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A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
Estática de fluidos
Paulo R. de Souza Mendes
Grupo de Reologia
Departamento de Engenharia Mecânica
Pontifícia Universidade Católica - RJ
1 de agosto de 2011
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
Sumário
A equação básica da estática de fluidos
conceitos básicos
balanço de forças em um fluido estático
casos particulares
esforços em superfícies submersas planas
força
momento
ponto de aplicação
flutuação e estabilidade
flutuação
estabilidade
fluidos em movimento de corpo rígido
balanço de forças
exemplos
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
gradiente de um campo escalar p(x)
vetor cuja direção é aquela de variação máxima de p(x), e cuja
intensidade é proporcional a esta variação:
∇p = ıˆ∂p
∂x
+ ˆ
∂p
∂y
+ kˆ
∂p
∂z
• variação dp devida a um deslocamento
dx = ıˆdx + ˆdy + kˆdz:
dp = dx · ∇p
=
(
ıˆdx + ˆdy + kˆdz
)
·
(
ıˆ
∂p
∂x
+ ˆ
∂p
∂y
+ kˆ
∂p
∂z
)
ou dp = dx
∂p
∂x
+ dy
∂p
∂y
+ dz
∂p
∂z
dx
▽p
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
teorema da divergência∫
S
pnˆdA =
∫
∀
∇p d∀
• caso 1-D:∫
S
pnˆdA = Aıˆp(L)+A(−ıˆ)p(0)
= Aıˆ[p(L)− p(0)]
∫
∀
∇p d∀ =
∫ L
0
ıˆ
dp
dx
Adx
= Aıˆ
∫ p(L)
p(0)
dp = Aıˆ[p(L)−p(0)]
n
pn
dA
dV
V
^
^
S
L
x dx
dV
=Adx
p(0)nA
A
p(L)nA
p(x+dx)Ap(x)A
V=AL
n n
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
forças em um volume material ∀
forças sobre ∀:
• peso: ∫
∀
gρd∀
• força de pressão:∫
S
−pnˆdA
balanço de forças:∫
∀
gρd∀+
∫
S
−pnˆdA = 0
n
t = n.T = -pn
dA
profundidade
h
g = -gk
gρdV
dV
z
p = po
zo
V
^ k
^
^
^^
S
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
equação básica da estática de fluidos (ebef)
usando o teorema da divergência,∫
∀
gρd∀ −
∫
∀
∇p d∀ = 0
ou ∫
∀
(−∇p + ρg)d∀ = 0
como ∀ é arbitrário,
∇p = ρg
n
t = n.T = -pn
dA
profundidade
h
g = -gk
gρdV
dV
z
p = po
zo
V
^ k
^
^
^^
S
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
ebef escalar 1-D
em coordenadas cartesianas,
ıˆ
∂p
∂x
+ ˆ
∂p
∂y
+ kˆ
∂p
∂z
= −ρgkˆ
logo
∂p
∂x
= 0;
∂p
∂y
= 0; ⇒ p = p(z)
e
dp
dz
= −ρg;
como dh = −dz,
dp
dh
= ρg;
h
z
p = po
zo
dh dzgρAdh
p(h+dh)A=
(p(h)+dp)A
p(h)A
área A
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
fluido incompressível (ρ = constante)
dp
dh
= ρg ⇒ dp = ρgdh
logo, integrando de 0 a h,∫ p(h)
p(0)
dp′ = ρg
∫ h
0
dh′ ⇒ p − po = ρgh
ou
p = po + ρgh
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
fluido barotrópico (ρ = ρ(p))
dp
dh
= ρg ⇒ dp
ρ(p)
= gdh
exemplo: módulo de compressibilidade Ev constante
Ev ≡ ρdpdρ = const. ⇒ dp =
Evdρ
ρ
logo, integrando de 0 a h (ρo ≡ ρ(0)),
Ev
∫ ρ(h)
ρ(0)
dρ′
ρ′2
= g
∫ h
0
dh′ ⇒ Ev
3
[
1
ρ3
− 1
ρ3o
]
= gh
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
logo,
ρ =
1[
3gh
Ev +
1
ρ3o
] 1
3
a pressão se obtém em função de h integrando∫ p(h)
p(0)
dp′ = p − po = g
∫ h
0
dh′[
3gh′
Ev +
1
ρ3o
] 1
3
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
gás perfeito (ρ = p/RT )
dp
dz
= −ρg ⇒ dp
p
= − g
R
dz
T (z)
exemplo: T varia linearmente com z
T (z) = To − k(z − zo) ⇒ dT = −kdz ⇒ dz = −1k dT
logo,
dp
p
=
g
kR
dT
T
⇒
∫ p
po
dp′
p′
=
g
kR
∫ T
To
dT ′
T ′
ln
(
p
po
)
=
g
kR
ln
(
T
To
)
⇒ p
po
=
(
T
To
) g
kR
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
a razão de massas específicas fica
ρ
ρo
=
p
T
To
po
=
p
po
To
T
ou
ρ
ρo
=
(
T
To
) g
kR−1
