MICRO I 2017 2 (Aula 08 Slutsky)

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UFC/FEAAC/DTE Microeconomia I Prof. Henrique Félix Aula 08 
 
EQUAÇÃO DE SLUTSKY 
 
A Lei Geral da Demanda diz que a quantidade demandada de um bem é decrescente com 
o seu preço. 
Por exemplo: supondo-se uma redução do preço do bem 1 e mantidos constantes a renda 
monetária e os preços dos demais bens, três possíveis resultados podem ocorrer: 
Em (a), o consumidor aumenta a demanda do bem 1 (bem comum); 
Em (b), o consumidor não altera a demanda pelo bem 1 (bem neutro); e, 
Em (c), o consumidor reduz a demanda pelo bem 1 (bem de Giffen). 
As soluções do PMU (onde se conhece os preços e a renda) e do PMD (onde são dados os 
preços e a utilidade) são as demandas Marshallianas e Hicksianas, respectivamente, 
𝑥𝑖
∗(𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛, 𝑀), 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 
𝑥𝑖
ℎ∗(𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛, 𝑈), 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 
Note que a demanda Marshalliana, como função dos preços e da renda, é observável. 
Já a demanda Hicksiana, como função dos preços e da utilidade, é não observável, pois 
não há como medir a utilidade. 
Então, como entender o efeito de mudanças nos preços sobre a demanda de um bem? 
A Equação de Slutsky é o elemento teórico que explica como estas variações nos preços 
impactam sobre a demanda por um bem. 
 
 
Derivando a Equação de Slutsky 
Tomando-se as relações duais, foi visto que, no ponto de equilíbrio do consumidor, vale 
a seguinte relação: 
𝑥𝑖
ℎ(𝑝, 𝑈∗) = 𝑥𝑖[𝑝, 𝑒(𝑝, 𝑈
∗)] (1) 
Ou seja, a demanda Hicksiana pelo bem i ao nível de utilidade máxima é igual à demanda 
Marshalliana ao nível de dispêndio mínimo. 
Note, também que, 
𝑒(𝑝, 𝑈∗) = 𝑒(𝑝, 𝑣(𝑝, 𝑀)) = 𝑀 
Ou seja, o dispêndio mínimo ao nível de utilidade máxima é igual à renda. 
Então, diferenciando-se a equação (1) em relação à 𝑝𝑗 tem-se, 
𝜕𝑥𝑖
ℎ(𝑝,𝑈∗)
𝜕𝑝𝑗
=
𝜕𝑥𝑖(𝑝,𝑀)
𝜕𝑝𝑗
+
𝜕𝑥𝑖(𝑝,𝑀)
𝜕𝑀
.
𝜕𝑒(𝑝,𝑈∗)
𝜕𝑝𝑗
 (2) 
Aplicando-se o Lema de Shepard ao último termo do produto do lado direito, obtém-se, 
𝜕𝑒(𝑝, 𝑈∗)
𝜕𝑝𝑗
= 𝑥𝑗
ℎ(𝑝, 𝑈∗) 
Mas, 
𝑥𝑗
ℎ(𝑝, 𝑈∗) = 𝑥𝑗
ℎ(𝑝, 𝑣(𝑝, 𝑚)) = 𝑥𝑗(𝑝, 𝑀)1 (3) 
Substituindo-se (3) em (2), tem-se, 
𝜕𝑥𝑖
ℎ(𝑝,𝑈∗)
𝜕𝑝𝑗
=
𝜕𝑥𝑖(𝑝,𝑀)
𝜕𝑝𝑗
+ 𝑥𝑗(𝑝, 𝑀)
𝜕𝑥𝑖(𝑝,𝑀)
𝜕𝑀
 (4) 
Rearrumando-se a equação (4), resulta a conhecida Equação de Slutsky: 
𝜕𝑥𝑖(𝑝,𝑀)
𝜕𝑝𝑗
=
𝜕𝑥𝑖
ℎ(𝑝,𝑈∗)
𝜕𝑝𝑗
− 𝑥𝑗(𝑝, 𝑀)
𝜕𝑥𝑖(𝑝,𝑀)
𝜕𝑀
 (5) 
De um modo geral, a equação de Slutsky diz que o Efeito Total (ET) de uma mudança no 
preço de um bem pode ser decomposto em dois efeitos: 
(1) o Efeito Substituição (ES): resultante da mudança da taxa pela qual o bem cujo preço 
mudou é trocado com os outros bens; e, 
 
