Problemas de Valor Inicial

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1 
Métodos Analíticos e Computacionais 
 
 
Modelagem Analítica 
 
 
Capítulo II 
 
 
Problemas de Valor Inicial e de Contorno 
 
 
II.1 – Problema de valor inicial 
II.1.1 – Introdução 
 
Os problemas de valor inicial são problemas envolvendo fenômenos que 
experimentam modificações no decorrer do tempo, cuja modelagem resulta em 
equação diferencial. 
 
 Para a abordagem de problema de valor inicial segundo a sua acepção 
clássica, resolve-se de antemão a equação diferencial correlata, e, para o 
problema em particular objeto de apreciação, aplicam-se as condições iniciais 
que lhe são inerentes, para assim determinar as constantes de integração 
arbitrárias. Uma vez substituindo-se os valores específicos assim obtidos para 
as constantes, na função solução geral, esta se transforma na solução 
particular que descreve o problema em análise. 
 2 
 
Exercícios propostos: 
1 - Resolver os problemas de valor inicial: 
a - ) 
0
1
tdtcosdy
y
 tal que em t = 0, y = f(t) =yo; e, 
b - ) 
0
2
2
A
dt
Ad
 tal que em t = 0, A = 0, e, 
dt
dA
. 
 
 
II.1.2 – Aplicações em Problemas de Engenharia 
 
 Um exemplo de problema de valor inicial é o caso de um elemento 
estrutural de concreto fabricado com agregado reativo. A modelagem do 
problema fundamenta-se na premissa de que a taxa de consumo de íons álcali 
em sua reação com os minerais reativos quimicamente afins do agregado, no 
decorrer do tempo, é proporcional ao teor desse material na solução alcalina 
dos poros do concreto. Em outras palavras, se “A” é o teor de álcalis num 
instante “t” arbitrário então: 
 
kkA
dt
dA
 (II.1) 
 
onde “k” é um parâmetro que considera as condições físico-químicas do 
material que, mediante alguma aproximação, pode ser considerado, constante. 
 
A condição inicial do problema é que para t = 0, que é o instante em que inicia-
se a reação química, o teor de álcalis consumido na reação é A = 0. 
 
Uma vez que a equação diferencial envolvida é linear, não homogênea, e, de 
coeficientes constantes, sua solução é do tipo: 
 
ph AAA
 (II.2) 
 
 3 
onde Ah representa a solução geral da equação diferencial homogênea 
correspondente, e, Ap é uma solução particular, que pode ser obtida a partir do 
método dos coeficientes a determinar. A equação diferencial homogênea 
correspondente será: 
 
0kA
dt
dA
h
h
 (II.3) 
 
Sua equação característica será: 
 
0k
 (II.4) 
 
admitindo para solução 
k
. Logo: 
 
kt
h e.CA
 (II.5) 
 
Mediante o método dos coeficientes a determinar, deve-se propor para solução 
particular a forma: 
 
tetanConsBAp
 (II.6) 
 
a qual, uma vez levada na equação diferencial em resolução resulta: 
 
1BAp
 (II.7) 
 
Conseqüentemente, a solução geral da equação diferencial em resolução será: 
 
1ktph e.CAAA
 (II.8) 
 
Considerando-se a condição inicial de que em t = 0, A = 0, obtém-se: 
 
01C1e.C)0(A 0.k
 (II.9) 
 4 
 
De modo que: 
 
1C
 (II.10) 
 
E, finalmente, substituindo-se “C” na solução geral obtém-se a solução do 
problema sob a forma: 
 
kte1A
 (II.11) 
 
Outro problema de valor inicial é o caso do esgotamento de um reservatório 
cujo fluxo de água se dá através de um orifício de seção de escoamento 
controlada mediante registro-válvula, instalado na parede vertical nas 
proximidades de sua base, figura II.1. 
 
