Exponencial e Logaritmos

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1Matemáti caExponencial e Logarítmos 
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SISTEMA COC DE ENSINO
Direção-Geral: Sandro Bonás
Direção Pedagógica: Zelci C. de Oliveira
Direção Editorial: Roger Trimer
Gerência Editorial: Osvaldo Govone
Ouvidoria: Regina Gimenes
Conselho Editorial: José Tadeu B. 
Terra, Luiz Fernando Duarte, Osvaldo 
Govone e Zelci C. de Oliveira
PRODUÇÃO EDITORIAL
Autoria: Clayton Furukawa
Editoria: José F. Rufato, Marina A. 
Barreto e Paulo S. Adami
Coordenação Editorial: Luzia H. Fávero F. López
Projeto gráfico e direção de arte: 
Matheus C. Sisdeli
Preparação de originais: Marisa A. dos Santos 
e Silva e Sebastião S. Rodrigues Neto
Iconografia e licenciamento de texto: 
Marcela Pelizaro, Paula de Oliveira 
Quirino e Cristian N. Zaramella
Diagramação: BFS bureau digital
Ilustração: BFS bureau digital
Revisão: Flávia P. Cruz, Flávio R. Santos, José S. Lara, 
Leda G. de Almeida, Maria Cecília R. D. B. Ribeiro, 
Milena C. Lotto e Paula G. de Barros Rodrigues
Capa: LABCOM comunicação total
Conferência e Fechamento: BFS bureau digital
Su
m
ár
io
CAPÍTULO 01 EQUAÇÃO EXPONENCIAL 7
1. Introdução 7
2. Potenciação e algumas propriedades 7
3. Função exponencial 8
4. Inequação exponencial 13
CAPÍTULO 02 LOGARITMOS – DEFINIÇÃO E 
CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA 15
1. Introdução 15
2.	 Definição	 15
3. Condição de existência 15
4. Logaritmo com representação especial 15
5.	 Consequências	importantes	da	definição	 15
6. Logaritmos – Propriedades; mudança de base 17
7. Logaritmos– Equações Logarítmicas 20
8. Logaritmos – Função Logaritmica 23
9. Logarítmos: inequação logarítmica 28
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Capítulo 01 33
Capítulo 02 47
GABARITO 63
Teoria
PV
-1
3-
11
Exponencial e logarítmos
7
Matemática
01. bn · bm = bn+m
02. b
b
n
m
 = bn – m 
03. (bn)m = bn.m 
04. (b · a)n = bn · an
05. b
a
b
a
n n
n
  =
C. Uma propriedade especial
Para b número real, positivo e diferente de 1, 
temos: bq = bk ⇔ q = k.
Demonstração (⇒)
bq = bk, como b > 0, podemos dividir os dois 
lados da igualdade por bk.
b
b
b
b
b
q
k
k
k
q k
= ⇒ =− 1 ,	como	b≠	1,	a	única	pos-
siblidade de a potência resultar no valor 
1 será o expoente zero. Assim, temos que 
q – k = 0, portanto q = k.
Demonstração (⇐): imediata.
Portanto: bq = bk ⇔ q = k.
D. Resolução de equações 
exponenciais
Para resolver uma equação exponencial, de-
vemos procurar uma maneira de conseguir 
uma igualdade de potências na mesma base, 
através de passagens matemáticas. Se conse-
guirmos uma igualdade do tipo: bf(x) = bg(x), 
com b real, positivo e diferente de 1, basta 
aplicar a propriedade anterior e resolver a 
nova equação: f(x) = g(x).
1. Introdução
As equações que comparam potências nas 
quais há incógnita no expoente são chamadas 
de equações exponenciais. O trabalho para 
encontrar a solução de uma equação expo-
nencial ficará facilitado se pudermos comparar 
potências com a mesma base. No caso em que 
as bases forem distintas, teremos de trabalhar 
com logaritmos, assunto a ser estudado pos-
teriormente. 
2. Potenciação e algumas 
propriedades
A. Definições
Nas definições a seguir, b é um número real; 
n e k são números naturais.
01. b b b b bn
n vezes
= · · ...� �� �� , para n > 1.
Nomenclatura: b é chamado de base, n de 
expoente e bn denomina-se potência. 
02. b1 = b
03. b0	=	1,	com	b	≠	0
04. b–n = 1
bn
		,	com	b	≠	0
05. b b
n
k nk= , com b > 0 e k ≠ 0
B. Propriedades
Nas propriedades a seguir, b e a são números 
reais diferentes de zero; n e m são números 
inteiros.
CAPÍTULO 01 EQUAÇÃO EXPONENCIAL
01. UFRGS-RS 
Sabendo-se que 6x + 2 = 72, tem-se que 6–x vale:
Resposta
D
02. Cesgranrio-RJ 
Se 8x = 32, então x é igual a:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
a. 5
2
b. 5
3
c. 3
5
d. 2
5
e. 4
a. –4
b. –2
c. 0
d. 1
2
e. 2
Resolução
6x+2 = 72 ⇒ 6x · 62 = 72 ⇒ 6x = 72
36
 ⇒ 6x = 2
6–x = 1
6x
= 1
2
Exponencial e logarítmos
PV
-1
3-
11
8
Matemática
Resolução
8x = 32 ⇒ (23)x = 25 ⇒ 23x = 25 ⇒ 3 · x = 5 ⇒ 
x = 5
3
Resposta
B
03. UFS-SE
Determine o conjunto verdade da equação:
2
1
2
3
2
3
x +
−
=
 
Resolução
2 2
3
2
3
3
2
3
2
3
2 3
x
x x
x
+
= ⇒ + = ⇒ =
∴ ={ } 
04. Vunesp modificado
Resolva a equação exponencial: 
7(x–3) + 7(x–2) + 7(x–1) = 57, determinando o cor-
respondente valor de x.
Resolução
7(x–3) + 7(x–2) + 7(x–1) = 57
7
7
7
7
7
7
57
3 2 1
x x x
+ + =
7x + 7x · 7 + 7x · 72 = 57 · 73
7x + 7 · 7x + 49 · 7x = 57 · 73
57 · 7x = 57 · 73
7x = 73
x = 3
Resposta
x = 3
05. Uespi
O conjunto solução da equação 22x = 3 · 2x – 2 é:
a. {0}
b. {–1, 0}
c. {0, 1} 
d. {1}
e. {–1}
Resolução
22x = 3 · 2x – 2
(2x )2 = 3 · 2x – 2
Chamando 2x = y
y2 = 3 · y – 2 
y2 – 3 · y + 2 = 0
S
P
=
=



3
2
 y = 1
 ou 
 y = 2
2x = 1 ou 2x = 2
2x = 20 ou 2x = 21
x = 0 ou x = 1
S = {0; 1}
Resposta
C
3. Função exponencial
A. Introdução
As funções exponenciais têm diversas aplicações na ciência, por exemplo, crescimento popula-
cional, radioatividade, financiamentos etc. É importante saber analisar seus gráficos e entender 
as desigualdades que envolvem domínios e suas respectivas imagens, principalmente em ine-
quações.
B. Função exponencial
Definimos função exponencial como a função com domínio e contradomínio no conjunto 
dos reais e expressa pela equação matemática f(x) = bx , com b ∈  , b > 0 e b ≠ 1 e com 
Im = +* .
C. Gráfico
Nas duas tabelas a seguir, a primeira coluna apresenta números inteiros quaisquer e a segunda, 
as potências cujos expoentes são os respectivos elementos da primeira coluna. Organizando os 
PV
-1
3-
11
Exponencial e logarítmos
9
Matemática
dados da tabela em pares ordenados, pode-se apresentar cada informação na forma de par or-
denado genericamente apresentado por (x; bx), em que b é um número real maior que zero e 
diferente de um.
Tabela I
x 2x
–2
1
4
–1
1
2
0 1
1 2
2 4
3 8
Tabela II
x
1
2
 
x
–3 8
–2 4
–1 2
0 1
1
1
2
2
1
4
Representando-se os pares ordenados x e xx
x
; ;2
1
2
( )  



 no plano cartesiano, teremos os seguin-tes gráficos: 
8
4
2
1
–2 –1 1
1
2
0 2 3
y
x
1
4
 
 
8
4
2
1
–2–1 –3 10 2
y
x
1
2
1
4
Exponencial e logarítmos
PV
-1
3-
11
10
Matemática
Se pensarmos na possibilidade de, ao invés 
de utilizar apenas alguns valores inteiros de x, 
usarmos todo o conjunto dos números reais, 
poderemos pensar nesses pares ordenados, 
representados no plano cartesiano, formando 
o gráfico da função exponencial.
Exemplo
•	 Esboçar o gráfico da função f(x) = 2x
8
4
2
1
–2 –1 10 2 3
y
x
f(x) = 2x
1
2
1
4
Exemplo
•	 Esboçar o gráfico da função f x
x
( ) =  
1
2
8
4
2
1
–2–3 –1 10 2
y
x
f(x) = 
x1
2
1
2
1
4
Observação
• Domínio: D = 
• Contradomínio: CD = 
• Conjunto imagem: Im = +*
•	 A função exponencial é crescente 
quando a base da potência é um nú-
mero real maior que 1 e decrescente 
quando a base da potência apresenta 
um valor real entre 0 e 1.
a. Se b > 1 , a função é crescente.
y
x0 x1 x2
f(x 2)
f(x 1)
1
f(x) = bx
x1 < x2 ⇔ f (x1) < f (x2)
b. Se 0 < b < 1 , a função é decrescente.
y
x0x1 x2
f(x2)
f(x1)
1
f(x) = bx
x1 < x2 ⇔ f (x1) > f (x2)
•	 A função exponencialé classificada 
como função injetora.
Resumo gráfico
f ( x ) = bx com b > 0 < b ≠ 1
 b > 1 0 < b < 1 
y
x0
1
y
x0
1
Crescente Decrescente
x1 < x2 ⇔ b bx x1 2< x1 < x2 ⇔ b bx x1 2<
x1 > x2 ⇔ b bx x1 2> x1 > x2 ⇔ b bx x1 2>
PV
-1
3-
11
Exponencial e logarítmos
11
Matemática
01. FGV-SP
Assinale o gráfico correspondente a função y = a–x (a>1):
a. b. c.
y
x
1
 
y
x
1
 
y
x1
 d. e.
y
x
1
 
y
x
1
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Resolução
y a
a a
Se a
a
x
x
x
= = =
 
> ⇒ < <
−
1 1
1 0
1
1
y
x
1
Resposta
A
02. Ufla-MG
Considerando a função real definida por 
f(x) = 10x, não é verdade que:
a. f(0) = 1
b. f(–3) = 0,001
c. f(a + b) = f(a) + f(b)
d. f(x) = 100 para x = 2
e. f a b
f a
f b
−( ) = ( )( )
Resolução
a. Verdadeiro, pois f(0) = 100 = 1
b. Verdadeiro, pois f(–3) = 10–3 = 0,001
c. Falso, pois f(a + b) = 10a+b = 
 = 10a · 10b		≠		10a + 10b
d. Verdadeiro, pois 100 = 10x ⇔ x = 2
e. Verdadeiro, pois f(a–b) = 10a-b =
 
