Exercícios de Cálculo Vetorial para Engenharia

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CURSO DE ENGENHARIA 
CÁLCULO DIF. INT. II 
EXERCÍCIOS DE REVISÃO PARA A AV1 
 
Obs.: As letras em negrito representam vetores. 
1 - Calcular os limites das funções vetoriais: 
a) * 
 
 
 + 
b) [( ) ( ) ] 
 
2 - Uma partícula se desloca no plano com o vetor posição dado por: R (t) = ti + t
2
j, em que t  0. Pede-se: 
a) o gráfico da trajetória; 
b) os vetores velocidade e aceleração da partícula; 
c) os módulos da velocidade e da aceleração da partícula nos instantes t = 1 s e t = 5 s; 
 
3 - Uma partícula se desloca no plano com o vetor posição dado por: R (t) = (2cos t)i + (3sen t)j, em que 0  
t  2. Pede-se: 
a) o gráfico da trajetória; 
b) os vetores velocidade e aceleração da partícula; 
c) os módulos da velocidade e da aceleração da partícula nos instantes t = 0 e t = /2 s; 
 
4 – Calcular as integrais definidas abaixo: 
a) ∫ [( ) ( ) ] 
 
 
b) ∫ [( ) ( ) ] 
 
  
 
5 – O vetor velocidade de uma partícula é dado por: ( ) . Determinar o vetor posição da 
partícula, sabendo que no instante inicial, t = 0, o vetor posição é R (0) = i + j. 
 
6 – O vetor aceleração de uma partícula é dado por: . Determinar o vetor velocidade da partícula, 
sabendo que no instante inicial, t = 0, o vetor velocidade é v (0) = 10i + 10j. 
 
7 – Uma partícula se desloca no plano com vetor posição dado por: R (t) = 4senti + 4costj. Determinar o 
vetor tangente unitário. Calcular o comprimento da curva entre os instantes 0 ≤ t ≤ . Determinar a curvatura 
e o vetor normal unitário. 
 
8 - Determinar os vetores unitários T e N, e a curvatura, , para a curva plana: R(t) = ti + ln(cost)j 
compreendida entre -/2  t  /2. 
 
9– Dizer em que quadrante se encontra os pontos abaixo: 
a) P (3, /3) b) Q (4, -5 /8) c) R (-2, 3 /4) d) S (-5, - /3) 
 
10– Determinar as coordenadas polares dos pontos abaixo que estão em coordenadas cartesianas: 
a) (1, √ ) b) (-2, -2) 
 
11- Determinar as coordenadas cartesianas dos pontos abaixo que estão em coordenadas polares: 
a)(2, 3 /4) b) (-1, - /3) 
 
12 - Substituir a equação polar por uma equação cartesiana equivalente. 
a) r.sen = 0 b) r2 = 4r.sen
 
13 - Substituir a equação cartesiana por uma equação polar equivalente. 
a) 
 
 
 
 
 
 b) y2 = 4x 
 
14 – Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P (3, -4, 1) e é paralela ao vetor: v = i 
+ j +k. 
 
15 – Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P (2, 4, 5) e é perpendicular ao plano 
3x + 7y – 5z = 21. 
 
16 - Determinar a equação do plano que passa pelo ponto P (0, 2, -1) e é normal ao vetor: n = 3i - 2j – k. 
 
17 – Determinar a equação do plano que passa pelos pontos P (1, 1, -1), Q (2, 0, 2) e R (0, -2, 1). 
 
18 – Uma partícula se desloca no espaço com o vetor posição dado por: R (t) = (2cost)i + (2sent)j + 51/2tk. 
Determinar o vetor tangente unitário da curva. Calcular o comprimento da curva entre os instantes t = 0 e t = 
. 
 
19 - Determinar os vetores unitários T e N, e a curvatura, , para a curva: R (t) = (3sent)i + (3cost)j + 4tk. 
 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 
 
1 – No cálculo dos limites substitui-se a variável t nas respectivas equações e realiza-se o caçulo: 
a) * 
 
 
 + * 
 
 ( )
 + 
b) [( ) ( ) ] [ ] 
 
2 – a) as funções componentes escalares são: x = f(t) = t e y = g(t) = t2. Assim, a dependência entre x e y é: y 
= x
2
. Como t  0, então, x  0 e y  0, logo a trajetória é o ramo da parábola no primeiro quadrante, conforme 
a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) v(t) = 
 ( )
 
 = i + 2tj e a(t) = 
 ( )
 
