Física 1C Aula 19

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AULA 19
DINÂMICA EM 
SISTEMAS
L
Qual é a posição do CM do sistema de 3 barras uniformes
abaixo, com relação à origem indicada?
M
m
m
¾L
0
dy
x
Como cada barra é uniforme, o CM
de cada uma delas é seu centro
geométrico
Cálculo do CM do sistema:
Usamos a posição do CM de cada
barra, representando a barra como
se fosse uma partícula localizada ali
e com massa igual àquela da barra
correspondente
Exemplo:
CM3
CM2
CM1
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2
𝒙𝑪𝑴 =
𝒙𝟏 ∙ 𝒎𝟏 + 𝒙𝟐 ∙ 𝒎𝟐 + 𝒙𝟑 ∙ 𝒎𝟑
𝒎𝟏 +𝒎𝟐 +𝒎𝟑
𝒙𝑪𝑴 =
𝟎 ∙ 𝒎 + ൗ𝒅 𝟐 ∙ 𝑴 + 𝒅 ∙ 𝒎
𝒎+𝑴+𝒎
𝒙𝑪𝑴 =
𝒅 ∙ ൗ𝑴 𝟐 +𝒎
𝟐𝒎+𝑴
L
M
m
m
¾L
0
d
y
x
CM3
CM2
CM1
𝒙𝑪𝑴 =
𝒅 ∙ ൗ𝑴 𝟐 +𝒎
𝟐 ∙ 𝒎 + ൗ𝑴 𝟐
𝒙𝑪𝑴 =
𝒅
𝟐
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3
𝒚𝑪𝑴 =
− ൗ𝟑𝑳 𝟖 ∙ 𝒎 + 𝟎 ∙ 𝑴 − ൗ
𝑳
𝟐 ∙ 𝒎
𝒎+𝑴+𝒎
𝒚𝑪𝑴 =
𝑳 ∙ 𝒎 ∙ − ൗ𝟕 𝟖
𝟐𝒎 +𝑴
L
M
m
m
¾L
0
d
y
x
CM3
CM2
CM1
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Sendo:
L = 1,0 m
d = 0,80 m
m = 0,60 kg
M = 1,2 kg
𝒙𝑪𝑴 =
𝒅
𝟐
𝒙𝑪𝑴 =
𝟎, 𝟖
𝟐
𝒙𝑪𝑴 = 𝟎, 𝟒𝟎 m
𝒚𝑪𝑴 =
𝑳 ∙ 𝒎 ∙ − ൗ𝟕 𝟖
𝟐𝒎 +𝑴
=
𝟎, 𝟔. − ൗ𝟕 𝟖
𝟐 ∙ 𝟎, 𝟔 + 𝟏, 𝟐
𝒚𝑪𝑴 = −𝟎, 𝟐𝟐 m
CM
L
M
m
m
¾L
0
dy
x
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Um disco metálico de raio 2R tem um orifício de raio R, como
mostra a figura. Localize as coordenadas do centro de massa
do disco, sabendo-se que sua massa está uniformemente
distribuída com densidade superficial s .
2R
R
O disco com orifício pode ser pensado 
como uma superposição de dois discos:
Exemplo:
1 – Um disco uniforme completo (sem furo) 
de raio 2R com massa M, sendo 𝝈 =
𝑴
𝑨
⟹
𝑴 = 𝝈 ∙ 𝑨 ⟹ 𝑴 = 𝝈 ∙ 𝝅 ∙ 𝟐𝑹 𝟐
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2R
R
Tomamos como origem o centro do disco de 
raio 2R. Com isso teremos 𝒚𝑪𝑴 = 𝟎 pois a 
distribuição de massa é simétrica acima e 
abaixo da origem.
CM
O centro de massa do sistema formado pelo disco cheio M e o
disco “de falta de material” –m deve ser o mesmo centro de
massa do objeto que queremos determinar.
x
y
Calculando 𝒙𝑪𝑴:
𝒙𝑪𝑴 =
𝑴 ∙ 𝟎 +𝒎 ∙ −𝑹
𝑴+𝒎
=
𝟎 + −𝝈 ∙ 𝝅 ∙ 𝑹𝟐 ∙ −𝑹
𝝈 ∙ 𝝅 ∙ 𝟒 ∙ 𝑹𝟐 − 𝝈 ∙ 𝝅 ∙ 𝑹𝟐
=
𝝈 ∙ 𝝅 ∙ 𝑹𝟑
𝟑 ∙ 𝝈 ∙ 𝝅 ∙ 𝑹𝟐
𝒙𝑪𝑴 =
𝑹
𝟑
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O movimento dos sistemas acima é muito complicado, mas o 
centro de massa descreve uma parábola, como uma partícula.