em função da altitude z,
p
po
=
(
To − k(z − zo)
To
) g
kR
e
ρ
ρo
=
(
To − k(z − zo)
To
) g
kR−1
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
gás perfeito (ρ = p/RT ): exemplo
Sabendo-se que no Rio (zo = 0 m) To = 26oC, e
po = 1 atm = 101325 Pa, calcular a pressão p e a temperatura
T em Teresópolis, onde a altitude é z = 910 m. Considere que
a temperatura cai com a altitude a uma razão de
k = 0.0055oC/m, e que Rar = 287 J/kg.K
Solução:
T = 273.15 + 26− 0.0055× (910) = 294.15K ou T = 21oC
p
101325
=
(
294.15
273.15 + 26
) 9.81
0.0055×287
então
p = 91238 Pa ou p = 0.9 atm
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
nomenclatura de pressão segundo o nível de
referência utilizado
• pressão absoluta: medida a
partir do vácuo
• pressão atmosférica ou
barométrica: é a pressão
absoluta do ambiente
• pressão manométrica: medida
a partir da pressão
atmosférica vácuo
pressão
barométrica
ou atmosférica
(local)
pressão
absoluta
pressão
manométrica
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
manômetro e barômetro
manômetro: o desnível h fornece a pressão
manométrica
pmanométrica = pabsoluta − patmosférica = ρgh
barômetro: o desnível h fornece a pressão absoluta
do ambiente
pbarométrica = pv + ρgh
onde pv é a pressão de vapor do líquido. Mas
pv << ρgh. Logo,
pbarométrica ' ρgh
pv é conhecido (tabelado), não precisa desprezar
pabsoluta
patmosférica
patmosférica
pmanométrica
p≈0
≈patmosférica
manômetro
barômetro
h
h
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
força resultante sobre uma comporta plana
• pressão local:
p = po + ρg(D + y sin θ)
• força elementar em dA:
dF = −nˆ(p − po)dA
ou
dF = −kˆ(p − po)dxdy
p = po
h = D + y sinϴ
D
L
A
ϴ x
y
z
y
dx
dy
dy
n = k^
dA
W
(x',y')
r
^
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
força resultante:
F =
∫
dF
= −kˆρg
∫ L
0
∫ W
0
(D + y sin θ)dxdy
= −kˆρg
∫ W
0
dx
∫ L
0
(D + y sin θ)dy
ou
F = −kˆρgWL
(
D +
L sin θ
2
)
≡ −kˆF
p = po
h = D + y sinϴ
D
L
A
ϴ x
y
z
y
dx
dy
dy
n = k^
dA
W
(x',y')
r
^
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos
em movimento de corpo rígido
momento resultante das forças sobre a comporta
• vetor posição:
r = x ıˆ+ y ˆ
• momento da força dF :
dM = r × dF
= −[(x ıˆ+y ˆ)× kˆ ](p−po)dxdy
ou dM = [x ˆ−y ıˆ](p−po)dxdy
p = po
h = D + y sinϴ
D
L
A
ϴ x
y
z
y
dx
dy
dy
n = k^
dA
W
(x',y')
r
^
j^
i^
k
^j^
i^
k
^
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
momento resultante:
M =
∫
dM = ρg
∫ L
0
∫ W
0
[x ˆ− y ıˆ] (D + y sin θ)dxdy
M = ˆρg
∫ L
0
∫ W
0
x (D + y sin θ)dxdy
−ıˆρg
∫ L
0
∫ W
0
y (D + y sin θ)dxdy
M = ˆρg
(∫ W
0
xdx
)
︸ ︷︷ ︸
=W 2/2
(∫ L
0
(D + y sin θ)dy
)
︸ ︷︷ ︸
F/ρgW
−ıˆρg
(∫ W
0
dx
)
︸ ︷︷ ︸
W
(∫ L
0
y (D + y sin θ)dy
)
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
M = ˆρg
W 2
2
F
ρgW
− ıˆρgW
(
L2
2
D +
L3
3
sin θ
)
ou
M = ˆ
W
2
F − ıˆρgWL2
(
D
2
+
L
3
sin θ
)
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
ponto de aplicação da força resultante
• ponto de aplicação: r ′ = x ′ıˆ+ y ′ˆ tal que:
r ′ × F = M
(
x ′ıˆ+ y ′ˆ
)× (−kˆF) = M
(
x ′ˆ− y ′ıˆ)F = ˆW
2
F − ıˆρgWL2
(
D
2
+
L
3
sin θ
)
logo,
x ′ =
W
2
e y ′ =
(D
2 +
L
3 sin θ
)(
D + L2 sin θ
)L
observação: se D = 0, então
y ′ =
2
3
L
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
forças em um objeto submerso de volume ∀
forças sobre o objeto:
• peso P
• força de pressão (empuxo):
E =
∫
S
−pnˆdA
nota-se que E só depende da
forma do objeto, e é igual à
força que atuaria no volume ∀
se este estivesse ocupado
pelo fluido:
n
t = n.T = -pn
dA
g = -gk
peso P
^
^
^^
S
 
V
objeto
E =
∫
S
−pnˆdA = −g
∫
∀
ρfluidod∀ ou E = kˆ g
∫
∀
ρfluidod∀
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
observações:
• o empuxo E atua na vertical
de baixo para cima (dir. −g), e
é igual em módulo ao peso do
fluido deslocado pelo objeto
• portanto E não tem qualquer
relação com o peso P
• P < E ⇒ o objeto bóia
• P = E ⇒ o objeto não se
move
• P > E ⇒ o objeto afunda
n
t = n.T = -pn
dA
g = -gk
peso P
^
^
^^
S
 
V
objeto
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
estabilidade
o centro de massa deve ser suficientemente baixo para o
momento de P e E ser sempre restaurador da posição neutra
centro 
de massa
pesoempuxo
centro 
de massa
peso empuxo
estável instável
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
altura crítica do centro de massa
altura máxima 
do centro 
de massa
pesoempuxo
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
balanço de forças em ∀
∫
∀
gρd∀+
∫
S
−pnˆdA = d
dt
∫
∀
Vρ(r)d∀
∫
∀
gρd∀ −
∫
∀
∇pd∀ =
∫
∀
dV
dt︸︷︷︸
=a
ρd∀
∫
∀
[∇p − ρ (g − a)]d∀ = 0
como ∀ é arbitrário,∇p = ρ (g − a)
n
t = n.T = -pn
dA
g
gρdV
dV
V
^
^^
S
a V
é como se o fluido estivesse estático em um campo
“gravitacional” igual a (g − a)
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
aceleração linear constante
∇p = ρ (g − a)
ıˆ
∂p
∂x
+ ˆ
∂p
∂y
+ kˆ
∂p
∂z
= ρ(−gˆ− ax ıˆ)
logo
a = ax i^-a
gg
-a
x
y
po
A
B
∂p
∂x
= −ρax ; ∂p
∂y
= −ρg; ∂p
∂z
= 0
em superfícies de pressão constante, dp = 0
dp =
∂p
∂x
dx +
∂p
∂y
dy +
∂p
∂z
dz = 0
−ρaxdx − ρgdy = 0 ⇒ dydx = −
ax
g
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
logo, as superfícies de pressão
constantes são dadas por
y = −ax
g
x + C
cada valor de C define uma superfície.
a = ax i^-a
gg
-a
x
y
po
A
B
Cálculo de pA − pB:
pA − pB =
∫ pA
pB
dp = −ρax
∫ xA
xB
dx − ρg
∫ yA
yB
dy
ou
pA − pB = −ρ [ax(xA − xB) + g(yA − yB)]
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
recipiente cilíndrico em rotação
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
dx dz
dr
rdθ
dθ
em coordenadas cilíndricas,
dx = eˆrdr + eˆθrdθ + eˆzdz
∇p = eˆr ∂p
∂r
+ eˆθ
1
r
∂p
∂θ
+ eˆz
∂p
∂z
∇p = ρ (g − a) ; a = −rω2eˆr
eˆr
∂p
∂r
+eˆθ
1
r
∂p
∂θ
+eˆz
∂p
∂z
= ρ(−geˆz+rω2eˆr )
⇒ ∂p
∂r
= ρrω2;
∂p
∂θ
= 0;
∂p
∂z
= −ρg
r
z
A
B
po
-a
gg-a
ω
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
em superfícies de pressão constante, dp = 0
dp = dx · ∇p = ∂p
∂r
dr +
∂p
∂θ
dθ +
∂p
∂z
dz = 0
ρrω2dr − ρgdz = 0 ⇒ dz
dr
=
rω2
g
logo, as superfícies de pressão constantes são
dadas por
z =
ω2
2g
r2 + C r
z
A
B
po
-a
gg-a
ω
cada valor de C define uma superfície de pressão constante.
A equação básica da estática de fluidos esforços em superfícies submersas planas flutuação e estabilidade fluidos em movimento de corpo rígido
Cálculo de pA − pB:
pA − pB =
∫ pA
pB
dp = ρω2
∫ rA
rB
rdr − ρg
∫ zA
zB
dz
ou
pA − pB = ρ
[
ω2
2
(r2A − r2B)− g(zA − zB)
]
r
z
A
B
po
-a
gg-a
ω
	A equação básica da estática de fluidos
	conceitos básicos
	balanço de forças em um fluido estático
	casos particulares
	esforços em superfícies submersas planas
	força
	momento
	ponto de aplicação
	flutuação e estabilidade
	flutuação
	estabilidade
	fluidos em movimento de corpo rígido
	balanço de forças
	exemplos