 
 ( )
 
 = 2j 
 
c) |v| = √ ( ) √ e |a| = √ = 2 
para t = 1, então |v| = √ e |a| = 2 
para t = 5, então |v| = √ e |a|| = 2 
 
3 – a) as funções componentes escalares são: x = f(t) = 2cos t e y = g(t) = 3sen t. Para determinar a 
dependência entre y e x, faz-se: x/2 = cos t e y/3 = sen t. Elevando ambas as expressões ao quadrado e 
somando-as membro a membro, vem: 
 
 
 
 
 
 ou 
 
 
 
 
 
 . Essa equação representa 
uma elipse com centro na origem e tendo eixo maior igual a 3 no eixo das ordenadas e eixo menor igual a 2 
no eixo das abscissas, conforme a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
       








x
y
       








x
y
 
A partícula descreve uma trajetória elipse anti-horária, pois em t = 0 a partícula se encontra no ponto (2,0) e 
em t = /2, se encontra no ponto (0,3). 
 
b) v(t) = 
 ( )
 
 = -2sen(t) i + 3cos(t) j e a(t) = 
 ( )
 
 
 ( )
 
 = -2cos(t) i – 3sen(t)j 
 
c) |v| = √( ) ( ) √ 
e 
|a| = √( ) ( ) √ 
para t = 0, então |v| = e |a| = 2 
para t = /2, então |v| = 2 e |a|| = 3 
 
4 – a) ∫ ( ) ∫ ( ) ( )| 
 ( )| 
 
 
 
 
 
 = [((3(2) - 2
3
) – (3(0) – 03)]i + [(2(2)2 + 2) – (2(0)2 – 0)]j = -2i + 10j. 
b) ∫ ( ) ∫ ( ) ( )| 
 
 ( )| 
 
 
 
 
 
– = 
= - [(cos(/4) – cos(-/4)]i + [(/4 + sen(/4)) – (-/4 + sen(-/4))]j = -(
√ 
 
 
√ 
 
)i + [(
 
 
 
√ 
 
) ( 
 
 
 
√ 
 
)]j 
= (
 
 
 √ ) 
 
5 – R(t) = ∫ ( ) ∫[( ) ] ∫[( ) ] ∫[ ] = (t4/4 + 2t)i + t2/2j + C 
onde C é o vetor constante de integração. O cálculo do vetor C se faz, utilizando a condição inicial: 
para t = 0, então R(0) = [(0)
4
/4 + 2(0)]i + [(0)
2
/2]j + C = i + j 
Logo, C = i + j 
O vetor posição da partícula será: R(t) = (t
4
/4 + 2t
2
 + 1)i + (t
2
/2 + 1)j 
 
6 - v(t) = ∫ ( ) ∫[( ) ] -32tj + C 
onde C é o vetor constante de integração. O cálculo do vetor C se faz, utilizando a condição inicial: 
para t = 0, então v(0) = -32(0)j + C = 10i + 10j 
Logo, C = 10i + 10j 
O vetor velocidade da partícula será: v(t) = 10i + (10 – 32t)j 
 
7 – O vetor tangente unitário é dado por: T = v/|v| 
vetor velocidade: v(t) = dR(t)/dt = 4costi – 4sentj 
módulo do vetor velocidade: |v| = √( ) ( ) √ √ 
T = 
 
| |
 
 
 
 
O comprimento da curva entre os instantes t = 0 e t = é dado por: 
s = ∫ | | ∫ 
 
 
 
 
A curvatura é dada por: 
 = 
| |
| |
 
Cálculo do módulo do vetor dT/dt: 
dT/dt = -senti – costj e seu módulo é: |dT/dt| = 1 
Logo:  = ¼. 
Determinação do vetor normal unitário (N): 
N = 
 
 
| 
 
|
 
 
 
 = -senti - costj 
 
8 – Cálculo do vetor tangente unitário (T): 
O vetor tangente unitário é o versor do movimento, assim: 
T = v/|v| 
vetor velocidade: v(t) = dR(t)/dt = i – (sent/cost)j = i – (tgt)j 
módulo do vetor velocidade: |v| = √ √ 
 
 
 
vetor tangente unitário: T = 
 
 
 
