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Unidade II
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Luiz Felix
Distribuição de frequências - média
ƒ Cálculo da Média
x = ∑ Xi . fi
n
Onde:
ƒ x média aritmética da distribuição deƒ x média aritmética da distribuição de 
frequência
ƒ Xi ponto médio de cada classe (Li + Ls)
2
ƒ fi frequência absoluta simples
ƒ n número de observações
Distribuição de frequências - média -
exemplo
Calcule a média da seguinte distribuição de 
frequências:
Saldo (R$) Correntistas
400 |--- 500 12
500 |--- 600 15
600 |--- 700 8
700 |--- 800 3
800 |--- 900 1
900 |--- 1000 1
Distribuição de frequências - média -
exemplo
Saldo (R$) fi Xi Xi . fi
400 |--- 500 12 450 5400
500 |--- 600 15 550 8250
600 |--- 700 8 650 5200
∑ X f 22900 572 50
700 |--- 800 3 750 2250
800 |--- 900 1 850 850
900 |--- 1000 1 950 950
∑ 40 --- 22900
x = ∑ Xi . fi = 22900 = 572,50
n 40 
Distribuição de frequências -
mediana
ƒ Cálculo da Mediana
ƒ
Distribuição de frequências -
mediana - exemplo
Calcule a mediana da seguinte distribuição 
de frequências:
Saldo (R$) Correntistas
400 |--- 500 12
500 |--- 600 15
600 |--- 700 8
700 |--- 800 3
800 |--- 900 1
900 |--- 1000 1
Distribuição de frequências -
mediana - exemplo
n = 40 = 20
2 2 
A classe da 
Saldo (R$) fi Fi
400 |--- 500 12 12
500 |--- 600 15 27
600 |--- 700 8 35
mediana
será a 2ª classe
700 |--- 800 3 38
800 |--- 900 1 39
900 |--- 1000 1 40
∑ 40 ---
md = 500 + (20 – 12).100 = 500 + 800 = 553,33 
15 15
Distribuição de frequências - moda
ƒ Cálculo da Moda
ƒ
Distribuição de frequências - moda -
exemplo
Calcule a moda da seguinte distribuição de 
frequências:
Saldo (R$) Correntistas
400 |--- 500 12
500 |--- 600 15
600 |--- 700 8
700 |--- 800 3
800 |--- 900 1
900 |--- 1000 1
Distribuição de frequências - moda -
exemplo
A classe modal será 
a 2ª classe, pois
apresenta a maior 
frequência.
Saldo (R$) fi
400 |--- 500 12
500 |--- 600 15
600 |--- 700 8
500 (15 12) 100 500 300 530
700 |--- 800 3
800 |--- 900 1
900 |--- 1000 1
∑ 40
mo = 500 + (15 – 12).100 = 500 + 300 = 530 
(15–12)+(15-8) 10
Interatividade
Quando uma amostra apresenta valores 
extremamente discrepantes, pode-se 
afirmar que a melhor maneira de 
representar uma variável quantitativa é:
a) Erro padrão
b) Desvio padrão
c) Moda
d) Mediana
e) Média
Distribuição de frequências - média -
exemplo
Calcule a média da seguinte distribuição de 
frequências:
Idade Pessoas
2 |--- 5 1
5 |--- 8 10
8 |--- 11 8
11 |--- 14 1
Distribuição de frequências - média -
exemplo
Idade fi Xi Xi . fi
2 |--- 5 1 3,5 3,5
5 |--- 8 10 6,5 65
8 |--- 11 8 9,5 76
x = ∑ Xi . fi = 157 = 7,85
20
11 |--- 14 1 12,5 12,5
∑ 20 --- 157
n 20 
7,85 é o valor em torno do qual os 
elementos desta série se concentram. 
Distribuição de frequências -
mediana - exemplo
Calcule a mediana da seguinte distribuição 
de frequências:
Idade Pessoas
3 |--- 6 2
6 |--- 9 5
9 |--- 12 8
12 |--- 15 3
15 |--- 18 1
Distribuição de frequências -
mediana - exemplo
Idade fi Fi
3 |--- 6 2 2
6 |--- 9 5 7
9 |--- 12 8 15
n = 19 = 9,5
2 2 
A classe da 
12 |--- 15 3 18
15 |--- 18 1 19
∑ 19 ---
mediana
será a 3ª classe
md = 9 + (9,5 – 7).3 = 9 + 7,5 = 9,94 
8 8
Distribuição de frequências - moda -
exemplo
Calcule a moda da seguinte distribuição de 
frequências:
Idade Pessoas
0 |--- 10 1
10 |--- 20 3
20 |--- 30 6
30 |--- 40 2
Distribuição de frequências - moda -
exemplo
A classe modal será a
3ª classe, pois
apresenta a maior
frequência. 
