Lista Integrais Triplas

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Lista 2 - Integrais Triplas
1. Utilize coordenadas esféricas para calcular a integralZZZ
E
1
x2 + y2 + z2
dV
em que E é o sólido limitado acima pelo cone z =
p
3 (x2 + y2) e abaixo pela esfera z2+y2+x2 =
z: Resp.: 3�
4
2. Utilize coordenadas esféricas para calcular a integralZZZ
E
x2
(x2 + y2 + z2)2
dV
em que E é o sólido limitado pelo cone z =
p
3 (x2 + y2) e pelo paraboloide z = x2 + y2: Resp.:
3�
8
3. Calcule a integral ZZZ
E
zdV
em que E é o sólido limitado abaixo pelo plano z = 2 e acima pelo paraboloide
z = 6� x2 � y2:
Resp.: 80�
3
:
4. Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies z = x2 + y2 e z = 1�
p
x2 + y2: Resp.:
�(13�5p5)
12
:
5. Calcule, utilizando coordenadas cilíndricas, o volume do sólido E, limitado abaixo pelo
plano z = k e acima pela esfera z =
p
1� x2 � y2: (0 < k < 1.) Resp.: �(2�3k+k3)
3
:
6. Considere o sólido E exterior ao cone z =
p
3(x2 + y2) e interior à esfera x2 + y2 + z2 = 2z:
Calcule, utilizando coordenadas esféricas, a massa total do sólido sabendo que a densidade de
massa em cada ponto do sólido é proporcional à distância desse ponto à origem. Resp.: 9k�
p
3
20
:
7. Calcule, utilizando coordenadas esféricas, o volume do sólido E, limitado abaixo pelo plano
z = k e acima pela esfera z =
p
1� x2 � y2: (0 < k < 1) Resp.: �(2�3k+k3)
3
:
8. Calcule a massa do sólido limitado pelo cone z =
p
x2 + y2 e pelo plano z = 1; se a densidade
de massa é dada por f(x; y; z) = x2 + y2 + z2: Resp.: 3�
10
:
9. Calcule
RRR
E
zdV , sendo E o sólido limitado pelas superfícies z =
p
x2 + y2, z =
p
3(x2 + y2)
e x2 + y2 + z2 = 4. Resp.: �.
10. Calcule o volume do sólido E = f(x; y; z) 2 R3 : x2 + y2 + z2 � 4; x2 + y2 � 2yg. Resp:
16�
3
� 64
9
.