 
Figura II.1 - reservatório 
 
Se “Ao” é a área do orifício dreno de escoamento, “Ac” é a área da base do 
reservatório cilíndrico, “g” é a aceleração da gravidade, e, “h” a altura da coluna 
d’água sobre o referido orifício num instante arbitrário “t”, então o decaimento 
do nível d’água do reservatório é descrito pela equação: 
 
0
260
h
A
gA,
dt
dh
c
o
 (II.12) 
 
 5 
 
Fazendo-se 
c
o
A
gA,
C
260
1
, a equação II.12 assume a forma: 
 
hC
dt
dh
1
 (II.13) 
 
Separando-se as variáveis obtém-se: 
 
dtCdh
h
1
1
 (II.14) 
 
Integrando-se membro a membro e introduzindo-se a constante de integração 
pertinente resulta: 
 
21
2
1
2 CtCh
 de onde se obtém 
2
43 )CtC(h
 (II.15) 
 
com 
c
o
A
gA,C
C
230
2
1
3
 
 
Considerando-se que no instante inicial, t = 0, o registro é aberto, e o 
escoamento se inicia, de modo que, o nível d’água no interior do reservatório, 
inicialmente igual a ho, começa a decair, e, assim: 
 
2
4
2
430 00 C)C.C()t(hh
 de modo que 
ohC4
 (II.16) 
 
Levando-se este valor na equação II.15 resulta: 
 
2
3 )htC(h o
 (II.17) 
 
 
 6 
II.2 - Problema de valor de contorno 
II.2.1 - Introdução 
 
 O problema de valor de contorno representa uma classe de problemas cuja 
modelagem física resulta em uma formulação matemática envolvendo equação 
diferencial, estando sua descrição específica condicionada à observação de 
certas particularidades claramente reconhecidas nas fronteiras do domínio 
espacial do problema. 
 
Para obtenção da lei que descreve matematicamente o fenômeno, deve-se 
obter a solução geral da equação diferencial envolvida e, em seguida 
determinar o valor de suas constantes independentes, a partir do atendimento 
às condições reais conhecidas intrínsecas ao problema, verificadas na fronteira 
do domínio de definição da função solução. 
 
 
Exercícios propostos: 
2 - Resolver os problemas de valor de contorno: 
a - ) 
xy
dx
dy
2
, y definida para todo 
0x,Rx 
, e, em x = 0 y = 100; 
b - ) 
84
2
2
y
dx
yd , y definida para todo 10 x,Rx , e, para x = 0, e, x = 1 
a função y se anula. 
 
 
II.2.2 - Aplicações em Problemas de Engenharia 
 
Esforços em vigas 
 
Esforços são grandezas físicas cuja quantificação está associada ao padrão 
segundo o qual o carregamento de certo elemento de uma estrutura é 
transferido para os seus vínculos a um referencial fixo ou a outros membros da 
 7 
mesma estrutura. No caso particular das vigas, os esforços inerentes são o 
esforço cortante e o momento fletor. 
 
Quando uma carga solicita uma estrutura, figura II.2, seus componentes 
passam de um estado inicial para uma configuração deformada. Esta 
configuração não é atingida instantaneamente. Assim, as reações e esforços 
crescem gradativamente de 0 (zero) até seu valor final quando é atingida a 
configuração de equilíbrio referente ao carregamento solicitante. Assim, 
quando a configuração deformada é estabelecida diz-se que a estrutura atingiu 
a sua configuração de equilíbrio para o carregamento que a solicita. 
 
 
Figura II.2 – Esquema estrutural de uma viga 
 
Do ponto de vista físico-matemático os esforços em determinada seção de uma 
viga representam as ações de sua parte situada à esquerda de tal seção sobre 
a parte posicionada à sua direita ou vice versa. Em outras palavras é 
representadapelas resultantes das ações do tipo força e momento, aplicados 
na parte da viga localizada à esquerda da seção em estudo. 
 
Os postulados da Mecânica dos Sólidos utilizam como ferramenta principal de 
cálculo, as Equações Universais da Estática ou Equações de Equilíbrio 
Estático, que são empregadas, inclusive, para o cálculo direto de esforços. Tais 
postulados também apresentam em seu bojo um conjunto especial de 
equações, conhecidas como Equações Fundamentais da Estática, deduzidas a 
partir da aplicação das Equações Universais da Estática, que são escritas 
mediante as formas diferenciais: 
 
0)x(V
dx
)x(dM
0)x(q
dx
)x(dV
 (II.18) 
 8 
 
onde “V(x)”, M(x) e “q(x)” são funções que expressam a variação do esforço 
cortante, do momento fletor e da carga, respectivamente, ao longo do eixo 
longitudinal da viga. As Equações Fundamentais da Estática podem ser 
empregadas, alternativamente, para a determinação dos esforços. Nesta seção 
recorreremos a tal procedimento. 
 
Seja por exemplo determinar as funções dos esforços em uma viga bi-apoiada 
solicitada por carregamento uniformemente distribuído em toda a sua extensão 
longitudinal, figura II.3.. 
 
