Lista 1 analise vetorial

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica
Disciplina: Ana´lise Vetorial
Professora: Rosiane Soares Cesar
1a Lista de Exerc´ıcios
(1) Calcule os limites:
(a) lim
t→0
(
ln (1 + t2)
t
,
sen 3t
t
, t cos t
)
(b) lim
t→0
(
et − 1
t
, t cos
(
1
t
)
,
sen t
t
)
(c) lim
t→0
( √
t2 + 1− 1√
t2 + 16− 4 ,
sen 2t
sen t
)
(d) lim
t→1
(
tg (t− 1)
t− 1 ,
5
√
t− 1
t− 1
)
(2) Esboc¸e o trac¸o das curvas abaixo:
(a) γ (t) = (t2 − 5t+ 6, t), t ∈ R.
(b) γ (t) = (cos t, 3 + sen t), t ∈ [0, 2pi].
(c) γ (t) = (cos2 (t) , sen2 (t)), t ∈ R.
(d) γ (t) = (sen2 t, sen t), t ∈
(
−pi
2
,
pi
2
)
.
(e) γ (t) = (2 cos t, 3 sen t, 5), t ∈ [0, 2pi]
(f) γ (t) = (2− 3t, 5 + 1t), t ∈ R.
(g) γ (t) = (t3, t6 − 9), t ∈ R.
(h) γ (t) = (sen t, cos 2t), t ∈ [0, 2pi].
(3) Deˆ uma parametrizac¸a˜o para as seguintes curvas:
(a) a reta 2x− 3y = 6.
(b) a circunfereˆncia (x− a)2 + (x− b)2 = r2.
(c) a reta
x− 1
2
=
y + 1
3
=
z − 1
2
.
(d) o segmento de reta que liga os pontos A = (−1, 0, 2) e (2, 3, 3)
(4) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` curva dada no ponto dado:
(a) γ (t) =
(
2(t
2−5t), t
√
t2 − 3t
)
; γ (4).
(b) γ (t) =
(
5
t3
, sen (t2pi) , ln (5t3 − 6t)
)
; γ (−1).
(c) γ (t) =
(
e(−8t), 4t5 + 3,
√
9− t); γ (0).
(5) Dada a curva γ, encontre a reta tangente a γ no ponto P , sendo:
1
(a) γ (t) = (et, tet, t2 + 4); P = (1, 0, 4).
(b) γ
(
4
√
t, t2 − 10, 4
t
)
; P = (8, 6, 1).
(6) Encontre os pontos da curva γ (t) = (6t+ 1, t3 − 2t), t ∈ R, tais que suas retas tangentes
sa˜o perpendiculares a` reta 3x+ 5y − 8 = 0.
(7) Encontre o ponto de intersec¸a˜o das retas tangentes a curva γ (t) = (sen pit, sen pit, cos pit)
nos pontos onde t = 0 e t =
1
2
.
(8) Considere a he´lice definida por γ (t) = (a cos t, a sen t, bt). Mostre que a reta tangente,
em cada ponto da he´lice, faz um aˆngulo constante com o eixo z, e que o cosseno deste
aˆngulo e´
b√
a2 + b2
.
(9) Nos itens a seguir, σ (t) denota o vetor posic¸a˜o de uma part´ıcula se movendo em cada
instante t. Em cada caso, determine o vetor velocidade, acelerac¸a˜o e velocidade escalar
no tempo indicado.
(a) σ (t) = (2 + cos 6t, 2 + sen 6t) ; t =
pi
9
.
(b) σ (t) = (e2t, t2) ; t = 0.
(c) σ (t) = (3 cos 2t, 3 sen 2t, 8t) ; t =
pi
8
.
(10) Determine o vetor posic¸a˜o γ (t) de uma part´ıcula, se:
(a) V (t) =
(
1
(t− 1)2 ,−t− 1
)
e γ (0) = (3, 2)
(b) V (t) = (2t− 1, 3t2), γ (0) = (4,−3)
(c) A(t) = (e−t, 2e2t), V (0) = (2, 1), γ (0) = (0, 3)
(d) A (t) = (2 cos 2t, 2 sen 2t), V (0) = (1, 1) e γ (0) =
(
1
2
,−1
2
)
(11) A posic¸a˜o de uma part´ıcula no tempo t e´ dada por r (t) = (t2, 5t, t2 − 16). Quando a
velocidade escalar e´ mı´nima?
