APOSTILA UNIDADE 6 TRIPLAS

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Prevenir é uma das melhores formas de lutar
6.6. Integrais triplas 
Assim como definimos integrais simples para funções de uma única variável e dupla para 
funções de duas variáveis, vamos definir integrais triplas para funções de três variáveis. 
Inicialmente, trataremos o caso mais simples, quando 
por: 
𝐵 = {(
 
Conforme mostrado na figura abaixo, vamos dividir esta caixa em subcaixas 
lados ∆𝑥, ∆𝑦 e ∆𝑧, resultando em pequenos volumes 
Fazendo com que esses volumes se tornem infinitamente pequenos
ser definida como a soma destes volumes infinitesimalmente pequenos, como
ම 𝑓(𝑥,
஻
onde l, m e n são o número de intervalos em que os eixos x, y e z são divididos, respectivamente, 
e 𝑥௜ , 𝑦௝ e 𝑧௞ são pontos aleatórios dentro de cada volume 
Assim como para integ
consiste em expressá-la como uma integral iterada como segue.
 
Teorema de Fubini para as Integrais Triplas:
𝐵 = [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑] × [𝑟, 𝑠], entã
ම 𝑓(
஻
 
Prevenir é uma das melhores formas de lutar
Assim como definimos integrais simples para funções de uma única variável e dupla para 
funções de duas variáveis, vamos definir integrais triplas para funções de três variáveis. 
lmente, trataremos o caso mais simples, quando f é definida em uma caixa retangular, dada 
{(𝑥, 𝑦, 𝑧)| 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 𝑟 ≤ 𝑧 ≤ 𝑠} 
Conforme mostrado na figura abaixo, vamos dividir esta caixa em subcaixas 
sultando em pequenos volumes ∆𝑉 = ∆𝑥∆𝑦∆𝑧. 
 
Fazendo com que esses volumes se tornem infinitamente pequenos
omo a soma destes volumes infinitesimalmente pequenos, como
( , 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = lim
௟,௠,௡→ஶ
෍ ෍ ෍ 𝑓൫𝑥௜, 𝑦௝ , 𝑧௞൯∆𝑉
௡
௞ୀଵ
௠
௝ୀଵ
௟
௜ୀଵ
onde l, m e n são o número de intervalos em que os eixos x, y e z são divididos, respectivamente, 
são pontos aleatórios dentro de cada volume ∆𝑉. 
Assim como para integrais duplas, o método prático para calcular uma integral tripla 
la como uma integral iterada como segue. 
Teorema de Fubini para as Integrais Triplas: Se f é contínua em uma caixa retangular 
, então 
ම (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = න න න 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
௦
௥
𝑑𝑥
ௗ
௖
𝑑𝑦
௕
௔
𝑑𝑧 
Prevenir é uma das melhores formas de lutar 
Assim como definimos integrais simples para funções de uma única variável e dupla para 
funções de duas variáveis, vamos definir integrais triplas para funções de três variáveis. 
é definida em uma caixa retangular, dada 
}
Conforme mostrado na figura abaixo, vamos dividir esta caixa em subcaixas 𝐵௜௝௞ de 
 
Fazendo com que esses volumes se tornem infinitamente pequenos a integral tripla pode 
omo a soma destes volumes infinitesimalmente pequenos, como 
൯ 𝑉 
onde l, m e n são o número de intervalos em que os eixos x, y e z são divididos, respectivamente, 
rais duplas, o método prático para calcular uma integral tripla 
é contínua em uma caixa retangular 
Prevenir é uma das melhores formas de lutar
A integral iterada mostrada no Teorema de Fubini para Integrais Triplas indica que 
primeiro iremos integrar em relação a x, em seguida em relação a y e finalmente em relação a z, 
mantendo as demais variáveis, em cada integração, constantes. Assim como nas integrais duplas, 
desde que se faça a troca correta dos limites de integração a ordem de integração não afeta o 
resultado. 
 
