Teorema de Green

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Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Ds1C3e01X 
 
CDCI/CMCD 
 
(01) Calcular dy).yx(dx).yx( 22
C
++−∫ utilizando o Teorema de Green no 
plano. Considerar a curva C como a linha poligonal perimetral do triângu-
lo OAB de vértices O(0,0), A(1,0) e B(1,1). Tomar C no sentido positivo 
de percurso. 
 Resposta: 1dy).yx(dx).yx( 22
C
=++−∫ . 
 Solução: 
Seja yx)y,x(P 2 −= , 2yx)y,x(Q += e D a região definida pelo triângu-
lo OAB. 
Logo: 1
y
)yx(
y
)y,x(P 2
−=
∂
−∂
=
∂
∂
 e 1
x
)yx(
x
)y,x(Q 2
=
∂
+∂
=
∂
∂
. 
Portanto: 
=





∂
∂
−
∂
∂
=++− ∫∫∫ dy.dx.y
)y,x(P
x
)y,x(Qdy.)yx(dx.)yx(
D
)y,x(Q
2
)y,x(P
2
C
4342143421
 
===−−= ∫∫∫∫∫∫ dx.dy.2dy.dx.2dy.dx)).1(1(
x
0
1
0DD
 
[ ] 1
2
1
.2
2
x
.2dx.x2y.2
1
0
21
0
x
0
1
0
==





=== ∫∫ . 
 
(02) Comprovar o Teorema de Green no Plano para o integral de linha definido 
por: dy).yx(dx).xxy2( 22
C
++−∫ , onde a curva C é a fronteira da região 
D delimitada por 2xy = e 2yx = . 
 Resposta: 
30
1dy).yx(dx).xxy2( 22
C
=++−∫ . 
 Comprovação: 
Deve-se mostrar que: 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Ds1C3e01X 
 
CDCI/CMCD 
dy.dx.
y
)y,x(P
x
)y,x(Qdy).y,x(Qdx).y,x(P
D
C






∂
∂
−
∂
∂
=+ ∫∫∫ , onde: 
2xxy2)y,x(P −= , 2yx)y,x(Q += e D é a região cuja fronteira é delimi-
tada pelas curvas 2xy = e 2yx = ; ou seja: 
 



≤≤
≤≤
xyx
1x0
:D
2
, 



≤≤
=
1y0
yx
:2C
2
 e 



≤≤
=
1x0
xy
:1C
2
. 
Observe, entretanto, que: 21
22
C
IIdy).yx(dx).xxy2( +=++−∫ . 
Portanto, tem-se que: 
=++−= ∫ dy).yx(dx).xxy2(I
22
1C
1
=++−= ∫
=
dx.x2)xx(dx).xx.x2( 4221
0x
6
7
6
x2
3
x
4
x2dx).x2xx2(
1
0
634
5231
0x
=





++=++= ∫
=
. 
=++−= ∫ dy).yx(dx).xxy2(I
22
2C
2
=++−= ∫
=
dy).yy(dy.y2).yyy2( 22420
1y
15
17
3
y2
6
y2
5
y4dy).y2y2y4(
0
1
365
2540
1y
−=





+−=+−= ∫
=
. 
Conseqüentemente, tem-se que: 
30
1
15
17
6
7IIdy).yx(dx).xxy2( 2122
C
=−=+=++−∫ . 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Ds1C3e01X 
 
CDCI/CMCD 
De outro lado, como x2
y
)y,x(P
=
∂
∂
 e 1
x
)y,x(Q
=
∂
∂
, resulta que: 
=−=





∂
∂
−
∂
∂
∫∫∫∫
==
dx.dy).x21(dy.dx.
y
)y,x(P
x
)y,x(Q x
xy
0
1xD 2
 
[ ] =+−−=−= ∫∫
==
dx).x2xx2x(dx.xy2y 222/32/10
1x
x
x
0
1x
2 
30
1
2
1
3
1
5
4
3
2
4
x2
3
x
5
x2.2
3
x2
1
0
432/52/3
=+−−=





+−−= ; o que comprova 
o teorema em questão. 
 
(03) Se j.xy2i).yx()y,x(F 22 rrr +−= , calcular )y,x(Rd).y,x(F
C
rr
∫ ao longo da 
curva C dada por xxy 2 −= e tomada do ponto A(1,0) até o ponto B(2,2). 
 Resposta: 
15
124)y,x(Rd).y,x(F
C
=∫
rr
. 
 
