2017 C1 N2 avaliacao

Prévia do material em texto

Lista de Questões – OBMEP NA ESCOLA
Grupo N2 – Ciclo 1
Em 2017 o Planejamento Acadêmico do Programa OBMEP na Escola prevê a realização de atividades avaliativas em forma de listas de questões. A cada ciclo serão elaboradas pelo Comitê Acadêmico listas com 5 exercícios, sendo que três dessas questões são retiradas de provas anteriores OBMEP, presentes na segunda fase. Essas três questões devem ser resolvidas pelos alunos em casa e posteriormente as soluções são discutidas com os professores. As duas outras questões devem ser resolvidas em sala de aula, como forma de avaliação e de estímulo ao estudo contínuo.
As três questões da segunda fase da OBMEP distribuídas para os alunos em cada ciclo podem ser entendidas como uma espécie de “tarefa de casa”. Entre duas aulas quinzenais com os Professores da Educação Básica (PEB), desejamos que os alunos estudem continuamente, resolvendo pelo menos essas questões, além de assistirem videoaulas no Portal da Matemática, estudarem os bancos de questões, etc.
Não existe uma recomendação explicita para os PEB recolherem dos alunos as soluções destas três questões, embora isso possa ser feito. Entretanto, existe a recomendação de que, em algum momento, essas questões sejam discutidas e que as dúvidas dos alunos sejam esclarecidas pelos professores. Este momento de discussão será muito mais proveitoso para aqueles alunos que leram, tentaram entender o enunciado e tentaram resolver as questões. Para os alunos que não leram as questões, este momento de discussão será menos proveitoso e, deste modo, esperamos que as discussões coletivas das questões deixadas como “tarefa de casa” motivem que todos os alunos se dediquem para resolverem as tarefas deixadas para casa.
As duas questões resolvidas em sala de aula devem ser corrigidas pelos Professores da Educação Básica (PEB) e as soluções ou os eventuais erro mais frequentes também devem ser discutidos com os alunos. A participação dos alunos nessas questões deve ser entendida como mais um momento de aprendizado. Esta é uma oportunidade para os alunos perceberem as partes dos conteúdos que já entenderam melhor e aqueles conceitos e resultados que ainda precisam de maior dedicação. Para essas duas questões, os professores atribuirão uma nota de 0 a 10 para cada aluno da sua turma.
A seguir fornecemos a lista com as cinco questões referentes aos conteúdos presentes no ciclo 1, as soluções, os critérios de correção e alguns comentários, se for o caso.
Lista de Exercícios – OBMEP NA ESCOLA – N2 – ciclo 1
ENUNCIADOS: três questões para serem resolvidas em casa com discussão posterior
Tarefa de casa 1 (Prova OBMEP 2016 – 2a Fase – N2 – Questão 4) 
Na figura que segue as letras A e B representam os possíveis algarismos que tornam o produto dos números 2A5 e 13B um múltiplo de 36.
a) Em todos os possíveis resultados para o produto desses números, o algarismo das unidades é o mesmo. Qual é esse algarismo?
b) Quais são os possíveis valores de B?
c) Qual é o maior valor possível para esse produto?
Tarefa de casa 2 (Prova OBMEP 2015 – 2a Fase – N2 – Questão 4) 
Uma tabela com linhas e colunas numeradas de 1 a 100 foi preenchida da seguinte forma:
na linha 1, todas as casas foram preenchidas com 1;
na linha 2, as casas pertencentes a colunas de número par foram preenchidas com 1 e as demais, com 0;
na linha 3, as casas pertencentes a colunas múltiplas de três foram preenchidas com 1 e as demais, com 0;
continuando, cada uma das demais linhas da tabela foi preenchida com o algarismo 1 nas casas de colunas múltiplas do número correspondente à linha, e com 0 nas demais.
a) Qual é o algarismo que foi escrito na linha 7 e coluna 21?
b) Qual é a soma dos algarismos da linha 23?
c) Qual é a soma dos algarismos da coluna 98?
d) Em quais colunas a soma dos algarismos é ímpar? Explique sua resposta.
Tarefa de casa 3 (Prova OBMEP 2006 – 2a Fase – N2 – Questão 5) 
Ana Terra, Bibiana e Pedro Missionário distribuı́ram entre si dezenove cartões numerados de 1 a 19. Ana ficou com nove desses cartões, Bibiana, com outros nove e Pedro Missionário, com o cartão que sobrou.
(a) É possível que a soma dos números escritos nos cartões de Ana seja 136? Por quê?
(b) Se a soma dos números escritos nos cartões de Ana é 90 a mais que a soma dos números escritos nos cartões de Bibiana, qual é o número escrito no cartão de Pedro Missionário? 
Lista de Exercícios – OBMEP NA ESCOLA – N2 – ciclo 1
ENUNCIADOS: duas questões para serem resolvidas em sala de aula
Questão 1
Seja K um número natural satisfazendo duas condições:
a) 200 < K < 1000
b) existem exatamente seis fatores primos na decomposição em primos de K, sendo estes fatores iguais a 2 ou 5.
Nessas condições, determine o valor de K.
Questão 2 
Considere a sequência ordenada de números naturais 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18,........., em que os números quadrados perfeitos e cubos perfeitos foram retirados. Assim, por exemplo, o número 5 ocupa a 3a posição. Determine qual é o número que irá ocupar a 110a posição.
