Exercícios de Álgebra Linear

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
Departamento de Matema´tica
MAT 336 – A´lgebra Linear I – 2017/II
Lista 3:
Exerc´ıcio 1:
Seja T o operador linear sobre C 2 definido por T (x, y) = (x, 0). Sejam γ a base ordenada canoˆnica de C 2 e
β = {(1, i), (−i, 2)}. Determine:
(a) [T ] γβ . (b) [T ]
β
γ . (c) [T ]
β
β . (d) [T ]
γ
γ .
Exerc´ıcio 2:
Seja V um espac¸o vetorial bidimensional sobre o corpo K e seja β uma base ordenada de V. Se T e´ um operador
linear sobre V e [T ]β =
[
a b
c d
]
, mostre que T 2 − (a+ d)T + (ad− bc)I = 0.
Exerc´ıcio 3:
Seja T : R 2 → R 2 uma transformac¸a˜o linear que dobra o comprimento do vetor u = (2, 1) e triplica o
comprimento do vetor v = (1, 2), sem alterar as direc¸o˜es nem inverter os sentidos.
(a) Determine T (x, y).
(b) Qual a matriz do operador T na base β = { (2, 1), (1, 2) } ?
Exerc´ıcio 4:
Seja T o operador linear sobre R 2 definido por T (x, y) = (−y, x).
(a) Qual e´ a matriz de T em relac¸a˜o a` base canoˆnica de R 2 ?
(b) Qual e´ a matriz de T em relac¸a˜o a` base ordenada β = {(1, 2), (1,−1)} ?
(c) Mostre que para todo nu´mero real c o operador T − cI e´ invers´ıvel.
(d) Mostre que se γ e´ uma base qualquer de R 2 e [T ] γ = A = [aij ]2×2, enta˜o a12 · a21 6= 0.
Exerc´ıcio 5:
Sejam V e W espac¸os vetoriais de dimensa˜o finita sobre o corpo K, T, S : V → W transformac¸o˜es lineares e
α, β bases ordenadas de V e W, respectivamente. Mostre que:
(a) [T + S]αβ = [T ]
α
β + [S]
α
β
(b) [λT ]αβ = λ [T ]
α
β
1
Exerc´ıcio 6:
Seja V um espac¸o vetorial n−dimensional sobre o corpo K e seja β = {v1, . . . vn} uma base ordenada de V.
(a) Sabemos que existe um u´nico operador linear T : V → V tal que T (vj) = vj+1, para j = 1, . . . , n − 1 e
T (vn) = 0. Qual e´ a matriz de T em relac¸a˜o a` base β ?
(b) Mostre que T n = 0, mas T n−1 6= 0.
Exerc´ıcio 7:
Sejam α = {(1,−1), (0, 2)} e β = {(1, 0,−1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)} bases de R 2 e R 3, respectivamente, e [T ]αβ = 1 00 0
0 −1
 .
(a) Determine T (x, y).
(b) Se S(x, y) = (2y, x− y, x), ache [S]αβ .
(c) Ache uma base γ de R 2 tal que [T ] γβ =
 1 00 0
0 1
 .
Exerc´ıcio 8:
Seja T : M 2 (R)→M 2 (R) uma transformac¸a˜o linear dada por T
(
x y
z w
)
=
(
0 x
z − w 0
)
.
(a) Determine a matriz de T com relac¸a˜o a` base canoˆnica γ e a matriz de T com relac¸a˜o a` base β ={(
1 0
0 1
)
,
(
0 1
1 0
)
,
(
1 0
1 1
)
,
(
0 1
0 1
)}
.
(b) Exiba uma matriz M tal que [T ] β = M
−1 [T ] γM.
Exerc´ıcio 9:
Considere a transformac¸a˜o linear T : P 2 (R)→ R 3 definida por
T (a0 + a1t+ a2t
2) = (a0 + a1 + a2, a0 + a1, a0 + a2).
(a) Determine a matriz [T ] γβ , onde γ e´ a base canoˆnica de P 2 (R) e β e´ a base canoˆnica de R 3.
(b) Mostre que T e´ um isomorfismo e determine a expressa˜o que define T −1.
Exerc´ıcio 10:
Obtenha bases β de R 2 e γ de R 3 relativamente a`s quais a matriz da transformac¸a˜o linear T : R 2 → R 3, dada
por T (x, y) = (2x+ y, 3x− 2y, x+ 3y), tem linhas (1 0), (0 1) e (0 0).
2
Exerc´ıcio 11:
Sejam T : Rn → Rm uma transformac¸a˜o linear, A = [aij ] uma matriz n ×m e B = [bij ] uma matriz n × n.
Dizemos que a matriz [A
...B] e´ T−associada se T (bi1, . . . , bin) = (ai1, . . . , aim), i = 1, . . . n. Dizemos que a
matriz [R
...S] e´ reduzida por linha a` T−forma escada de [A ...B] se R for reduzida por linha a` forma escada de
A.
Seja T : R 4 → R 3 a transformac¸a˜o linear definida por
T (x, y, z, t) = (x− y + z + t, x+ 2z − t, x+ y + 3z − 3t).
Sejam A =