 = 
10
10
a
b
f a
f b
=
( )
( )
Resposta
C
03. Unifor-CE
Uma possível representação gráfica da função 
definida por f(x) = 10–x é:
a. 
y
x0 1
b. 
y
x0
1
Exponencial e logarítmos
PV
-1
3-
11
12
Matemática
c. 
y
x0
1
d. 
y
x0
1
e. 
y
x0
1
Resolução
f x decrescentex x
x
( ) = = ( ) =  ∴− −10 10
1
10
1
Resposta
B
04. UFSCar-SP
Se a área do triângulo retângulo ABC, indica-
do na figura, é igual a 3n, conclui-se que f(n) 
é igual a:
C
A
B
n 2n
f(x) = 2x
x
y = f(x)
a. 2
b. 2 2
c. 3
d. 3 2
e. 4
Resolução
BC n
AB f n f n
Área de ABC n
Área de ABC
AB BC
n n
n
=
= ( )− ( ) = −
=
= =
−
2 2 2
3
2
2 2
2
2· nn
n n
n n
n n
n
n
n
n
z
z z
z
( )
−( )
=
−( ) =
( ) − − =
=
− − =
=
·
·
2
2 2
2
3
2 2 6
2 2 6 0
2
6 0
2
2
2
2
2
−− ( ) =
=
( ) = =
2 3
2 3
2 3
não serve ou z
f n
n
n
Resposta
C
05. 
O número de soluções, em  , da equação 
4x = 4 – x2 é igual a:
a. 1
b. 2
c. 0
d. 3
e. 4
Resolução
Fazendo 4x = y1 e y2 = 4 – x2, para resolver o 
problema basta esboçar o gráfico de y1 e y2 no 
mesmo plano cartesiano:
–2 0 2
y
y = 42 x
y = 4 – x1 2
x
4
Resposta
B
PV
-1
3-
11
Exponencial e logarítmos
13
Matemática
4. Inequação exponencial
Inequação exponencial é toda inequação que 
apresenta a variável no expoente, podendo as 
bases serem iguais ou não. Podemos dizer que 
são as inequações que podem ser reduzidas a 
uma das formas: 
bf(x) > bg(x), bf(x) ≥ bg(x), bf(x) < bg(x), bf(x) ≤ bg(x), 
bf(x) ≠ bg(x)
É importante lembrar que b representa um nú-
mero real positivo e diferente de 1.
A. Resolução de Inequação 
exponencial
Para resolver as inequações exponenciais de 
bases iguais, é necessário lembrar que a fun-
ção exponencial é sempre crescente ou sem-
pre decrescente, dependendo da base ser um 
número real maior que 1 ou variar entre 0 e 1.
Assim, quando a base é um número real maior 
que 1, a função é crescente, e considerando-se 
que, quanto maior for a potência, maior será o 
seu expoente, então o sentido da desigualda-
de entre as potências é o mesmo sentido da 
desigualdade entre os respectivos expoentes.
y
x0 x1x2
bx2
bx1
1
f (x) = bx
b > 1
Portanto, para b ∈ e b > 1, temos que:
x1 < x2 ⇔ b bx x1 2< e x1 > x2 ⇔ b bx x1 2>
Por outro lado, quando a base é um número 
real entre 0 e 1, a função é decrescente. Consi-
derando-se que, quanto maior for a potência, 
menor será o seu expoente, então o sentido 
da desigualdade entre as potências deve ser 
invertido em relação à desigualdade entre os 
respectivos expoentes.
y
x0x1 x2
bx1
bx2
1
f(x) = bx
0 < b < 1
Portanto, para b ∈ e 0 < b < 1, temos que:
x1 < x2 ⇔ b bx x1 2< e x1 > x2 ⇔ b bx x1 2>
Resumindo
I. bf(x) > bg(x) e b > 1. Nesse caso, temos 
que a função exponencial envolvida é 
crescente e os expoentes serão com-
parados, respectivamente, usando a 
desigualdade no mesmo sentido das 
potências, isto é, f (x) > g (x).
II. bf(x) > bg(x) e 0 < b < 1. Agora, a função 
exponencial é decrescente e os expo-
entes serão, respectivamente, compa-
rados, usando a desigualdade no sen-
tido contrário ao das potências, isto é, 
 f (x) < g (x).
Observação
É possível que as potências nas desigualdades 
não tenham a mesma base, nesse caso será 
necessário recorrer ao uso dos logaritmos, as-
sunto a ser estudo posteriormente.
Exemplos
01. Resolver a inequação: 3 32 5 1x x− +>
base > 1 (crescente)
 
3 3 2 5 1
6
6
2 5 1x x x x
x
S x x
− +> ⇒ − > +
∴ >
= ∈ >{ }|
02. Resolver a inequação: 
1
2
1
2
4 7 7 5  >  
+ −x x 
0 < base < 1 (decrescente) 
1
2
1
2
4 7 7 5
3 12 4
4
4 7 7 5  >   ⇒ + < − ⇒
⇒ − < − ⇒ >
= ∈ >{
+ −x x
x x
x x
S x x| }} 
Exponencial e logarítmos
PV
-1
3-
11
14
Matemática
01. 
Resolva as seguintes inequações exponenciais:
a. 2x >128
b. 3
5
125
27
  >
x
Resolução
a. 2x > 128 ⇒ 2x > 27
Como a base é maior que 1, vem x > 7.
S x x= ∈ >{ }| 7
b. 3
5
125
27
3
5
3
5
3  > ⇒   >  
−x x
Como a base está compreendida entre 0 e 1, 
temos	x	≤	-3.
S x x= ∈ ≤ −{ } | 3
02. 
Se y = 10x+3 é um número entre 100 e 10.000, 
então x está entre:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
⇒ – 5 < x2 – 4x < 0
(I) x2 – 4x > – 5
 x2 – 4x + 5 > 0
	 ∆	<	0
 x
++
a desigualdade é verificada para qualquer va-
lor real de x
SI = 
(II) x2 – 4x < 0
 raizes: 0 e 4
 
x0 4
+ +
–
SII = { x ∈  | 0 < x < 4} 
de (SI)	∩	(SII), temos:
S = { x ∈  | 0 < x < 4}
04. ITA-SP
O domínio da função definida por
y
x x
=
−
+ −
1
4 42
 é:
a. D = {x ∈  | x ≥ – 1}
b. D = {x ∈  | – 1 < x < 1}
c. D = {x ∈  | x > – 1}
d. D = ∅
e. D = {x ∈  | x < – 1}
Resolução
4 4 0
4 4
2 2 2 0
2 2
1
1
2
2
x x
x x
x x x
x
x
D x IR x
+ −
+ −
= >
>
+ > − ⇒ + >
⇒ > − ⇒
⇒ > −
= ∈ > −{ }|
Resposta
C

a. –1 e 1
b. 0 e 1
c. 2 e 3
d. 10 e 100
e. 100 e 10.000
Resolução
102 < 10x+3 < 104 ⇒ 2 < x + 3 < 4 ⇒
⇒ –1 < x < 1
Resposta
A
03. 
Dada a função y
x x
=
 
−1
2
2 4
, encontre os va-
lores reais de x para os quais 1 < y < 32.
Resolução
y
y
x x
x x
=
 
< < ⇒ <
  < ⇒
⇒
  <  
−
−
1
2
1 32 1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
4
4
5
0
 <   ⇒
> − > − ⇒
− −x x
x x
2 4 5
2
1
2
0 4 5
PV
-1
3-
11
Exponencial e logarítmos
15
Matemática
1. Introdução
Em uma potência temos três elementos im-
portantes: a base, o expoente e a potência. No 
exemplo 103 = 1.000, a base é 10, o expoente é 
3 e a potência é 1.000. Consideremos, agora, a 
seguinte pergunta: “Qual deve ser o expoente 
da base 10 para o resultado da potência ficar 
igual a 1.000?” Pelo exemplo, a resposta dessa 
pergunta é 3. Fazendo questionamento desse 
tipo, os matemáticos desenvolveram do pon-
to de vista mais atual, a operação matemática 
denominada logaritmação, ou simplesmente 
logaritmo com a operação inversa da expo-
nencial.
2. Definição
A linguagem de logaritmo é apresentada de 
forma reduzida pelo símbolo logba, que pode 
serlido da seguinte maneira: “logaritmo de a 
na base b”.
Define-se logba como sendo um valor real x 
que satisfaz: logba = x ⇔ bx = a
Notação: b é denominado base; a é o logarit-
mando ou antilogaritmo e x é o logaritmo.
Exemplos 
01. log10 1.000 = 3, pois 103 = 1.000
02. log6 36 = 2, pois 62 = 36
03. log1
2
2 1= − , pois 1
2
2
1  =
−
04. log5 1 = 0, pois (5)0 = 1 
05. log2 (–4) não existe, pois 2α é positivo 
para qualquer valor de α.
06. log(–2) 4 não existe, pois não existe α 
com (–2)α = 4.
07. log1 4 não existe, pois 1α = 1 para qual-
quer valor de α . 
3. Condição de existência
O logaritmo envolve uma potência na igualda-
de bx = a; de acordo com o estudo das equa-
ções	exponenciais	que:	b	>	0	e	b≠	1;	assim	o	
resultado bx será sempre positivo, pois a base 
é um número positivo. Combinando todos es-
ses argumentos, chegamos à condição de exis-
tência do logaritmo logb a:	“b	>	0;		b≠	1	e	a	>	0”.
Exemplos
01. Para quais valores de x existe 
log10 (10–x)?
Resolução: 10 – x > 0
 10 > x
 x < 10
O logaritmo existe se x pertencer ao conjunto: 
{x ∈ IR | x < 10}
02. Qual é a condição de existência do loga-
ritmo log(x–5) 10?
Resolução:	x	–	5	>	0	e	x	–	5	≠	1
																				x	>	5	e	x	≠	6
Codição de existência: {x ∈ |	x	>	5	e	x	≠	6}
4. Logaritmo com 
representação especial
Logaritmo decimal: log a = log 10 a.
Logaritmo neperiano: dna = logea, em que 
e = 2,71828182... é um número irracional, co-
nhecido também como número de Euler.
5. Consequências 
importantes da definição
Nas igualdades abaixo, b é um número real 
positivo e diferente de 1, a é um número real 
positivo e k é um número real qualquer.
01. logb b = 1, de fato, pois b1 = b 
02. logb 1 = 0, de fato, pois b0 = 1
03. logb bk = k, de fato, pois bk = bk
04. blogba= a
Demonstração
Considere que logb a = α
logb a	=	α	⇒ bα = a
blogba = bα = a
Portanto, blogba = a
Exemplo de aplicação
Determinar o valor de 21 52+log
Pelo uso das propriedades das potências, te-
mos:21 52+log = 21 · 2 2 5log
Usando as decorrências da definição de loga-
ritmos, temos:21 52+log = 2 · 5 = 10
CAPÍTULO 02 	LOGARITMOS	–	DEFINIÇÃO	E	
CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA
Exponencial e logarítmos
PV
-1
3-
11
16
Matemática
01. 
O valor de log1
4
32 é:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
04. Cesgranrio-RJ
O valor de loga(a · a ) é:
a. log5
4
 0,8
b. log0,5 5
4
c. log0,8 1
d. log8 8
e. 16
25
a. 3
4
b. 4
3
c. 2
3
d. 3
2
e. 5
4
Resolução
log · log ·
log
a a
a
a a a a
a
consequência
imediata
( ) = 

 =
= =
1
2
3
2
3
2 033.




Resposta
D
05. 
Calcule o valor da expressão 16 4 2log .
Resolução
16 4 4 2 44 4 422 2 2
2 2log log log
=( ) = ( ) = =
06. UPF-RS
O valor da expressão log4
3 0
2
8 2 5
2
− − −( )
−
−
 é: 
a. 
b. – 7 
c. – 22
d. 30
e. 
Resolução
log
log
4
2 3
4
3 0
2
2
8 4 8 2 2
2 3
3
2
8 2 5
2
3
2
8 1
1
2
= ⇒ = ⇒ =
⇒ = ⇒ =
− − −( )
−
=
− −
−
−
α
α α
α α
 
=
−
 
−
 
=
15
2
1
4
30
Resposta
D
a. 
4
5
b. – 
2
5
c. 1
5
d. –1
e. – 5
2
Resolução
log1
4
1
2 5
32
1
4
32 4 32
4 32 2 2
2 5
= ⇒
  = ⇒ ( ) = ⇒
⇒ = ⇒ = ⇒
⇒ − = ⇒ =
−
− −
x
x x
x
x
x x
−−
5
2
Resposta
E
02. Unesp
O logaritimo de 4
5
 na base 0,8 é:
Resolução
Logππ 1.000 = x ⇒ πx = π1.000 ⇒ x = 1.000 = 103
Resposta
B
Resolução
log0,8 4
5
 = x ⇒ 0,8x = 
4
5
 ⇒ 0,8x = 0,8 ⇒
 
x = 1 = log8 8
Resposta
D
03. PUC-Sp
Logππ 1.000 é igual a:
a. π
b. 103
c. 3π
d. π3
e. π
3
PV
-1
3-
11
Exponencial e logarítmos
17
Matemática
07. 
Determine o domínio da função apresentada a seguir: f(x) = logx (x2 – 5x + 6)
Resolução
(I) x > 0 e x ≠ 1
(II) x2 – 5x + 6 > 0 x < 2 ou x > 3
 Da intersecção dos resultados encontrados em (I) e (II) temos:
 D(f) = {x ∈  | 0 < x < 1 ou 1 < x < 2 ou x > 3}
08. UFSCar-SP
A função f(x) = logx–1 (– x2 + x + 6) tem por do-
mínio o conjunto:
a. {x ∈  | 1 < x < 3}
b. {x ∈  | 1 < x < 2 ou 2 < x < 3}
c. {x ∈  | – 2 < x < 3}
d. {x ∈  |	–	2	≤	x	≤	3}
e. {x ∈  | x > 1}
Resolução
– x2 + x + 6
Função auxiliar: f(x) = – x2 + x + + 6
Raízes: – x2 + x + + 6 = 0
 S
P
=
= −



