Aula de Derivadas - Cálculo V

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CÁLCULO V
Derivadas
30 DE MAIO DE 2014
Prof. Cacico
francis@vm.uff.br francis@poli.ufrj.br francis@uenf.br
Derivadas Elementares
Derivada da Constante
Dada uma função f(x)=c,x Є R, calculemos a função derivada 
f’(x). Temos:
00limlim)()(lim)('
000 00
0
0 ==
−
−
=
−
−
=
→→→ xxxxxx xx
cc
xx
xfxf
xf
000 00 −−
→→→ xxxxxx xxxx
0)(')( =⇒= xfcxf
Trocando x0 por x, obtemos a função derivada f’(x)=0, que 
é definida para todo x real. Portanto:
O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo 
x. É uma reta de coeficiente angular zero.
Derivadas Elementares
Derivada da Identidade
Calculemos a função derivada de f(x)=x, x Є R. Temos:
11limlim)()(lim)('
000 0
0
0
0
0 ==
−
−
=
−
−
=
→→→ xxxxxx xx
xx
xx
xfxf
xf
000 00 −−
→→→ xxxxxx xxxx
1)(')( =⇒= xfxxf
Trocando x0 por x, obtemos f’(x)=1, para todo x Є R. 
Assim: 
O gráfico da função identidade é a bissetriz do 1º e 3º 
quadrantes. É, portanto, uma reta de coeficiente angular 1.
Derivadas Elementares
Derivada da Potência
Dada f(x)=x n , n Є N*, calculemos f’(x). Temos: 
0
0
0
0
0
00
lim)()(lim)('
xx
xx
xx
xfxf
xf
nn
xxxx
−
−
=
−
−
=
→→
Dividindo x n – xn0 por x-x0, obtemos o quociente xn-1 + 
1)(')( −=⇒= nn nxxfxxf
Dividindo x – x 0 por x-x0, obtemos o quociente x + 
x0x
n-2+x20x
n-3+...+x 0 
n-1 
Então:
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
32
0
2
0
1
0 ......(lim)('
0
−−−−−−−−−
→
=++++=++++= nnnnnnnnn
xx
nxxxxxxxxxxxxf
Trocando x0 por x, obtemos a função derivada f’(x) = nxn-1, que 
é definida para todo x real. Assim:
n parcelas
Derivadas Elementares
Derivada da Soma
Sejam u(x) e v(x) duas funções reais que possuem as derivadas 
u’(x) e v’(x), respectivamente. A função soma f(x)=u(x)+v(x) 
também possui derivada, sendo que f’(x)=u’(x)+v’(x), conforme 
demonstraremos no próximo item. Assim:
)(')(')(')()()( 0 xvxuxfxvxuxf +=⇒+=
A derivada da soma é igual a soma das derivadas.
Derivadas Elementares
Derivada do Produto de uma Constante por uma Função
Se v(x) é uma função real que possui a derivada v’(x), e c Є R, 
então a função f(x)=c . v(x) também possui derivada, sendo que 
f’(x)=c . v’(x). De fato, temos para todo x0:
=
−
=
−
=
00 )(.)(.lim)()(lim)(' xvcxvcxfxfxf
Portanto:
=
−
−
=
−
−
=
→→
0
0
0
0
0
)(.)(.lim)()(lim)('
00 xx
xvcxvc
xx
xfxf
xf
xxxx
)('.)()(lim.)]()([lim 0
0
0
0
0
00
xvc
xx
xvxv
c
xx
xvxvc
xxxx
=
−
−
=
−
−
=
→→
)('.)(')(.)( xvcxfxvcxf =⇒=
Derivadas Elementares
Derivada do Seno
Dada f(x)=sen x, x Є R, calcularemos f’(x).
Empregaremos aqui a fórmula alternativa
Temos: h
xfhxf
xf
h
)()(lim)('
0
−+
=
→
=





 ++





 −+
=
−+
=
→→ h
xhxxhx
sen
h
xsenhxsen
xf
hh
2
cos
2
2
lim )(lim)('
00 →→ hh hh 00
h
h
x
h
sen
h






+





=
→
2
cos
2
2
lim
0
Fazendo h=2t, quando h →0 também t →0. Fica:
xxtx
t
sent
t
txtsen
xf
tt
cos)0cos(.1)cos(.lim
2
)cos( 2lim)('
00
=+=





+=
+
=
→→
Portanto:
xxfxsenxf cos)(' )( =⇒=
Derivadas Elementares
Derivada do Cosseno
Dada f(x)=cos x, x Є R, calculemos f’(x).
=
−+
=
−+
=
→→ h
xhx
h
xfhxf
xf
hh
cos)cos(lim)()(lim)('
00
=






+−
=





 −+





 ++
−
=
h
sen
h
xsen
xhx
sen
xhx
sen
22
2
lim22
2
lim
Para h=2t, vem:
Portanto:
xsenxfxxf )(' cos)( −=⇒=
=

=

=
→→ hh hh
22lim22lim
00
xsenxsen
t
tsen
txsen
t
tsentxsen
xf
tt
 1. ).(lim
2
 ).(2lim)('
00
−=−=



