Resumo P1 Análise Vetorial

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1. FUNÇÕES VETORIAIS E CURVAS PARAMETRIZADAS  
 
Definição: Uma função cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um                                
conjunto de vetores é chamada de função vetorial .  
  
Uma função vetorial definida em um intervalo , com valores em , é               I ⊂ R         R3    
denotada por:  
(t) x(t), y(t), z(t))σ = ( , t ∈ I  
  
onde , e são funções reais definidas em . (t)x (t)y (t)z I  
  
O vetor é representado geometricamente pelo vetor , onde     (t)σ             PO    
. x(t), y(t), z(t))P = (  
Quando é contínua em , o ponto final P do vetor   (t)σ         I               x(t), y(t), z(t))σ = (  
descreve uma curva C no , ou seja, para cada , obtemos um ponto           R3           t ∈ I        
 , onde: x, y, z) P = ( ∈ C  
  
(t)x = x (t)y = y (t)z = z  
  
A primeira equação é dita uma parametrização da curva , as equações acima                  C        
são chamadas de equações paramétricas da curva e a variável é o parâmetro . C t  
  
Uma parametrização natural de é C (t) t, (t))σ = ( f  
  
1.1. PARAMETRIZAÇÃO DA RETA  
A equação paramétrica da reta requer um ponto conhecido                 x , y , z )P 0 = ( 0 0 0    
da reta e um vetor . v , v , v )V = ( 1 2 3  
A parametrização da reta é dada por:  
  
(t)σ = P 0 + V t  
(t) x v , y v , z v )σ = ( 0 + t 1 0 + t 2 0 + t 3 t ∈ R  
  
As equações paramétricas são:  
  
vx = x0 + t 1 vy = y0 + t 2 z vz = 0 + t 3 t ∈ R  
  
1.2. PARAMETRIZAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA  
Podemos escrever a equação da circunferência de forma mais geral por  
  
 (x )− x0
2 + (y )− y0
2 = r2  
  
com centro e raio . x , y )C = ( 0 0 r  
Se dividirmos a equação da circunferência por teremos: r2  
  
 ( )r
x x− 0 2 + ( )r
y y− 0 2 = 1  
  
Para a parametrização, vamos comparar isso com a equação que mais aparece:                        
 . Comparando as equações temos: t t cos2 + sen2 = 1  
  
os tr
x x− 0 = c en tr
y y− 0 = s  
  
Isolando e : x y  
(t) cos tx = x0 + r 0, π]t ∈ [ 2  
(t) sen ty = y0 + r 0, π]t ∈ [ 2  
  
1.3. PARAMETRIZAÇÃO DA ELIPSE  
Análoga a parametrização da circunferência, temos a equação geral da elipse:  
  
 a2
(x x )− 0
2
+ b2
(y y )− 0
2
= 1  
  
Logo, temos a parametrização da elipse:  
  
(t) cos tx = x0 + a 0, π]t ∈ [ 2  
(t) sen ty = y0 + b 0, π]t ∈ [ 2  
  
Esse intervalo significa que a elipse dá uma volta completa. Para duas volta, varia                            
até . Para três voltas, varia até e assim sucessivamente. π4 π6  
  
OBS.: Às vezes a equação não vem arrumadinha, então precisamos arrumar primeiro                        
completando quadrados .   
  
Exemplo: Parametrize o círculo . x y 2 C : x2 + y2 − 4 − 6 = 1  
  
Vamos completar quadrados para aparecer e (x )− x0
2 (y )− y0
2  
  
 x y 2 x2 + y2 − 4 − 6 = 1  
 x y 2 x2 − 4 + 4 + y2 − 6 + 9 = 1 + 4 + 9  
 5(x )− 2 2 + (y )− 3 2 = 2  
  