 
 
 
o vetor normal unitário, N, é dado por: N = 
 
| |
 
cálculo de dT/dt: dT/dt = -sent i – cost j 
cálculo de |dT/dt|: |dT/dt| = √( ) ( ) = 1 
assim, 
N = -sent i – cost j 
A curvature, , é dada pela expressão: 
 
| |
|
 
 
| 
logo, 
 = (1/sec t) = cost 
 
9 – a) 1o Q b) 3o Q c) 4o Q d) 2o Q 
 
10 – As relações a serem utilizadassão: r2 = x2 + y2 e tg  = y/x. 
a)r
2
 = 1
2
 + (√ )
2
 = 4, logo r = ± 2 
tg  = √ /1 = √ , logo  = arc tg √ , então  = /3 (60
o) ou 4 /3 (240o) 
Como o ponto se encontra no 1
o
 Q, então o ponto pode ser representado por: (2, /3) ou (-2, 4 /3). 
b) r
2
 = (-2)
2
 + (-2)
2
 = 8, logo r = ± √ = ± √ 
tg  = -2/(-2) = 1, logo  = arc tg 1, então  = /4 (45o) ou 5 /4 (225o) 
Como o ponto se encontra no 3
o
 Q, então o ponto pode ser representado por: (2√ , 5 /4) ou (-2√ , /4). 
 
11 – As relações a serem utilizadas são: x = r.cos e y = r.sen. 
a)x = 2.cos(3 /4) = -2(-√ /2) = √ 
y = 2.sen(3 /4) = -2(√ /2) = - √ 
O ponto é representado por: (√ , -√ ) e se encontra no 2
o
 Q, 
b) x = (-1).cos (- /3) = (-1).(1/2) = -1/2) 
y = (-1).sen(- /3) = (-1),(-√ /2) = √ 
O ponto é representado por: (-1/2, √ ) e se encontra no 2
o
 Q. 
 
12 – a) Como y = rsen, então y = 0. 
b) Como r
2
 = x
2
 + y
2
 e y = rsen, então, tem-se: x2 + y2 = 4y. 
 
13 – a) Substituindo x = rcos e y = rsen, vem: 
( ) 
 
 
( ) 
 
 ou r2(4cos2 + 9sen2) = 36. 
b) Fazendo as mesmas substituições realizadas no item anterior, vem: (rsen)2 = 4(rcos) ou rsen2 = 4cos. 
 
14 – Se v = v1i + v2j + v3k é um vetor paralelo a uma reta que passa pelo ponto P(xo,yo,zo), então, as 
equações paramétricas da reta são: x = xo + v1t; y = yo + v2t; e z = zo + v3t. 
Substituindo os dados do problema nas expressões gerais das equações paramétricas, vem: 
x = 3 + t y = -4 + t z = 1 + t 
 
15 – O vetor normal ao plano dado é: n = 3i + 7j – 5k. Esse vetor é paralelo à reta procurada, pois a reta é 
perpendicular ao plano, assim: n = v; e as equações paramétricas da reta são: 
x = 2 + 3t y = 4 + 7t z = 5 – 5t 
 
16 – A equação de um plano que passa por um ponto P(xo,yo,zo) e é normal ao vetor: n = Ai + Bj + Ck é: 
A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0. 
Substituindo os dados do problema na expressão geral do plano, vem: 
3(x – 0) - 2(y – 2) – (z + 1) = 0 ou 3x – 2y –z + 3 = 0 
 
17 – A partir dos três pontos, constroem-se dois vetores, por exemplo: PQ = i – j + 3k e PR = -i – 3j + 2k. 
O produto vetorial destes dois vetores é normal ao plano que contém os três pontos. 
n = PQxPR = |
 
 
 
| = 7i – 5j – 4k 
 
A equação do plano, usando o ponto P é: 7(x – 1) – 5(y – 1) – 4(z + 1) = 0 ou 7x – 5y – 4z – 6 = 0. 
 
18 – Cálculo do vetor tangente unitário: 
v(t) = -2sent i + 2cost j + 5
1/2
 k 
|v| = √ 
T = 
 
| |
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
Cálculo do comprimento da curva: s = ∫ | |
 
 
s = ∫ 
 
 = 3( - 0) = 3. 
 
19 – Os cálculos de T, N e  são análogos ao do exercício 8, assim: 
T = v/|v N = 
 
| |
 
 
| |
|
 
 
| 
Logo: 
v = 3cost i – 3sent j + 4k 
|v| = √( ) ( ) 
vetor tangente unitário: T = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dT/dt = = 
 
 
 
 
 
 e | dT/dt| = 3/5 
vetor normal unitário: N = 
curvatura: