lista integrais triplas

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Lista 3 Integrais triplas Cálculo 3
Campus de Sorocaba
Cálculo III – Cantão!
Integrais triplas
Definições
Seja E uma região do R3, limitada. Definimos:
• Volume de E
V(E) =
∫∫∫
E
dV
• Se ρ(x, y, z) é uma função densidade, a massam de um objeto no formato de E é dada por:
m =
∫∫∫
E
ρ(x, y, z)dV
• Momentos em relação aos planos coordenados:
Myz =
∫∫∫
E
x ρ(x, y, z)dV Mxz =
∫∫∫
E
yρ(x, y, z)dV Mxy =
∫∫∫
E
z ρ(x, y, z)dV
• Coordenadas do centro de massa:
x¯ =
Myz
m
y¯ =
Mxz
m
z¯ =
Mxy
m
Exercícios
1. Calcule a integral tripla.
i.
∫∫∫
E
2xdV , onde E = {(x, y, z) | 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤
√
4− y2, 0 ≤ z ≤ y}
ii.
∫∫∫
E
6xydV , onde E está abaixo do plano z = 1 + x + y e acima da região do plano xOy limitada pelas curvas
y =
√
x, y = 0 e x = 1.
iii.
∫∫∫
E
xydV , onde E é o tetraedro com vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 3).
iv.
∫∫∫
E
(x+ 2y)dV onde E é limitado pelo cilindro parabólico y = x2 e pelos planos x = z, x = y e z = 0.
2. Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
i. O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano 2x+ y+ z = 4.
ii. O sólido limitado pelo cilindro x2 + y2 = 9 e pelos planos y+ z = 5 e z = 1.
3. Expresse a integral ∫∫∫
E
f(x, y, z)dV como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado
por 9x2 + 4y2 + z2 = 1
4. Determine a massa e o centro de massa do sólido dado pela região E com função densidade ρ.
i. E é limitada pelo cilindro parabólico z = 1− y2 e pelos planos x+ z = 1, x = 0 e z = 0; ρ(x, y, z) = 4.
ii. E é o cubo dado por 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a e 0 ≤ z ≤ a; ρ(x, y, z) = x2 + y2 + z2.
#1 de 1