1
6
 x1 = – 2
 ou
 x2 = 3
6. Logaritmos – Propriedades; mudança de base
A. Introdução
As propriedades que serão apresentadas a seguir permitem que os cálculos operatórios que en-
volvam os logaritmos possam ficar mais fáceis em muitas situações. 
B. Propriedades
Em todas as situações abaixo, b, p e q são números reais positivos, b ≠ 1 e n e k são números 
inteiros e positivos.
P1: O logaritmo do produto de dois números é igual à soma dos logaritmos desses números, 
conservando-se a base, isto é, logb (p · q) = logb p + logb q.
P2: O logaritmo do quociente de dois números é igual à diferença dos logaritmos desses números, 
conservando-se a base, isto é, logb p
q



 = logb p – logb q. 
P3: O logaritmo de potência de base positiva é igual ao produto do expoente da potência pelo 
logaritmo da base da potência, conservando-se a base do logaritmo, isto é, logb (pk) = k · logb p.
+
– ––2 3
– x2 + x + 6 > 0 ⇒ –2 < x < 3
x – 1 > 0 ⇒ x > 1
x	>	1	≠	1	⇒	x	≠	2
x	>	1	e	x	≠	2		(II)
(I)
(II)
(I) (II)
–2 1 2 3
D = {x ∈ | 1 < x < 2 ou 2 < x < 3}
Resposta
B
Exponencial e logarítmos
PV
-1
3-
11
18
Matemática
P4. A mudança de base, logb a = 
log
log
c
c
a
b
, em
que c é real, positivo e diferente de 1.
C. Demonstrações
P1: logb (p · q) = logb p + logb q 
Considerando 
logb(p · q) = α; logb p = β; logb q = γ, temos:
bα = p · q; bβ = p; bγ = q 
Daí:
bα = bβ . bγ
bα = bβ +γ
Da equação exponencial, temos: α = β + γ
∴ logb (p . q) = logb p + logb q 
P2: logb p
q



 = logb p – logb q 
Considerando logb
p
q



 = α; logb p = β; logb q = γ, temos:
bα = 
p
q
 ; bβ = p; bγ = q 
Daí: b
b
b
b b
α
β
γ
α β γ
=
=
−
Da equação exponencial, temos: α = β – γ
∴ logb p
q



 = logb p – logb q 
P3: logb (pk) = k · logb p.
Considerando logb (pk) =α; logb p = β, temos:
bα =pk; bβ =p 
Daí:
bα = (bβ )k 
bα = bβ.k 
Da equação exponencial, temos: α = β · k ou
α = k · β
∴ logb (pk) = k · logb p
P4: (Mudança de base): logb a =
log
log
c
c
a
b
Considerando logb a = α; logc a = β; logc b = γ, 
temos:
bα = a; cβ = a; cγ =b 
Daí:
bα = cβ e cγ =b 
(cγ )α = cβ
cγ	·	α = cβ
Da equação exponencial, temos: 
γ · α = β e α β
γ
=
∴ logb a = 
log
log
c
c
a
b
D. Cologaritmo
Dados os números reais positivos a e b e b ≠ 1, 
define-se:
cologb a = – logb a
E. 	Antilogaritmo
Dados os números reais positivos a e b e b ≠ 1, 
define-se:
antilogb α = a ⇔ logba = α 
F. Consequências das propriedades
a. Consequência imediata da P2:
 logb 1
p



 = – logb p 
Justificativa
logb 1
p



 = logb 1 – logb (p) = 
0 – logb (p) = – logb p = cologb p 
b. Consequência imediata da P3: 
log . logb n bp n
p( ) = 1
Justificativa
log log . logb n b n bp p n
p( ) = 

 =
1 1
c. Consequências imediatas de P4: 
01. log . logb bn p n
p=
1 
02. log
log
,b
p
p
b
comp= ≠
1
1 
Justificativa
01. log
log
log
log
· logb
b
b
n
b
bn p
p
b
p
n n
p= = =
1 
02.log
log
log logb
p
p p
p
p
b b
= =
1
 
PV
-1
3-
11
Exponencial e logarítmos
19
Matemática
01. 
Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, então log 36 é 
igual a:
a. 0,78
b. 1,56
c. 1,06
d. 1,36
e. 1,48
Resolução
log 36 = log (32 · 22) = log 32 + log 22
= 2 · log3 + 2 · log2 = 2 (0,48) + 2 ( 0,30) =
= 096 + 0,60 = 1,56
Resposta
B
02. 
Sendo log10 2 = 0,30 e log10 3 = 0,48, então po-
demos afirmar que log10 1,8 é igual a:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
x log x
2 0,30
6 0,77
a. 1,14
b. 1,30
c. 1,56
d. 1,68
e. 1,87
Resolução
log 6 = log (2 · 3) = log 2 + log 3
0,77 = 0,30 + log 3 ⇒ log 3 = 0,47
log 75 = log (3 · 25)
log 75 = log 3 + log 52 = log 3 + 2 · log 5
log 75 = log 3 + 2 · [log 10
2
  ]
log 75 = 0,47 + 2 [log 10 – log 2]
log 75 = 0,47 + 2 · [1 – 0,30] = 0,47 + 2 · 0,70
log 75 = 1,87
Resposta
E
05. Mackenzie-SP
Considerando que x – y = 33 e que x + y = 3 , 
o valor de log3 (x2 – y2) é:
a. 3
3
b. 2
5
c. 3
d. 3
2
e. 5
6
Resolução 
(x2 – y2 ) = (x + y ) · (x – y) = 3 · 33 =
 
= 3
1
2
  · 3
1
3
  = 3
1
2
1
3
+  = 3
5
6
 
log3(x2 – y2) = log3 3
5
6
  = 5
6
· log3 3 = 
5
6
 · 1 = 5
6
 
Resposta
E
04. FCMSC-SP
Utilizando a tabela, encontramos para log 75 
o valor:
a. 0,78
b. 0,08
c. 1,08
d. 1,26
e. 0,26
Resolução
log , log log log
log · lo
10 10 10 10
10
2
1 8
18
10
18 10
3 2 1
=
  = − =
= ( )− = gg log
log log , ,
, ,
10
2
10
10 10
3 2 1
2 3 2 1 2 0 48 0 30 1
0 96 0 70
− =
= + − = ( ) + − =
= − == 0 26,
Resposta
E
03. 
Sendo log 2 = a, é correto afirmar que log 16 
é igual a:
a. 8a
b. 4a
c. 2a
d. a4
e. a2
Resolução
log 16 = log24 = 4 . log 2 = 4a
Resposta
B
Exponencial e logarítmos
PV
-1
3-
11
20
Matemática
06. FGV-SP modificado
Se y = (log3 2 ) · (log2 5 ) · (log5 81 ), então:
a. y = 1
b. y = 2
c. y = 3
d. y = 4
e. y = 5 
Resolução:
y = (log3 2) · (log2 5) · (log5 81) = (log3 2) · 
log
log
.
log
log
3
3
3
3
5
2
81
5







 = log3 81 = 4
Resposta
D
demos imediatamente igualar os logaritman-
dos e resolver a nova equação que surgirá.
Obs.: é importante estabelecer as condições 
de existência no início do problema e, ao final 
verificar se os resultados encontrados respei-
tam todas as condições.
Exemplos
01. Aplicando a definição (1º caso: variável 
no logaritmando).
O logaritmo de base 2, do número (x2 – x), é 
igual a 1. O valor da soma dos valores de x que 
satisfazem a igualdade é:
7. Logaritmos– Equações 
Logarítmicas
A. Introdução
As equações que envolvem logaritmos e que 
possuem variável no logaritmando ou na base 
são denominadas equações logarítmicas. A 
principal tarefa é conseguir que o logaritmo 
fique igual a uma constante para, em seguida, 
aplicar a definição. Contudo, há diversas situa-
ções em que ocorre a igualdade entre dois lo-
garitmos de mesma base, nesses casos a pro-
priedade abaixo será bastante útil, facilitando 
a resolução das equações.
B. Propriedades
Considerando b, α e β números reais positivos, 
b ≠ 1, tem-se a equivalência:
logb α = logb β ⇔ α = β
Demonstração (⇒)
Como logb α = logb β, podemos apresentar: 
logb α = logb β = γ
Daí, tem-se:
logb α = γ e logb β = γ
Aplicando a definição:
α = bγ e β = bγ
Portanto, α = β
A demonstração (⇐) é imediata.
Logo, logb α = logb β ⇔ α = β 
Com esta propriedade, se ocorrer uma igual-
dade de dois logaritmos na mesma base, po-
a. 2
b. –1
c. 1
d. 0
e. 3
Condição de existência: x2 – x > 0
log
:
2
2 2
2
2
1 2
2 0
1
2
1
x x x x
x x
x
x
verificação
−( ) = ⇒ − = ⇒
⇒ − − =
= −
=

−( ) − −11 2
2 2 2
1 2
1 2 1
2
( ) = ( )
− = ( )
= −{ }
− + =
nãoserve
serve
S
Soma
,
:
Resposta
C
02. Aplicando a definição (2º caso: variável 
na base).
Resolva a equação logx 16 = 2, em 
PV
-1
3-
11
Exponencial e logarítmos
21
Matemática
log
:
log
x
x
condição de existência x e x
x
x x
16 2
0 1
16 2 16
16
2
=
> ≠
= ⇒ =
= ± ⇒ = 44 4
4 0 4 1
4 0
ou x
verificando
e serve
éfalso não serve
Assi
= −
> ≠ ( )
− > ( )
:
mm S: = { }4
Resposta
S = {4}
03. Aplicando a propriedade B na igualdade 
de logaritmos de mesma base, resolva a equa-
ção log7 (x2 – 4) = log7 (3x)
condição de existência x
x
x x x x x x
: 2
2 2 2
4 0
3 0
4 3 4 3 3 4
− >
>
−( ) = ( ) ⇒ − = ⇒ − − ==
= = −
− > ( ) > ( )
−( ) − >
0
4 1
4 4 0 3 4 0 4
1 4 0
2
2
x ou x
verificando
V e V serve
:
· ,
FF não serve
Assim x
S
( ) −
=
= { }
,
:
1
4
4
Resposta
S = {4}
04. Usando propriedades de logaritmos, re-
solva, em  , a equação:
log3 (3x + 6) – log3 (x + 2) = 1
condição de existência
x
x
condição de existência x
:
:
3 6 0
2 0
+ >
+ >