Logo, é o círculo de centro e raio C 2, )( 3 r = 5  
  
1.4. PARAMETRIZAÇÃO DA HIPÉRBOLE  
A equação geral da hipérbole centrada em ( é dada por: , y )x0 0  
  
 ( )a
x x− 0 2 − ( )b
y y− 0 2 = 1  
  
A subtração de e também é 1. Logo, temos: (t)cosh2 (t)senh2  
  
(cosh (t))2 − (senh (t))2 = ( )2
e +et t− 2 − ( )2
e et− t− 2 = 1 t ∈ R    
  
A parametrização da hipérbole é bem parecida com a parametrização da elipe,                        
como podemos ver a seguir:  
  
 osh (t)x = x0 ± a · c  
 enh (t)y = y0 + b · s  
  
Levando-se em consideração que o sinal de positivo na parametrização vai                      
acompanhar o termo negativo da equação da hipérbole; e o termo positivo da equação                            
da hipérbole, leva o sinal de na parametrização por causa dos seus ramos. ±  
  
1.5. COORDENADAS POLARES  
No sistema cartesiano temos dois eixos: o eixo e o eixo . As coordenadas de                 x         y        
um ponto são as distâncias (com sinal) ao eixos. x, y)P = (  
Já nas coordenadas polares, temos apenas um semi-eixo. Ele é chamado de                        
semi-eixo polar e está indicado na figura abaixo por . O ponto é chamado de                   AO       O        
origem ou pólo.   
As coordenadas polares de um ponto qualquer são dadas por . P r, θ)P = (  
Sendo:  
● a distância (com sinal) do ponto a origem. r P  
● o ângulo (medido em radianos). Pode ser positivo (medido no sentido θ       OPA                  
anti-horário) ou negativo (medido no sentido horário).  
  
É possível encontrar as coordenadas polares a partir das coordenadas                    
cartesianas de um ponto e vice-versa.  
Vamos imaginar um ponto com coordenadas cartesianas .         P       x, y)P = (  
Queremos encontrar suas coordenadas polares correspondentes, ou seja, e                 r     θ  
indicados na figura abaixo:  
  
  
Repare que e . Então chegamos as seguintes equações: os θc = r
x en θs = r
y
 
  
 os θx = r · c  
 en θy = r · s  
  
Para encontrar as coordenadas cartesianas a partir das coordenadas polares,                    
devemos isolar e : os θc en θs  
  
os θc = r
x en θs = r
y
 
  
Então podemos usar:  
  
 (cos θ)2 + (sen θ)2 = ( )r
x 2 + ( )r
y 2 = r2
(x +y )2 2 = 1  
 r = ± √x2 + y2  
  
Ainda podemos encontrar uma relação para determinar , divindo por               θ     en θs    
 : os θc  
 g (θ)t = x
y
  
  
  
2. APLICAÇÕES AO MOVIMENTO  
  
Suponha uma partícula se movendo no ou no , de tal modo que sua             R2     R3            
posição em cada instante é dada pela extremidade do vetor . A função é         t               (t)σ       (t)σ    
chamada função posição .  
  
Definição: Considere o movimento de uma partícula descrito pela função posição . A                       (t)σ    
derivada é chamada vetor velocidade . O comprimento do vetor velocidade, ,   (t) σ′                     ∣σ (t)∣∣ ∣ ′  
é chamado velocidade escalar . A derivada segunda, , é chamada vetor aceleração . (t) σ′′  
  
Denotamos o vetor velocidade por , a velocidade escalar por e o vetor           (t) V           (t) v        
aceleração por . (t) A  
 V = σ′  
 ∣V ∣∣ ∣σ ∣∣ v = ∣ = ∣ ′  
 A = V ′ = σ′′  
  
3. COMPRIMENTO DE ARCO  
  
Definição: Seja uma curva definida por uma função , . O comprimento     C             (t)σ   t ba ≤ ≤      
da curva é definido por: C  
  
 
(C) ∣ σ (t) ∣∣ dt dt L = ∫
b
a
∣ ′ = ∫
b
a√x (t)′ 2 + y (t)′ 2 + z (t)′ 2
 
  
Passo-a-passo para calcular:  
1. Encontrar e ; a b  
2. Calcular ; (t) σ′  
3. Calcular ; ∣ σ (t) ∣∣ ∣ ′  
4. Substituir em . L  
  