 
Figura II.3 – Esforços em vigas 
 
Com vistas à resolução do problema em pauta serão utilizadas as equações 
II.18. Para o caso ora analisado: 
 
tetanconsq)x(q
 
 
Resolvendo-se a primeira das equações II.18, tem-se: 
 
10 cx.q)x(Vdx.qdVq
dx
)x(dV
 (II.19) 
 
Substituindo-se a expressão de “V(x)” assim obtida na segunda das equações 
II.18 resulta: 
 
00 1 )cqx(
dx
)x(dM
)x(V
dx
)x(dM
 (II.20) 
 
 9 
Separando-se as variáveis obtém-se: 
 
dx)cqx(dM 1
 (II.21) 
 
Integrando-se membro a membro e introduzindo-se a constante de integração 
pertinente resulta: 
 
21
2
2
1
cxcqx)x(M
 (II.22) 
 
Com o objetivo voltado para a aplicação das condições de fronteira deve-se 
lembrar, de antemão, que uma função é uma transformação que converte um 
elemento “x” do conjunto domínio, em um elemento y = f(x) do conjunto 
imagem. Em linguagem matemática esta definição é expressa na forma: 
 
f(x) y 
 
x
ID
 (II.23) 
 
As equações dos esforços em uma viga fornecem o valor dos esforços em uma 
seção arbitrária ao longo do seu eixo longitudinal, em função da posição “x” da 
seção, relativa a um referencial, que nas mais das vezes está fixado em sua 
extremidade esquerda. Assim, o domínio do problema é o conjunto dos infinitos 
pontos que constituem o eixo longitudinal da viga, ou seja, 
}Lx/Rx{D 0
, onde “L” representa o comprimento do vão da viga. As 
fronteiras do domínio, no presente caso, são as extremidades da viga, 
representadas pelos pontos de coordenadas x = 0 e x = L. As condições de 
fronteira do problema ora considerado são: 
 
000 )x(MLx)x(Mx
 (II.24) 
 
pois, a viga considerada está apoiada sobre duas rótulas, que representam tipo 
de apoio que não transfere momento fletor. Ou seja: Os momentos fletores nas 
extremidades da viga, para esse tipo de apoio, são nulos. 
 
 10 
A primeira condição de fronteira nos dá: 
 
0000
2
1
00 221
2 cc.c.q)(Mx 
 (II.25) 
 
O que transformaria a função momento fletor em: 
 
xcqx)x(M 12
2
1
 (II.26) 
 
A segunda das condições de fronteira nos daria: 
 
2
0
2
1
11
2 qLcL.cL.q)L(MLx 
 (II.27) 
 
Levando esse valor obtido para “c1” nas equações II.19 e “II.22” resultam: 
 
2
qL
x.q)x(V x
qL
qx)x(M
22
1 2
 (II.28) 
 
que representam as equações de esforço cortante e momento fletor 
procuradas. 
 
Exercícios propostos: 
3 - Determinar a partir das Equações Fundamentais da Estática as 
funções que exprimem as variações dos esforços para as estruturas: 
 
a - ) Viga bi-apoiada solicitada por uma carga concentrada, figura II.2, 
lembrando que o domínio do problema deve ser subdividido em dois 
subdomínios cada um representando um dos dois trechos da viga separados 
carga concentrada, assim, o problema admite um par de equações diferenciais 
por trecho do vão resultando em quatro constantes de integração a determinar. 
No tocante às condições de fronteira observar que além dos momentos nulos 
nas extremidades da viga, deve-se ter que o momento fletor à esquerda da 
 11 
carga concentrada é igual ao momento a sua direita e que o esforço cortante à 
direita da carga concentrada é igual ao esforço cortante na seção à sua 
esquerda menos o valor da intensidade da carga. 
 
b - ) Viga bi-apoiada solicitada por uma carga momento aplicada no apoio 
da extremidade esquerda, figura II.4, lembrando que o momento fletor em sua 
extremidade esquerda deve ser igual à intensidade da carga momento ali 
aplicada. 
 
