APOSTILA UNIDADE 5

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UNIDADE 5: VALORES MÁXIMO E MÍNIMO 
Como vimos no cálculo de uma variável, a partir das derivadas de uma função podemos 
definir pontos de máximos e mínimos de uma função. Nesta seção veremos como usar as 
derivadas parciais para localizar os pontos de máximo e mínimo de uma função de duas 
variáveis. 
 
Definição: Uma função de duas variáveis tem um máximo local em (a,b) se 
quando (x,y) está próximo de (a,b). Isso significa que para todo 
ponto (x,y) em alguma bola aberta com centro em (a,b). O número é 
chamado valor máximo local. Se quando (x,y) está próximo de 
(a,b), então f(a,b) é um valor mínimo local. 
 
A figura abaixo representa de forma gráfica a definição acima. 
 
 
Teorema: Se uma função f tem um máximo ou um mínimo locais em (a,b) e as derivadas 
parciais de primeira ordem de f existem nesses pontos, então e 
 . 
 
Um ponto (a,b) é dito ser um ponto crítico (ou ponto estacionário) de f se e 
 , ou se uma das derivadas parciais não existir. Contudo, é importante ressaltar que 
embora todo ponto de máximo ou mínimo local seja um ponto crítico, nem todo ponto 
crítico é um ponto de máximo ou mínimo local. Esta afirmação nos traz então a necessidade de 
um teste mais preciso sobre a existência de um ponto máximo ou mínimo local, para tanto, temos 
o teste da segunda derivada, como se segue. 
Teste da Segunda Derivada: Suponha que as segundas dderivadas parciais de f sejam contínuas 
em uma bola aberta com centro em (a,b), e suponha que (a,b) seja um ponto crítico, 
ou seja, e . Seja D dado por 
 
 
 
Então: 
a) Se e , então é um mínimo local. 
b) Se e , então é um máximo local. 
c) Se , então não é um mínimo nem máximo local, neste caso temos 
um ponto de sela. 
d) Se o teste é inconclusivo. 
 
A figura abaixo mostra um gráfico da função z = y² - x², em que há um ponto de cela. 
 
Exemplo 5.1. Determine os valores de máximo e mínimo locais e os pontos de sela de 
 . 
 
Exemplo 5.2. Examine a função para máximos e mínimos. 
 
Exemplo 5.3. Examine a função para máximos e mínimos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS