Como utilizar série de Fourier com Matlab Gráficos e Comentários

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Universidade Federal do Maranhão – UFMA 
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia - CCET 
Análise de Sinais e Sistemas - ASS 
Prof. Dr. Manuel Leonel da Costa Neto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fourier com MatLab – Lista 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Luís – MA 
2017 
Adriane Silva Pinto - 2015047526 
Tiago Ribeiro Silveira – 2014005227 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fourier com MatLab – Lista 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho da disciplina de Análise de Sinais 
e Sistemas, da Universidade Federal do 
Maranhão, referente à nota parcial 
atribuída à segunda nota do segundo 
semestre letivo de 2017. 
Prof.º Manuel Leonel da Costa Neto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO LUÍS - MA 
2017 
1. PRIMEIRA QUESTÃO 
 
Dado o script abaixo analise o gráfico resultante. 
• Script 
 
t=0:0.01:2; 
x=abs(sin(pi*t)) 
plot(t,x),xlabel ('tempo'),ylabel ('amplitude'),title ('x(t)=|sen(pi*t)|'); 
e 
clc 
t=linspace(-pi,pi,10000); 
plot(t,abs(sin(pi*t))), xlabel('t'),ylabel('x(t)') 
title('X(t) = |sin(pi*t)|') 
 
• Gráficos 
 
 
 
Os dois gráficos possuem o mesmo valor, seja de amplitude, ou de tempo, porém ao atribuir 
“0:0.01:2” ao valor de “t” há um aumento de intervalos entre os valores inteiros do eixo tempo 
(gráfico 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Plotar o gráfico dos coeficientes da SF trigonométrica (𝒂𝒌 e 𝒃𝒌) considerando -10<k<10. 
 
• Script 
clc 
clear a 
ll 
k=-10:10; 
ak=-4./((pi)*4*k.^2-1); 
stem(k,ak), 
xlabel ('valores de k'), 
ylabel ('coeficiente ak'); 
 
• Gráficos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Determinar os valores de 𝒂𝟎, 𝒂−𝟏, e 𝒂𝟏 pela equação de 𝒂𝒌 e com MATLAB. Comparar os 
resultados obtidos. 
 
• Script 
 
Para a-1: 
clc 
clear all 
k=-1; 
ak=(-4)/(pi*((4*(k^2))-1)); 
stem(k,ak); 
xlabel('Valor de k'), 
 
Para a0 : 
clc 
clear all 
k=0; 
ak=(-4)/(pi*((4*(k^2))-1)); 
stem(k,ak); 
xlabel('Valor de k'), 
ylabel('valor de ak'), 
 
Para a1: 
clc 
clear all 
k=1; 
ak=(-4)/(pi*((4*(k^2))-1)); 
stem(k,ak), 
xlabel('Valor de k'), 
ylabel('valor de ak'), 
 
• Gráficos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. SEGUNDA QUESTÃO 
 
Dado o sinal onda quadrada x(t) simétrico em relação ao eixo vertical. 
 
a. Determinar a série de Fourier exponencial complexa correspondente através da equação. 
b. Plotar os gráficos, usando o MATLAB, dos coeficientes Ck para os valores: 
 
 
16
1
4
1
2
1 ;;
T
Ts 
• Script 
 
Para 
2
1
T
Ts
 
clc 
clear all 
%%Para Ts/T = 1/2 
k=[-20:20]; 
ck1=sinc(k*pi); 
stem(k,ck1); 
title('Para Ts/T = 1/2') 
xlabel ('t'), 
ylabel ('X(t)'); 
 
 
Para 
4
1
T
Ts
 
clc 
clear all 
%%Para Ts/T = 1/4 
k=-20:20; 
ck3=sin(k*pi/2)./(k*pi); 
stem(k,ck3); 
title('Para (Ts/T) = 1/4') 
ylabel ('X(t)'), 
xlabel ('t'); 
 