> −−
+( ) − +( ) = ⇒
⇒
+( )
+( ) =
+ = +( ) ⇒
2
3 6 2 1
3 6
2
1
3 6 3 2 3
3 3
3
log log
log
x x
x
x
x x x ++( ) = +( )6 3 6x
a igualdade é válida para qualquer valor
da condição de eexistência
Assim x x: |∈ > −{ } 2
Resposta
{x ∈ | x > -2}
05. Usando mudança de base, resolva a 
equação log16 x + log4 x + log2 x = 7
condição de existência x
x x x
x
:
log log log
log
log
>
+ + = ⇒
⇒ +
0
7
16
16 4 2
2
2
llog
log
log
log log
log
log · log ·
2
2
2
2 2
2
2 2
4
7
4 2
7
2 4
x
x
x x
x
x x
+ =
+ + = ⇒
⇒ + + llog
· log log
:
:
2
2 2
28
7 28 4 16
16 0
x
x x x
verificando V
Assim x
=
= ⇒ = ⇒ =
> ( )
== 16
Resposta
x = 16 
06. Fazendo mudança de variável.
O conjunto solução da equação: 
(log x)2 + log x = 2, em  , é:
a. 1
100
10,{ }
b. 1
10
10,{ }
c. {1, –2}
d. {10}
e. 
+
*
condição de existência x
x z
z z
z z
z ou z
para z
:
log
>
=
+ =
+ − =
= − =
0
2
2 0
2 1
2
2
== −
= − ⇒ = ⇒ =
= = ⇒ =
−
2
2 10
1
100
1 1 10
2
1
, :
log
, : log
temos
x x x
para z temos x x == =
= > ( )
= > ( )
=
x
verificando
x serve
x serve
Assim x ou
10
1
100
0
10 0
10
:
: xx S= ⇒ = { }1100 1100 10,
Resposta
A 
Exponencial e logarítmos
PV
-1
3-
11
22
Matemática
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. FGV-SP
A equação log (x + 2) + log (x – 2) = 1 tem:
a. duas raízes opostas.
b. uma única raiz irracional.
c. uma única raiz menor que 3.
d. uma única raiz maior que 7.
e. conjunto solução vazio.
Resolução
Condição de existência (C.E.): x + 2 > 0 e x – 2 > 0
Combinando as duas equações, temos:
condição de existência: x > 2
log10 (x + 2) + log10 (x – 2) = 1
log10 [(x + 2) · (x – 2)] = 1
Aplicando a definição de logaritmos, temos: 
(x + 2) · (x – 2) = 101
x2 – 4 = 10
x2 = 14
x = 14 ou x = – 14 (não serve)
x é um número irracional.
Resposta
B
02. FGV-SP
O valor de x que satisfaz a equação 
log (2x + 7) = log (2x) + log 7 é um número:
log10 (2x + 7) = log10(2x) + log10(7)
log10 (2x + 7) = log10(2x · 7)
Há uma igualdade de dois logaritmos da mes-
ma base, aplicando a propriedade temos:
2x + 7 = 14 · x
12x = 7 
 x = 7
12
 
O número 7
12
 satisfaz a condição de existên-
cia e está compreendido entre 1
2
 e 1.
Resposta
B
a. menor que 1
2
.
b. entre 1
2
 e 1.
c. entre 1 e 3
2
.
d. entre 3
2
 e 2.
e. maior que 2.
Resolução
condição de existência: 2x + 7 > 0 e 2x > 0
condição de existência: x > 0
03. 
Resolva a equação (dn x )2 – 6· dn x + 8 = 0.
Resolução
condição de existência: x > 0
Fazendo dn x = z, temos: (z)2 – 6 · z + 8 = 0
Raizes: z = 2 ou z = 4 
dn x = 2 ou dn x = 4
loge x = 2 ou loge x = 4 
x = e2 ou x = e4
Os dois valores satisfazem a condição de exis-
tência.
S = { e2; e4}
PV
-1
3-
11
Exponencial e logarítmos
23
Matemática
log · log · log log
log
7 7 7 7
2
7
1 2 1 2 2 2 1 49
1
x x x x
x
−( ) − − −( ) − +( )= −( ) ⇒
⇒ −( )) −
−( ) −( )− ( ) +( )= −( ) ⇒
⇒ −( ) +
2
1
2
2
2
1 49
1 2
7 7 7
2
7
· log · log log
log
x x x
x llog log log
log log log
7 7 7
2
7 7
2
2 1 49
1 2
x x x
x x
−( ) − +( )= −( ) ⇒
⇒ −( ) + −( ) − 77 7 2
7
2
7
2
1 49
1 2
1
4
x x
x x
x
x
+( )= −( ) ⇒
⇒
−( ) −( )
+( )





 = −
log
log log 99
1 2
1
49 1 2
49 1
2
2 2
2
( ) ⇒
⇒
−( ) −( )
+( ) = −( ) ⇒ −( ) −( ) =
= −( ) +( ) ⇒
x x
x
x x x
x x
x −−( ) − +( ) = + − − ⇒
⇒ − + − + − = + − −
1 4 4 49 49
4 4 4 4 49 4
2 3 2
3 2 2 3 2
x x x x x
x x x x x x x x 99
6 57 45 0
2 19 15 0
19 481
4
19 481
4
2
2
⇒
⇒ − − = ⇒
− − =
=
+
=
− ( )

x x
x x
x
x não serve




∴ =
+

V
19 481
4
8. Logaritmos – Função Logaritmica 
A. Introdução
As funções logarítmicas, assim como as funções exponenciais, também têm aplicações na ciência, 
por exemplo, cálculo de pH, atividades financeiras etc. Assim como ocorre na exponencial, é im-
portante saber analisar seus gráficos e entender as desigualdades que envolvem domínios e suas 
respectivas imagens, principalmente em inequações.
B. Função logaritmica 
A função logarítmica possui domínio no conjunto dos reais positivos; contradomínio em 
 e Im =  , e é definida pela equação matemática f(x) = logbx, com b ∈ , b > 0 e b ≠ 1.
04. 
Obtenha o conjunto dos valores de x, x ∈ que satisfazem a igualdade: 
log7 (x – 1) – 2 · log1
7
 (x – 2) – 2 · log49 (x + 1) = log7 (x2 – 49)
Resolução

condição de existência
x
x
x
x
:
− >
− >
+ >
− >





1 0
2 0
1 0
49 02
Exponencial e logarítmos
PV
-1
3-
11
24
Matemática
Tabela 1
x log2 x
1
4
– 2
1
2
– 1
1 0
2 1
4 2
8 3
Tabela 2 
x log1
2
x
1
4
2
1
2
1
1 0
2 – 1
4 – 2
8 – 3
Representando-se os pares ordenados (x; log2 x) e (x; log1
2
 x) no plano cartesiano, teremos os 
seguintes gráficos:
Se pensarmos na possibilidade de, ao invés de utilizar apenas alguns valores inteiros de x , usar-
mos todo o conjunto dos números reais, poderemos pensar nesses pares ordenados, representa-
dos no plano cartesiano, formando o gráfico da função logarítmica.
8421
–2
–1
1
1
2
0
2
3
y
x
1
4
8421
–3
–2
–1
1
1
2
0
2
y
x1
4
Gráfico
Nas duas tabelas a seguir, a primeira coluna apresenta números reais positivos e a segunda co-
luna os logaritmos cujos logaritmandos são os respectivos elementos da primeira coluna. Orga-
nizando os dados da tabela em pares ordenados, pode-se apresentar cada informação na forma 
de par ordenado genericamente apresentado por (x; logb x) , em que b é um número real maior 
que zero e diferente de um. 
PV
-1
3-
11
Exponencial e logarítmos
25
Matemática
Exemplo
•	 Esboçar o gráfico da função f(x) = log2 x
y
x0
f(x) = log2 x
1
1
4
1
–1
–2
2
2
4
1
2
Exemplo
•	 Esboçar o gráfico da função f(x) = log1
2
x
y
x0
f(x) = log x
1
1
2
–1
–2
2 4
1
4
1
2
1
2
Observações
• Domínio: D = +*
• Contradomínio: CD = 
• Conjunto imagem: Im = 
•	 A função logarítmica é crescente quan-
do a base do logaritmo é um número 
real maior que 1 e decrescente quando 
a base do logaritmo apresenta um valor 
real entre 0 e 1.
a. Se b > 1, a função é crescente. 
y
x0
f(x ) = logbx
1 x1
f( x2)
f( x1)
x2
x1 < x2 f(x1) < f(x2)
b. Se 0 < b < 1, a função é decrescente.
y
x0
f (x) = logbx
1
x1 x2
x1 < x2 f(x1) > f(x2)
f(x1)
f(x2)
Resumo gráfico
f (x) = logb x com b > 0 e b ≠ 1.
 b > 1 0 < b < 1
y
x
0
1
y
x
0
1
Crescente Decrescente
Exponencial e logarítmos
PV
-1
3-
11
26
Matemática
Observação 1
A função logarítmica é classificada como fun-
ção injetora.
Observação 2
Podemos notar que o gráfico da função logarít-
mica é simétrico ao gráfico da função exponen-
cial, em relação à reta de equação y = x (bisse-
triz dos quadrantes ímpares ou, ainda, gráfico 
da função identidade). Isso ocorre porque a 
função logarítmica é a inversa da função expo-
nencial, para domínio e contradomínio conve-
nientemente definidos e vice-versa.
 b > 1 0 < b < 1
y
x
logb x
y = x
bx
1
1
0
y
x
logb x
y = x
bx
1
1
0
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Observe o gráfico a seguir.
1
y
x
4
1
0
–2
1
2
A função que esse gráfico representa é:
a. f(x) = x2
b. f(x) = log2 x
c. f(x) = log1
2
x
d. f(x) = 2x
e. f(x) = 2–x
Resolução 
O gráfico indica decrescimento e imagens ne-
gativas sugerindo a idéia de uma função loga-
rítmica com base entre 0 e 1. A única alterna-
tiva viável é a C.
Resposta
C
02. Unimontes-MG
A figura a seguir representa, no plano car-
tesiano, um esboço do gráfico de y = log x. 
Se, AO = BC, log a = 1 e log b = 3, então c vale:
y
xO a b c
A
B
C
a. 105
b. 10
c. 104
d. 102
Resolução
log a = 1 e log b = 3
y
xO a b c
 A
 B 
C
AO = loga = 1
OB = logb =3
BC = AO = 1
OC = OB + BC = 3 + 1
logc = OC = 4
logc = 4 ⇒ c = 104
Resposta
C
PV
-1
3-
11
Exponencial e logarítmos
27
Matemática
03. UFRGS-RS
Na figura abaixo está representado o gráfico 
da função f(x) = logb x.
f(x)
x
log 2b
0,5 2
–1
A área da região sombreada é:
a. 2
b. 2,2
c. 2,5
d. 2,8
e. 3
Resolução
De acordo com o gráfico f (0,5) = –1
f (0,5) = f 1
2
  = logb 
1
2
 
–1 = logb 1
2
 
b–1 = 
1
2
1 1
2b
=
b = 2
f (x) = log2 (x)
f (2) = log2 (2) = 1 (altura do retângulo)
Área do retângulo = base x altura = 2 . 1 = 2
Resposta
A
04. Unifor-CE
O gráfico de f(x) = | dnx |, x > 0 está melhor 
representado no item:
a. 
1
1
b. 
1
c. 
1
d. 
1
1
Resolução
 dn x = loge x, em que e = 2,718...
h(x) = dnx
1 x
y
0
1 x
y
0
f(x) = dnx
Exponencial e logarítmos
PV
-1
3-
11
28
Matemática
9. Logarítmos: inequação logarítmica
A. Introdução
Um dos fatores que contribuem satisfatoriamente para o estudo de desigualdades que envolvem 
potenciação e logaritmos reside no fato de as funções exponenciais e logarítmicas admitirem 
uma e somente uma das seguintes situações: a função é crescente ou decrescente.
B. Recordando
y
x0
f (x) = logb x
1 x1
f (x2)
f (x1)
x2
 