Lista de Exercícios – OBMEP NA ESCOLA – N2 – ciclo 1 
SOLUÇÕES e COMENTÁRIOS
Solução da tarefa de casa 1
http://www.obmep.org.br/provas_static/sf2n2-2016.pdf
a) Como o algarismo das unidades do número 2A5 é 5, os possíveis algarismos das unidades para o produto dos números 2A5 e 13B é 0 ou 5. Como esse produto é múltiplo de 36, que é par, o produto também é par. Logo, seu último algarismo não pode ser 5, logo, é 0. 
b) Como 2A5 é ímpar e o produto dos números 2A5 e 13B é par, segue que 13B deve ser par; porém, como o produto também é múltiplo de 4 (já que é múltiplo de 36), e como o fator 2A5 não é múltiplo de 4, segue que o fator 13B tem de ser um múltiplo de 4, isto é, o número 3B tem de ser múltiplo de 4. Logo, as únicas possibilidades para B são os algarismos 2 ou 6 , já que 30, 34 e 38 não são divisíveis por 4.
c) De acordo com o item b), devemos analisar o que ocorre em dois casos: quando B= 2 ou quando B = 6. 
- Se B é o algarismo 2, 13B = 132, que é múltiplo de 2, 3 e 4, mas não é múltiplo de 9. Logo, o produto de 2A5 e 132 também é múltiplo de 2, 3 e 4, e, para ser múltiplo de 9, o fator 2A5 tem de ser um múltiplo de 3. Logo, pelo critério de divisibilidade por 3, o algarismo A tem de ser tal que a soma 2+A+5 seja múltiplo de 3. Temos então as possibilidades 2, 5 e 8 para o algarismo A. 
- Se B é o algarismo 6, 13B =136, que é múltiplo de 2 e 4, mas não é múltiplo de 3 nem de 9. Logo, o produto de 2A5 e 136 também é múltiplo de 2 e 4, e, para ser múltiplo de 3 e 9, o fator 2A5 tem de ser múltiplo de 9. Logo, o algarismo A tem de ser tal que a soma 2 +A+5 seja um múltiplo de 9. 
Neste caso, temos somente a possibilidade de A ser o algarismo 2. Resumindo, todas as possibilidades para o produto dos números 2A5 e 13B ser um múltiplo de 36 são:
225 x 132 = 29700
255 x 132 = 33660
285 x 132 = 37620
225 x 136 = 30600
O maior desses números é 37620.
c) Solução alternativa:
Uma vez que B = 6 ou B = 2, podemos obter o maior valor possível de 2A5 x 13B, testando os valores de A, do maior para o menor. 
Se A = 9 e B = 6, 295 x 136 = 40120 não é múltiplo de 36. 
Se A = 9 e B = 2, 295 x 132 = 38940 não é múltiplo de 36.
Se A = 8 e B = 6, 285 x 136 = 38760 não é múltiplo de 36.
Se A = 8 e B = 2, 285 x 132= 37620 é múltiplo de 36 e, portanto, esse é o maior valor possível para o produto.
Solução da tarefa de casa 2
http://www.obmep.org.br/provas_static/sf2n2-2015.pdf 
a) No encontro da linha 7 com a coluna 21 foi escrito o algarismo 1, pois 21 é múltiplo de 7.
b) A soma dos algarismos da linha 23 é 4, pois de 1 a 100 existem exatamente quatro
múltiplos de 23 (a saber: 23, 46, 69, 92).
c) Na coluna 98 aparecerá 1 nas casas das linhas correspondentes aos divisores de 98. Como 98 = 2 x 72, então 98 possui 2 x 3 = 6 divisores (a saber: 1, 2, 7, 14, 49 e 98). Logo, a soma dos algarismos que aparecem na coluna 98 é6.
d) A soma dos algarismos será ímpar nas colunas cujo número tenha uma quantidade ímpar de divisores. Os números que possuem uma quantidade ímpar de divisores são apenas os quadrados perfeitos. De fato, se divide , então também divide ; logo os divisores de um número natural sempre ocorrem aos pares, exceto quando , ou seja, quando .
Como , temos 10 quadrados perfeitos de 1 a 100, incluindo os extremos. Logo, a soma dos algarismos é ímpar nas colunas correspondentes aos quadrados perfeitos.
Obs.: A partir da decomposição de um número natural em fatores primos, é fácil encontrar todos os seus divisores:
Se é a decomposição em fatores primos de , então os divisores positivos de são da forma:
, com 
Este fato permite contar facilmente o número de divisores positivos de , a saber
.
Como consequência, tem um número ímpar de divisores se e somente se todos os expoentes das potências de primos de sua decomposição forem números pares e, portanto, deve ser um quadrado perfeito. 
Solução da tarefa de casa 3
http://www.obmep.org.br/provas_static/sf2n2-2006.pdf 
a) A maior soma possível de nove números dentre os escritos nos cartões é 19+18+…+11=135. Portanto, a soma dos números escritos nos cartões de Ana não pode ser igual a 136.
b) Sejam A, B e P as somas dos números dos cartões de Ana, Bibiana e Pedro Missionário, respectivamente. De enunciado temos A=B+90 e do item anterior temos . Logo e, portanto, . Por outro lado, como Bibiana tem 9 cartões, segue que . Vemos então que e , donde B=45 e então A=45+90=135. Logo, os cartões que estão com Ana são os de números 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 e 19, pois na situação do problema esses são os únicos números cujo soma é 135. Analogamente, concluímos que os cartões que estão com Bibiana são os de números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Logo, Pedro tem o cartão de número 10.
Solução da Questão 1 (resolvida em sala de aula)
Observe que a fatoração de K é dada por , então como existem seis fatores primos em sua decomposição tem-se que . Consequentemente, existem sete possíveis casos a serem assumidos pelo par de valores 
 