Saldo (R$) fi
0 |--- 10 1
10 |--- 20 3
20 |--- 30 6
mo = 20 + (6 – 3).10 = 20 + 30 = 24,29 
(6 3)+(6-2) 7
30 |--- 40 2
∑ 12
(6–3)+(6-2) 7
Interatividade 
Calcule a média da seguinte distribuição de 
frequências:
a) R$ 205,00 
b) R$ 305,00
c) R$ 405 00
Salários (R$) fi
350 |– 370 7
c) R$ 405,00
d) R$ 505,00
e) R$ 605,00
370 |– 390 20
390 |– 410 33
410 |– 430 25
430 |– 450 11
450 |– 470 4
Distribuição de frequências -
desvio médio
ƒ Cálculo do Desvio Médio
Dmédio = ∑ |Xi – x|. fi
n
Onde:
ƒ D desvio médioƒ Dmédio desvio médio
ƒ Xi ponto médio de cada classe
ƒ x média da distribuição de frequência
ƒ xi ponto médio de cada classe
ƒ f frequência absoluta simplesƒ fi frequência absoluta simples
ƒ n total de observações
Distribuição de frequências -
desvio médio - exemplo
Calcule o desvio médio da seguinte 
distribuição de frequências:
Saldo (R$) Correntistas
400 |--- 500 12
500 |--- 600 15
600 |--- 700 8
700 |--- 800 3
800 |--- 900 1
900 |--- 1000 1
Distribuição de frequências -
desvio médio - exemplo
Saldo (R$) fi Xi |Xi – x| |Xi – x|.fi
400 |--- 500 12 450 122,50 1470
500 |--- 600 15 550 22,50 337,50
600 | 00 8 6 0 0 620600 |--- 700 8 650 77,50 620
700 |--- 800 3 750 177,50 532,50
800 |--- 900 1 850 277,50 277,50
900 |--- 1000 1 950 377,50 377,50
∑ 40 --- --- 3615
Sendo x = 572,50
Dmédio = ∑ |Xi – x|. fi = 3615 = 90,37
n 40
∑ 40 --- --- 3615
Distribuição de frequências -
variância e desvio padrão 
(população e amostra)
ƒ População
Variância: σ2 = ∑ (Xi – x)2. fi
n
¬
√Desvio Padrão: σ = √σ2
ƒ Amostra
Variância: S2 = ∑ (Xi – x)2. fi
n – 1
¬
Desvio Padrão: S = √S2
Distribuição de frequências -
variância e desvio padrão - exemplo
Calcule a variância e o desvio padrão da 
seguinte distribuição de frequências
(população):
Saldo (R$) Correntistas
400 | 500 12400 |--- 500 12
500 |--- 600 15
600 |--- 700 8
700 |--- 800 3
800 | 900 1800 |--- 900 1
900 |--- 1000 1
Distribuição de frequências -
variância e desvio padrão - exemplo
Saldo (R$) fi Xi (Xi – x)2 (Xi – x)2.fi
400 |--- 500 12 450 15006,25 180075
500 |--- 600 15 550 506,25 7593,75
600 |--- 700 8 650 6006,25 48050
S d 572 50
700 |--- 800 3 750 31506,25 94518,75
800 |--- 900 1 850 77006,25 77006,25
900 |--- 1000 1 950 142506,25 142506,25
∑ 40 --- --- 549750
Sendo x = 572,50
σ2 = ∑ (Xi – x)2. fi = 549750 = 13743,75
¬ n 40
σ = √σ2 = √13743,75 = 117,23
Desvio padrão
34%34%
Média
1 DP 1 DP
2 DP
68 3%
2 DP
3 DP 3 DP
68,3%
95,5%
99,7%
Interatividade
Qual o desvio padrão, para a seguinte 
distribuição (Amostra):
a) 49,46
b) 55,38
c) 63 63
Consumo por 
Nota Fiscal
Número De 
Notas
0 | 50 10c) 63,63
d) 71,02
e) 84,91
0 |--- 50 10
50 |--- 100 28
100 |--- 150 12
150 |--- 200 2
200 |--- 250 1
250 |--- 300 1
Origem da teoria das probabilidades
ƒ A origem da teoria das probabilidades 
encontra-se nos jogos de azar desde o 
século XVII. Surgiu da necessidade de 
um método racional para calcular os 
riscos dos jogadores em jogos de cartas, 
dados etcdados etc.
ƒ Posteriormente passou a auxiliar 
governos, empresas e organizações 
profissionais em seus processos de 
decisões, ajudando a desenvolver 
estratégiasestratégias.
Probabilidade
Eventos – Teoria de conjuntos
Espaço Amostral (S) é o conjunto de todos 
os possíveis resultados de um experimento
Evento é todo subconjunto de S. 