y
x0
f (x) = logb x
1 x1 x2
f(x1)
f(x2)
 b > 1 ⇔ f (x) = logb x é crescente 0 < b < 1 ⇔ f (x) = logb x é decrescente
 x1 < x2 ⇔ f (x1) < f (x2) x1 < x2 ⇔ f (x1) < f (x2)
 x1 > x2 ⇔ f (x1) > f (x2) x1 > x2 ⇔ f (x1) > f (x2)
C. Inequação logarítmica
São as inequações que apresentam variáveis, 
em geral, nos logaritmandos dos logaritmos. 
Podemos dizer que são as inequações que po-
dem ser reduzidas a uma das formas: 
logb f(x) > logb g(x), logb f(x) ≥ logb g(x), 
logb f(x) < logb g(x), logb f(x) ≤ logb g(x), 
logb f(x) ≠ logb g(x)
É importante lembrar que, além da baseb > 0 e 
b ≠ 1, temos de observar o logaritmando po-
sitivo. 
D. Resolução de inequação logarítmica
A resolução da inequação logarítmica é seme-
lhante à da inequação exponencial: é necessá-
rio verificar se a função logarítmica envolvida 
é crescente ou decrescente. A verificação fica 
também diretamente associada ao valor da 
base.
Assim, quando a base é um número real maior 
que 1 e, portanto, a função é crescente, te-
mos que, quanto maior for o logaritmo, maior 
será o logaritmando e, então, o sentido da 
desigualdade entre os logaritmos é o mesmo 
sentido da desigualdade entre os respectivos 
logaritmandos.
y
x0
logb x
1 x1 x2
logb x1
logb x2
Portanto, para b ∈ e b > 1 , temos que:
x1 < x2 ⇔ logb x1 < logb x2
e
x1 > x2 ⇔ logb x1 > logb x2
Por outro lado, quando a base é um número 
real entre 0 e 1 e, portanto, a função é decres-
PV
-1
3-
11
Exponencial e logarítmos
29
Matemática
cente, temos que, quanto maior o logaritmo, 
menor o logaritmando e, então, o sentido da 
desigualdade entre os logaritmos deve ser in-
vertido para a desigualdade entre os respecti-
vos logaritmandos.
y
x0
logb x
1 x1 x2
logb x1
logb x2
Portanto, para b ∈  e b > 1 , temos que:
x1 < x2 ⇔ logb x1 > logb x2
e
x1 > x2 ⇔ logb x1 < logb x2
E. Resumindo
I. logb f(x) > logb g(x), b > 1, f(x) > 0 e
g(x) > 0. Neste caso, temos que a fun-
ção logarítmica envolvida é crescente 
e os logaritmandos serão comparados, 
respectivamente, usando a desigualda-
de no mesmo sentido dos logaritmos, 
isto é, f (x) > g (x) .
II. logb f(x) > logb g(x), 0 < b < 1, f(x) > 0 e 
g(x) > 0. Agora a função logarítmica 
envolvida é decrescente e os logarit-
mandos serão comparados respectiva-
mente, usando a desigualdade em sen-
tido contrário ao dos logaritmos, isto é, 
 f (x) < g (x).
Exemplos
01. Comparando logaritmo com número real.
Determine o conjunto solução da inequação 
log2 (x – 3) < 3.
Resolução
condição de existência: x – 3 > 0 ⇒ x > 3
log2 (x – 2) < log2 23 ⇒ x – 2 < 8 ⇒ x < 10
3 23
2
= log
∴S = {x ∈ | 3 < x < 10}
02. Comparando logaritmos de mesma base
Resolva, em R, a inequação logarítmica 
log (2x – 4) < log (x + 7).
Resolução
condição de existência: (2x – 4 > 0 e x + 7 > 0 ) 
⇒ x > 2
2x – 4 < x + 7 ⇒ x < 11
∴S = {x ∈ | 2 < x < 11}
03. Utilizando propriedades de logaritmos
Determine as soluções reais da inequação 
3 · log x + log (2x + 3)3 ≤ 3 · log 2.
Resolução
condição de existência x e x x
x x
:
log log log
> + > ⇒ >
+ +( ) ≤
0 2 3 0 0
3 2 3 3 2
3
3
·· log · log · log
log · log
·
x x
x x
x x
+ +( ) ≤
⇒ +( )  ≤ ⇒
⇒ +( ) ≤
3 2 3 3 2
2 3 2
2 3 2 ⇒⇒ + − ≤2 3 2 02x x
+ +
––2 1
2
x
− ≤ ≤2
1
2
x
∴ = ∈ < ≤{ }S x x|0 12
04. Fazendo mudança de variável.
Determine o conjunto de solução da inequa-
ção (log3 x)2 – 4 · log3 x + 3 > 0
Resolução
condição de existência: x > 0
log3x = z ⇒ z2 – 4 z + 3 > 0
+ +
–1 3 m
z < 1 ou z >3
log3x < 1 ⇒ log3x < log33 ⇒ x < 3
ou
log3x > 3 ⇒ log3x > log333 ⇒ x > 27
Exponencial e logarítmos
PV
-1
3-
11
30
Matemática
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
O conjunto solução da inequação 
log2 ( l xog1
2
) > 0 é:
a. {x ∈ | 0 < x < 1
2
}
b. {x ∈ | x > 0}
c. {x ∈ | x > 1}
d. {x ∈ | 0 < x < 1}
e. {x ∈ | 1
2
 < x < 1}
Resolução
log log
: log
log
2 1
2
1
2
1
2
0
0
0
0
x
condição de existência x
x
x



 >
>
>
> ⇒⇒ > ⇒
⇒ <
> <
∴ < <
log log
: ( )
1
2
1
2
1
1
0 1
0 1
0
x
x
x e x
condição de existência x Ι
==



 >
⇒ >
> ⇔ <
log
log log log
log
log log
1
2
1
2
1
1
2
2 1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
x
x
x x III( )
(I) 0 1
(II)
1
2
III
0 1
2
S x x= ∈ < <{ }|0 12
02. Mackenzie-SP
Resolva a inequação:
log(2 – 3x) 3
7
 > log (2 – 3x) 4
5
Resolução
A função envolvida é decrescente, pois 3
7
4
5
< e 
log(2–3x) 3
7
  > log(2–3x)
4
5
  .
Portanto, a base deve ficar entre 0 e 1.
(Observar que esta imposição inclui a condi-
ção de existência.)
3
7
4
5
0 2 3 1 2 3 1
2 3 1
2
3
1
3
1
3
2
3
< ⇒ < − < ⇒ − < − < − ⇒
→ > > ⇒ > >
= ∈ < <{ }
x x
x x
S x x|
 
 
verificando a condição de existência: 
0 < x < 3 ou x > 27
∴S = {x ∈ | 0 < x < 3 ou x > 27}
05. Variável na base.
Resolver a inequação: log (x – 1) 7 < log (x – 1) 5
•	 Condições de existência: x – 1 > 0 e 
x – 1 ≠ 1
condição de existência: x > 1 e x ≠ 2
Resolução
É certo que 7 > 5, porém log (x – 1) 7 < log (x – 1) 
5. Logo, existe uma inversão no sentido da de-
sigualdade entre os logaritmandos e os loga-
ritmos. Então, a base x – 1 é um número real 
entre 0 e 1, isto é, x – 1 pertence ao intervalo 
real ]0,1[.
0 x – 1 < 1
1 < x < 2
S = {x ∈ | 1 < x < 2}
Exercícios Propostos
PV
-1
3-
14
Exponencial e logaritmo
33
Matemática
01. PUC
Sendo 2
3
3
2
3
2
2  ⋅   =
⋅k k
, qual o valor de 1
3
 
−k
?
02. 
Resolvendo a equação 23x +1 = 128, temos, como 
solução, x igual a:
CAPÍTULO 01 
07. Unimep-SP
O valor de x que torna verdadeira a sentença 
(0,125)x = 0,5 é:
a. – 3
b. + 3
c. −
1
3
 
d. 
−
2
3
e. +
1
3
08. U. E. Feira de santana – BA
O produto das soluções da equação
(43 – x)2– x = 1 é:
a. –7
b. 7
c. 3
6
d. 2
e. –2
03. Uniube-MG
O valor de x que satisfaz a equação 5 · 3x = 405 é:
a. negativo.
b. um número entre 1 e 10.
c. um número fracionário.
d. um número imaginário puro.
e. um número irracional.
04. PUC-SP
Se 28 · 55 = 0,8 · 10n, então n é igual a:
a. 6
b. 5
c. – 1
d. 2
e. –3 
05. Unisinos-RS
Se 5 7
0 003
0 19 10
,
,
,= ⋅ x , então x é:
a. –1
b. 2
c. 4
d. 6
e. 8
06. Vunesp Adaptada 
Se x é um número real positivo tal que
2 22 2x x= + , então x
x( ) 2 é igual a:
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
e. 7 
a. 0
b. 1
c. 4
d. 5
e. 6
09. FCC
A solução da equação 0,52x = 0,251 – x é um nú-
mero tal que: 
a. 0 < x < 1 
b. 1 < x < 2
c. 2 < x < 3 
d. x > 3 
e. x < 0
10. PUC-RS
 Se 223x =256, então x pertence ao intervalo:
a. (0; 1)
b. (0; 2)
c. (1; 2)
d. (1; 3)
e. (2; 3)
11. Mauá-SP
Resolver o sistema:
5 5
3 1
2 3x y
x y
+
+
=
=

Exponencial e logaritmo
PV
-1
3-
14
34
Matemática
12. UFSC adaptada 
Dado o sistema:
7 1
5 25
2
2
4x y
x
y
o valor de
y
x
é
+
+
=
=



 ( ) , :
16. FAAP-SP
Resolva a equação:
3x + 3x–1 + 3x–2 + 3x–3 + 3x–4 + 3x–5 = 1.092
17. UFBA 
O conjunto solução da equação 
2x – 2– x = 5(1 – 2– x ) é: 
a. {1, 4}
b. {1, 2} 
c. {0, 1}
d. {0, 2} 
e. ∅
18. UFSC adaptada 
O valor de x, que satisfaz a equação 
22x + 1 – 3 · 2x+2 = 32, é:
a. par.
b. negativo.
c. divisível por 5.
d. primo.
e. irracional.
19. PUC-PR 
Resolvendo a equação 
32x+3 – 32x + 2 + 2 · 32x = 22x + 5 – 22x + 1 
temos que x é igual a:
a. 1
b. 1
2
c. 3
2
d. 2
e. 3
20. Mackenzie-SP
Se 2 · 2x + 4x = 8x, então x2 é igual a:
a. 2
b. 4
c. 1
d. 0
e. 9
a. 2–4
b. 22
c. 2–1
d. 2–2
e. 24
13. FGV-SP 
A raiz da equação 5 5 3 5 5 3 50x x−( ) −( ) = 
é:
a. 
−
2
3
b. 
−
3
2
c. 3
2
d. 2
3
e. 1
2 
14. UFPR
Para verificar a igualdade 2 4 2562 32⋅ =+x , x 
deve valer:
a. 0
b. +1
c. –1
d. ±1
e. ± 2
15. UnB-DF
A solução da equação
5
25
5 5
1
3
y é− =
⋅
:
a. 
7
12
b. −5
12
c. 9
12
d. −7
12
e. 2 
 
 
 
PV
-1
3-
14
Exponencial e logaritmo
35Matemática
21. 
Considere a função real definida por f(x) = 10x.
a. Complete a tabela
x f(x)
–2
–1
0
1
2
b. Esboce no plano cartesiano, sem con-
servar a escala, o gráfico de f(x).
c. A função f(x) é crescente ou decrescente?
22. 
Considere a função real definida por
g x
x
( ) =  
1
10
.
a. Complete a tabela
x g(x)
–2
–1
0
1
2
b. Esboce no plano cartesiano, sem con-
servar a escala, o gráfico de g(x).
c. A função g(x) é crescente ou decrescente?
23. Ufam
Para que f(x) = (k – 8)x seja uma função expo-
nencial, então os valores de k são:
25. 
Construa o gráfico das funções.
a. f(x) = 11
6
x 
b. f(x) = 3
1
3
x
⋅
 