3.1. PARAMETRIZAÇÕES EQUIVALENTES  
Sejam com e com duas parametrizações de   (t)σ     t ba ≤ ≤     (t) β   t dc ≤ ≤        
uma curva . Dizemos que e parametrizações equivalentes se existe uma     C       (t)σ     (t)β            
função , bijetora e de classe , tal que . [c, ] a, ]h : d→ [ b C1 (t) (h(t)), c t dβ = σ ≤ ≤  
A função relaciona as velocidades com que as partículas se movem sobre ,     h                      C  
pois . Além disso, se é crescente , então a partícula   (t) (t) (h(t)) β′ = h′ · σ′         h       h (t) ) ( ′ > 0        
que percorre com vetor posição se move no mesmo sentido que a partícula     C         (t)β                  
que percorre com vetor posição . Se é decrescente , elas se     C         (t)σ     h       h (t) ) ( ′ < 0      
movem sobre em sentidos contrários . C  
  
Teorema: O comprimentos de uma curva independe das parametrizações equivalentes             C          
escolhidas.  
  
3.2. COMPRIMENTO DE ARCO COMO PARÂMETRO  
Consideremos o comprimento de uma curva , parametrizada por uma   (t)s             C        
função de classe , , desde o ponto correspondente a até um ponto       C1   (t)σ         P 0     t = t0        
 correspondente a , . P t tt ≥ 0  
  
 (t) ∣σ (t)∣∣ du s = ∫
t
t0
∣ ′  
  
A função é crescente e, portanto, tem uma inversa . Isso nos     (t)s                 (s)t = t      
permite parametrizar a curva em função do parâmetro do seguinte modo: C s  
  
 (s) (t(s))σ = σ  
  
  
4. VETORES TANGENTE UNITÁRIO E NORMAL  
PRINCIPAL  
  
Vetor tangente é um vetor que tem a mesma direção do movimento e                          
representa o vetor velocidade da partícula. Ele é encontrado derivando o vetor posição.  
  
 (t) V = σ′  
  
Podemos encontrar o vetor diretor unitário (chamado de versor) do movimento,                      
isto é, a direção do vetor tangente (e consequentemente da velocidade) dividindo esse                          
vetor pelo seu módulo, assim:  
  
 T = V ∣∣V ∣∣ =
σ (t)′
∣∣σ (t)∣∣′  
  
Quando uma partícula se move ao longo de uma curva, o vetor correspondente                          
 , sendo de comprimento constante, muda somente de direção. A variação da (t)T                        
direção de é medida por sua derivada , logo são perpendiculares. (t)T (t) T ′  
Se , o vetor unitário na direção de é chamado de normal   (t) = T ′ / 0               (t) T ′          
principal à curva e é definido por: N  
  
 (t)N = T (t)′∣∣T (t)∣∣′  
  
Teorema: Considere uma partícula se movendo com vetor posição . Se                   (t)σ    
 é a velocidade da partícula, então o vetor aceleração é dado (t) ∣ σ (t) ∣∣ = v = ∣ ′ / 0                     (t)A      
pela fórmula  
  
 (t) (t)T (t) (t)T (t) (t)T (t) (t)∣∣T (t)∣∣N (t) A = v′ + v ′ = v′ + v ′  
  
Esse teorema mostra que está sempre no plano definido pelos vetores         (t)A                
 e . Os coeficientes de e são chamados de, respectivamente, (t)T     (t)N         (t)T     (t)N        
componente tangencial e normal da aceleração . )(AT )(AN  
Para uma curva plana, o comprimento do vetor é a medida da taxa de                 (t) T ′              
variação do ângulo de inclinação de . E aponta sempre para o lado côncavo             (t)T     (t)N              
da curva.  
  
  
5. CURVATURA  
  
A curvatura de uma curva é a medida da taxa de variação de sua direção,                              
tomando essa variação em relação ao comprimento do arco, e não em relação ao                            
parâmetro. Se representa o comprimento do arco medido a partir de um certo ponto     s                          
fixo, então a curvatura é dada por: k  
  
 ∣ ∣∣k = ∣ ds
dT = v(t)
∣∣T (t)∣∣′
  
  
Teorema: Se uma partícula em movimento possui um vetor velocidade , velocidade                     (t)V    
 , vetor aceleração e uma curvatura , então (t)v (t)A (t)k  
  