 
Figura II.4 – Viga solicitada mediante carga momento 
 
Deformações em vigas 
 
Outro exemplo clássico de problema de valor de contorno é a descrição 
analítica da deformação da linha elástica de uma viga. Para a sua abordagem 
considere-se a viga bi-apoiada da figura II.5. O domínio do problema é idêntico 
ao do problema anterior, ou seja: 
 
Lx/Rx 0
 (II.29) 
 
Em razão da solicitação do carregamento, o eixo da viga deforma-se 
assumindo o formato da curva em linha mais fina, figura II.5, conhecida como 
linha elástica. A modelagem física do problema, fundamentada nos princípios 
da mecânica dos sólidos, resulta na equação diferencial: 
 
0
2
2
EJ
)x(M
dx
yd (II.30) 
 
 12 
Conhecida como Equação Diferencial da Linha Elástica. Na equação II.30, “y” 
representa o deslocamento translacional vertical de um ponto arbitrário da linha 
elástica da viga, distante “x” da extremidade esquerda do domínio, seu apoio 
da esquerda. “M(x)” é a função que expressa a variação do momento fletor 
solicitante, em cada uma das seções ao longo de seu eixo longitudinal. O 
produto EJ, envolvendo o Módulo de Elasticidade do material que constitui a 
viga “E” e o momento de inércia de sua seção transversal, em relação ao eixo 
baricêntrico horizontal “J”, é a sua rigidez à flexão. 
 
 
Figura II.5 – Linha elástica de uma viga 
 
Da resolução da Equação Diferencial da Linha Elástica resulta a obtenção da 
solução geral y = f(x). Para obter-se a solução particular para o problema ora 
abordado, deve-se considerar as condições de fronteira a ser respeitadas. 
Assim, para que a função “y” venha a descrever adequadamente o 
deslocamento vertical da linha elástica da barra em análise, refletindo assim a 
realidade física do problema, deve-se observar que: 
 
0
00
yLx
yx
 (II.31) 
 
ou seja, que os deslocamentos verticais dos pontos da linha elástica referentes 
aos apoios sejam nulos. Tais condições são impostas para introduzir a 
realidade que os apoios determinam ao problema, pois, conforme a estática 
aplicada, os apoios dos tipos que existem no presente caso impedem os graus 
de liberdade deslocamentos verticais. 
 
 13 
Considerando-se o problema específico em que se deseja determinar os 
deslocamentos translacionais verticais "y" e a rotação das tangentes à linha 
elástica "Ә", para uma viga bi-apoiada solicitada mediante um par de cargas 
momento de igual intensidade MSe de sentidos contrários, aplicadas nos 
apoios, figura II.6, a equação dos momentos fletores é dada por: 
 
tetanconsM)x(M S
 (II.32) 
 
 
Figura II.6 – Viga apoiada solicitada mediante par de cargas momento 
 
A equação diferencial assume então a forma: 
 
0
2
2
EJ
M
dx
yd S
 e 
EJ
M
dx
yd S
2
2 (II.33) 
 
Integrando membro a membro e introduzindo-se a constante de integração 
pertinente resulta: 
 
1Cx
EJ
M
dx
dy S
 (II.34) 
 
A derivada 
dx
dy
 representa a rotação da tangente à linha elástica "Ә", em um 
ponto arbitrário do eixo longitudinal da barra, figura II.6. 
 
 14 
Integrando membro a membro mais uma vez e introduzindo-se uma segunda 
constante de integração obtém-se a translação vertical: 
 
21
2
2
1
CxCx
EJ
M
y S
 (II.35) 
 
Aplicando-se as condições de fronteira à equação II.35 obtém-se: 
 
EJ
LM
C...........yLx
C...........yx
S
2
1
0
000
1
2 (II.36) 
 
resultando para a translação vertical as formas: 
 
Lx
EJ
M
x
EJ
M
y SS
2
1
2
1 2
, e, 
)Lx(x
EJ
M
y S
2
1
 (II.37) 
 
e: 
x
EJ
M
dx
dy S
 (II.38) 
 
Exercícios propostos: 
4 - Determinar a equação da linha elástica para: 
 
a - ) Uma Viga bi-apoiada solicitada por uma carga distribuída 
uniformemente ao longo de toda a sua extensão, figura II.3. 
 
b - ) Uma Viga bi-apoiada solicitada por uma carga concentrada, figura II.2, 
lembrando que o domínio do problema deve ser subdividido em dois 
subdomínios cada um representando um dos dois trechos da viga separados 
pela carga concentrada, assim, o problema admite uma equação diferencial por 
trecho de vão resultando quatro constantes de integração a determinar. Para 
condições de fronteira observar que, além dos deslocamentos nulos nas 
extremidades apoiadas, deve-se ter que a rotação da linha elástica e seus 
 15 
deslocamentos verticais verificados à esquerda da carga concentrada devem 
ser iguais aos seus correspondentes na seção à sua direita. 
 
c - ) Viga bi-apoiada solicitada por uma carga momento aplicada no apoio 
da extremidade esquerda, figura II.4. 
 