26. Ufac
Se a e b são números reais e a função f definida 
por f(x) = a · 2x + b, para todo x real, satisfaz 
f(0) = 0 e f(1) = 1, então a imagem de f é o 
intervalo:
a. ]1, + ∞[
b. ]0, + ∞[
c. ]– ∞, 1[
d. [– 1, 1]
e. ]– 1, + ∞[
27. FGV-SP
Um computador desvaloriza-se exponencial-
mente em função do tempo, de modo que seu 
valor y, daqui a x anos, será y = A · kx, em que 
A e k são constantes positivas. Se hoje o com-
putador vale R$ 5.000,00 e valerá a metade 
desse valor daqui a 2 anos, seu valor daqui a 
6 anos será:
a. R$ 625,00
b. R$ 550,00
c. R$ 575,00
d. R$ 600,00
e. R$ 650,00
28. UFSCar-SP
Para estimar a área da figura ABDO (sombreada 
no desenho), em que a curva AB é parte da re-
presentação gráfica da função f(x) = 2x, João de-
marcou o retângulo OCBD e, em seguida, usou 
um programa de computador que “plota” pon-
tos aleatoriamente no interior desse retângulo.
y
0 x
A
BC
D=2
a. k > 8 e k ≠ 9
b. 0 < k < 8
c. k < 8 e k ≠ 0
d. k > 0 e k ≠ 8
e. ∀ k ∈ R
24. 
Esboce o gráfico das seguintes funções:
a. f(x) = 5x
b. f(x) = 41 – x
c. f(x) = 3x + 2
Exponencial e logaritmo
PV
-1
3-
14
36
Matemática
Sabendo que, dos 1.000 pontos “plotados”, 
apenas 540 ficaram no interior da figura ABDO, 
a área estimada dessa figura, em unidades de 
área, é igual a:
32. Mackenzie-SP 
Dadas as funções f(x) = 2x2 – 4 e g(x) = 4x2 – 2x, se 
x satisfaz f(x) = g(x), então 2x é:
a. 4,32
b. 4,26
c. 3,92
d. 3,84
e. 3,52
Texto para as questões de 29 a 31.
A curva de Gompertz é o gráfico de uma 
função expressa por N = C · AK
t
, em que A, C 
e K são constantes. É usada para descrever 
fenômenos como a evolução do aprendizado 
e o crescimento do número de empregados de 
muitos tipos de organizações.
Suponha que, com base em dados obtidos em 
empresas de mesmo porte, o Diretor de Recur-
sos Humanos da Companhia Nacional de Mo-
tores (CNM), depois de um estudo estatístico, 
tenha chegado à conclusão de que, após t 
anos, a empresa terá N(t) = 10.000 · (0,01)0,5t 
funcionários (t ≥ 0).
29. FGV-SP
Segundo esse estudo, o número inicial de fun-
cionários empregados pela CNM foi de:
a. 10.000
b. 200
c. 10
d. 500
e. 100 
30. FGV-SP
O número de funcionários que estarão empre-
gados na CNM, após dois anos, será de:
a. 103,5
b. 102,5
c. 102
d. 101,5
e. 100,25
31. FGV-SP
Depois de quanto tempo a CNM empregará 
1.000 funcionários?
a. 6 meses
b. 1 ano
c. 3 anos
d. 1 ano e 6 meses
e. 2 anos e 6 meses
a. 1
4
b. 1
c. 8
d. 4 
e. 1
2 
33. UFSC adaptada
Suponha que a decomposição de uma subs-
tância siga a lei dada por Q(t) = k · 2– 0,2t, em 
que k é uma constante positiva e Q(t) é a 
quantidade da substância (em gramas) no 
instante t (em minutos). O valor de t0 , em 
minutos, considerando os dados desse pro-
cesso de decomposição mostrados no gráfico 
a seguir, é:
Q (t)
0 t
1
8
t0
a. divisível por 7.
b. par.
c. divisível por 11.
d. divisível por 5.
e. primo.
34. UFRGS-RS
Analisando os gráficos das funções reais de 
variáveis reais definidas por f x
x
( ) =  
−3
2
1
 
e g(x) = x, representados no mesmo sis-
tema de coordenadas cartesianas, veri-
ficamos que todas as raízes da equação 
f(x) = g(x) pertencem ao intervalo:
a. [0, 3]
b. 
1
2
4,


c. [1, 5[
PV
-1
3-
14
Exponencial e logaritmo
37
Matemática
d. 3
2
6,


e. ]2, 6[
35. Fuvest-SP
Das alternativas a seguir, a que melhor corres-
ponde ao gráfico da função f(x) = 1 – 2–|x| é:
a. 
1
–1
y
x
b. 
1
y
x
c. 
1
y
x
d. 
1
y
x
e. 
1
2
y
x
36. FGV-SP
O gerente de producão de uma indústria cons-
truiu a tabela abaixo, relacionando a produção 
dos operários com sua experiência.
Experiência (meses) 0 6
Produção (unidades por hora) 200 350
Acredita o gerente que a produção Q se re-
laciona à experiência t, através da função 
Q(t) = 500 – A · e–k · t, sendo e = 2,72 e k, um 
número real, positivo.
a. Considerando que as projeções do 
gerente de produção dessa indústria 
estejam corretas, quantos meses de 
experiência serão necessários para 
que os operários possam produzir 
425 unidades por hora?
b. Desse modo, qual será a máxima 
produção possível dos operários dessa 
empresa?
37. Unifesp
A figura 1 representa um cabo de aço preso 
nas extremidades de duas hastes de mesma 
altura h em relação a uma plataforma horizon-
tal. A representação dessa situação num siste-
ma de eixos ortogonais supõe a plataforma de 
fixação das hastes sobre o eixo das abscissas; 
as bases das hastes como dois pontos, A e B; e 
considera o ponto O, origem do sistema, como o 
ponto médio entre essas duas bases (figura 2). O 
comportamento do cabo é descrito matema-
ticamente pela função f x x
x
( ) = +  2
1
2
com 
domínio [A, B].
figura 1 figura 1
0A B
y
x
a. Nessas condições, qual a menor 
distância entre o cabo e a plataforma 
de apoio?
b. Considerando as hastes com 2,5 m de 
altura, qual deve ser a distância entre 
elas, se o comportamento do cabo se-
guir precisamente a função dada?
38. Fuvest-SP
Seja f(x) = a + 2bx + c, em que a, b e c são núme-
ros reais. A imagem de f é a semirreta ]–1, ∞[ e 
o gráfico de f intercepta os eixos coordenados 
Exponencial e logaritmo
PV
-1
3-
14
38
Matemática
nos pontos (1, 0) e (0, – 3
4
). Então, o produto 
abc vale:
42. 
O conjunto solução da inequação 2x+1 > 1 é:
a. S = {x ∈ | x < 1}
b. S = {x ∈ | x > – 1}
c. S = {x ∈ | x < 2}
d. S = {x ∈ | x < 1
2
}
e. S = {x ∈ | x < – 1}
43. UFRGS
A solução da inequação (0,5)(1 – x) > 1 é o con-
junto:
a. {x ∈ | x > 1}
b. {x ∈ | x <1}
c. {x ∈ | x >0}
d. {x ∈ | x < 0}
e. 
44. 
O conjunto solução da inequação 
(0,0001)x – 1 < (0,1)2x é todo x real tal que:
a. x = 2
b. x > 2
c. x < 2
d. x ≥ 2
e. x ≤ 2
45. 
O conjunto solução da inequação: 
1
2
1
2  >
−x x
 
é:
a. {x ∈ | 0 < x < 1}
b. {x ∈ | x < 0 ou x > 1}
c. {x ∈ |	–1	≤	x	≤	1}
d. {x ∈ |	x	≤	0}
e. 
46. FGV-SP
O conjunto solução da inequação 
(0,3)x2 – 2x – 1 ≥ 0 é:
a. S = {x ∈ | 0 ≤ x ≤ 2}.
b. S = {x ∈ | x ≤ 0 ou x ≥ 2}.
c. S = {x ∈ | x ≤ 2}.
d. S = {x ∈ | x ≥ 0}.
e. S = x x∈ ≤ ≤{ }|0 12
a. 4
b. 2
c. 0
d. –2
e. –4 
39. Insper-SP
Considere o gráfico da função f(x) = 3x – 2x, 
dado na figura:
–5 –4 –3 –2 –1
–1
1
1
2
3
4
5
2 3 4
y
x
A expressão 3 3 2 25 5−( ) vale aproximada-
mente:
a. 1,0
b. 1,2
c. 1,4
d. 1,6
e. 1,8 
40. Mackenzie-SP
O menor valor assumido pela função
 g x
x
( )
( )
=
 
−1
2
2 2
é:
a. 8
b. 4
c. 1
2
d. 1
4
e. 1
8
41. 
Identifique como crescente (C) ou decrescente 
(D) cada uma das funções abaixo.
a. f(x) = 4x ( )
b. f(x) = 2–x ( )
c. 3( )x ( )
d. f(x) = (0,00001)x ( )
e. 1
pi
 
x
 ( )
PV
-1
3-
14
Exponencial e logaritmo
39
Matemática
47. UFF-RJ
a. Ao resolveruma questão, José apresen-
tou o seguinte raciocínio:
"Como 1
4
1
8
1
2
1
2
2 3
>
  >  , tem-se e con-
clui-se que 2 > 3."
 Identifique o erro que José, cometeu 
em seu raciocínio, levando-o a essa 
conclusão absurda.
b. Sem cometer o mesmo erro que José, 
determine o menor número m, inteiro 
e positivo, que satisfaz à inequação:
1
2
1
2
4
2 2  >  
+
m
m
48. PUC-MG
A desigualdade (0,4)x2 + 6 < (0,4)5x é verdadeira 
para todo x real tal que:
a. (–∞, –5[
b. ]– 5, + ∞)
c. (– ∞, 5[
d. ]5, + ∞)
a. x < 2 ou x > 3
b. 2 < x < 3
c. x > 3
d. x > 2
e. x < 3
49. PUCCamp-SP
Considere a sentença a2x + 3 > a8, na qual x é 
uma variável real e a é uma constante real 
positiva. Essa sentença é verdadeira se, por 
exemplo:
a. x = 3 e a = 1
b. x = –3 e a > 1
c. x = 3 e a < 1
d. x = –2 e a < 1
e. x = 2 e a > 1
50. UFRGS
A solução da equação 2–x + 1 = 2x pertence ao 
intervalo
a. [–1 , 0].
b. [0 , 1].
c. [1 , 2].
d. [2 , 3].
e. [3 , 4].
51. Osec-SP adaptada
O domínio da função definida por 
y = 1
1
3
243  −
x
é:
52. UFBA
Dadas as funções f e h, definidas por f(x) = 2x 
e h(x) = x3 + x2 – 1. O conjunto solução da ine-
quação f h x( ( ))<
1
2
 é o intervalo:
a. [1, + ∞ [
b. [–1, + ∞ [
c. ]– ∞, + ∞ [
d. ]– ∞, 1[
e. ]– ∞, –1[
53. UFPR
Um importante estudo a respeito de como 
se processa o esquecimento foi desenvolvido 
pelo alemão Hermann Ebbinghaus no final do 
século XIX. Utilizando métodos experimentais, 
Ebbinghaus determinou que, dentro de certas 
condições, o percentual P do conhecimento 
adquirido que uma pessoa retém após t sema-
nas pode ser aproximado pela fórmula
P = (100 – a) bt + a,
sendo que a e b variam de uma pessoa para 
outra. Se essa fórmula é válida para um cer-
to estudante, com a = 20 e b = 0,5 , o tempo 
necessário para que o percentual se reduza a 
28% será:
a. entre uma e duas semanas.
b. entre duas e três semanas.
c. entre três e quatro semanas.
d. entre quatro e cinco semanas.
e. entre cinco e seis semanas.
54. 
Seja S o conjunto solução da inequação
 
5
3
3
5
2 1 2  >  
− + −x x
. Então:
a. S = +
b. S = {x ∈ | x < 1}
c. S = {x ∈ | x > 1}
d. S = {x ∈ | x < – 1}
e. S = {x ∈ | x > – 1}
Exponencial e logaritmo
PV
-1
3-
14
40
Matemática
55. 
Resolva em  a inequação:
3
4
3
4
2
1
3 





 ≤
 
+
−
x x
x
56. 
Resolva em , a inequação:
4x –12 · 2x + 32 ≤ 0
57. ITA-SP Adaptado
Determine o conjunto P de números reais tal 
que:
P = { x∈|8–x – 3 · 4–x – 22–x >0}
58. ITA-SP
Seja α um número real, com 0 < α <1. Assinale 
a alternativa que representa o conjunto de to-
dos os valores de x tais que
 α2x 1 1
2 2
α