Para 
16
1
T
Ts
 
clc 
clear all 
%%Para Ts/T = 1/16 
k=-20:20; 
ck3=sin(k*pi/8)./(k*pi); 
stem(k,ck3); 
title('Para (Ts/T) = 1/16') 
ylabel ('X(t)'), 
xlabel ('t'); 
 
 
 
 
• Gráficos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Com a mudança de valores da fração 
𝑇𝑠
𝑇
=
1
𝑛
 os coeficientes vão modificando, já que é adicionado ao 
“ck” o valor “sin(k*pi/m)”, onde m é o valor de n divido por dois. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. TERCEIRA QUESTÃO 
 
Verifica-se que x(t) da questão anterior é um sinal PAR, portanto, Ck = C-k 
 
a) Considerando: 
4
1
T
Ts 
 e T=1 mostrar que podemos representar x(t) pelas aproximações parciais: 



j
0k
okj tkwatx )cos()(ˆ
 e que: 
 
 
par k se , 0
ímpar k se , 
1)/2-(k
2.(-1)
0k se 
2
1
k
a











,
 
 
b) Plotar, usando o MATLAB, os gráficos destas aproximações para um período do j-ésimo termo 
desta soma e o sinal 
)(ˆ tx j
 para os valores de j=1,3,9, 45 e 95. Ou seja, plote os gráficos 
twa o1 cos
 
e 
),(ˆ tx1
 
)cos( tw3a o3
 e 
),(ˆ tx3
 etc. (veja como programar o somatório) 
Considere: - 0.5 < t < 0.5 
• Script 
Sendo, 𝑎𝑘 = 2(−1)
(𝑘−1)
2⁄ temos: 
Para J = 1 
clc 
clear all 
t=[-0.5:pi/1000:0.5]; 
y1=((2/pi)*cos(2*pi*t)); 
plot(t,y1); 
title('Para J = 1') 
ylabel ('X(t)'), 
xlabel ('t'); 
 
Para J = 3 
clc 
clear all 
t=[-0.5:pi/1000:0.5]; 
x3=0.5; 
for k=1:2:3 
ak=(2*(-1)^((k-1)/2))/(k*pi); 
x3=x3+(ak*cos(2*k*pi*t)); 
end 
plot(t,x3); 
title('Para J = 3') 
ylabel ('X(t)'), 
xlabel ('t'); 
 
Para J = 9 
clc 
clear all 
t=[-0.5:pi/1000:0.5]; 
x9=0.5; 
for k=1:2:9 
ak=(2*(-1)^((k-1)/2))/(k*pi); 
x9=x9+(ak*cos(2*k*pi*t)); 
end 
plot(t,x9); 
title('Para J = 9') 
ylabel ('X(t)'), 
xlabel ('t'); 
 
Para J = 45 
clc 
clear all 
t=[-0.5:pi/1000:0.5]; 
x45=0.5; 
for k=1:2:45 
ak=(2*(-1)^((k-1)/2))/(k*pi); 
x45=x45+(ak*cos(2*k*pi*t)); 
end 
plot(t,x45); 
title('Para J = 45') 
ylabel ('X(t)'), 
xlabel ('t'); 
 
Para J = 96 
clc 
clear all 
t=[-0.5:pi/1000:0.5]; 
x96=0.5; 
for k=1:2:96 
ak=(2*(-1)^((k-1)/2))/(k*pi); 
x96=x96 + (ak * cos(2*k*pi*t)); 
end 
plot(t,x96); 
title('Para J = 96'); 
ylabel ('X(t)'); 
xlabel ('t'); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Gráficos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Com a mudança nos valores de “j” há mudança em duas linhas de comando, no valor do “k”, 
que constitui o laço “for k=1:2:96” e no valor da expressão “x96=x96 + (ak * cos(2*k*pi*t));”, onde o 
valor de “x” é dependente do valor de “j”. Há medida que o valor de “j” vai aumentando o gráfico vai 
apresentando uma verticalização da sua onda, tornando-se uma onda quadrada, além de aumentar a 
frequência no eixo “t”.