1 Este mesmo resultado pode ser alcançado derivando-se a equação de restrição em relação a 𝑝𝑗 . Assim, se 
𝑀 = ∑ 𝑝𝑖𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 = 𝑝1𝑥1 + ⋯ + 𝑝𝑗𝑥𝑗 + ⋯ + 𝑝𝑛𝑥𝑛 , então, 
𝜕𝑀
𝜕𝑝𝑗
= 𝑥𝑗(𝑝, 𝑀) 
 
(2) o Efeito Renda (ER): resultante da mudança na renda real (poder aquisitivo) do 
consumidor. 
A Equação de Slutsky para variações no preço do próprio bem pode ser especificada como, 
𝜕𝑥𝑖(𝑝,𝑀)
𝜕𝑝𝑖
=
𝜕𝑥𝑖
ℎ(𝑝,𝑈∗)
𝜕𝑝𝑖
− 𝑥𝑖(𝑝, 𝑀)
𝜕𝑥𝑖(𝑝,𝑀)
𝜕𝑀
 (6) 
Na equação (6), os termos: 
𝜕𝑥𝑖(𝑝, 𝑀)
𝜕𝑝𝑖
 é 𝑜 𝐸𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝐸𝑇); 
𝜕𝑥𝑖
ℎ(𝑝, 𝑈∗)
𝜕𝑝𝑖
 é 𝑜 𝐸𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖çã𝑜 (𝐸𝑆); 
𝑥𝑖(𝑝, 𝑀)
𝜕𝑥𝑖(𝑝, 𝑀)
𝜕𝑀
 é 𝑜 𝐸𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑅𝑒𝑛𝑑𝑎 (𝐸𝑅) 
 
Análise dos Sinais 
O sinal do Efeito Substituição é sempre negativo. Isso decorre do fato de que o 
consumidor sempre reagirá aumentando ou diminuindo a demanda do bem no sentido 
contrário ao da variação do preço. 
Já o sinal do Efeito Renda pode ser positivo ou negativo, dependendo se o bem é normal 
ou inferior, respectivamente. 
Se o bem é normal, o efeito renda será positivo. Entretanto, quando seu sinal é combinado 
com o sinal algébrico negativo que antecede sua expressão, o resultado é negativo. Este 
fato reforça o sinal negativo do Efeito Total (ET) de uma variação de preço na demanda 
pelo bem. 
Se o bem é inferior, o efeito renda será negativo e, quando combinado com o sinal 
algébrico negativo que antecede sua expressão, o torna positivo. Com isso, o sinal do 
Efeito Total é ambíguo. Neste caso valerá o sinal do efeito mais significativo. 
 
 
 
 
 
Exemplos de Efeitos Renda e Substituição 
 
1. Complementares perfeitos 
Neste caso, o efeito substituição é zero, pois não há como o consumidor efetuar trocas 
entre os bens mantendo o mesmo nível de utilidade. Os bens complementares 
perfeitos são, por definição, consumidos juntos e em proporções fixas. Desta forma, 
não há como o consumidor ser compensado pela variação do preço. Portanto, o efeito 
total é igual ao efeito renda. 
 
2. Substitutos Perfeitos 
 
Neste caso, o efeito renda é zero, pois o consumidor sempre substituirá totalmente o 
bem de maior preço e escolherá gastar toda a sua renda com o bem cujo preço for 
menor. Portanto, o efeito total é igual ao efeito substituição. 
 
