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– 1 – O mecanismo ABCD é composto por três hastes retilíneas BA , CB e DC articuladas, conforme mostrado na Figura 1. A haste CB gira em torno do ponto B, descrevendo um movimento de rotação no plano horizontal, enquanto a haste DC gira em torno do ponto C, descrevendo um movimento circular no plano vertical. O início do movimento se dá com os segmentos ortogonais entre si. Sendo assim, para 0=t s, as coordenadas dos pontos A, B, C e D, expressas em metros, no sistema de referência fixo ) , ,( zyxF são: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ == 0 0 0 )0( t F A ; ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ == 1 0 0 )0( t F B ; ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ == 1 0 1 )0( t F C ; ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ == 1 1 1 )0( t F D . 1 A ≡ 0 y (m) x (m) z (m) B C D 1 1 t = 0 s Figura 1 – Mecanismo com três barras articuladas ortogonais entre si no instante 0=t s. Este exemplo possui dois objetivos. O primeiro é fixar os conceitos apresentados no formulário, enquanto o segundo consiste em tornar a notação adotada familiar. Neste sentido, diversas questões são propostas com um grau crescente de dificuldade, de modo a encadear estes resultados, ou seja, o resultado de uma questão serve de ponto de partida para a próxima. Além disso, determinadas grandezas são obtidas através de mais de uma maneira e os resultados são verificados entre si, utilizando-se matrizes de transformação. Estes procedimentos atestam a riqueza de possibilidades desta abordagem. – 2 – Questão #1: Por inspeção, escreva o vetor posição do ponto D no SR ) , ,( zyxF nesta condição inicial. ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =−= === 1 1 1 0 0 0 1 1 1 )0( )0( )0( t F t F tD F ODr Questão #2: Realize uma rotação α obtendo um novo SR )' ,' ,'( zyxR onde CRB r seja constante. E outra rotação sequencial β, tal que DSC r seja constante, resultando num SR )" ," ,"( zyxS . Qual o vetor posição do ponto D no SR )" ," ,"( zyxS ? Observação: Utilize a relação )()()( )( trtrtrtr D S CC S BB S D S ++= . Escreva cada um dos termos e compatibilize a soma das componentes com as matrizes de transformação de coordenadas necessárias. Considere as mudanças no sistema de referência, conforme as Figuras 2a e 2b e as respectivas matrizes de transformação associadas a estas mudanças. x (m) x’ (m) A ≡ 0’ ≡ 0 z (m) ≡ z’ (m) y (m) y’ (m) B C D α α α 1 1 x’ (m) ≡ x” (m) A ≡ 0 y’ (m) B C ≡ 0’ ≡ 0” D β β z’ (m) y” (m) z” (m) β Figura 2 – (a) Mudança no sistema de referência ) , ,( zyxF → )' ,' ,'( zyxR ; (b) Mudança no sistema de referência )' ,' ,'( zyxR → )" ," ,"( zyxS . – 3 – β (1)F ( x, y, z ) Sistema Fixo (Solidário à barra AB) R ( x’, y’, z’ ) Sistema Móvel (Solidário à barra BC) α (3) S ( x”, y”, z” ) Sistema Móvel (Solidário à barra CD) Matrizes de transformação: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 100 0)( cos)( sen 0)( sen)( cos tt tt T RF αα αα ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= )( cos)( sen0 )( sen)( cos0 001 tt ttT SR ββ ββ Para simplificar as expressões, são feitas as seguintes considerações: αα =)( t , ββ =)( t e DSDS rtr =)( . Determinação do vetor posição do ponto B ( Br ): No SR ) , ,( zyxF : ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =−= 1 0 0 0 0 0 1 0 0 OBr FFB F Aplicando a matriz de transformação, obtém-se Br no SR )' ,' ,'( zyxR : ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −== 1 0 0 1 0 0 100 0cossen 0sencos αα αα B FFR B R rTr Observando a Figura 2(a), note que este cálculo é dispensável, pois z ≡ z’. Aplicando novamente a matriz de transformação, obtém-se Br no SR )" ," ,"( zyxS : ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − == β β ββ ββ cos sen 0 1 0 0 cossen0 sencos0 001 B RRS B S rTr – 4 – Determinação do vetor posição do ponto C relativa ao ponto B ( CB r ). Para isso, observe a Figura 2a e considere a origem do SR )' ,' ,'( zyxR no ponto B. ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =−= 0 0 1 0 0 0 0 0 1 BCr RRC R B Aplicando a matriz de transformação, obtém-se CB r no SR )" ," ,"( zyxS : ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − == 0 0 1 0 0 1 cossen0 sencos0 001 ββ ββCRBRSCSB rTr Observando a Figura 2(b), note que este cálculo é dispensável, pois x’ ≡ x”. Determinação do vetor posição do ponto D relativa ao ponto C ( DC r ). Para isso, observe a Figura 2b e considere a origem do SR )" ," ,"( zyxS no ponto C. ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =−= 0 1 0 0 0 0 0 1 0 CDr SSD S C De posse de cada um dos termos, todos no mesmo sistema de referência )" ," ,"( zyxS , obtém-se: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ += ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =++= cos sen1 1 0 1 0 0 0 1 cos sen 0 β β β βDSCCSBBSDS rrrr Questão #3: Qual o vetor posição do ponto D no SR )' ,' ,'( zyxR ? Observação: (a) Utilize primeiro a relação D R CC R BB R D R rrrr ++= . (b) A seguir, verifique D SSR D R rTr = . – 5 – Item (a): D R CC R BB R D R rrrr ++= Determinação do vetor posição do ponto D relativa ao ponto C ( DC r ): Da Questão #2, obtém-se D S C r . Aplicando a matriz de transformação tem-se: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −== β β ββ ββ sen cos 0 0 1 0 cossen0 sencos0 001 D S C SR D R C rTr Da Questão #2, obtém-se B R r e C R B r . Logo... ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =++= β β β β sen1 cos 1 sen cos 0 0 0 1 1 0 0 D R CC R BB R D R rrrr 9 Item (b): D SSR D R rTr = Obtendo D R r a partir da matriz de transformação... ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++ −+= = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −== β β βββ βββββ β β ββ ββ sen1 cos 1 cossensen cossensencos cos 1 cos sen1 1 cossen0 sencos0 001 22 D SSR D R rTr 9 Questão #4: (a) Qual o vetor posição do ponto D no SR ) , ,( zyxF ? Utilize a relação D RRF D F rTr = ; (b) Verifique )0( =tD F r com o resultado obtido na Questão #1 (neste caso, 0)( )0( ==ttα e 0)( )0( ==ttβ ). – 6 – Item (a): D RRF D F rTr = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − == β βαα βαα β βαα αα sen1 coscossen cossencos sen1 cos 1 100 0cossen 0sencos D RRF D F rTrAlternativamente, pode-se obter D F r através da relação D F CC F BB F D F rrrr ++= , conforme a seguir. Para isso é necessário obter C F B r e D F C r aplicando a matriz de transformação a C R B r (obtido na Questão #2) e D R C r (obtido na Questão #3). Portanto... ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − == 0 sen cos 0 0 1 100 0cossen 0sencos α α αα αα C R B RF C F B rTr ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡− = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − == β βα βα β βαα αα sen coscos cossen sen cos 0 100 0cossen 0sencos D R C RF D F C rTr De posse de cada um dos termos, todos no mesmo sistema de referência ) , ,( zyxF , obtém-se: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡− + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =++= β βαα βαα β βα βα α α sen1 coscossen cossencos sen coscos cossen 0 sen cos 1 0 0 D F CC F BB F D F rrrr Item (b): Da Questão #1, tem-se: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ == 1 1 1 )0( tD F r 9 Fazendo 0)( )0( ==ttα e 0)( )0( ==ttβ , tem-se: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − = 1 1 1 )0(sen1 )0(cos)0(cos)0(sen )0(cos)0(sen)0(cos sen1 coscossen cossencos β βαα βαα D F r 9 – 7 – Questão #5: Derive D F r no tempo para obter D F v . Como ele está descrito no SR ) , ,( zyxF fixo, sua derivada é a própria velocidade, ou seja, [ ]DFDF rdtdv = . Lembrando que ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − = β βαα βαα sen1 coscossen cossencos D F r , tem-se: [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− +−− === cos sencoscossencos sensencoscossen ββ βαββαααα βαββαααα & &&& &&& &DFDFDF rrdt dv Questão #6: Qual a velocidade angular do referencial )' ,' ,'( zyxR descrita no SR ) , ,( zyxF ? A barra CB gira em torno do eixo z com velocidade angular α& . Logo: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = α ω & 0 0 R F Observação: Note que R F R R ωω = , pois z ≡ z’: Questão #7: Qual a velocidade angular do referencial )" ," ,"( zyxS relativa à barra CB associada ao referencial )' ,' ,'( zyxR descrita em )' ,' ,'( zyxR ? A barra DC gira em torno do eixo x’ com velocidade angular β& . Como x’ ≡ x”: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ == 0 0 β ωω & S S RS R R – 8 – Questão #8: Qual a velocidade angular de )" ," ,"( zyxS descrita em )' ,' ,'( zyxR ? A velocidade angular de )" ," ,"( zyxS descrita em )' ,' ,'( zyxR pode ser decomposta em S R RR R S R ωωω += . O termo SRRω foi calculado na Questão #7 mas o termo RRω precisa ser determinado aplicando a matriz de transformação a R Fω (obtido na Questão #6). ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −== αα αα αα ωω && 0 0 0 0 100 0cossen 0sencos R FFR R R T Observando a Figura 2(a), note que este cálculo é dispensável, pois z ≡ z’. ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =+= α ββ α ωωω & && & 0 0 00 0 S R RR R S R Questão #9: Qual a velocidade angular de )" ," ,"( zyxS descrita em )" ," ,"( zyxS ? Aplicando a matriz de transformação a S Rω , obtido na questão anterior. ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − == βα βα β α β ββ ββωω cos sen0 cossen0 sencos0 001 & & & & & S RRS S S T Questão #10: Por observação, escreva as velocidades Av , Bv e Cv . Observações: (a) Escolha um SR onde a representação de Cv seja a mais simples possível; (b) Qual a trajetória do ponto C ? – 9 – Item (a): Av ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =−= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 OAr FFA F ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ == 0 0 0 A F A F r dt dv Item (b): Bv ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =−= 1 0 0 0 0 0 1 0 0 OBr FFB F ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ == 0 0 0 B F B F r dt dv Item (c): Cv De acordo com a Figura 3, observa-se que o ponto C descreve uma trajetória circular num plano paralelo ao plano (x’,y’) com centro no ponto B. Note que a barra CB é colinear ao eixo x’. Portanto, o SR )' ,' ,'( zyxR é o mais indicado para representar Cv . Lembrando que CB = 1m, a velocidade do ponto C é tangente a trajetória respeitando o sentido do movimento e sua magnitude é dada por ααω && ==×= CBrv . Portanto... ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 α&CR v – 10 – x’ (m) A ≡ 0 y’ (m) B D z’ (m) C ≡ 0’α x (m) y (m) z (m) C R v Figura 3 – Velocidade absoluta do ponto C descrita no SR )' ,' ,'( zyxR . A velocidade do ponto C pode ser verificada obtendo-se Cv a partir da velocidade do ponto B através da expressão: Cl R RC R BR R B R C R vrvv Re ~ ++= ω Mais uma vez, o SR )' ,' ,'( zyxR é mais indicado para representar a velocidade do ponto C. Note que Bv é nula (representada em qualquer SR), conforme obtida no item anterior. Além disso, a escolha do referencial )' ,' ,'( zyxR é conveniente, pois o ponto C pertence à barra CB , portanto 0 Re =ClRR v . Desta forma, a expressão para a obtenção de Cv resume-se a: C R BR R C R rv ~ω= Da Questão #8, obtém-se: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = α ω & 0 0 R R para determinação da matriz RRω~ . ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 000 00 00 ~ α α ω & & R R – 11 – Da Questão #2, obtém-se: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 1 C R B r . Assim, ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − == 0 0 0 0 1 000 00 00 ~ αα α ω && & C R BR R C R rv Questão #11: Embarque em )" ," ,"( zyxS . Obtenha a velocidade do ponto D a partir da velocidade do ponto C. Represente esta velocidade em )' ,' ,'( zyxR . Embarcar em )" ," ,"( zyxS , significa considerar Sω e DlS v Re . Enquanto representar em )' ,' ,'( zyxR corresponde a escrever toda a equação neste sistema (índices superiores de cada termo), conforme abaixo. Dl R SD R CS R C R D R vrvv Re ~ ++= ω Como o ponto D pertence à barra DC associada ao SR )" ," ,"( zyxS , tem-se 0 Re =DlRS v . Assim, a velocidade do ponto D no SR )' ,' ,'( zyxR é dada por: D R CS R C R D R rvv ~ω+= O vetor velocidade de C no SR )' ,' ,'( zyxR foi obtido na Questão 10 – Item “c” e é dado por ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 α&CR v . Da Questão #8, obtém-se ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = α β ω & & 0S R para determinação da matriz SRω~ . – 12 – ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 00 0 00 ~ β βα α ω & && & S R Da Questão#3 – Item a, obtém-se ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = β β sen cos 0 D R C r . Efetuando o cálculo parcial D R CS R r ~ω ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ββ ββ βα β β β βα α ω cos sen cos sen cos 0 00 0 00 ~ & & & & && & D R CS R r De posse de cada um dos termos, todos no mesmo sistema de referência )' ,' ,'( zyxR , obtém-se: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =+= ββ ββα βα ββ ββ βα αω cos sen cos cos sen cos 0 0 ~ & && & & & & &DRCSRCRDR rvv Questão #12: Embarque em )' ,' ,'( zyxR e calcule a velocidade do ponto D. Observação: Neste caso, é necessário saber a velocidade do ponto D relativa à barra CB associada ao SR )' ,' ,'( zyxR . Embarcar em )' ,' ,'( zyxR , significa considerar Rω e DlR v Re . O enunciado não diz nada a respeito do sistema a ser adotado para representar a equação completa. Neste caso, o sistema )' ,' ,'( zyxR é adotado. Isto corresponde a escrever toda a equação neste sistema (índices superiores de cada termo), conforme abaixo. Dl R RD R CR R C R D R vrvv Re ~ ++= ω – 13 – Da Questão #10 – Item (c), obtém-se ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 α&CR v e ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 000 00 00 ~ α α ω & & R R . Da Questão #3, obtém-se ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = β β sen cos 0 D R C r . Efetuando o cálculo parcial D R CR R r ~ω ... ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡− = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 0 0 cos sen cos 0 000 00 00 ~ βα β βα α ω & & & D R CR R r Para a obtenção de DlR v Re , note que é mais fácil identificar esta grandeza no SR )" ," ,"( zyxS para então obtê-la no SR ),,( zyxR ′′′′′′ , aplicando a matriz de transformação. De acordo com a Figura 4, observa-se que o ponto D descreve uma trajetória circular no plano (y”, z”) com centro no ponto C. Lembrando que DC = 1m, a velocidade do ponto D é tangente a trajetória respeitando o sentido do movimento e sua magnitude é dada por ββ && ==×= DCrwv . C x” (m) A ≡ 0 B D ≡ 0” β y” (m) z” (m) S v D Figura 4 – Velocidade do ponto D em relação ao referencial )' ,' ,'( zyxR descrita no SR )" ," ,"( zyxS . – 14 – Portanto: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = β& 0 0 Re Dl S R v . Aplicando a matriz de transformação a Dl S R v Re . ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −== ββ ββ βββ ββ cos sen 0 0 0 cossen0 sencos0 001 Re Re & & & Dl S R SR Dl R R vTv De posse de cada um dos termos, todos no mesmo sistema de referência )' ,' ,'( zyxR , obtém-se: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −+ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡− + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =++= ββ ββα βα ββ ββ βα αω cos sen cos cos sen 0 0 0 cos 0 0 ~ Re & && & & & & &DlRRDRCRRCRDR vrvv Questão #13: Constate que o resultado das Questões #11 e #12 confere com o resultado da Questão #5, calculando D RRF D F vTv = . Da Questão #5, tem-se: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− +−− = cos sencoscossencos sensencoscossen ββ βαββαααα βαββαααα & &&& &&& D F v 9 Aplicando a matriz de transformação a D R v , tem-se: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −+− +−− = = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − == cos sencoscoscossen sensensencoscos cos sen cos 100 0cossen 0sencos ββ βαβααβαα βαβααβαα ββ ββα βα αα αα & &&& &&& & && & D RRF D F vTv 9 – 15 – Questão #14: (a) Qual a velocidade angular do referencial )" ," ,"( zyxS descrita no SR ) , ,( zyxF ? (b) Derive o vetor S Fω para obter a aceleração angular do referencial )" ," ,"( zyxS descrita no SR ) , ,( zyxF . (c) Use a matriz de transformação para passar a aceleração angular para o SR )' ,' ,'( zyxR . Item (a): S Fω Aplicando a matriz de transformação a S Rω , obtido na Questão #8, tem-se: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − == α αβ αβ α β αα αα ωω & & & & & sen cos 0 100 0cossen 0sencos S RRF S F T Item (b): [ ]SFSF dtd ωα = Derivando S Fω em relação ao tempo, tem-se: [ ] SFFFSFSFSF dtd ωωωωα ~ +== & 0 Observação: Como o vetor S Fω está no SR fixo, basta derivar cada componente do vetor S Fω . Não é necessário se preocupar com o produto SFFF ωω ~ , pois o referencial ) , ,( zyxF não possui velocidade angular, ou seja: 0=Fω . Lembrando que ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = α αβ αβ ω & & & sen cos S F , tem-se: – 16 – ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − == α αβααβ αβααβ ωα && &&&& &&&& & cossen sencos S F S F Item (c): S FFR S R T ωα = Aplicando a matriz de transformação a S Fα (obtido no item anterior)... ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +++− ++− = = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −== α βα β α αβαααβαβαααβ ααβααβααβααβ α αβααβ αβααβ αα αα αα && && && && &&&&&&&& &&&&&&&& && &&&& &&&& 22 22 coscos sensencos sen cossensencossencos cossen sencos 100 0cossen 0sencos S FFR S R T Questão #15: Compare a resposta acima com o resultado obtido derivando-se o resultado da velocidade angular encontrada na Questão #8 (ou seja, derive o resultado da Questão #8 e verifique que é igual ao resultado encontrado na Questão 14 – Item c). Da Questão 14 – Item c, tem-se: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = α βα β α && && && S R 9 Da Questão #8, obtém-se ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = α β ω & & 0S R . Derivando S Rω em relação ao tempo, tem-se: [ ] 0 0 00 000 00 00 0 ~ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =+== α βα β βα α β α β α α α β ωωωωα && && && && && && & & & & && && & SRRRSRSRSR dt d 9 – 17 – Alternativamente, pode-se obter S Rα derivando-se os termos da seguinte decomposição R R RR R S R ωωω += , conforme a seguir. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = =+++=+=+= 0 0 000 00 00 0 0 0 0 ~~ α βα ββ α αβ α ωωωωωωωωωωω && && &&& & &&& && && SRRRRSRRRRRRRRSRRRRSRRRRSR dt d dt d dt d 0 Observe que o produto R R R R ωω ~ é desprezado, pois o produto vetorial entre dois vetores colineares é nulo.Questão #16: Embarque em )' ,' ,'( zyxR . Determine a aceleração do ponto D no SR )' ,' ,'( zyxR a partir da aceleração de C ( C R a ). Lembrando que embarcar em )' ,' ,'( zyxR , significa considerar Rω , Rα , DlR v Re e DlR a Re . Enquanto representar em )' ,' ,'( zyxR corresponde a escrever toda a equação neste sistema (índices superiores de cada termo), conforme abaixo. Dl R RDl R RR R D R CR R R R C R D R avraa Re Re 2 ~2 ~~ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++= ωαω A aceleração do ponto C ( Ca ) pode ser obtida a partir da aceleração do ponto B ( Ba ). Para isso, considere a seguinte expressão: Cl R RCl R RR R C R BR R R R B R C R avraa Re Re 2 ~2 ~~ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++= ωαω Note que o referencial )' ,' ,'( zyxR é mais indicado para representar a aceleração do ponto C, pois o ponto C pertence à barra CB , portanto: 0 Re =ClRR v e 0 Re =ClRR a . Além – 18 – disso, Ba é nula (representada em qualquer SR). Desta forma, a expressão para a obtenção de C R a resume-se a: C R BR R R R C R ra ~~ 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += αω Da Questão #8, obtém-se ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = α ω & 0 0 R R , para obtenção da matriz 2~ R Rω . ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 000 00 00 ~ 2 2 2 α α ω & & R R Para a obtenção da aceleração angular do referencial )' ,' ,'( zyxR , considere a derivada temporal de seu vetor velocidade angular. Conforme destacado anteriormente, o produto vetorial entre dois vetores colineares é nulo. Portanto, lembrando que ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = α ω & 0 0 R R , tem-se: [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =+== α ωωωωα && & 0 0 ~ R R R R R R R R R R dt d 0 De posse de R Rα , determina-se a matriz RRα~ . ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 000 00 00 ~ α α α && && R R Da Questão #2, obtém-se: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 1 C R B r . Assim, retornando à expressão para a aceleração do ponto C, tem-se: – 19 – ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡− = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += 0 0 0 1 000 00 00 000 00 00 ~~ 2 2 2 2 α α α α α α αω && & && && & & C R BR R R R C R ra Alternativamente, é possível obter Ca intuitivamente. De acordo com a Figura 5, observa-se que o ponto C descreve uma trajetória circular num plano paralelo ao plano (x,y) com centro no ponto B. Lembrando que CB = 1m, a aceleração do ponto C no SR )' ,' ,'( zyxR é dada por: aceleração normal do ponto C: 22 αω &=×= raN (no sentido negativo de x’); aceleração tangencial do ponto C: αω &&& =×= raT (no sentido positivo de y’). x’ (m) A ≡ 0 y’ (m) B D z’ (m) C ≡ 0’α a T x (m) y (m) z (m) a N Figura 5 – Aceleração absoluta do ponto C descrita no SR )' ,' ,'( zyxR . Desta forma, tem-se: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡− = 0 2 α α && & C R a Da Questão #3, obtém-se ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = β β sen cos 0 D R C r . – 20 – Efetuando o cálculo parcial D R CR R R R r ~~ 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + αω ... ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + 0 cos cos sen cos 0 000 00 00 000 00 00 ~~ 22 2 2 βα βα β βα α α α αω & && && && & & D R CR R R R r Da Questão #12, obtém-se ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= ββ ββ cos sen 0 Re & & Dl R R v . Efetuando o cálculo parcial Dl R RR R v Re ~ 2 ω ... ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 0 0 sen2 cos sen 0 000 00 00 2 ~ 2 Re ββα ββ ββα α ω && & && & Dl R RR R v Para obtenção de Dl R R a Re , considere o sistema de referência )" ," ,"( zyxS com origem no ponto D, conforme a Figura 6. Mais uma vez, é importante notar que o ponto D descreve uma trajetória circular no plano (y”,z”) com centro no ponto C. Portanto, é mais fácil identificar esta grandeza no SR )",","( zyxS para então obtê-la no SR ),,( zyxR ′′′′′′ , aplicando a matriz de transformação. C x” (m) A ≡ 0 B D ≡ 0” β y” (m) z” (m) a T a N Figura 6 – Aceleração do ponto D em relação ao referencial )' ,' ,'( zyxR descrita no SR )",","( zyxS . – 21 – Lembrando que DC = 1m, a aceleração do ponto D no SR )",","( zyxS é dada por: aceleração normal do ponto D: 22 βω &=×= raN (no sentido negativo de y”); aceleração tangencial do ponto D: βω &&& =×= raT (no sentido positivo de z”). Portanto: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= β β && & 2 Re 0 Dl S R a Aplicando a matriz de transformação a Dl S R a Re , tem-se: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +− −−= ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −== ββββ ββββ β β ββ ββ cossen sencos 0 0 cossen0 sencos0 001 2 22 Re Re &&& &&& && & Dl S R SR Dl R R aTa De posse de cada um dos termos, no mesmo sistema de referência )' ,' ,'( zyxR , obtém- se: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +− −−− +−− = = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +− −−+ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡− = =++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++= ββββ βββββαα ββαβαα ββββ ββββ ββα βα βα α α ωαω cossen sencoscos sen2cos cossen sencos 0 0 0 sen2 0 cos cos 0 ~ 2 ~~ 2 22 2 2 22 2 Re Re 2 &&& &&&&&& &&&&& &&& &&& && & && && & Dl R RDl R RR R D R CR R R R C R D R avraa Questão #17: (a) Embarque em )",","( zyxS . Obtenha a aceleração do ponto D a partir da aceleração do ponto C, descrita no SR )",","( zyxS ( DS a ); (b) Verifique o resultado encontrado com D R a encontrado na Questão #16, utilizando a seguinte relação D SSR D R aTa = . – 22 – Item (a): Observação: Lembrando que embarcar em )" ," ,"( zyxS , significa considerar Sω , Sα , DlS v Re e DlS a Re . Enquanto representar em )" ," ,"( zyxS corresponde a escrever toda a equação neste sistema (índices superiores de cada termo), conforme abaixo. Dl S SDl S SS S D S CS S S S C S D S avraa Re Re 2 ~ 2 ~~ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++= ωαω Como o ponto D pertence à barra DC , tem-se 0 Re =DlSS v e 0 Re =DlSS a . Assim, a aceleração de D no SR )",","( zyxS é dada por: D S CS S S S C S D S raa ~~ 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++= αω Aplicando a matriz de transformação a C R a , obtida na Questão #16, tem-se: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡− ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − == βα βα α α α ββ ββ sen cos 0 cossen0 sencos0 001 22 && && & && & C RRS C S aTaDa Questão #9, obtém-se ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = cos sen βα βα β ω & & & S S para a determinação da matriz 2~ S Sω , do vetor aceleração angular S Sα e da matriz SSα~ . ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− − = βαβββαββα ββαβαβββα ββαββαα ω 2222 2222 2 2 sencossencos cossencossen cossen ~ &&&&& &&&&& &&&&& S S – 23 – Para a obtenção da aceleração angular do referencial )" ," ,"( zyxS , considere a derivada temporal de seu vetor velocidade angular. Deve-se ressaltar novamente que o produto vetorial entre dois vetores colineares é nulo. Portanto, lembrando que ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = cos sen βα βα β ω & & & S S , tem-se: [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − +=+== ββαβα ββαβα β ωωωωα sencos cossen ~ &&&& &&&& && & SSSSSSSSSS dt d 0 De posse de S Sα , determina-se a matriz SSα~ . ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− ++− = 0cossen 0sencos cossensencos0 ~ βββαβα βββαβα ββαβαββαβα α &&&&&& &&&&&& &&&&&&&& S S Efetuando o cálculo parcial ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + RRRR αω ~~ 2 ... ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−+− +−−− ++−− = = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− ++− + ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− − =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + βαβββαββα ββαββαββα ββαβαββαβαα βββαβα βββαβα ββαβαββαβα βαβββαββα ββαβαβββα ββαββαα αω 2222 2222 2 2222 2222 2 2 sencossensen cossencoscos cos2sensen2cos 0cossen 0sencos cossensencos0 sencossencos cossencossen cossen ~ ~ &&&&&&& &&&&&&& &&&&&&&&& &&&&&& &&&&&& &&&&&&&& &&&&& &&&&& &&&&& R R R R Da Questão #2, obtém-se ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 0 D S C r . – 24 – Efetuando o cálculo parcial D S CS S S S r ~~ 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + αω ... ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + −− +− = = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−+− +−−− ++−− =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + ββαβ βαβ ββαβα βαβββαββα ββαββαββα ββαβαββαβαα αω cossen cos sen2cos 0 1 0 sencossensen cossencoscos cos2sensen2cos ~~ 2 222 2222 2222 2 2 &&& && &&&& &&&&&&& &&&&&&& &&&&&&&&& D S CS S S S r De posse de cada um dos termos, todos no mesmo sistema de referência )" ," ,"( zyxS , obtém-se: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++− −− +−− = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + −− +− + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++= ββαββα βαββα ββαβαα ββαβ βαβ ββαβα βα βα α αω cossensen coscos sen2cos cossen cos sen2cos sen cos ~~ 2 222 2 2 222 2 2 &&&&& &&&& &&&&& &&& && &&&& && && & D S CS S S S C S D S raa Item (b): D SSR D R aTa = Aplicando a matriz de transformação a D S a encontrada no item anterior, obtém-se o mesmo resultado encontrado para D R a na Questão #16. ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +− −−− +−− = = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++−−− −−+−− +−− = = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++− −− +−− ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −== ββββ βββββαα ββαβαα ββαββββαββαββββα ββαβββαβαβββα ββαβαα ββαββα βαββα ββαβαα ββ ββ cossen sencoscos sen2cos cossencoscossencossensencossen cossensensencoscoscos sen2cos cossensen coscos sen2cos cossen0 sencos0 001 2 22 2 22222 2223222 2 2 222 2 &&& &&&&&& &&&&& &&&&&&&&& &&&&&&&&& &&&&& &&&&& &&&& &&&&& D SSR D R aTa 9 – 25 – Da Questão #16, tem-se: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +− −−− +−− = ββββ βββββαα ββαβαα cossen sencoscos sen2cos 2 22 2 &&& &&&&&& &&&&& D R a 9
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