Aula 1_limites_definição

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AULA 1	-	LIMITES
Tangente no gráfico de uma função
LEMBRANDO: inclinação da reta = coeficiente angular
 	 	y – y1 = m(x – x1) 		y = y1 + m(x – x1)
Considere a função y = x², representada no gráfico abaixo.
Encontre uma equação da reta tangente à parábola no ponto A(1,1) e Q(2,4).
Encontre uma equação da reta tangente à parábola no ponto A(1,1) e Q(1,5; 2,25).
Encontre uma equação da reta tangente à parábola no ponto A(1,1).
	x
	mPQ
	2
	
	1,5
	
	1,1
	
	1,01
	
	1,001
	
Velocidade média e velocidade instantânea
2) Vamos considerar a velocidade de um objeto pequeno (digamos, uma laranja) jogado para o alto no instante t = 0 segundo. O comportamento da laranja não é surpreendente: ela sobe cada vez mais devagar, muda de direção, cai e, finalmente, “splaft!”. Informalmente, podemos dizer que a laranja deixa a mão do arremessador em alta velocidade, diminui a velocidade até alcançar sua altura máxima e, depois, vai ganhando velocidade na sua descida.
	TABELA: altura da laranja acima do solo y = 2 + 32t – 5t²
	t(s) 
	0 
	1 
	2 
	3 
	4 
	5 
	6 
	y(m) 
	2 
	29 
	46 
	53 
	50 
	37 
	14 
A) Calcule a velocidade média da laranja ao longo do intervalo 4 ≤ t ≤ 5. Qual é o significado do sinal de sua resposta?
B) Calcule a velocidade média da laranja ao longo do intervalo 1 ≤ t ≤ 3.
C) Qual é a velocidade da laranja no instante de t = 1 segundo?
	Teremos que olhar, com mais detalhes, para o que acontece na vizinhança de t = 1 s.
	t
	y
	 1,1
	
	1,01
	
	1,001
	
	0,9
	
	0,99
	
	0,999
	
 
Velocidade média:
	t
	vm
	1,1 e 1
	
	1,01 e 1
	
	1,001 e 1
	
	0,9 e 1
	
	0,99 e 1
	
	0,999 e 1
	
CONCLUSÃO: 
VELOCIDADE INSTANTÂNEA
A velocidade instantânea de um objeto em um instante t é dada pelo limite da velocidade média, ao longo de um intervalo, quando esse intervalo se encolhe cada vez mais ao redor de t. 
Suponha que o gráfico seguinte mostre a altura da laranja em função do tempo.
Velocidade e noção de limite
Se estivermos interessados em observar a velocidade instantânea em t = a, então queremos olhar para intervalos cada vez menores em torno de t = a. Vamos considerar intervalos da forma a ≤ t ≤ a + h, onde h é o comprimento do intervalo. Então, ao longo do intervalo a ≤ t ≤ a + h
	Velocidade média = 
A velocidade instantânea é o número do qual se aproximam as velocidades médias quando os intervalos diminuem em comprimento, isto é, quando h fica cada vez menor. Assim, a velocidade instantânea em t = a é:
o limite, quando h tende para zero, de 
Ou, usando a notação de limite: Velocidade média = 
EXEMPLO
Suponha que a = 5 e s(t) = t². Calcule o limite 
	h
	0,1
	0,01
	0,001
	0,0001
	-0,1
	-0,01
	-0,001
	-0,0001
	
	
	
	
	
	
	
	
	
DEFINIÇÃO: A reta tangente a uma curva y = f(x) em um ponto P(, f()) é a reta por P que tem inclinação 
desde que esse limite exista.
TANGENTES: Se uma curva C tiver uma equação y = f(x) e quisermos encontrar a tangente a C em um ponto (P(, f()), consideramos um ponto próximo Q(x, f(x)), onde x ≠ , e calculamos a inclinação da reta secante PQ:
Então fazemos Q aproximar-se de P ao longo da curva C ao obrigar x tender a . Se mPQ tender a um número m, então definimos a tangente t como a reta que passa por P e tem inclinação m. (Isso implica dizer que a reta tangente é a posição-limite da reta secante PQ quando Q tende a P.)
A forma ponto-inclinação da equação da reta por um ponto P(x1, y1) com uma inclinação m é:
y – y1 = m(x – x1)
EXERCÍCIO: 
Usando a equação da reta acima, encontre a equação da reta tangente à curva y = x³ no ponto a = 2.
Calcule com a = 3 e f(x) =.
Há outra expressão para a inclinação da reta tangente, às vezes mais fácil de ser usada. 
Se h = x - a, então x = a + h e, assim, a inclinação da reta secante PQ é:
Quando x tende a a, h tende a zero (pois h = x – a); assim, a expressão para a inclinação da reta tangente fica:
VELOCIDADES
Suponha que um objeto se mova sobre uma reta de acordo com a equação s = f(t), na qual s é o deslocamento do objeto a partir da origem no instante t. A função f que descreve o movimento é chamada função de posição do objeto. No intervalo de tempo entre t = a e t = a + h a variação na posição será de f(a + h) – f(a). A velocidade média nesse intervalo é:
Que é o mesmo que inclinação da reta secante PQ na figura ao lado.
Suponha agora que a velocidade média seja calculada em intervalos cada vez menores [, +h], ou seja, fazendo h tender a zero. Definimos velocidade instantânea v() no instante t =  como o limite dessas velocidades médias:
Isso significa que a velocidade no instante t =  é igual à inclinação da reta tangente em P.
EXEMPLO
6) Suponha que uma bola foi abandonada no posto de observação da torre, 450 metros acima do solo, com a equação de movimento f(t) = 5t².
a) Qual a velocidade da bola após 5 segundos?
b) Com qual velocidade a bola chega ao solo?
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