de Green relaciona uma integral de linha de um campo
vetorial ~F : R2 → R2 com uma integral dupla. Como vimos no Guia 3, considerada uma
curva C, definimos a integral ∫
C
~F · d~r.
No Teorema de Green, a curva C considerada deve ser uma curva fechada e positivamente ori-
entada - que vamos supor inicialmente que tambe´m seja simples.
Essa curva fechada simples C delimita uma regia˜o plana D, que e´ simplesmente conexa
(definic¸a˜o na pa´gina 966). Podemos entender uma regia˜o simplesmente conexa como uma
regia˜o que na˜o tem “furos”, isto e´, todos os pontos interiores a` curva C pertencem a` regia˜o D.
Enta˜o, se ~F = (P, Q), o Teorema de Green garante que∫
C
~F · d~r =
∫∫
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dA.
(Veja enunciado na p. 971.)
Observe que, se o campo ~F for conservativo, decorre dessa igualdade que∫
C
~F · d~r = 0.
Estude enta˜o os Exemplos 1 e 2 do livro texto e todo o material ate´ o Exemplo 3. Em par-
ticular, estude o ca´lculo de a´reas utilizando o Teorema de Green. (Note que existem infinitos
campos que possibilitam o ca´lculo de a´reas utilizando esse teorema).
Observe que, para a integral dupla ser calcula´vel, precisamos que a regia˜o envolvida seja
do tipo I ou tipo II (ver pp. 888 e 889), que sa˜o chamadas regio˜es simples. Mas, em geral,
regio˜es simplesmente conexas podem ser divididas em regio˜es simples. Estude o Exemplo 4,
p. 974.
Agora temos um exemplo muito importante, que e´ precedido sobre uma discussa˜o sobre
como aplicar o Teorema de Green em regio˜es que na˜o sa˜o simplesmente conexas. Estude com
cuidado a parte final da p. 974 e o Exemplo 5. Na soluc¸a˜o desse exemplo, o autor considera
apenas curvas fechadas que envolvem a origem. Qual seria o resultado se a curva fechada
na˜o envolvesse a origem?
O Teorema de Green relaciona a integral de linha de um campo (plano) ~F ao longo de
uma curva fechada simples C com a integral dupla da func¸a˜o (∂Q/∂x)− (∂P/∂y) na regia˜o
D delimitada por C. Exige-se que o campo ~F seja de classe C1, isto e´, que as derivadas parciais
∂Q/∂x e ∂P/∂y sejam contı´nuas.
Quais as dificuldades que podem acontecer?
1. queremos calcular
∫
C
~F · d~r, o campo ~F e´ C1 mas a curva C na˜o e´ fechada. Temos duas
possibilidades: a) calcular diretamente a integral de linha, sem aplicar o Teorema de
Green; b) fechar a curva C e enta˜o aplicar o Teorema de Green (veja o Exercı´cio 9 da
lista).
2. queremos calcular
∫
C
~F · d~r, a curva C e´ fechada mas o campo ~F na˜o e´ C1 na regia˜o D.
Isso aconteceu no Exemplo 5 e exercı´cio 10 da lista tambe´m aborda essa situac¸a˜o.
Observe que, em princı´pio, o Teorema de Green so´ pode ser aplicado se um campo for dado.
Em particular, ele na˜o e´ imediatamente aplica´vel para integrais de linha de func¸o˜es escalares.
Para aplica´-lo nesse caso, temos que definir um campo a` partir da func¸a˜o escalar dada. Esse
foi o procedimento utilizado para o ca´lculo de a´reas pelas duas primeiras fo´rmulas de 5, p.
973.