Exemplo 6.14: Calcule a integral tripla 
𝐵 = {(𝑥
6.6.1. Integrais triplas sobre regiões genéricas
Assim como no estudo de integrais sobre regiões genéricas para integrais duplas vamos 
dividir o estudo a tipos específicos de re
 
Região sólida do tipo I: uma região sólida E é dita ser do tipo I se está contida entre os gráficos 
de duas funções contínuas de x e y, ou seja,
𝐸 = {(𝑥
onde D é a projeção de E sobre
Assim sendo, a integral i
ම 𝑓(
ா
 
Uma variação da região do tipo I se dá qua
mesmo tempo em que os limites de y são funções de x, ou seja,
𝐸 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑎 ≤
 
Prevenir é uma das melhores formas de lutar
A integral iterada mostrada no Teorema de Fubini para Integrais Triplas indica que 
primeiro iremos integrar em relação a x, em seguida em relação a y e finalmente em relação a z, 
tendo as demais variáveis, em cada integração, constantes. Assim como nas integrais duplas, 
desde que se faça a troca correta dos limites de integração a ordem de integração não afeta o 
Calcule a integral tripla ∭ 𝑥𝑦𝑧²஻ 𝑑𝑉, onde B é a caixa retangular dada por 
{(𝑥, 𝑦, 𝑧)| 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, −1 ≤ 𝑦 ≤ 2, 0 ≤ 𝑧 ≤ 3} 
6.6.1. Integrais triplas sobre regiões genéricas 
Assim como no estudo de integrais sobre regiões genéricas para integrais duplas vamos 
dividir o estudo a tipos específicos de regiões de integração. 
uma região sólida E é dita ser do tipo I se está contida entre os gráficos 
de duas funções contínuas de x e y, ou seja, 
{(𝑥, 𝑦, 𝑧)|(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷, 𝑢ଵ(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑢ଶ(𝑥, 𝑦)} 
onde D é a projeção de E sobre o plano xy, como mostrado na figura abaixo.
 
Assim sendo, a integral iterada para o cálculo sobre uma região do tipo I se torna:
(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 = ඵ ቈන 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
௨మ(௫,௬)
௨భ(௫,௬)
𝑑𝑧቉
஽
𝑑𝐴 
Uma variação da região do tipo I se dá quando os limites de z são funções de x e y, ao 
mesmo tempo em que os limites de y são funções de x, ou seja, 
≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑔ଵ(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔ଶ(𝑥), 𝑢ଵ(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤
Prevenir é uma das melhores formas de lutar 
A integral iterada mostrada no Teorema de Fubini para Integrais Triplas indica que 
primeiro iremos integrar em relação a x, em seguida em relação a y e finalmente em relação a z, 
tendo as demais variáveis, em cada integração, constantes. Assim como nas integrais duplas, 
desde que se faça a troca correta dos limites de integração a ordem de integração não afeta o 
onde B é a caixa retangular dada por 
} 
Assim como no estudo de integrais sobre regiões genéricas para integrais duplas vamos 
uma região sólida E é dita ser do tipo I se está contida entre os gráficos 
} 
o plano xy, como mostrado na figura abaixo. 
lculo sobre uma região do tipo I se torna: 
 
ndo os limites de z são funções de x e y, ao 
≤ 𝑢ଶ(𝑥, 𝑦)} 
Prevenir é uma das melhores formas de lutar
e a integral iterada para a integração sobre uma região deste tip
ම 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
ா
 
Outra variação da região do tipo I se dá quando os limites de z são funções de x e y, ao 
mesmo tempo em que, desta vez, os limites
𝐸 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑐 ≤
e a integral iterada para a integração sobre uma região deste tipo se torna
ම 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
ா
 
Exemplo 6.15: Determine a integral tripla 
𝐸 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|
 
 
 
 
 
Prevenir é uma das melhores formas de lutar
 
e a integral iterada para a integração sobre uma região deste tipo se torna 
) 𝑑𝑉 = න ቈන ቆන 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
௨మ(௫,௬)
௨భ(௫,௬)
𝑑𝑧ቇ
௚మ(௫)
௚భ(௫)
𝑑𝑦
௕
௔
Outra variação da região do tipo I se dá quando os limites de z são funções de x e y, ao 
mesmo tempo em que, desta vez, os limites de x são funções de y, ou seja, 
≤ 𝑦 ≤ 𝑑, ℎଵ(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ ℎଶ(𝑦), 𝑢ଵ(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤
 
e a integral iterada para a integração sobre uma região deste tipo se torna 
) 𝑑𝑉 = න ቈන ቆන 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
௨మ(௫,௬)
௨భ(௫,௬)
𝑑𝑧ቇ
௛మ(௬)
௛భ(௬)
𝑑𝑥
ௗ
௖
Determine a integral tripla ∭ 𝑧𝑦𝑥ா 𝑑𝑉 sobre a região E definida por
)| − 2 ≤ 𝑥 ≤ 2, −1 ≤ 𝑦 ≤ 2, 𝑧 = 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑧 =
Prevenir é uma das melhores formas de lutar 
ቇ 𝑑𝑦቉ 𝑑𝑥 
Outra variação da região do tipo I se dá quando os limites de z são funções de x e y, ao 
 
≤ 𝑢ଶ(𝑥, 𝑦)} 
ቇ 𝑑𝑥቉ 𝑑𝑦 
definida por 
= 𝑥𝑦²} 
Prevenir é uma das melhores formas de lutar
Exemplo 6.16: Calcule ∭ 𝑧ா
pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x + y + z =1, conforme 
mostrado na figura ao lado.Exemplo 6.17: Use a integral tripla para determinar o volume contido no tetraedro limitado 
pelos planos coordenados e o plano 2x + y + z = 4.
 