 (t) (t)T (t) (t)v (t)N (t) A = v′ + k 2    
  
Essa fórmula, por sua vez, implica  
  
 (t)k = v (t)3
∣∣ A(t) × V (t)∣∣
  
  
onde é o produto vetorial de por (t) T (t)A × (t)A (t)V   
  
Quando , a curvatura pode ser calculada de uma forma mais fácil: (x)y = f  
  
 k =
f (x)′′
(1 + (f (x)) )′ 2
3 2/   
  
O inverso de é chamado raio de curvatura de em e denotado por       (t)k               C     P        
: (t)ρ  
 (t) ρ =
1
k(t)    
  
O círculo passando por de raio e cujo centro está na semi-reta normal         P       (t)ρ                
que contém é chamado de círculo de curvatura . (t)N  
  
  
  
  
  
  
  
6. INTEGRAL DE LINHA DE FUNÇÃO ESCALAR  
 
Definição: Consideremos uma curva em , parametrizada por ,         C     R3       (t) x(t), y(t), z(t))σ = (  
 , onde é de classe e uma função real contínua em . Definimos a, ]t ∈ [ b     σ         C1     (x, y, z)f            C    
a integral de linha de ao longo de por f C  
  
 ds (x, y, z) ds (σ(t)) ∣σ (t)∣∣ dt ∫
 
C
f = ∫
 
C
f = ∫
b
a
f · ∣ ′   
  
Passo-a-passo para calcular:  
1. Montar o problema;  
2. Parametrizar a curva;  
3. Calcular o ; sd   
4. Substituir o na integral e escrever em função de ; sd f t  
5. Calcular a integral.  
  
6.1. APLICAÇÃO IMPORTANTE   
Como calcular a massa de um arame ou fio com densidade linear. A densidade  
vai ser:  
  
 (x, y) δ = ds
dm
 
 m (x, y)dsd = δ  
  
A massa total pode ser calculada, então, pela integral:  
  
 m (x, y)dsM = ∫
 
C
d = ∫
 
C
δ   
  
  
7. INTEGRAL DE LINHA DE CAMPO VETORIAL  
 
7.1. CAMPOS VETORIAIS  
Todo campo é da forma  
  
 (x, y) i jF = F 1
︿ + F 2 
︿
  
  
Com e funções escalares de e , ou até mesmo constantes. F 1 F 2 x y  
  
7.2. CASO EM R 2  
Para determinar o trabalho de uma força, calculamos:  
  
 = (força na direção do deslocamento) x (deslocamento) W = F · d  
  
Se não é constante em todos os pontos, teremos uma função .   F                       (x, y)F  
Vamos supor uma curva parametrizada por que dividiremos em             x(t), y(t))σ = (        
subarcos. Quando esses subarcos são pequenos, a direção do deslocamento é                      
aproximadamente o vetor tangente à curva. Logo, o vetor deslocamento é dado pelo                          
comprimento desse subarco multiplicado pelo vetor unitário tangente à curva: sΔ  
  
 Δs d = 
σ (t)′
∣∣σ (t)∣∣′    
  
Então, o trabalho realizado por nesse subarco será dado por: F  
  
 (x(t), y(t)) Δs W = F · 
σ (t)′
∣∣σ (t)∣∣′   
  
Logo, o trabalho realizado sobre a curva toda será dado por:  
  
 (x(t), y(t)) ds W = ∫
 
C
F · σ (t)′∣∣σ (t)∣∣′  
  
Definição: Consideremos uma curva em parametrizada por ,         C     R2       (t) x(t), y(t))σ = (  
 , onde é de classe e um campo vetorial a, ]t ∈ [ b     σ         C1   F (x, y), F (x, y))F = ( 1 2        
contínuo definido em . Definimos a integral de linha de ao longo de por: C F C  
  
 r (σ(t)) (t) dt W = ∫
 
C
F · d = ∫
b
a
F · σ′    
  
Se a curva é fechada, isto é, se , a integral de linha é denotada       C             (b) (a)σ = σ              
por . r∮
 
C
F · d  
Se usarmos as componentes de e de , teremos: F σr (σ(t))x (t)dt (σ(t))y (t)dt ∫
 
C
F · d = ∫
b
a
F 1 ′ + F 2 ′  
  
Por isso é usual denotar a integral de linha por:  
  
 r dx dy∫
 
C
F · d = ∫
b
a
F 1 + F 2  
  
Passo-a-passo para calcular:  
1. Montar a integral;  
2. Calcular ; (t) σ′  
3. Substituir na integral e escrevê-la em função do parâmetro ; (t) σ′ t  
4. Calcular a integral.  
  