(12) Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente, as estradas BR-01 e BR-02, tendo seus
movimentos descritos por
σ1 (t) =
(
10t, 50t2
)
e σ2 (t) = (7t, 70t− 50) , t ≥ 0.
(a) No ponto P onde as estradas BR-01 e BR-02 se cruzam esta´ localizado um posto de
de ficalizac¸a˜o de velocidades. Encontre este ponto P .
(b) Os dois carros chegam juntos ao ponto P? Se na˜o, qual deles chega primeiro?
(c) Sabendo que o limite de velocidade em qualquer estrada brasileira e´ 80Km/h, qual
dos dois sera´ multado no ponto P?
(13) Dois carros se movem segundo os seguintes vetores posic¸a˜o:
σ1 (t) = (1 + t, 2 + 3t) e σ2 (t) =
(
1− t, 3 + t2) , t ≥ 0
2
(a) Mostre que eles nunca se chocara˜o.
(b) Esboce as estradas sobre as quais eles se movem.
(c) Em que pontos elas se cruzam?
(d) Em que ponto a velocidade escalar do segundo carro e´ mı´nima e qual e´ esta veloci-
dade?
(14) Um objeto inicia seu movimento no ponto (0,−4) e se move ao longo da para´bola
y = x2 − 4, com velocidade horizontal dx
dt
= 2t − 1. Encontre o vetor posic¸a˜o do
objeto, os vetores velocidade e acelerac¸a˜o no instante t = 2s.
GABARITO
(1) (a) (0, 3, 0) (b) (1, 0, 1) (c) (4, 2) (d)
(
1,
1
5
)
(2) (a) para´bola x = y2 − 5y + 6
(b) circunfereˆncia X2 + (y − 3)2 = 12
(c) parte da reta y = 1− x, com 0 ≤ x ≤ 1
(d) parte da para´bola x = y2, com −1 ≤ y ≤ 1
(e) elipse
x2
22
+
y2
32
= 1 no plano z = 5
(f) reta passando pelo ponto (2, 5) e paralela ao vetor (−3, 1)
(g) para´bola y = x2 − 9.
(h) parte da para´bola y = −2x2 + 1, com −1 ≤ x ≤ 1.
(3) (a) γ (t) =
(
t,
2
3
t− 2
)
, t ∈ R
(b) γ (t) = (a+ r cos t, b+ r sen t) , t ∈ [0, 2pi]
(c) γ (t) = (1 + 2t,−1 + 3t, 1 + 2t) , t ∈ R
(d) γ (t) = (−1 + 3t, 3t, 2 + t) , t ∈ [0, 1]
(4) (a) r (s) =
(
1
16
, 8
)
+ s
(
3 ln 2
16
, 7
)
, s ∈ R.
(b) r (s) = (−5, 0, 0) + s (−15, 2pi, 9) , s ∈ R
(c) r (s) = (1, 3, 3) + s
(
−8, 0,−1
6
)
, s ∈ R
(5) (a) r (s) = (1, 0, 4) + s (1, 1, 0) , s ∈ R
(b) r (s) = (8, 6, 1) + s
(
1, 8,−1
4
)
, s ∈ R
(6) (13, 4) e (−11,−4)
(7) (1, 1, 1)
(8) demosntrac¸a˜o
3
(9) (a) V
(
pi
9
)
=
(−3√3,−3) ; A (pi
9
)
=
(
18,−18√3) , v (pi
9
)
= 6.
(b) V (0) = (2, 0) ; A (0) = (4, 2) , v (0) = 2
(c) V
(
pi
8
)
=
(−3√2, 3√2, 8) , A (pi
8
)
=
(−6√2,−6√2, 0) , v (pi
8
)
= 10
(10) (a) γ (t) =
(
1
1− t + 2,−
t2
2
− t+ 2
)
(b) γ (t) = (t2 − t+ 4, t3 − 3)
(c) γ (t) =
(
e−1 + 3t− 1, e
2t
2
+
5
2
)
(d) γ (t) =
(
−cos 2t
2
+ t+ 1,−sen 2t
2
+ 2t+
1
2
)
(11) t = 0
(12) (a) P = (10, 50)
(b) R1 chega primeiro
(c) R1 sera´ multado
(13) (a)
(b)
(c) P1 =
(
5 +
√
5
2
,
13 + 3
√
5
2
)
e P2 =
(
5−√5
2
,
13− 3√5
2
)
(d) (1, 3) e a velocidade mı´nima e´ 1
(14) γ (t) = (2t− 1, 4t3 − 6t2 + 2t) ; V (2) = (3, 12) ; A (t) = (2, 26)
4