Trabalho CÁLCULO 1

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Engenharia Mecaˆnica – PUC Contagem
Ca´lculo I – Trabalho 1
Entrega: ate´ 09/10/17 – 10 pontos
Profa. Cristiane S. Souto
Questa˜o 1 A tabela abaixo mostra a temperatura das a´guas do oceano atlaˆntico (ao n´ıvel do equador) em
func¸a˜o da profundidade:
Profundidade (m) Temperatura (◦C)
100 20
500 8
1000 5
3000 2, 9
Admitindo que a variac¸a˜o de temperatura seja linear entre 100 m e 500 m, qual a temperatura prevista para
a profundidade de 400 m.
Questa˜o 2 Seja h(t) = at2 + bt + c, onde a, b, c ∈ R, com a 6= 0. Esta e´ uma func¸a˜o polinomial de
grau 2 (ou quadra´tica). Seu gra´fico determina uma para´bola. Pede-se:
(a) Trac¸ar os gra´ficos da func¸a˜o h, no mesmo plano cartesiano, para a = 1, b = −2 e c assumindo os
seguintes valores: −3, 1 e 4.
(b) Considerando o item (a) responda, em que ponto cada curva intercepta o eixo das ordenadas? Comente
a relac¸a˜o existente com os valores adotados por c.
(c) Calcule as ra´ızes das func¸o˜es obtidas no item (a).
(d) Esboc¸ar os gra´ficos da func¸a˜o h, no mesmo plano cartesiano, para b = 0, c = −3 e a assumindo os
seguintes valores: −1, 1 e 2.
(e) Para que valores de t ∈ R temos h(t) > 0 e h(t) < 0, das func¸o˜es obtidas no item (a)?
(f) Determine o ponto de ma´ximo ou de mı´nimo das func¸o˜es obtidas no item (d) e avalie sua concavidade.
Questa˜o 3 Um carro sera´ alugado por um u´nico dia. Consultadas duas ageˆncias, a primeira cobrara´ R$ 62, 00
pela dia´ria e R$ 1, 40 por quiloˆmetro rodado. A segunda cobrara´ dia´ria de R$ 80, 00 e mais R$ 1, 20 por
quiloˆmetro rodado. Em qual ageˆncia e´ mais vantajoso alugar o carro se o total de quiloˆmetros rodados for
de 120 km? E se o carro percorrer um total de 90 km?
Questa˜o 4 Na˜o precisamos conhecer o gra´fico de todas as func¸o˜es mas ao menos o das principais. Os
gra´ficos das func¸o˜es polinomiais de grau 1 e 2 ja´ sa˜o conhecidos (a reta e a para´bola). E´ interessante con-
hecer tambe´m os gra´ficos das func¸o˜es de grau 3. Vamos estudar um pouco o gra´fico de uma func¸a˜o cu´bica
(grau 3). Consideremos, por exemplo,
g(x) = x3 − 7x− 6 = (x− 3)(x+ 1)(x+ 2).
O gra´fico de g esta´ esboc¸ado a seguir.
(a) Determine os valores para os quais g(x) = 0 (as ra´ızes de g).
(b) Determine os subconjuntos dos nu´meros reais onde g(x) > 0 e onde g(x) < 0.
(c) Esboce o gra´fico da func¸a˜o h(x) = −g(x).
Questa˜o 5 A figura abaixo ilustra uma ponte suspensa por estruturas meta´licas em forma de arco de
para´bola.
Os pontos A, B, C, D e E esta˜o no mesmo n´ıvel da estrada e a distaˆncia entre quaisquer dois consecutivos
e´ 25 m. Sabendo-se que os elementos de sustentac¸a˜o sa˜o todos perpendiculares ao plano da estrada e que a
altura do elemento central CG e´ 20 m, encontre o valor da altura DH.
Questa˜o 6 Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4 m do solo, forma com essa parede
um aˆngulo de 60◦. Qual e´ o comprimento da escada em metros.
Questa˜o 7 Um fazendeiro dispo˜e de 200 m de cerca para cercar dois currais adjacentes. Quais devem
ser as dimenso˜es para que a a´rea cercada seja ma´xima?
Questa˜o 8 Uma quadra para pra´tica de educac¸a˜o f´ısica consiste em uma regia˜o retangular com um
semic´ırculo em cada extremidade. O per´ımetro da quadra deve ter 200 m. Ache as dimenso˜es que maxi-
mizem a a´rea da regia˜o retangular.
Questa˜o 9 Uma caixa sem tampa deve ser feita de uma chapa de ac¸o de 18 metros por 12 metros, removendo-
se um pequeno quadrado de cada canto e dobrando para cima as abas para formar os lados.
(a) Determine a func¸a˜o que modela o volume da caixa em relac¸a˜o ao tamanho do corte.
(b) Determine o domı´nio da func¸a˜o volume.
(c) Escolha um tamanho para o corte e determine o volume da caixa constru´ıda.
Questa˜o 10 Apo´s o consumo de uma dose substancial de cerveja, a concentrac¸a˜o C de a´lcool no sangue de
uma mulher atinge 0, 3 mg/mm3. Ao parar de beber, a concentrac¸a˜o diminui com o tempo, e e´ dada pela
func¸a˜o
C(t) = 0, 3 · (0, 5)t,
em que t e´ o tempo, em horas, apo´s o instante em que a mulher parou de beber. Se a concentrac¸a˜o ma´xima
admitida na localidade e´ de 0, 0375 mg/mm3, quanto tempo esta mulher devera´ esperar para dirigir?
Questa˜o 11 A diagonal de um quadrado mede 3
√
6 cm. Determine seu per´ımetro e sua a´rea.
Questa˜o 12 Resolva as seguintes inequac¸o˜es:
(a) 8x2 − 14x+ 3 ≤ 0
(b) −x2 + x+ 6 > 0
(c) −x4 + 5x3 − 8x2 + 4x ≥ 0
(d)
x4 + 3x3 − 4x2
4− x < 0
(e) x3 − x2 − 9x+ 9 > 0
Questa˜o 13 Uma ONG relacionada ao meio ambiente denunciou que a populac¸a˜o de peixes em um lago
esta´ diminuindo devido a` contaminac¸a˜o da a´gua por res´ıduos industriais. A lei N(t) = 8000−8 ·2t−1 fornece
uma estimativa do nu´mero de espe´cies vivas N(t) em func¸a˜o do nu´mero de anos (t) transcorridos apo´s a
instalac¸a˜o do parque industrial na regia˜o. Estime a quantidade de peixes que viviam no lago no comec¸o da
instalac¸a˜o do parque industrial e a quantidade que havera´ daqui a 10 anos.
Questa˜o 14 Apo´s estudar o tempo t (em minutos) que um determinado analge´sico leva para comec¸ar a fazer
efeito em pacientes com idades entre 10 e 20 anos, um laborato´rio obteve a fo´rmula: t = log10(10
0,8
√
k),
sendo k a idade (em anos) dos pacientes. Determine em quanto tempo comec¸ara´ a fazer efeito um analgesico
tomado por um paciente com 10 anos de idade?
Questa˜o 15 Para determinar a altura de um morro, um topo´grafo adotou o seguinte procedimento:
• Escolheu dois pontos A e B, situados no mesmo plano vertical que passa por C.
• Mediu a distaˆncia AB encontrando 162 m.
• Com aux´ılio de um teodolito mediu os aˆngulos α, β e λ encontrando respectivamente, 60◦, 90◦ e 30◦.
A figura a seguir ilustra o procedimento descrito acima.
Qual a altura do morro (h), encontrada pelo topo´grafo?