7.3. CASO EM R 3  
Da mesma forma que em , trabalharemos com três dimensões. Então           R2            
teremos:  
  
 (x, y, z) F , F , )F = ( 1 2 F 3  
 (x(t), y(t), z(t)) (t) dt dx F dy dz W = ∫
b
a
F · σ′ = ∫
 
C
F 1 + 2 + F 3  
  
7.4. INTEGRAIS EQUIVALENTES  
Teorema: Sejam com e com parametrizações por     (t)σ   (a ) ≤ t ≤ b     (t)β   (c ) ≤ t ≤ d     C1    
partes e equivalentes. Se preserva a orientação, então h  
 r r∫
 
Cβ
F · d = ∫
 
Cσ
F · d   
Se inverte a orientação, então h  
 r r∫
 
Cβ
F · d = − ∫
 
Cσ
F · d  
  
7.5. PROPRIEDADES  
Linearidade:  
 (aF G) r r r∫
 
C
+ b · d = a ∫
 
C
F · d + b ∫
 
C
G · d  
onde e são constantes reais. a b  
  
Aditividade:  
Se admite uma decomposição num número finito de curvas , então C , C , .. ,C1 2 . Cn  
 r r ∫
 
C
F · d = ∑
n
i=1
∫
 
C i
F · d  
  
7.6. FUNÇÃO POTENCIAL  
Teorema: Seja um campo vetorial contínuo definido num subconjunto aberto     F                   U ⊂ R3  
para o qual existe uma função real tal que em . Se é uma curva aberta               f       f∇ = F     U     C          
em com pontos inicial e final e , respectivamente, parametrizada por uma função   U             A     B            
 , , por partes, então: (t)σ C1  
 r f r (B) (A)∫
 
C
F · d = ∫
 
C
∇ · d = f − f   
  
O campo vetorial do teorema acima é chamado campo gradiente ou campo       F                  
conservativo e a função , uma função potencial . f  
  
  
8. TEOREMA DE GREEN  
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva                            
fechada no plano com uma integral dupla sobre a região delimitada por . C yx C  
  
Definição: Dizemos que uma região fechada e delimitada do plano é simples se                 D       yx         D  
pode ser descrita como uma região de Tipo I e de Tipo II, simultâneamente.  
Dizemos que a fronteira de uma região delimitada do plano está         D∂           D       yx    
orientada positivamente , se a região fica à esquerda ao percorrermos a fronteira . D D∂  
  
Teorema de Green: Seja uma região fechada e limitada do plano , cuja fronteira         D                 yx       �D �
está orientada positivamente e é parametrizada por uma função por partes, de modo                   C1          
que seja percorrida apenas uma vez. Se é um campo   �D �               (x, y) F (x, y), F (x, y))F = ( 1 2        
vetorial de classe num subconjunto aberto que contém , então C1 D  
  
 dx dy ( ) dxdy ∮
 
��D
F 1 + F 2 = ∫
 
 
∫
 
D
��x
��F 2 − ��y
��F 1
  
  
Passo-a-passo para calcular:  
1. Montar o problema;  
2. Calcular ; ) ( ��x
��F 2 − ��y
��F 1
 
3. Montar a integral;  
4. Calcular a integral.  
  
8.1. INTERPRETAÇÃO VETORIAL  
Suponhamos que é uma região fechada e limitada do plano cuja fronteira     D                   yx      
 é uma curva orientada no sentido anti-horário. Se tem uma parametrização D∂                   D∂        
 com de classe , cujo vetor tangente não é nulo em (t) x(t), y(t))σ = (     a )( ≤ t ≤ b       C1                
cada ponto de , então denotamos os vetores tangente e normal unitário por: D∂  
  