Fenômeno de Flambagem 
 
Outro exemplo de problema de valor de contorno envolve o caso de pilares 
susceptíveis ao fenômeno de flambagem, figura II.7. O momento fletor num 
ponto arbitrário distante “x” da base do pilar é dado por: 
 
)he(PM
 (II.39) 
 
onde “P” é a intensidade da carga axial, “e” representa a excentricidade da 
carga em relação ao eixo do pilar, e, “h = h(x)” é o deslocamento horizontal de 
um ponto arbitrário, localizado ao longo do eixo longitudinal da coluna. 
 
 
Figura II.7 – Coluna sujeita ao fenômeno de fambagem 
 16 
 
A equação diferencial da linha elástica é então: 
 
0
2
2
EJ
M
dx
hd
, e, portanto, 
0
2
2
EJ
)he(P
dx
hd
 (II.40) 
 
Fazendo-se 
EJ
P
p2
 pode-se escrever: 
 
ephp
dx
hd 22
2
2 (II.41) 
 
que é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem não 
homogênea de coeficientes constantes, de modo que sua solução geral pode 
ser escrita na forma: 
 
)x(f)x(f)x(h ph
 (II.42) 
 
onde "fh" é a solução geral da equação diferencial homogênea correspondente 
e "fp" uma solução particular da equação diferencial não homogênea. 
 
A equação diferencial homogênea correspondente será: 
 
02
2
2
h
h fp
dx
fd (II.43) 
 
cuja equação característica é: 
 
022 p
 (II.44) 
 
admitindo as raízes 
pi1
 e 
pi2
 do universo dos números complexos. 
Se uma equação característica admite as raízes do universo dos números 
 17 
complexos escritas sob a forma 
bia1
A 
bia2
, a solução da equação 
diferencial assume a forma: 
 
ax
h e)BsenbxbxcosA()x(f
 (II.45) 
 
No presente caso a = 0 e b = p, logo: 
 
BsenpxpxcosA)x(fh
 (II.46) 
 
é a solução geral da equação diferencial homogênea correspondente. 
 
A partir do método dos coeficientes a determinar obtemos para solução 
particular da equação diferencial não homogênea: 
 
e)x(f p
 (II.47) 
 
logo, a solução geral da equação diferencial não homogênea será: 
 
eBsenpxpxcosA)x(f)x(f)x(h ph
 (II.48) 
 
O domínio do problema é o conjunto dos infinitos pontos que constituem o eixo 
longitudinal da coluna, podendo ser expresso matematicamente mediante a 
sentença 
Lx/Rx 0
, onde “L” é o comprimento da coluna. 
 
As condições de fronteira inerentes ao problema são: 
 
0
00
hLx
hx
 (II.49) 
 
pois, nas extremidades da coluna, face às condições de vinculação, o 
deslocamento horizontal deve ser nulo. 
 
 18 
Aplicando-se a primeira das condições da equação II.49, obtém-se: 
 
00 hx
 (II.50) 
 
0000 eBsencosA)(h
, e 
eA
 (II.51) 
 
E a equação II.48 assume a forma: 
 
eBsenpxpxcose)x(h
 (II.52) 
 
Aplicando-se a segunda das condições da equação 49, obtém-se: 
 
0hLx
 (II.53) 
 
0eBsenpLpLcose)L(h
 (II.54) 
 
)
pL
(gtan.e
senpL
)pLcos(e
B
2
1
 (II.55) 
 
)senpx
pL
gtanpx(cose)x(h 1
2
 (II.56) 
 
e, finalmente, a deflexão “ ” no ponto médio do vão, x = L/2, será: 
 
)
pL
(sece 1
2
 (II.57) 
 
Segundo a equação II.57, tal deflexão cresce infinitamente se 
2
pL
sec
 tende 
para infinito, o que acontece se 
2
pL
 tende para 
2
. No limite em que 
22
pL
: 
 
2
2
2
L
ppL
 (II.58) 
 19 
 
Uma vez que 
EJ
P
p2
, então 
2
2
LEJ
P
 de modo que: 
 
2
2
L
EJ
P
 (II.59) 
 
que representa a carga que leva o pilar a experimentar a flambagem. 
 
Exercício proposto: 
5 - Resolver o problema de flambagem da coluna engastada e livre ilustrada na 
figura II.8. 
 
 
Figura II.8 – Flambagem de coluna engastada e livre