 
3. Preferências Quase-Lineares 
 
 
 
 
 
 
 
Vimos que a demanda pelo bem 1 não depende da renda e que toda variação da 
renda será destinada à aquisição do bem 2. Isto significa que toda variação da 
demanda do bem 1 será devida ao efeito substituição. O efeito renda é zero. 
Portanto, o efeito total é igual ao efeito substituição. 
 
Efeito Substituição (Hicks versus Slutsky) 
Na decomposição do Efeito Total de uma variação do preço de um bem, o Efeito 
Substituição foi explicado de formas distintas pelos economistas John Hicks (britânico) e 
Eugen Slutsky (russo). 
Para Slutsky, na ocorrência de variação nos preços relativos, deveria ser dada ao 
consumidor uma compensação de renda de tal forma que lhe fosse permitido manter o 
seu poder aquisitivo. 
Para Hicks, esta compensação de renda deveria ser tal que permitisse ao consumidor 
manter o mesmo nível de utilidade. 
O Efeito Substituição de Hicks explica como o consumidor altera a taxa de troca entre os 
bens a partir da mudança nos preços relativos de forma a manter o mesmo nível de 
utilidade. 
No gráfico abaixo, a redução do preço do bem 1 provocou um efeito total de 𝐸∗ para 𝐸∗∗∗, 
decomposto em efeito substituição, de 𝐸∗ para 𝐸∗∗ , e efeito renda de de 𝐸∗∗ para 𝐸∗∗∗ . 
Note que pelo efeito substituição de Hicks, o ponto de ótimo se desloca na mesma curva 
de indiferença original, ou seja, como se o nível de utilidade fosse mantido constante. 
 
O Efeito Substituição de Slutsky explica como o consumidor altera a taxa de troca entre 
os bens a partir da mudança nos preços relativos de forma a manter o mesmo poder 
aquisitivo (renda real). 
No gráfico abaixo, a redução do preço do bem 1 também provocou um efeito total de 𝐸∗ 
para 𝐸∗∗∗ , decomposto em efeito substituição, de 𝐸∗ para 𝐸∗∗ , e efeito renda de de 𝐸∗∗ 
para 𝐸∗∗∗. Entretanto, note que, pelo efeito substituição de Slutsky, o ponto de ótimo se 
desloca sobre a reta orçamentária hipotética, ou seja, é como se o poder aquisitivo do 
consumidor permanecesse constante. 
 
Literatura: 
VARIAN, Hal R. (2012) Cap. 8 
VASCONCELLOS (2011) Cap. 7 
RESENDE, José G. de L. (Notas de Aula 8) 
JEHLE & RENY (2001) 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Sobre os efeitos substituição e renda, represente graficamente e explique, com riqueza de 
detalhes, a decomposição de Slutsky e Hicks de uma redução no preço do bem 1 que compõe 
a cesta (x1,x2) mantendo-se o preço do bem 2 e a renda monetária constantes. 
 
2. Um indivíduo consomeapenas dois bens. Assumindo que o bem 1 é inferior e que o bem 2 é 
normal e supondo uma redução do preço do bem 2, pergunta-se: 
(a) O efeito substituição implicará no menor consumo do bem 1 e o efeito renda em um menor 
consumo do bem 2; 
(b) O efeito substituição implicará no menor consumo do bem 1 e o efeito renda em um maior 
consumo do bem 2; 
(c) Nada se pode afirmar sobre o efeito substituição apenas sobre o efeito renda; 
(d) Podemos considerar esses bens como substitutos. 
 
3. Demonstre a Equação de Slutsky para as seguintes funções utilidade: 
(a) U(x1, x2) = x1
ax2
b 
(b) U(x1, x2) = [𝑥1
𝑎 + 𝑥2
𝑎]1/a 
(c) U(x1, x2) = x1 + √𝑥2