 <
x
a. ]–∞, 0] ∪ [2, + ∞[
b. ]–∞, 0[ ∪ ]2, + ∞[
c. ]0, 2[
d. ]–∞, 0[
e. ]2,	+	∞[
59. Espcex-SP
Supondo x ∈, com x > 0 e x ≠ 1, a inequação 
x2x–1 < x3 tem como solução:
61. U. E. Londrina-PR
Supondo que exista, o logaritmo de a na base 
b é:
a. o número ao qual se eleva a para se ob-
ter b.
b. o número ao qual se eleva b para e ob-
ter a.
c. a potência de base b e expoente a.
d. a potência de base a e expoente b.
e. a potência de base 10 e expoente a.
62. 
Qual é a nomenclatura correta na igualdade 
de ac = b?
a. a = base; b = logaritmo e c = logaritman-
do
b. a = logaritmo; b = logaritmando e c = 
base
c. a = base; b = logaritmando e c = loga-
ritmo
d. a = logaritmando; b = bae e c = loga-
ritmo
e. a = logaritmo; b = base e c = logaritmando
63. 
Calcule o valor de 3(2+log35).
64. Vunesp
Se 10a = 3, log 729 é igual a:
a. 0 < x < 1
b. x > 2
c. x > 1
d. 1 < x < 2
e. 2 < x < 3
60. AFA-RJ
Todos os valores reais de x para os quais existe 
f x x xx( ) = −−4 1 são tais que:
a. x > 1
b. 0
1
2
1< < ≥x ou x
c. 0
1
2
< <x
d. 0
1
2
1< < >x ou x
a. a
b. a
3
c. 6a
d. a
6
e. 3a
65. PUC-SP
Se x + y = 20 e x – y = 5, então o valor de 
log (x2 –y2) é:
a. 100
b. 2
c. 25
d. 12,5
e. 15
66. ESPM-SP
Se x = log160,25; y e z=   =log log2 1
8
1
2
2 , pode-
mos afirmar que:
a. x < y < z
b. y < z < x
c. y < x < z
d. z < x < y
e. z < y < z
PV
-1
3-
14
Exponencial e logaritmo
41
Matemática
67. 
A tabela abaixo possibilita calcular aproxima-
damente o valor de 1 0005 . .
N log N
1,99 0,3
2,51 0,4
3,16 0,5
3,98 0,6
5,01 0,7
De acordo com os dados da tabela, esse valor 
aproximado é:
72. Mackenzie-SP
Se 7x = 81 e 9y = 7, então o valor de log8(xy) é:
a. 1,99
b. 2,51
c. 3,16
d. 3,98
e. 5,01
68. UFU-MG
Se a e b são números reais positivos, tais que 
loga3 = 4 e logb5 = 6, então (ab)12 é igual a:
a. 675
b. 625
c. 640
d. 648
69. Mackenzie-SP
A raiz real da equação log3(9x –2) = x é:
a. 2
b. 3
c. 0
d. –1
e. –3
71. FGV-SP
Quantos números inteiros pertencem ao do-
mínio f(x) = log(9 –x2) + log(2 – x)?
a. log3 2
b. 2log32
c. log3
2
3
d. log32
70. ESPM
Sendo x um número inteiro, o valor do número 
real y = logx–1(4 + 3x – x2) é:
a. 3
b. 4
c. 5
d. 6
e. infinitos
a. 3
2
b. 1
3
c. 2
d. 3 
e. 3
4
73. UFF-RJ
Segundo Resnick e Halliday, no livro Física, vol. 
2, 4a ed., a intensidade relativa IR de uma onda 
sonora, medida em decibel (dB), é definida por:
IR = 10 log 10 I
I0




sendo I a intensidade sonora medida em 
watt/m2 e Io a intensidade sonora de referên-
cia (correspondente ao limiar da audição hu-
mana), também medida em watt/m2.
Apresentam-se, a seguir, os valores em dB das 
intensidades relativas (IR) das ondas sonoras 
correspondentes a algumas situações particu-
lares.
Situação particular IR (dB)
Limiar da audição 
humana 0
Sussurro médio 20
Conversa normal 05
Limiar da dor 120
Na unidade watt/m2, pode-se afirmar que:
a. a intensidade sonora do sussurro mé-
dio é menor que 10 vezes a intensidade 
sonora do limiar da audição humana.
b. a intensidade sonora do limiar da dor 
é 120 vezes a intensidade sonora do li-
miar da audição humana.
c. a intensidade sonora do limiar da dor é 
igual a 1.010 vezes a intensidade sono-
ra de um sussurro médio.
d. a intensidade sonora do limiar da dor é, 
aproximadamente, o dobro da intensi-
dade sonora de uma conversa normal.
e. a intensidade sonora de uma conversa 
normal é menor que 104 vezes a inten-
sidade sonora de um sussurro médio.
Exponencial e logaritmo
PV
-1
3-
14
42
Matemática
74. UFF-RJ
A energia potencial elástica (E) e a variação no 
comprimento	(∆d) de uma determinada mola 
estão associadas conforme a tabela:
y = log E x = log (Dd)
4 1
6 2
Sabe-se, também, que a relação entre y e x 
é estabelecida pela equação y = nx + log( k
2
), 
sendo k a constante elástica da mola e n, uma 
constante.
a. Determine os valores das constantes k 
e n. 
b. Determine	o	valor	de	E	para	∆d = 3.
75. UFMG
Um químico deseja produzir uma solução com 
pH = 2, a partir de duas soluções: uma com 
pH = 1 e uma com pH = 3.
Para tanto, ele mistura x litros da solução 
de pH = 1 com y litros da solução de pH = 3. 
Sabe-se que pH = – log [H+], em que [H+] é a 
concentração de íons, dada em mol por litro. 
Considerando-se essas informações, é correto 
afirmar que x
y
 é:
77. Insper-SP
A quantidade de números inteiros existentes 
entre os primeiros 2.011 termos da sequência:
log , log , log , log , log ,..., log ,...2 2 2 2 2 21
1
2
1
3
1
4
1
5
1
n
 
é igual a:
a. 
1
100
.
b. 
1
10 .
c. 10.
d. 100.
76. ITA-SP
Se a ∈ é tal que 3y2 – y + a = 0 tem raiz dupla, 
então a solução da equação 32x + 1 – 3x + a = 0 é:
a. log26b. – log26
c. log36
d. – log36
e. 1 – log36
a. 10
b. 11
c. 12
d. 13
e. 14
78. ESPM-SP
Uma importância de R$ 10.000,00 foi aplica-
da a juros compostos de 4% ao mês durante 
10 meses. Sabendo-se que log 1,04 = 0,017 e 
log 1,48 = 0,17, podemos concluir que os juros 
obtidos nessa aplicação foram de:
a. R$ 3.200,00
b. R$ 3.600,00
c. R$ 3.800,00
d. R$ 4.200,00
e. R$ 4.800,00
79. Expcex-SP
O conjunto-solução da inequação xlogx(x+1)2 ≤	4,	
no conjunto dos números reais, é:
a. {x ∈|0 < x < 1}
b. {x ∈|0	≤	x	≤	1}
c. {x ∈|0	<	x	≤	1}
d. {x ∈|–3	≤	x	≤	1}
e. {x ∈|–3	≤	x	<	1}
80. UFSCar-SP
Em notação científica, um número é escrito na 
forma p · 10q, sendo p um número real tal que 
1 ≤ p < 10, e q um número inteiro. Conside-
rando log 2 = 0,3, o número 2255, escrito em 
notação científica, terá p igual a:
a. 10
b. 3
c. 2
d. 1,2
e. 1,1
81. UFPR
Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual será 
o valor de log 28? 
a. 1,146 
b. 1,447 
c. 1,690 
d. 2,107 
e. 1,107
PV
-1
3-
14
Exponencial e logaritmo
43
Matemáti ca
82. UMC-SP
Sejam log x = a e log y = b. Então o log x y⋅( )
é igual a:
a. a
b
+
2
b. 2a + b
c. a + b
d. a + 2b
e. a
b
−
2
83. Fuvest-SP 
 Sendo log2 b – log2 a = 5, o quociente 
b
a
 vale:
d. 1 hora e 15 minutos .
e. 2 horas e 20 minutos .
87. FGV-SP
Adotando-se os valores log 2= 0,30 e log 3 = 0,48, 
a raiz da equação 5x = 60 vale aproximadamen-
te:
a. 10 
b. 25 
c. 32 
d. 64 
e. 128 
84. PUC-SP
Sendo log102 = 0,30 e log103 = 0,47, então 
log
6 2
5
 é igual a:
a. 0,12
b. 0,22
c. 0,32
d. 0,42
e. 0,52
85. UFSC
Se 3n = 5, então log5225 é:
a. 2 2+ n
n
b. 2 2− n
n
c. 2+n
n
d. n
n2 2−
e. n
n2 2+
86. Mackenzie-SP
 O número N de bactérias de uma cultura é 
dado, em função do tempo t, em horas, por 
N(t) = 105 · 24t. Supondo log 2 = 0,3, o tempo 
necessário para que o número inicial de bacté-
rias fique multiplicado por 100 é:
a. 2 horas e 2 minutos .
b. 2 horas e 12 minutos .
c. 1 hora e 40 minutos .
a. 2,15
b. 2,28
c. 41
d. 2,54
e. 2,67
88. Fuvest-SP
 Sendo loga2 ≅ 0,69 e loga3 ≅ 1,10, calcule o va-
lor aproximado de loga
4 12 . 
89. UFSC Adaptada
Se loga x = 2 e logxy = 3, então, loga xy35 é 
igual a:
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
90. UFF-RJ
 
Sempre que se ouve alguma referência a em-
bates – reais ou imaginários – entre ciência e 
religião, o nome de Galileu (1564-1642) é inva-
riavelmente invocado. No entanto, J. A. Connor 
apresenta em seu texto “A Bruxa de Kepler” 
um pensador que, segundo o autor, teria sido 
realmente fiel a seus princípios intelectuais, 
morais e religiosos, muito mais que Galileu: Jo-
hannes Kepler (1571-1630). Vivendo em uma 
parte da Europa dilacerada pelas guerras de re-
ligião, sofrendo perseguições por causa da sua 
fé luterana, Kepler ainda assim revolucionou a 
compreensão que temos do mundo.
Adaptado do texto “À Sombra de Galileu”, 
de T. Haddad, Scientific American, 
Ano 4 - n.46 / março de 2006
 