2 2 2
1 3 5
0 1 2
1 1 1
 e B =

1 1 1 1
1 1 1 0
1 1 0 0
1 0 0 0
 .
(a) Mostre que [A
...B] e´ T−associada.
(b) Mostre que [R
...S] tambe´m e´ T−associada ([R ...S] e´ reduzida por linha a` T−forma escada de [A ...B]).
Exerc´ıcio 12:
(a) Sejam T : Rn → Rm uma transformac¸a˜o linear e [R ...S] a matriz reduzida por linha a` T−forma escada
de [[T ] t
... In]. Enta˜o {r1, . . . , rk}, k ≤ min{m,n}, e´ uma base de Im(T ) e {sk+1, . . . , sn} e´ uma base de
Ker(T ), onde ri sa˜o as linhas na˜o nulas de R e sj sa˜o as linha de S.
(b) Seja T : R 4 → R 3 a transformac¸a˜o linear definida por
T (x, y, z, t) = (x− y + z + t, x+ 2z − t, x+ y + 3z − 3t).
Determine bases para Im(T ) e Ker(T ).
(c) Seja T : M2(R) → M2(R a transformac¸a˜o linear definida por T (A) = BA, com B =
[
2 −2
−1 1
]
.
Determine bases para Im(T ) e Ker(T ).
Exerc´ıcio 13:
Mostre que:
(a) Se um operador T : V → V admite λ = 0 como autovalor, enta˜o T na˜o e´ invert´ıvel.
(b) Uma matriz n× n A e sua transposta AT possuem os mesmo autovalores.
(c) Se dimK V <∞ e β e γ sa˜o bases ordenadas de V, enta˜o det([T ]β − λI) = det([T ]γ − λI).
3
Exerc´ıcio 14:
Seja A =
 6 −3 −24 −1 −2
10 −5 −3
 ∈ M 3 (R). A e´ diagonaliza´vel? E se considerarmos A ∈ M 3 (C)?
Exerc´ıcio 15:
Seja A =
[
1 2
4 3
]
. Calcule A 2017.
Exerc´ıcio 16:
Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o n e seja T ∈ L(V, V ) tal que T 2 = T.
(a) Prove que V = Ker(T )⊕ Im(T ).
(b) T e´ diagonaliza´vel? Justifique!
Exerc´ıcio 17:
Mostre que se A ∈Mn (K) e´ diagonaliza´vel, enta˜o a matriz Am tambe´m e´ diagonaliza´vel, quaisquer que sejam
n,m ≥ 1.
Exerc´ıcio 18:
Exiba uma matriz A na˜o diagonaliza´vel tal que a matriz A 2 seja diagonaliza´vel.
Exerc´ıcio 19:
Seja T : V → V um operador linear tal que T (u) = λu, com u 6= 0. Enta˜o
f(T )(u) = f(λ)u, ∀f ∈ K[x].
Exerc´ıcio 20:
O Teorema de Cayley-Hamilton afirma que uma matriz quadrada A e´ uma ra´ız de seu polinoˆmio caracter´ıstico,
isto e´, se p(x) = a0 +a1x+ ...+anx
n e´ o polinoˆmio caracter´ıstico de A enta˜o a0I +a1A+a2A
2 + ...+anA
n = 0
(matriz nula).
(a) Verifique este resultado para
[
3 6
1 2
]
e
 0 1 00 0 1
1 −3 3
 .
(b) Este teorema proporciona um me´todo para calcular a inversa e poteˆncias n de uma matriz, tendo conhe-
cimento de poteˆncias inferiores. Verifique que isto e´ verdade tomando por exemplo uma matriz 2× 2 com
polinoˆmio caracter´ıstico c0 + c1x+ c2x
2.
4
Exerc´ıcio 20:
(c) Calcule agora A2 e A3 sendo A =
[
3 6
1 2
]
e calcule a inversa da matriz B =
 0 1 00 0 1
1 −3 3
 .
Exerc´ıcio 21:
Seja T : V → V um operador linear com polinoˆmio caracter´ıstico pT = (x − 3)2 (x − 1)3 (x + 5). Determine a
dimensa˜o de V e os candidatos a polinoˆmio minimal de T.
Exerc´ıcio 22:
Determine um operador linear T : R 3 → R 3 cujo polinoˆmio minimal seja mT = x3 − 8x2 + 5x+ 7.
5