 
 
 
 
 
 Portanto, o único valor satisfazendo a condição de limitação imposta é K = 400.
Critérios de correção da Questão 1 (resolvida em sala de aula)
Esta questão vale 5 pontos, distribuídos da seguinte maneira:
1,0 ponto para a representação .
2,0 pontos para a correta expressão da relação .
1,5 pontos para a percepção de que existem sete casos a serem analisados para o par (a, b), com suas listagens explícitas.
0,5 ponto pela obtenção do valor K = 400.
Solução da Questão 2 (resolvida em sala de aula)
Inicialmente observe a listagem dos onze primeiros quadrados perfeitos: 12 = 1, 22 = 4,...,102 = 100 e 112 = 121. Analogamente, a listagem dos cinco primeiros cubos perfeitos é dada por: 13 = 1, 23 = 8, 33 = 27, 43 = 64 e 53 = 125. Nessas duas listagens os valores 1 e 64 são simultaneamente quadrados e cubos perfeitos. Portanto, de 1 até 100 temos 12 números que são quadrados ou cubos perfeitos, consequentemente, a 88a posição é ocupada pelo número 99. Devem ser preenchidas ainda 22 posições para integralizar a 110a posição desejada. Observe que de 101 até 122 deve ser excluído o quadrado perfeito 121, não existindo cubos perfeitos nesse intervalo numérico. Portanto, a 110a posição é ocupada pelo número 123. 
Critérios de correção da Questão 2 (resolvida em sala de aula)
Esta questão vale 5 pontos, distribuídos da seguinte maneira:
2,0 pontos pela descrição correta dos quadrados e cubos perfeitos que se associarão à análise pretendida.
1,0 ponto pela percepção de que existem quadrados e cubos comuns nessa listagem.
2,0 pontos pela análise dos valores a serem computados obtendo a 110a posição como o 123 com a respectiva exclusão do 121.