Um dos grandes legados de Kepler para a ci-
ência foi a sua terceira lei: “o quadrado do 
Exponencial e logaritmo
PV
-1
3-
14
44
Matemática
período de revolução de cada planeta é pro-
porcional ao cubo do raio médio da respecti-
va órbita”. Isto é, sendo T o período de revo-
lução do planeta e r a medida do raio médio 
de sua órbita, esta lei nos permite escrever: 
T2 = K · r3, em que a constante de proporciona-
lidade K é positiva.
Considerando x = log(T) e y = log(r), pode-se 
afirmar que:
pela função P(h) = P0 · eα·h, sendo e a base do sis-
tema de logaritmos neperianos, P0 = 760 mmHg 
a pressão atmosférica no nível do mar, e α um 
número que depende principalmente da tem-
peratura média no local de medição. Sabendo-
se que, nas condições desse experimento, 
α = – 0,00012 e que os estudantes usaram 
os valores aproximados dn(760) = 6,63 e 
dn(530) = 6,27, qual foi a altura que encontra-
ram para o Pico da Neblina?
94. Mackenzie-SP
Se log log2 2
1
1x
x
+ = − , então log4x é igual a:
a. y
x K
=
−2
3
b. y
x
K
=
2
3log
c. y
x
K
=
2
3
d. y
x
K
=
2
3
e. y
x K
=
−2
3
log
91. FGV-SP
Considerando os valores log 2 = 0,30 e 
log 3 = 0,48, o valor de x que satisfaz a equação 
36x = 24 é:
a. 49
48
b. 69
78
c. 59
78
d. 64
78
e. 54
78
92. Insper/IBMEC
Se ab = ba, em que a e b são números naturais 
maiores do que 1, então:
a. a = b.
b. logab = ab.
c. loga b
b
a
= .
d. b é necessário par.
e. a é necessário ímpar.
93. UFPR
Um grupo de estudantes resolveu repetir a 
medição da altura do Pico da Neblina feita 
na década de 1960. Para isso, escalaram essa 
montanha e levaram um barômetro. Chegan-
do ao cume da montanha, efetuaram várias 
medições da pressão atmosférica no local e 
obtiveram o valor médio de 530 mmHg. A pres-
são atmosférica P(h) a uma dada altura h (em 
metros, em relação ao nível do mar) é fornecida 
a. 1
4
b. 1
2
c. –1
d. 1 
e. –2
95. FGV-SP
O rendimento de um carro flex (número de 
quilômetros que percorre com um litro de 
combustível), que pode ser movido por uma 
mistura de álcool com gasolina em qualquer 
proporção, é dado pela função R( x) = K · ax 
km/L, na qual K e a são números reais positivos 
e	x	(0	≤	x	≤	1)	é	a	porcentagem	de	álcool	mis-
turado com gasolina. Sabe-se que, abasteci-
do com 100% de gasolina, o rendimento é de 
18 quilômetros por litro e que, com 100% de 
álcool, cai para 9 quilômetros por litro.
Se, ao iniciar uma viagem, uma pessoa enche o 
tanque do carro com 50 litros de uma mistura de 
álcool com gasolina e chega ao seu destino, de-
pois de rodar 600 km, com o tanque praticamente 
vazio, qual a porcentagem de álcool na mistura?
Para os cálculos, utilize, se necessário, alguns 
dos valores da tabela abaixo:
n 2 3 7 10
log n 0,30 0,48 0,85 1
96. FGV-SP
João investiu R$ 10.000,00 num fundo de ren-
da fixa que remunera as aplicações à taxa de 
20% ao ano com o objetivo de comprar um au-
tomóvel, cujo preço atual é de R$ 30.000,00, 
desvalorizado à taxa de juros de 10% ao ano. 
PV
-1
3-
14
Exponencial e logaritmo
45
Matemática
Depois de quantos anos João conseguirá ad-
quirir o automóvel pretendido?
Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48.
97. UFF-RJ
A escala de Palermo foi desenvolvida para aju-
dar especialistas a classificar e estudar riscos 
de impactos de asteroides, cometas e grandes 
meteoritos com a Terra. O valor P da escala de 
Palermo em função do risco relativo R é defini-
do por P = log10(R).
Por sua vez, R é definido por R
f T
=
σ
· ∆
, sendo 
σ a probabilidade de o impacto ocorrer, DT o 
tempo (medido em anos) que resta para que 
o impacto ocorra e f E=
−
0 03
4
5, · a frequência 
anual de impactos com energia E (medida em 
megatoneladas de TNT) maior do que ou igual 
à energia do impacto em questão.
Disponível em: <http://neo.jpl.nasa.
gov/risk/doc/palermo.htm>.
De acordo com as definições acima, é correto 
afirmar que:
a. P = log10(σ) + 2 – log10(3) + 
4
5
log10(E) + 
log10 (DT)
b. P = log10(σ) + 2 – log10(3) – 
4
5
log10(E) + 
log10 (DT)
c. P = log10(σ) + 2 – log10(3) + 
4
5
log10(E) – 
log10 (DT)
d. P = log10(σ) + 2log10(3) + 
4
5
log10(E) – 
log10 (DT)
e. P = log10(σ) – 2log10(3) + 
4
5
log10(E) – 
log10 (DT)
98. FGV-SP
Ao longo de uma campanha publicitária pelo 
desarmamento, verificou-se que o número de 
armas em poder das pessoas de uma comuni-
dade decresceu à taxa de 20% ao mês. Após 
um tempo t, o número de armas nessa comu-
nidade foi reduzido à metade. Se log 2 = 0,30, 
o valor de t é:
a. 3 meses.
b. 2 meses.
c. 137 dias.
d.80 dias.
e. 57 dias.
99. FGV-SP
Um capital C é aplicado a juros compostos à 
taxa de 2% ao mês. Três meses depois, um ou-
tro capital igual a C é aplicado também a juros 
compostos, porém à taxa de 3% ao mês. Du-
rante quanto tempo o 1o capital deve ficar apli-
cado para dar um montante igual ao do 2o ca-
pital? Você pode deixar indicado o resultado.
100. UFSC
Desde a década de 1930, em que foi publica-
do o romance Vidas secas, até os dias de hoje, 
a moeda nacional do Brasil mudou de nome 
várias vezes, principalmente nos períodos de 
altos índices de inflação. Na maioria das no-
vas denominações monetárias foram cortados 
três dígitos de zero, isto é, a nova moeda vale 
sempre 1.000 vezes a antiga. 
Suponha que certo país troque de moeda cada 
vez que a inflação acumulada atinja a cifra de 
700%. Se a inflação desse país for de 20% ao 
mês, então esse país terá uma nova moeda 
em: (Considere: log2 = 0,301 e log 3 = 0,477)
a. 6 meses.
b. dois anos.
c. oito anos.
d. um ano.
e. três anos.
Exponencial e logaritmo
PV
-1
3-
14
46
Matemática
101. 
Se log2x = a, x ∈, x > 0 e x ≠ 1, então logx2 é 
igual a:
106. Mackenzie-SP
Se 1
3
1
3
1
3
1
3
15
84 8log log log logx x x x
+ + + = ,
log3 x vale:
CAPÍTULO 02 
a. 1 + a
b. 1 – a
c. –a
d. −1
a
e. 1
a
102. 
Sendo log2 5 = 2,32,determine:
a. log5 2
b. log10 5
103. 
Se log2x = a, x ∈, x > 0 e então log4(4x) é 
igual a:
a. 1
2
+ a
b. 2 + a
c. 2
2
+ a
d. 1 + a
e. 2
3
+ a
104. Acafe-SP
O valor da expressão log32 · log43 é:
a. 1
2
b. 3
c. 4
d. 2
3
e. 2
105. 
Se logx2 = a, x ∈, x > 0 e x ≠ 1, então log x 2
é igual a:
a. 2a
b. a
2
c. 2
3a
d. 2
3a
e. – 2
a
a. 1
9
b. 1
3
c. 3
d. 2 
e. 1
107. Mackenzie-SP
Se log loga a2 35 5
5
12
+ = , então o valor de a 
é:
a. 5
b. 52
c. 5
5
d. 5
e. 1
5
108. 
Determine o valor da expressão 
y = log4 125 · log3 4 · log5 3
109. 
Sendo log10 2 = 0,30 e log10 3 = 0,48, determine 
o valor de:
a. log2 3
b. log3 2
110. 
Utilizando-se de log 2 = 0,30 e sendo 
x = log5 7 · log7 6 · log6 4 + 1, pode-se concluir 
que x é igual a:
a. 5
3
b. 7
3
c. 
9
7
d. 11
7
e. 13
7
PV
-1
3-
14
Exponencial e logaritmo
47
Matemática
111. 
Se a b e= =  
log
log
, log log3
3
5 5
5
2
10
5
2
, o produto 
(a · b · c) é igual a:
a. 1
b. log2 5
c. log2 5 – log5 2
d. 1 – log2 5
e. log5 2 – 2
112. Udesc
Determine o valor de x, sabendo que
(logxb) · (logbc) · (logcd) · (logd729) = 6
113. Mackenzie-SP
Se a e b são números reais não nulos, tais que 
a2 + b2 = 28ab, então, adotando-se log 3
12
25
= , 
o valor de log
( )
3
2a b
ab
+
 é:
a. 
37
12
b. 3
c. 
25
13
d. 
17
5
e. 7
114. Unifesp
Uma das raízes da equação 
22x – 8 · 2x + 12 = 0 é x = 1.
A outra raiz é:
a. 1
3
210
+
 log .
b. 1
3
2
10
10
+
log
log
.
c. log10 3 .
d. log10 6
2
.
e. log10
3
2
  .
115. UFSCar-SP
Adotando-se log 2 = a e log 3 = b, o valor de 
log1,5 135 é igual a:
a. 3ab
b a−
b. 2 1
2
b a
b a
− +
−
c. 3b a
b a
−
−
d. 3b a
b a
+
−
e. 3 1b a
b a
− +
−
116. 
Sendo log3 2 = a e log3 5 = b, o valor de log30 60 
é igual a:
a. 
a b+ +1
2
b. 1
1
+
+ +
a
a b
c. 
2 1a b
a b
+ +
+
d. 1
1
2
+
+ +a b
e. 
a b
a b
+ −
−
1
117. 
O valor de 2 5 2 77 5 3log log log⋅ ⋅ é:
a. 1
b. 3
c. 4
d. 5
e. 6
118. UFC-CE
Se log7875 = a, então log35245 é igual a:
a. a
a
+
+
2
7
b. a
a
+
+
2
5
c. a
a
+
+
5
2
d. a
a
+
+
7
2
e. a
a
+
+
5
7
Exponencial e logaritmo
PV
-1
3-
14
48
Matemática
119. UFPel-RS
Tendo-se a e b como números reais positivos, 
e sendo b ≠ a, se log
log2
1
2
6a
b
+ = , então a · b 
é igual a:
a. 128
b. 64
c. 32
d. 16
e. 256
a. 12
b. 16
c. 32
d. 64
120. 
O logaritmo de um número na base 16 é 2
3
. 
Então o logaritmo desse número na base 1
4
 é:
a. −
4
3
b. −
3
4
c. 
3
8
d. 3
e. 6
121. 
Resolva a equação log3 (x – 5) = 2.
122. 
A equação logx (2x +3) = 2 apresenta o seguin-
te conjunto solução:
a. {–1, 3}
b. {–1}
c. {3}
d. {1,3}
123. 
Determine o conjunto-solução, em , da 
equação log x2 = 2 · log x.
124. FGV-SP
Obtenha os valores de x e y que satisfazem o 
sistema:
x y
x y
+ =
− =



15
1
24 4
log log
125. PUC-PR adaptado
Calcular o valor de x na equação 
log16x – log4x = −( )3
2
126. 
Tales, um aluno do Curso de Matemática, de-
pois de terminar o semestre com êxito, resol-
veu viajar para a Europa. A chegada ao velho 
continente foi em Portugal.
Tales caminhou muitas vezes sobre a Ponte 
Carlos, em Praga, para admirar as estátuas 
que estão espalhadas ao longo da ponte. Para 
descobrir o número de estátuas existentes so-
bre a ponte, ele teve que resolver a equação 
log2 (3x – 30) – log2x = 1.
Concluiu, então, que o número de estátuas é:
a. 31
b. 30
c. 16
d. 15
e. 10
127. UFRGS
A solução da equação 
log2(4 – x) = log2(x + 1) + 1 
está no intervalo:
a. [–2; –1]
b. (–1; 0]
c. (0; 1]
d. (1; 2]
e. (2; 3]
128. Unifesp
O valor de x que é solução da equação 
log102 + log10(x + 1) – log10x = 1 é:
a. 0,15
b. 0,25
c. 0,35
d. 0,45
e. 0,55
129. Fuvest-SP
Se x é um número real, 
x > 2 e log2(x – 2) – log4x = 1, 
então o valor de x é:
a. 4 2 3−
b. 4 3−
c. 2 2 3+
d. 4 2 3+
e. 2 4 3+
PV
-1
3-
14
Exponencial e logaritmo
49
Matemática
130. 
Se (x,y) é a solução do sistema, 
( )
log ( ) log
log
3
3
3
1
2
3
x
y
x y
=
− −
=





o valor de x + y é
135. AFA-SP
Um médico, apreciador de logaritmos, pres-
creveu um medicamento a um de seus pacien-
tes, também apreciador de logaritmo, confor-
me a seguir:
Tomar	x	gotas	do	medicamento	α	de	8	em	8	
horas. A quantidade de gotas y diária deverá 
ser calculada pela fórmula log8 y = log2 6.
Considerando log 2
3
10
= e log 3 = 0,48, é cor-
reto afirmar que log2 x é um número do inter-
valo:
a. 5
b. 6
c. 7
d. 8
e. 9
131. FFV-SP
A, B e C são inteiros positivos, tais que
A · log2005 + B · log2002 = C
Em tais condições, A + B + C é igual a:
a. 0
b. C
c. 2C
d. 4C
e. 6C
132. UFF-RJ
Resolva, em +* , o sistema:
log log
log log
2 1
2
1
2
1
2
0
x
y
x
y
x y
+
  = + 
+ =



133. UFABC-SP
Uma empresa varejista iniciou suas atividades 
operando várias lojas e, em 2 anos, o núme-
ro total de suas lojas aumentou. As raízes da 
equação log2(x – 4) – log (x – 4) = 0 correspon-
dem, respectivamente, ao número de lojas 
no início de atividade e após 2 anos. Calcule 
o número de lojas dessa empresa nesses dois 
momentos.
134. UFPR
As raízes da equação
log2(x2– 3x + 2) – log1
2
(x – 2) = 
= log26 + log2(x2 –5x + 6) têm soma igual a:
a. 5
b. 9
c. 7
d. 8
e. 6
a. [3, 4[
b. [4, 5[
c. [5, 6[
d. [6, 7[
136. UFF-RJ
Beremiz e seu mestre Nô-Elim eram 
apaixonados pela rainha das ciências, a 
Matemática, e toda vez que se reuniam 
para conversar sobre ela, o faziam de 
modo enigmático. Certa vez, Beremiz fez 
a seguinte pergunta ao seu mestre:
– Qual é o número, maior que a uni-
dade, cujo logaritmo decimal da sua raiz 
quadrada é igual a raiz quadrada do seu 
logaritmo decimal?
– Usando propriedades do logaritmo 
e um pouco mais de sabedoria, você será 
capaz de responder a sua questão. – res-
pondeu o mestre.
Considerando o texto acima, responda: 
Qual é o número procurado por Beremiz?