 (t) T = σ (t)′∣∣σ (t)∣∣′ = ,( x (t)′∣∣σ (t)∣∣′ y (t)′∣∣σ1(t)∣∣)  
 (t) n = ,( y (t)′∣∣σ (t)∣∣′ − x (t)′∣∣σ1(t)∣∣)    
Se é um campo vetorial de classe definido num subconjunto   F , F )F = ( 1 2               C
1        
aberto que contém , então a integral de linha de ao longo de pode ser escrita      D              F         D∂        
em termos do vetor : (t)T  
 dx dy (σ(t)) (t) dt ∮
 
D
F 1 + F 2 = ∫
b
a
F · σ′ =  
 ∣σ (t)∣∣ dt = ∫
b
b
F (σ(t))( · σ (t)′∣∣σ (t)∣∣′ ) ∣ ′ =    
 ∣σ (t)∣∣ dt = ∫
b
b
(F (σ(t)) (t))· T ∣ ′ =    
 (F ) ds= ∮
 
∂D
· T    
  
Nesse caso, o Teorema de Green assume a forma:  
  
 xdy (F )ds ∫
 
 
∫
 
D
( ∂x∂F 2 − ∂y∂F 1 ) d = ∮
 
∂D
· T  
  
Agora, usando o vetor normal unitário , a integral de linha de campo vetorial             (t)n                
 ao longo de é dada por: , F )G = (− F 2 1 D∂  
  
 dx dy (σ(t)) (t) dt ∮
 
D
− F 2 + F 1 = ∫
b
a
G · σ′ =  
 ∣σ (t)∣∣ dt = ∫
b
b
(G(σ(t)) (t))· n ∣ ′ =    
 (G ) ds= ∮
 
∂D
· n  
  
Aplicando o Teorema de Green ao campo , obtemos G  
  
 xdy (G ) ds ∫
 
 
∫
 
D
( ∂x∂F 1 + ∂y∂F 2 ) d = ∮
 
∂D
· n  
  
9. CAMPOS VETORIAIS CONSERVATIVOS  
Voltando no conceito de função potencial , um campo conservativo é aquele que                        
é gradiente de uma função potencial , ou seja f  
  
 f (x, y, z)F = ∇    
  
O operador matemático (nabla) representa: ∇  
  
 ∇ = , ,( ∂∂x ∂∂y ∂∂z)  
  
Ou seja, temos:  
  
 F , F , F ) F = ( 1 2 3 = , ,( ∂f∂x ∂f∂y ∂z∂f )  
  
Exemplo: Calcular , onde: r∫
 
C
F · d  
 (x, y, z) 2xy z , 2x yz y, 2x y z ) F = ( 2 2 2 2 + 2 2 2 + 1  
, t , )C (t) e: σ = ( t 2 t3 0, ] t ∈ [ 1  
  
OBS.: Não vamos utilizar o método direto , pois nem o campo nem a curva são                       F       C  
amigáveis. Também não vamos utilizar o Teorema de Green , pois não temos                        
informações sobre a curva. Portanto, utilizamos a função potencial .  
  
 f dxF 1 = ∂x
∂f → = ∫
 
 
F 1  
 f = dx xy z dx z∫
 
 
F 1 = ∫
 
 
2 2 2 = x y2 2 2 (y, z)+ A  
 f = dx x yz y dx z∫
 
 
F 2 = ∫
 
 
2 2 2 + 2 = x y2 2 2 + y2 (x, z)+ B  
 f = dx x y z dx z ∫
 
 
F 2 = ∫
 
 
2 2 2 + 1 = x y2 2 2 + z (x, y)+ C  
  
juntando tudo, temos:  
  
 zf = x y2 2 2 + y2 + z + k  
 r (B) (A)∫
B
A
F · d = f − f  
  
substituir os pontos na função : 0, ] [ 1 F  
  
 (0) 1, 0, 0) f = (  
 (1) e, 1, 1) f = (  
  
substituir os pontos de e em (0)f (1) f f  
  
 (0)f = 0 + k  
 (1) f = e2 + 2 + k  
  
logo, temos:  
  
 r (B) (A)∫
B
A
F · d = f − f = e2 + 2  
  
Podemos observar que é possível calcular uma integral de linha utilizando o                        
ponto inicial e o ponto final, independente da curva em que estamos trabalhando.  
  
Para encontrar : f  
  
 (x, y) (t, y) dt (x, t) dtf = ∫
x
0
F 1 + ∫
y
0
F 2