+−=
+−
=
→→
Derivadas Elementares
Derivada da Exponencial
Dada f(x)=ax, x Є R, onde a>0 e a≠1, calculemos f’(x).
h
aa
h
aa
h
xfhxf
xf
hx
h
hx
hh
)1(limlim)()(lim)('
000
−
=
−
=
−+
=
→
+
→→
ah 1− ah 1 −
Como , segue que .
Portanto:
a
h
ah
h
ln1lim
0
=
−
→
aaxfaxf xx ln)(')( =⇒=
aa
h
a
a x
h
x
h
ln1.lim
0
=




 −
→
Derivadas Elementares
Derivada do Logaritmo
Dada f(x)=ln x, x >0, calculemos f’(x).
=
−+
=
−+
=
→→ h
xhx
h
xfhxf
xf
hh
ln)ln(lim)()(lim)('
00
=



+=


 +
=
hhhx
1
1lnlimln1lim
Fazendo h/x=t, quando h→0 também t →0. Vem:
=



+=



=
→→ hh xxh 00
1lnlimlnlim
x
et
x
h
x
x
t
t
h
h
1ln)1(lnlim1lnlim
1
1
1
0
1
0
==





+=





+
→→
Portanto:
x
xfxxf 1)('ln)( =⇒=
Derivadas Elementares
Derivada do Logaritmo
Caso seja dado o logaritmo numa outra base a, a>0 e a≠1, 
fazemos a mudança para a base e.
ax
xfxxf a ln
1)(log)( =⇒=
Então:Então:
)0(, 
ln
1)('log)( >=⇒= x
ax
xfxxf a
Propriedades Operatórias das Derivadas
Derivada da Soma
Seja f(x)=u(x)+v(x); calculemos f’(x)
[ ] [ ]
=
+−+++
=
−+
=
→→ h
xvxuhxvhxu
h
xfhxf
xf
hh
)()()()(lim)()(lim)('
00
)()()()( xvhxvxuhxu  −+−+
Portanto:
)(')(')()()()(lim
0
xvxu
h
xvhxv
h
xuhxu
h
+=


 −+
+
−+
→
)(')(')(')()()( xvxuxfxvxuxf +=⇒+=
''' vufvuf +=⇒+=
Propriedades Operatórias das Derivadas
Derivada do Produto
Seja agora f(x)=u(x).v(x); calculemos f’(x)
=
−++
=
−+
=
→→ h
xvxuhxvhxu
h
xfhxf
xf
hh
)().()().(lim)()(lim)('
00
−+++−++ xvxuhxvxuhxvxuhxvhxu )().()().()().()().(
Portanto:
)(').()().(')(')().()( xvxuxvxuxfxvxuxf +=⇒=
'.'.'. vuvufvuf +=⇒=
=
−+++−++
→ h
xvxuhxvxuhxvxuhxvhxu
h
)().()().()().()().(lim
0
)(').()().(')()().()(.)()(lim
0
xvxuxvxu
h
xvhxv
xuhxv
h
xuhxu
h
+=


 −+
++
−+
→
Propriedades Operatórias das Derivadas
Derivada do Produto
Caso u seja a função constante, u(x)=c, c Є R, temos u’(x)=0. 
Assim:
)('.)(')(.)( xvcxfxvcxf =⇒=
'.'. vcfvcf =⇒=
Propriedades Operatórias das Derivadas
Derivada do Quociente
Consideremos agora f(x)=u(x)/v(x), definida nos pontos em que 
v(x)≠0. Temos: )().()( xvxfxu =
)(').()().(')(' xvxfxvxfxu +=
)('.)()().(')(' xvxuxvxfxu += )('.)(
)()().(')(' xv
xv
xu
xvxfxu +=
[ ] )(').()().(')().(' 2 xvxuxvxfxvxu +=
[ ] )(').()().(')().(' 2 xvxuxvxuxvxf −=
Portanto:
[ ]2)(
)(').()().(')(')(
)()(
xv
xvxuxvxu
xf
xv
xu
xf −=⇒=
2
'.'.
'
v
vuvuf
v
uf −=⇒=
A Regra da Cadeia
Vamos estabelecer aqui a regra de derivação de uma 
função composta, conhecida como regra da cadeia.
Sejam u e v duas funções deriváveis e f=u◦v; portanto 
f(x)=(u◦v)(x)=u(v(x)). Calculemos f’(x).
=
−
−
=
−
−
=
→→
0
0
0
0 ))(())((lim)()(lim)('
00 xx
xvuxvu
xx
xfxf
xf
xxxx
Quando x→x0, temos que v(x) →v(x0), uma vez que v é função 
contínua (pois é derivável). Assim:






−
−
−
−
=
→
0
0
0
0 )()(
.)()(
))(())((lim
0 xx
xvxv
xvxv
xvuxvu
xx
))((')()(
))(())((
.lim)()(
))(())((lim 0
0
0
)()(
0
0
00
xvu
xvxv
xvuxvu
xvxv
xvuxvu
xvxvxx
=
−
−
=
−
−
→→
A Regra da Cadeia
E como , decorre que 
Trocando x0 por x, obtemos a função derivada f’(x).
)(')).((')('))(()( xvxvuxfxvuxf =⇒=
)(')()(lim 0
0
0
0xv
xx
xvxv
xx
=
−
−
→
)(')).((')(' 000 xvxvuxf =
)(')).((')('))(()( xvxvuxfxvuxf =⇒=
').('')( vvufvuf =⇒=