Lista 13 Regras de Derivação

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Centro Universita´rio UNA
Ca´lculo Diferencial
Lista de Exerc´ıcios - Derivadas
Professora: Lucinea do Amaral
Tabela das Regras de Derivac¸a˜o
(c)′ = 0 (kx)′ = k (xn)′ = nxn−1 (ex)′ = ex (ax)′ = ax ln a
(lnx)′ =
1
x
(sinx)′ = cosx (cosx)′ = − sin x (cf)′ = cf ′
(f + g)′ = f ′ + g′ (f − g)′ = f ′ − g′ (fg)′ = fg′ + f ′g
(f
g
)′
=
gf ′ − g′f
g2
1. Encontre a derivada de y = (x2+1)(x3+1) de duas maneiras: usando a Regra do Produto
e fazendo primeiro a multiplicac¸a˜o. As respostas sa˜o iguais?
2. Encontre a derivada de F (x) =
x− 3x√x√
x
de duas maneiras: usando a Regra do Quoci-
ente e simplificando primeiro. Mostre que suas respostas sa˜o equivalentes.
3. Derive as seguintes func¸o˜es:
(a) y = x2ex
(b) F (x) =
√
x ex
(c) G(x) = 5x3 lnx
(d) y =
lnx
x
(e) y =
3x
x2
(f) H(x) =
3x− 1
2x+ 1
(g) y =
2t
4 + t2
(h) V (x) = (2x3 + 3)(x4 − 2x)
(i) y = (r2 − 2r)er
(j) y = x sin x
(k) g(t) =
t
cos t
(l) y = t3 cos t
(m) f(x) =
x− 1
x− 2 + x
2
3
(n) f(x) = 3
√
x+ 5 3
√
x+ 10
(o) f(x) =
√
x sin x +
1
2
x2
1
(p) f(x) = x2 lnx+
sin x
x2
4. Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva em um dado ponto.
(a) y =
2x
x+ 1
, P (1, 1)
(b) y = 2xex, P (0, 0)
(c) y =
1
1 + x2
, P (−1, 1
2
)
(d) y = x cos x, P (0, 0)
(e) y = x cosx, P (pi,−pi)
5. Suponha que f(5) = 1, f ′(5) = 6, g(5) = −3 e g′(5) = 2. Encontre os valores de:
(a) (f + g)′(5)
(b) (fg)′(5)
(c)
(f
g
)′
(5)
6. Se f(3) = 4, g(3) = 2, f ′(3) = −6 e g′(3) = 5, encontre os seguintes nu´meros:
(a) (fg)′(3)
(b)
(f
g
)′
(3)
(c)
( g
f
)′
(3)
7. Suponha que u(0) = 5, u′(0) = 3, v(0) = −1 e v′(0) = 2. Encontre os valores de:
(a) (uv)′(o)
(b)
(u
v
)′
(0)
(c)
(v
u
)′
(0)
(d) (7v − 2u)′(0)
8. Se f(x) = exg(x), onde g(0) = 2 e g′(0) = 5, encontre f ′(0).
9. Se g e´ uma func¸a˜o diferencia´vel, encontre uma expressa˜o para a derivada das seguintes
func¸o˜es:
(a) y = xg(x)
(b) y =
x
g(x)
10. A func¸a˜o posic¸a˜o de uma part´ıcula e´ dada por s = t3 − 4, 5t2 − 7t. Quando a part´ıcula
atinge a velocidade de 5m/s?
2
11. Se uma pedra for atirada verticalmente para cima sobre a superf´ıcie da Lua com uma
velocidade de 10m/s, sua altura (em metros) apo´s t segundos sera´ h = 10t− 0, 83t2.
(a) Determine a velocidade da pedra apo´s 3s?
(b) Qual a velocidade da pedra quando ela atingir 25m?
12. A posic¸a˜o de uma part´ıcula que se move no eixo dos x depende do tempo de acordo som
a equac¸a˜o x = 3t2 − t3, em que x vem expresso em metros e t, em segundos.
(a) Qual e´ o seu deslocamento depois dos primeiros 4 segundos?
(b) Qual e´ a velocidade da part´ıcula ao terminar cada um dos 4 primeiros segundos?
(c) Qual e´ a acelerac¸a˜o da part´ıcula em cada um dos 4 primeiros segundos?
Respostas
1) y′ = 5x4 + 3x2 + 2x′ 2) F ′(x) =
1
2
√
x
− 3 3) a) y′ = 2xex + x2ex
b) F ′(x) =
ex
2
√
x
+
√
xex c) G′(x) = 15x2 lnx + 5x2 d) y′ =
1− lnx
x2
e) y′ =
x23x ln 3− 2x3x
x4
f) H ′(x) =
5
(2x+ 1)2
g) y′ =
8− 2t2
(4 + t2)2
h) V ′(x) = 14x6 − 4x3 − 6 i) y′ = (r2 − 2)er j) y′ = sinx + x cosx
k) g′(t) =
cos t+ t sin t
cos2 t
l) y′ = 3t2 cos t − t3 sin t m) f ′(x) = −1
(x− 2)2 +
2
3x
1
3
n) f ′(x) =
3
2
√
x
+
5
3 3
√
x
o) f ′(x) =
1
2
√
x
sin x +
√
x cos x + x p) f ′(x) = 2x lnx + x +
x cos x− 2 sin x
x3
4) a) y = 1
2
x+ 1
2
b) y = 2x c) y = 1
2
x+1 d) y = x e) y = −x
5) a) 8 b) -16 c) −20
9
6) a) 8 b) -8 c) 2 7) a) 7 b) -13 c) 13
25
d) 8 8) 7
9) a) y′ = xg′(x) + g(x) b)
g(x)− xg′(x)
[g(x)]2
10) 4 s 11) a) 5,02 m/s b)
√
17 m/s
12) a) -16 m b) 3m/s; 0 m/s; -9m/s; -24m/s c) 0 m/s2; -6 m/s2; -12 m/s2 ; -18m/s2
3