2ª lei de Newton para um sistema de partículas:
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Considere duas partículas de massas m1 e m2 sob as quais
atuam forças em uma dimensão:
É importante identificar e distinguir as forças que são internas ao 
sistema (𝑭𝟐→𝟏 e 𝑭𝟏→𝟐) e as forças que são externas ao sistema 
(𝑭𝟏
𝒆𝒙𝒕 e 𝑭𝟐
𝒆𝒙𝒕)
F1
ext F2
ext
𝒎𝟏 ∙ 𝒂𝟏 = 𝑭𝟐→𝟏 + 𝑭𝟏
𝒆𝒙𝒕
𝒎𝟐 ∙ 𝒂𝟐 = 𝑭𝟏→𝟐 + 𝑭𝟐
𝒆𝒙𝒕
Somando-se as equações termo a termo:
𝒎𝟏 ∙ 𝒂𝟏 +𝒎𝟐 ∙ 𝒂𝟐 = 𝑭𝟐→𝟏 + 𝑭𝟏→𝟐 + 𝑭𝟏
𝒆𝒙𝒕 + 𝑭𝟐
𝒆𝒙𝒕
1 2
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Considerando o sentido positivo para a direita:
−𝒎𝟏 ∙ 𝒂𝟏 +𝒎𝟐 ∙ 𝒂𝟐 = 𝑭𝟐→𝟏 − 𝑭𝟏→𝟐 − 𝑭𝟏
𝒆𝒙𝒕 + 𝑭𝟐
𝒆𝒙𝒕
Como as partículas estão ligadas pela mesma mola, as forças
internas se cancelam
−𝒎𝟏 ∙ 𝒂𝟏 +𝒎𝟐 ∙ 𝒂𝟐 =෍𝑭
𝒆𝒙𝒕
E a resultante é dada pela soma das forças externas apenas
෍𝑭𝒆𝒙𝒕 = 𝑭𝑹𝒆𝒔
𝒆𝒙𝒕 = −𝒎𝟏 ∙ 𝒂𝟏 +𝒎𝟐 ∙ 𝒂𝟐
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Em particular, se 𝑭𝑹𝒆𝒔
𝒆𝒙𝒕 = 𝟎 teremos sempre a velocidade do
centro de massa constante (o CM continuará em MRU se
estava em movimento, ou continuará na mesma posição se
estava em repouso)
2a Lei de Newton para um sistema de partículas
𝒂𝑪𝑴 =
𝟏
𝑴
∙෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒎𝒊 ∙ 𝒂𝒊
Pela definição da aceleração do centro de massa:
𝑴.𝒂𝑪𝑴 = −𝒎𝟏 ∙ 𝒂𝟏 +𝒎𝟐 ∙ 𝒂𝟐
O que finalmente nos leva a:
𝑭𝑹𝒆𝒔
𝒆𝒙𝒕 = 𝑴 ∙ 𝒂𝑪𝑴
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M
Usando a 2ª lei de Newton, podemos determinar o movimento
do sistema de duas massas representando-o por uma partícula
de massa M localizada no CM sobre a qual atua apenas uma
força, que é a soma de todas as forças externas agindo sobre
o sistema
F1
ext F2
ext
𝑭𝑹𝒆𝒔
𝒆𝒙𝒕
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Só há forças internas ao sistema o centro de massa tem 
velocidade constante. Como estava inicialmente em repouso, 
permanecerá na mesma posição. Não importam as forças 
exercidas pelos patinadores (internas).
Dois patinadores no gelo (sem atrito)
encontram-se em repouso a uma
distância inicial de 12 m. Eles puxam
as extremidades de uma corda até se
encontrarem. Em que ponto eles se
encontram? O resultado depende das
forças exercidas por eles?
M1 = 80 kg M2 = 60 kg
Os patinadores se encontrarão
a 5,1 m da posição inicial do
patinador da esquerda.
Exemplo:
𝒙𝑪𝑴 =
𝟖𝟎 ∙ 𝟎 + 𝟔𝟎 ∙ 𝟏𝟐
𝟖𝟎 + 𝟔𝟎
= 𝟓, 𝟏 𝒎
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Exemplo:
A mulher caminha até a outra extremidade da jangada. Qual
será a distância da borda direita da jangada (onde estará a
mulher) ao cais agora?
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Como só há forças internas ao sistema na direção de
movimento (horizontal), o centro de massa tem velocidade
constante. Como estava inicialmente em repouso, permanecerá
na mesma posição, mesmo que a mulher avance para a outra
extremidade da jangada. As posições do CM da jangada e da
mulher vão variando de forma correlacionada, de modo que o
CM do sistema permanece sempre na mesma posição.
Sem atrito com a água
𝑭𝒋→𝒎
𝑭𝒎→𝒋
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No início:
𝑪𝑴𝒔𝒊𝒔
𝑪𝑴𝒎
𝑪𝑴𝒋 0,5 m
𝒙𝒎𝒊
𝒙𝒋𝒊
No final:
𝑪𝑴𝒔𝒊𝒔
𝑪𝑴𝒎
𝑪𝑴𝒋
𝒙𝒋𝒇
𝒙𝒎𝒇
𝒙𝑪𝑴𝒊
𝒙𝑪𝑴𝒇
𝒙
𝒚
3 m
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𝒙𝑪𝑴𝒊 = 𝒙𝑪𝑴𝒇
𝒎𝒎 ∙ 𝒙𝒎𝒊 +𝒎𝒋 ∙ 𝒙𝒋𝒊
𝒎𝒎 +𝒎𝒋
=
𝒎𝒎 ∙ 𝒙𝒎𝒇 +𝒎𝒋 ∙ 𝒙𝒇
𝒎𝒎 +𝒎𝒋
𝟔𝟎 ∙ 𝟔, 𝟓 + 𝟏𝟐𝟎 ∙ 𝟑, 𝟓 = 𝟔𝟎 ∙ 𝒙𝒎𝒇 + 𝟏𝟐𝟎 ∙ 𝒙𝒋𝒇
𝟏𝟑, 𝟓 = 𝒙𝒎𝒇 + 𝟐 ∙ 𝒙𝒋𝒇
A distância entre 𝒙𝒎𝒇 e 𝒙𝒋𝒇 é a mesma entre 𝒙𝒎𝒊 e 𝒙𝒋𝒊, que é a
distância da ponta ao centro da jangada. Logo, 𝒙𝒋𝒇 = 𝒙𝒎𝒇 + 𝟑
𝟏𝟑, 𝟓 = 𝒙𝒎𝒇 + 𝟐 ∙ 𝒙𝒎𝒇 + 𝟔 𝒙𝒎𝒇 = 𝟐, 𝟓 m
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