 
Região sólida do tipo II: uma região sólida E é do tipo 
duas funções contínuas de y e z, ou seja,
𝐸 = {(𝑥
onde D é a projeção de E sobre o plano y
E, dessa forma, a integral iterada para o cálculo sobre uma região do tipo I
ම 𝑓(
ா
 
Uma variação da região do tipo 
mesmo tempo em que os limites de 
𝐸 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑐 ≤
e a integral iterada para a integração sobre uma região deste tipo se torna
ම 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
ா
 
Prevenir é uma das melhores formas de lutar
𝑧 𝑑𝑉, onde E é o sólido limitado 
pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x + y + z =1, conforme 
Use a integral tripla para determinar o volume contido no tetraedro limitado 
pelos planos coordenados e o plano 2x + y + z = 4. 
uma região sólida E é do tipo II se está contida entre os gráficos de 
e z, ou seja, 
{(𝑥, 𝑦, 𝑧)|(𝑦, 𝑧) ∈ 𝐷, 𝑢ଵ(𝑦, 𝑧) ≤ 𝑥 ≤ 𝑢ଶ(𝑦, 𝑧)} 
a projeção de E sobre o plano yz, como mostrado na figura abaixo.
 
ssa forma, a integral iterada para o cálculo sobre uma região do tipo I
(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 = ඵ ቈන 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
௨మ(௬,௭)
௨భ(௬,௭)
𝑑𝑥቉
஽
𝑑𝐴 
Uma variação da região do tipo II se dá quando os limites de x são funções de 
o tempo em que os limites de z são funções de y, ou seja, 
≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 𝑔ଵ(𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑔ଶ(𝑦), 𝑢ଵ(𝑦, 𝑧) ≤ 𝑥 ≤
e a integral iterada para a integração sobre uma região deste tipo se torna 
) 𝑑𝑉 = න ቈන ቆන 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
௨మ(௬,௭)
௨భ(௬,௭)
𝑑𝑥ቇ
௚మ(௬)
௚భ(௬)
𝑑𝑧
ௗ
௖
Prevenir é uma das melhores formas de lutar 
Use a integral tripla para determinar o volume contido no tetraedro limitado 
II se está contida entre os gráficos de 
} 
, como mostrado na figura abaixo. 
ssa forma, a integral iterada para o cálculo sobre uma região do tipo II se torna: 
 
são funções de y e z, ao 
≤ 𝑢ଶ(𝑦, 𝑧)} 
ቇ 𝑑𝑧቉ 𝑑𝑦 
Prevenir é uma das melhores formas de lutar
 
Outra variação da região do tipo 
mesmo tempo em que, desta vez, os limites de y
𝐸 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)| 𝑟 ≤
e a integral iterada para a integração sobre uma região deste tipo se torna
ම 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧
ா
 
 
Região sólida do tipo III: uma região sólida E é do tipo II
duas funções contínuas de x e z, ou seja,
𝐸 = {(𝑥
onde D é a projeção de E sobre o plano x
E, dessa forma, a integral iterada para o cálculo sobre uma região do tipo I
ම 𝑓(
ா
 
Uma variação da região do tipo 
mesmo tempo em que os limites de 
𝐸 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑎 ≤
e a integral iterada para a integração sobre uma região deste tipo se torna
ම 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
ா
 