S {1 2 3 4 5 6}
1 2
3 4
5 6
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 2, 3} (números menores que 4)
B = {1, 3, 5} (números ímpares)
C = Ø (números múltiplos de 7)
D = S (números maiores que 0)
S
D = S (números maiores que 0)
Probabilidade
Eventos – Teoria de conjuntos
1 2
3 4
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 2, 3}
B {1 3 5}
⇔ P(A) = 0,5
P(B) 0 5
⇔ P(S) = 1
5 6
S
B = {1, 3, 5}
C = Ø
D = S
⇔ P(B) = 0,5
⇔ P(C) = 0
⇔ P(D) = 1
#P
#
eventos favoráveis
í i
=
#eventos possíveis
0 ≤ P(evento qualquer ) ≤ 1
Operações com eventos - exemplos
Um dado é lançado e observa-se o número 
de face de cima. 
Se S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Se A = {1,2,3} B = {2,3,6} C = {2,6} então:
A ∪ B = {1,2,3,6} A ∪ B = {4,5} 
A ∩ B = {2,3} A ∩ B = {1,4,5,6} 
A = {4,5,6} (A ∩ B) ∪ C = {2,3,6}
B – C = {3} A ∩ B ∩ C = {2} 
Probabilidade: propriedades
( ) ( ) ( )PA B PA PB∪ = +
A B∪
( )PA B− ∩
eventos
independentes
( ) ( ) ( )PA B PA PB∪ = +
( ) 1 ( )P A P A= −A
Probabilidade
Qual a
A B∪
Exemplo:
Qual a 
probabilidade 
do objeto 
selecionado 
ser quadrado 
ou ser 
vermelho?
P(Quadrado∪Vermelho) = 8
9
P(Quadrado∪Vermelho) = P(Quadrado) +
P(Vermelho) -
P(Q d d ∩V lh )P(Quadrado∩Vermelho)
= 5 + 5 - 2 = 8
9 9 9 9
Probabilidade
Exemplo:
A B∪
Exemplo:
Qual a 
probabilidade do 
objeto 
selecionado ser 
d dquadrado ou ser 
vermelho?
P(Quadrado ∪ Vermelho) = 8
9
P(Quadrado ∪ Vermelho) ≠ P(Quadrado) +
P(Vermelho)
= 5 + 5 = 10 > 1 ?
9 9 9 
Probabilidade - exemplos
Considere 3 fábricas A, B e C, que 
produzem um determinado produto em 
lotes de 100, 200 e 300 peças, 
respectivamente. Um lote de cada fábrica é 
selecionado e as peças são misturadas. 
Suponha que a probabilidade de seSuponha que a probabilidade de se 
encontrar peças defeituosas em cada uma 
das fábricas seja respectivamente de 10%; 
5% e 1%. Selecionando-se uma peça ao 
acaso, calcule a seguinte probabilidade: 
a) Ser da fábrica Aa) Ser da fábrica A
P(A) = 100 = 1 = 0,1666 ou 16,66%
600 6 
Probabilidade - exemplos
Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem 
um determinado produto em lotes de 100, 200 
e 300 peças, respectivamente. Um lote de 
cada fábrica é selecionado e as peças são 
misturadas. Suponha que a probabilidade de 
se encontrar peças defeituosas em cada umase encontrar peças defeituosas em cada uma 
das fábricas seja respectivamente de 10%; 
5% e 1%. Selecionando-se uma peça ao 
acaso, calcule a seguinte probabilidade:
b) Ser defeituosa, sabendo que a peça 
provém da fábrica Aprovém da fábrica A
P(D/A) = 10 = 0,1 ou 10%
100
Probabilidade - exemplos
Ser defeituosa
ƒ A Æ 10% de 100 = 10 . 100 = 10
100 
ƒ B Æ 5% de 200 = 5 . 200 = 10
100 
ƒ C Æ 1% de 300 = 1 . 300 = 3
100 
T t l d d f it 10 10 3Total de peças defeituosas = 10 + 10 + 3 = 
23 Como temos no total 600 peças, a 
probabilidade ficará: P(D) = 23
600
= 0,0383 = 3,83%
Probabilidade - exemplos
d) Ser da fábrica A, sabendo que a peça é 
defeituosa
Total de peças defeituosas: 23
Qual a probabilidade de ser da fábrica A 
que produziu 10 peças defeituosas?que produziu 10 peças defeituosas? 
P(A / D) = 10 = 0,4347 = 43,47% 
23
Interatividade
Num café estão 20 pessoas. Sabendo que 8 
são mulheres, indique a probabilidade de, 
ao escolher uma das pessoas ao acaso, ser 
um homem?
a) 20%
b) 12%
c) 40%
d) 25%
e) 60%
ATÉ A PRÓXIMA!