1 Vetores

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1 Vetores: Tratamento Algébrico e Geométrico
1. Dados os vetores ⃗u = (3,−1) e⃗v = (−1,2), determinar o vetor ⃗w tal que: 
a) 4(⃗u−⃗v) + 1 3 ⃗w = 2⃗u−⃗w. b) 3⃗w−(2⃗v−⃗u) = 2(4⃗w−3⃗u). c) 2⃗w−3⃗u = 10(⃗w+⃗v). 
2. Dados os vetores ⃗u = (2,−4),⃗v = (−5,1) e ⃗w = (−12,6), determinar a1 e a2 tais que ⃗w = a1⃗u+a2⃗v.
3. Dados os vetores ⃗u = (1,−1),⃗v = (−3,4) e ⃗w = (8,−6), calcular:
a) |⃗u|, |⃗v| e |⃗w|. b) |⃗u+⃗v|, |2⃗u−⃗w| e |⃗w−3⃗u| c) O versor de⃗v. d) O módulo do versor de ⃗u. 
4. Encontrar o vetor unitário que tenha (I) o mesmo sentido de⃗v e (II) sentido contrário a⃗v, nos casos: 
a)⃗v = −ˆi+ ˆj. b)⃗v = 3ˆi− ˆj. c)⃗v = (1, √ 3). d)⃗v = (0,4).
5. Utilizando a Figura 1, represente os seguintes vetores com origem no ponto M:
a) MN⃗ −FL⃗ . b) HR⃗ +JO⃗ −FG⃗ . c) MS⃗ +HL⃗ −CM⃗ . d) FO⃗ +JA⃗ .
e) HJ ⃗ +T R⃗ .
2 Vetores: Produto Escalar, Produto Vetorial e Produto Misto
6. Dados os vetores ⃗u = (2,−3,−1) e⃗v = (1,−1,4), calcular:
a) 2⃗u ·(−⃗v). b) (⃗u+3⃗v)·(⃗v−2⃗u). c) (⃗u+⃗v)·(⃗u−⃗v). d) (⃗u+⃗v)·(⃗v−⃗u).
7. Determinar o vetor⃗v, paralelo ao vetor ⃗u = (2,−1,3), tal que⃗v ·⃗u = −42. 
8. Determinar o ângulo entre os vetores: 
a) ⃗u = (2,−1,−1) e⃗v = (−1,−1,2). b) ⃗u = (1,−2,1) e⃗v = (−1,1,0).
9. Para cada um dos pares de vetores ⃗u e⃗v, encontrar o vetor projeção ortogonal de⃗v sobre ⃗u e decompor⃗v como soma de⃗v1 e⃗v2, sendo⃗v1 ∥⃗u e⃗v2 ⊥⃗u: 
a) ⃗u = (1,0) e⃗v = (4,3). b) ⃗u = (1,1) e⃗v = (2,5). c) ⃗u = (4,3) e⃗v = (1,2).
10. Calcular o valor de m de modo que seja 120◦ o ângulo entre os vetores ⃗u = (1,−2,1) e⃗v = (−2,1,m+1). 
11. Dados os vetores ⃗u = (3,1,1),⃗v = (−4,1,3) e ⃗w = (1,2,0), determinar⃗x de modo que⃗x ⊥ ⃗w e⃗x×⃗u =⃗v
12. Com base na Figura 2, calcular:
a) |AB⃗ ×AD⃗ |. b) |BA⃗ ×BC⃗ |. c) |AB⃗ ×DC⃗ |. d) |AB⃗ ×CD⃗ |. e) |BD⃗ ×AC⃗ |.
f) |BD⃗ ×CD⃗ |
13. Determinar ⃗u ·⃗v, sabendo que |⃗u×⃗v| = 12, |⃗u| = 13 e⃗v é unitário.
14. Dados os vetores ⃗u = (3,−1,2) e⃗v = (−2,2,1), calcular: 
a) a área do paralelogramo determinado por ⃗u e⃗v; 
b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor⃗v. 2 
15. Verificar se os seguintes vetores são coplanares: 
a) ⃗u = (1,−1,2),⃗v = (2,2,1) e ⃗w = (−2,0,−4). b) ⃗u = (2,−1,3),⃗v = (3,1,−2) e ⃗w = (7,−1,4). 
16. Qual o volume do cubo determinado pelos vetores ˆi, ˆj e ˆk? 
3 Aplicação do Produto Escalar 
Para produzir um skate é necessário produzir rodas, eixos e pranchas. Suponhamos que o custo unitário de cada um desses componentes é c1, c2 e c3, respectivamente. 
Então, se para um skate são precisos 4 rodas, 2 eixos e 1 prancha, o custo total do skate é: 
 C = 4c1 +2c2 +1c3, → C = (c1,c2, c3)·(4,2,1). (1)
Assim, o custo total é o produto escalar dos vetores cujas coordenadas são os custos parciais de cada componente do skate e o número de unidades de cada componente. Ou seja, de uma forma mais geral, 
 C⃗ = (c1, c2, c3); ⃗n = (n1,n2,n3); (2)
 C = C⃗ ·⃗n. 
17. Uma fábrica de skates produz cem mil skates por mês. Sabendo que o custo de produção das rodas é de R$ = 3,00 por roda, que o custo de produção dos eixos é de R$ = 10,00 por eixo e que o custo de produção da prancha é de R$ = 30,00, determine o custo total da produção mensal da fábrica. Aplique a ideia apresentada na equação 2