Outra variação da região do tipo 
mesmo tempo em que, desta vez, os limites de 
 
Prevenir é uma das melhores formas de lutar
Outra variação da região do tipo II se dá quando os limites de x são funções de y
que, desta vez, os limites de y são funções de z, ou seja, 
≤ 𝑧 ≤ 𝑠, ℎଵ(𝑧) ≤ 𝑦 ≤ ℎଶ(𝑧), 𝑢ଵ(𝑦, 𝑧) ≤ 𝑥 ≤
e a integral iterada para a integração sobre uma região deste tipo se torna 
𝑧) 𝑑𝑉 = න ቈන ቆන 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
௨మ(௬,௭)
௨భ(௬,௭)
𝑑𝑥ቇ
௚మ(௭)
௚భ(௭)
𝑑𝑦
௦
௥
uma região sólida E é do tipo III se está contida entre os gráficos de 
e z, ou seja, 
{(𝑥, 𝑦, 𝑧)|(𝑥, 𝑧) ∈ 𝐷, 𝑢ଵ(𝑥, 𝑧) ≤ 𝑦 ≤ 𝑢ଶ(𝑥, 𝑧)} 
a projeção de E sobre o plano xz, como mostrado na figura abaixo.
 
ssa forma, a integral iterada para o cálculo sobre uma região do tipo I
(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 = ඵ ቈන 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
௨మ(௫,௭)
௨భ(௫,௭)
𝑑𝑦቉
஽
𝑑𝐴 
Uma variação da região do tipo III se dá quando os limites de y são funções de 
o tempo em que os limites de z são funções de x, ou seja, 
≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑔ଵ(𝑥) ≤ 𝑧 ≤ 𝑔ଶ(𝑥), 𝑢ଵ(𝑥, 𝑧) ≤ 𝑦 ≤
e a integral iterada para a integração sobre uma região deste tipo se torna 
) 𝑑𝑉 = න ቈන ቆන 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
௨మ(௫,௭)
௨భ(௫,௭)
𝑑𝑦ቇ
௚మ(௫)
௚భ(௫)
𝑑𝑧
௕
௔
Outra variação da região do tipo III se dá quando os limites de y são funções de 
que, desta vez, os limites de x são funções de z, ou seja, 
Prevenir é uma das melhores formas de lutar 
x são funções de y e z, ao 
 
≤ 𝑢ଶ(𝑦, 𝑧)} 
ቇ 𝑑𝑦቉ 𝑑𝑧 
se está contida entre os gráficos de 
} 
z, como mostrado na figura abaixo. 
ssa forma, a integral iterada para o cálculo sobre uma região do tipo III se torna: 
 
são funções de x e z, ao 
≤ 𝑢ଶ(𝑥, 𝑧)} 
ቇ 𝑑𝑧቉ 𝑑𝑥 
são funções de x e z, ao 
 
Prevenir é uma das melhores formas de lutar
𝐸 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)| 𝑟 ≤
e a integral iterada para a integração sobre uma região deste tipo se torna
ම 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧
ா
 
Exemplo 6.18: Calcule ∭ா
𝑥ଶ + 𝑧ଶ e pelo plano y = 4. 
 
Exemplo 6.19: Calcule a integral tripla 
𝐸 = ቄ(𝑥, 𝑦
 
Exemplo 6.20: Calcule a integral tripla 
acima da região do plano xy limitada pelas curvas 
 
EXERCÍCIOS: J. Stewart, Cap. 15. E
 
 
Prevenir é uma das melhores formas de lutar
≤ 𝑧 ≤ 𝑠, ℎଵ(𝑧) ≤ 𝑥 ≤ ℎଶ(𝑧), 𝑢ଵ(𝑦, 𝑧) ≤ 𝑦 ≤
e a integral iterada para a integração sobre uma região deste tipo se torna 
𝑧) 𝑑𝑉 = න ቈන ቆන 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
௨మ(௫,௭)
௨భ(௫,௭)
𝑑𝑦ቇ
௚మ(௭)
௚భ(௭)
𝑑𝑥
௦
௥
√𝑥ଶ + 𝑧ଶ 𝑑𝑉, onde E é a região limitada pelo 
Calcule a integral tripla ∭ 2𝑥ா 𝑑𝑉, onde 
( 𝑦, 𝑧)|0 ≤ 𝑦 ≤ 2, 0 ≤ 𝑥 ≤ ඥ4 − 𝑦ଶ, 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑦
Calcule a integral tripla ∭ 6𝑥𝑦ா 𝑑𝑉 onde E está abaixo do plano z = 1 + x + y e 
acima da região do plano xy limitada pelas curvas 𝑦 = √𝑥, y = 0 e x = 1. 
J. Stewart, Cap. 15. Exercícios da página 1028 (470 PDF) do 
Prevenir é uma das melhores formas de lutar 
≤ 𝑢ଶ(𝑦, 𝑧)} 
ቇ 𝑥቉ 𝑑𝑧 
, onde E é a região limitada pelo paraboloide 𝑦 =
𝑦ቅ 
onde E está abaixo do plano z = 1 + x + y e 
PDF) do 1 ao 20.