190_PDFsam_2APOSTILA COMPLETA - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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Esse exemplo não é muito diferente do ℝn, porque existe uma identificação 
entre os polinômios de grau n, de coeficientes reais, definidos em ℝ, e as 
n-uplas de números reais na medida em que:
Contudo, é válido imaginar o significado de um produto interno nesse 
espaço vetorial, o que seriam polinômios ortogonais e as transformações 
lineares sobre esses elementos. Antes de prosseguir com essas questões, vamos 
explorar um exemplo distante do ℝn.
Usando a teoria do cálculo, seja I ⊂ ℝ um intervalo aberto, e C0 (I) o conjunto formado 
por todas as funções contínuas reais definidas em I. Ou seja, os elementos de C0 (I) são:
u = u(x)
v = v(x).
Nesse espaço, definimos as operações de modo que:
u + v = u(x) + v(x),
αu = α ⋅ u(x).
Essas operações resultam em funções contínuas — porque a soma de funções 
contínuas é contínua, e a multiplicação de uma função contínua por um número real 
é uma função contínua (ANTON, 2012). Assim, o vetor nulo é, para todo x ∈ I:
0 = 0(x) = 0
E o inverso aditivo de u é:
– u = – u(x).
Espaços vetoriais: exemplos e propriedades básicas4
Esse exemplo é mais distante do ℝn porque uma função é definida pelas 
imagens dos infinitos x ∈ I. Isso nos dá abertura para imaginarmos o conceito 
de dimensão aplicado a esse conjunto. Como será que podemos definir uma 
base? Novamente, antes de falarmos dessas questões mais avançadas, segui-
remos com a próxima definição natural.
Subespaços vetoriais
Seja E um espaço vetorial. Um subespaço vetorial (ou apenas subespaço) 
de E é um subconjunto F ⊂ E que ainda é um espaço vetorial em relação às 
operações de E. Isto é, F apresenta as seguintes propriedades.
i. Se u, v ∈ F, então u + v ∈ F.
ii. Se u ∈ F, então, para todo α ∈ ℝ, αu ∈ F.
São considerados subespaços triviais de E o conjunto {0} que contém apenas 
o vetor nulo e o próprio E. Aproveitando os exemplos anteriores, podemos dar 
os seguintes subespaços não triviais.
Fixados m, n ∈ ℕ, m