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OPERAÇÕES  E  PROPRIEDADES 
Um espaço vetorial consiste em um sistema formado por dois 
conjuntos R = {, , , ...} e V = {a, b, c}. 
No conjunto R, denominado conjunto dos operadores, são definidas duas 
operações, que indicaremos por  e .
No conjunto V, chamado de conjunto de vetores, é definida a operação @.
Uma operação externa (), que opera com um elemento de cada conjunto 
é também definida para esse sistema.
(  a)  V
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Para as operações de R e V devem valer as propriedades:
(1)     R e     R a @ b  V (fechamento)
(2) (  )   =   (  ) e (  )   =   (  ) 
 (a @ b) @ c = a @ (b @ c) (associativa)
(3)    =    =  e    =    =  
 a @ n = n @ a = a (elemento neutro)
(4)   ’ = ’   =  e para   ,   ’’ = ’’   = V 
 a@ a’ = a’ @ a = n (elemento inverso) 
(5)    =    e    =    a @ b = b @ a (comutativa) 
(6)   (  ) = (   )  (  ) (distributiva de  em relação a )
Estas propriedades caracterizam R como um corpo e V como 
um grupo comutativo.
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	 Além das propriedades citadas, devem também ser 
verificados os axiomas: 
A1 -   (a @ b) = (  a) @ (  b) 
A2 – (  )  a = (  a)  (  a) 
A3 – ( @ )  a =   (  a) 
A4 –   a = a e ’  a = a’ 
A5 – n  a = 0, sendo 0 um elemento de V. 
EXEMPLO
R – conjunto dos reais com as operações adição e multiplicação 
 (corpo dos reais).
V – conjunto das matrizes quadradas com a operação adição.
 - operação externa – multiplicação de número real por matriz.
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SUBESPAÇO VETORIAL 
Seja V um espaço vetorial.
Todo subconjunto V’ de V que verifica as propriedades
(1) 0  V', sendo 0 o vetor nulo. (2) au  V', para todo escalar a de R e para todo vetor u de V'. (3) u + v  V' , para todo u e v de V'.
é denominado subespaço vetorial.
Os conjuntos {0} e V são denominados subespaços vetoriais próprios de V. 
O conjunto das matrizes A = [aij]2x2, é um espaço vetorial sobre R. 
(Verifique). Se tomarmos o subconjunto A' = [aij]2x2, tais que aij = x  R se 
i = j = 1 e aij = 0 para i  1 e j  1, este subconjunto será um subespaço 
vetorial de A. 
Exemplo:
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Verificando:
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EXERCÍCIOS: 
01 - Verifique se cada conjunto abaixo é ou não um subespaço de R2 sobre R. a) {(x1, x2) | x1 + x2 = 0} 	b) {(x1, x2) | x1x2 = 0} c) {(x1, x2) | x1 = 3x2} 	d) {(x1, x2) | x1 = 3x2 + 1} 
(a) (1) 0 = (0, 0)  V pois 0 + 0 = 0.
(2) Seja os vetores (a, b) e (c, d) tais que a + b = 0 e c + d = 0.
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).
Para a + b = 0 e c + d = 0, devemos ter a = - b e c = - d.
Assim, a + c = - b – d 
Portanto, (a + c, b + d) = (- b – d, b + d) e (–b – d) + (b + d) = 0. 
Deste modo (a + c, b + d)  V 
Indicaremos cada subconjunto por V.
(3) k.(a, b) = (ka, kb).
Como a + b = 0, ka + kb = k(a + b) = k.0 = 0.
 k(a, b)  V 
V = {(x1, x2) | x1 + x2 = 0} é um subespaço vetorial de R2.
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b) {(x1, x2) | x1x2 = 0}
(1) 0 = (0, 0)  V pois 0.0 = 0.
Para que x1.x2 seja igual a zero basta que um deles seja zero.
Temos, por exemplo, (0, 4) e (2, 0) ambos pertencentes a V.
(0, 4) + (2, 0) = (2, 4) que não pertence a V, pois 2.4  0.
Portanto, V não é subespaço vetorial.
c) {(x1, x2) | x1 = 3x2} 
(1) 0 = (0, 0)  V pois 0 = 3.0.
(2) Os vetores de V têm a forma (3x, x) pois x1 = 3x2. 
(3x, x) + (3y, y) = (3x + 3y, x + y)
3x + 3y = 3(x + y)  a soma dos vetores pertencem a V.
(3) k.(3x, x) = (3kx, kx).
Como 3kx = 3.(kx), k.(3x, x)  V. 
V = {(x1, x2) | x1 = 3x2} é um subespaço vetorial.
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d) {(x1, x2) | x1 = 3x2 + 1} 
(1) 0 = (0, 0)  V pois 0  3.0 + 1.
V = {(x1, x2) | x1 = 3x2 + 1} não é subespaço vetorial de R2. 
2 - Seja S o conjunto das matrizes 2x2 e A uma matriz particular de S. 
Determine se cada conjunto abaixo é ou não um subespaço vetorial das 
matrizes 2x2. a) V = {B  S | AB = BA} b) V = {B  S | AB  BA} c) V = {B  S | BA = 0} onde 0 é a matriz nula (aij = 0, quaisquer que sejam i e j) 
a) V = {B  S | AB = BA}
(2) Sejam B1 e B2 matrizes de B. Isto é AB1 = B1A e AB2 = B2A.
A.(B1 + B2) = AB1 + AB2 = B1A + B2A = (B1 + B2).A.
Portanto, B1 + B2 pertencem a V pois comuta com A.
(3) (kB).A = k.(A.B) = (KA).B. Como kB comuta com A, kB  V 
V = {B  S | AB = BA} é um subespaço vetorial e de S.
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b) V = {B  S | AB  BA}
Não é um subespaço vetorial pois a matriz nula não pertence a V uma
vez que ela comuta com qualquer outra matriz.
c) V = {B  S | BA = 0} onde 0 é a matriz nula (aij = 0, quaisquer que sejam i e j)
(2) Sejam B1 e B2 tais que B1A = 0 e B2A = 0.
(B1 + B2).A = B1.A + B2.A = 0 + 0 = 0. Portanto, (B1 + B2)  V 
(3) (kB1).A = k.(B1.A) = k.0 = 0. Portanto, kB1  V. 
V = {B  S | BA = 0} é um subespaço vetorial.