Engenharia de Materiais Aula 7

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Engenharia de Materiais
Aula 7 
Edcarlos Antônio Nunes Coura
Ao lidar com materiais cristalinos, com frequência é necessário especificar um ponto particular no interior da célula unitária, uma direção cristalográfica ou algum plano cristalográfico de átomos. 
Por convenção estes são identificados por 3 números ou índices usados para designar as suas localizações.
Pontos, direções e planos
A base para determinar os valores dos índices é a célula unitária;
O localização dos pontos é feita no sistema de coordenadas constituído por 3 eixos (x, y e z); 
Os sistemas cristalinos hexagonal, romboédrico, monoclínico e triclínico não são mutuamente perpendiculares entre si.
Pontos, direções e planos
A posição de qualquer ponto em uma célula unitária é dado pelas suas coordenadas;
Pontos
Ex.: Para a célula unitária mostrada na figura (a) a seguir, localize o ponto com coordenadas 
Pontos
Resolução
Pontos
É definida como uma linha entre 2 pontos ou um vetor. Os índices direcionais são definidos as seguintes etapas;
O vetor é posicionado de tal forma que passe pela origem;
Os comprimentos das projeções do vetor em cada um dos eixos são determinados;
Os 3 índices são multiplicados ou divididos por um fator comum;
Não são separados por virgula, são colocados entre colchetes quadrados: [u v w].
Direções
Os índices podem existir tanto valores positivos como negativos;
O índice for negativo é representado com uma barra sobre o índice;
Direções
A mudança dos sinais de todos os índices produz uma direção antiparalela
Direções
Ex.: Determine os índices para a direção mostrada na figura.
Direções
Ex.: Esboce a direção no interior de uma célula unitária cúbica. 
Direções
Varias direções não paralelas com índices diferentes são equivalentes, isso significa que o espaçamento entre os átomos ao longo de cada direção é o mesmo.
Por conveniência, as direções equivalentes são agrupadas como uma família, representada por <100>
Direções
Nos cristais cúbicos, as direções que possuem índices iguais, independente da ordem ou do seu sinal são equivalentes.
Direções
Cristais Hexagonais
Os cristais com simetria hexagonal não terão o mesmo conjunto de índices, isto é resolvido usando um sistema de coordenada com 4 eixos ou Miller-Bravais;
Direções
Cristais Hexagonais
A conversão do sistema de 3 eixos para o com 4 eixos;
Direções
Cristais Hexagonais
Ex.: Determine os índices para a direção mostrada na célula unitária hexagonal da figura a seguir.
Direções
Os planos cristalinos são representados pelos índices de Miller (hkl);
Planos paralelos entre si são equivalentes;
Os procedimento empregado para a determinação dos valores h, k e l são apresentados a seguir.
Planos Cristalográficos 
Se o plano passa pela origem selecionada, um outro plano paralelo deve ser construído no interior da célula unitária mediante uma translação apropriada ou uma nova origem deve ser estabelecida no vértice de uma outra célula unitária.
Feito isso, o plano interceptara cada um dos eixos ou será paralelo a algum dos eixos. O comprimento da interseção em cada eixo é dada em relação aos parâmetros de rede a, b e c.
Planos Cristalográficos 
Os valores inversos desses número são calculados. Um plano paralelo a um eixo pode ser considerado que intercepta o eixo no infinito, e portanto, índice igual a zero.
Se necessário, os índices são modificados para o conjunto de menores números inteiros pela multiplicação ou divisão por um fator comum.
Os índices não são separados por virgula e colocado em parênteses (hkl).
Planos Cristalográficos 
A inversão das direções de todos os índices especifica um outro plano paralelo, no lado oposto e de maneira equidistante
Planos Cristalográficos 
Planos Cristalográficos 
Exemplo: Determine os índices de Miller para o plano mostrado na figura a seguir.
Planos Cristalográficos 
1/2
Exemplo: Construa o plano (1 1 1) em uma célula unitária cúbica.
Planos Cristalográficos 
_
Esboce uma célula unitária tetragonal, e no interior dessa célula indique as localizações dos pontos com coordenadas 1 1 ½ e ½ ¼ ½ .
Considerando a célula unitária da questão anterior indique também as direções [2 2 1] e [2 1 2].
Exercicios
Quais são os índices para os dois planos representados na figura a seguir?
Exercicios