Solução: Fazendo x = t, as equações paramétricas da curva C serão: 



−=
=
tty
tx
2 , com 1t0 ≤≤ , naturalmente. 
Assim, tem-se que: 
j).tt(i.t)t(Rj).tt(i.tj).t(yi).t(xj.yi.x)y,x(R 22 rrrrrrrrrr −+=⇒−+=+=+= . 
Logo: dt).j).1t2(i()t(Rd rrr −+= e 
=+−= j.xy2i).yx()y,x(F 22 rrr
 
j).tt.(t2i).)tt(t()t(F 2222 rrr −+−−== . 
Portanto, tem-se que: 
== ∫∫
=
)t(Rd).t(F)y,x(Rd).y,x(F
2
1tC
rrrr
 
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CDCI/CMCD 
=−+−+−−== ∫∫
==
dt).j).1t2(i).(j).tt.(t2i).)tt(t(()t(Rd).t(F 2222
2
1t
2
1t
rrrrrr
 
=



−+=−−+−−=
=
∫
=
2
1t
4532222 tt.
5
3
t.
3
2dt)).1t2).(tt.(t2).)tt(t(((
2
1t
 
15
124
15
4
15
128
=−= . 
Ou seja: 
15
124)y,x(Rd).y,x(F
C
=∫
rr
. 
 
(04) Calcular dy).x4y2(dx).y3x( 34
C
++−∫ utilizando o Teorema de Green 
no Plano. Seja a curva C definida por 36y4x9 22 =+ . 
 Resposta: pi=++−∫ 42dy).x4y2(dx).y3x(
34
C
. 
 Solução: 
Observe que y3x)y,x(P 4 −= , x4y2)y,x(Q 3 += e D é a região cuja 
fronteira é a curva C definida por 36y4x9 22 =+ . 
Logo: 3
y
)y,x(P
−=
∂
∂
 e 4
x
)y,x(Q
=
∂
∂
. 
Mas, 222 x4.
2
3y36y4x9 −=⇒=+ . 
Portanto: 
=





∂
−∂
−
∂
+∂
=++− ∫∫∫ dy.dx.y
)y3x(
x
)x4y2(dy).x4y2(dx).y3x(
43
D
34
C
 
===+= ∫∫∫∫∫∫
−−
dx.dy.28dx.dy.7.4dy.dx).34(
22 x4
2
3
0
2
0
x4
2
3
0
2
0D
 
Cálculo Diferencial e Integral 
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CDCI/CMCD 
=





+−=−= ∫
2
0
2
22222
0
)2/xarcsen(.
2
2
x2.
2
x
.42dx.x2.28.
2
3
pi=
pi
= 42
2
.2.42 . 
Assim, resulta que: pi=++−∫ 42dy).x4y2(dx).y3x(
34
C
. 
Observação: 
C
a
u
arcsen.
2
a
ua.
2
udu.ua
2
2222 +





+−=−∫ , sendo u = f(x). 
 
(05) Utilizando o Teorema de Green no Plano, calcular ∫ −
C
)dx.ydy.x(.
2
1
, 
onde C é uma linha simples e fechada que contorna uma região plana regu-
lar D. 
Resposta: dy.dx)dx.ydy.x(.
2
1
DC
∫∫∫ =− . 
Solução: 
Observando que y)y,x(P −= e x)y,x(Q = , resulta que: 
1
x
)y,x(Q
=
∂
∂
 e 1
y
)y,x(P
−=
∂
∂
. 
Portanto, segundo o Teorema de Green no Plano, é imediato que: 
=
∂
∂
−
∂
∂
=− ∫∫∫ dxy.dx.y
)y,x(P
x
)y,x(Q
.
2
1)dx.ydy.x(.
2
1
DC
 
dy.dxdy.dx.2.
2
1dy.dx.)1(1.
2
1
DDD
∫∫∫∫∫∫ ===−−= . 
Mas, do Cálculo Diferencial e Integral básico (CDI 2), tem-se que dy.dx
D
∫∫ é 
numericamente igual à área de D, dado que dy.dxdAD = . 
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CDCI/CMCD 
Assim sendo, tem-se que: dy.dx)dx.ydy.x(.
2
1
DC
∫∫∫ =− . 
 
(06) Calcular, por integrais de linha, a área do círculo de raio R e com centro na 
origem do plano cartesiano. 
Resposta: .)a.u(RA 2pi= . 
Solução: 
Primeiramente, observe que a linha C, fronteira do círculo em questão, é dada por: 



θ=
θ=
)sen(.Ry
)cos(.Rx
, com pi≤θ≤ 20 . 
Logo, tem-se que: )sen(.Rdx θ−= e )cos(.Rdy θ= . 
Portanto, resulta que: 
=θθθ+θθθ=−= ∫ d).sen()sen(Rd).cos(R).cos(R2
1)dx.ydy.x(.
2
1A
C
=θθθ+θθθ= ∫ d).sen()sen(Rd).cos(R).cos(R.2
1
C
 
=θ=θ=θθ+θ= ∫∫∫ d..2
Rd.R.
2
1d)).(sen)((cosR.
2
1
C
2
2
C
222
C
 
[ ] 220
2
R.
2
R
pi=θ= pi (u.a.). 
 
(07) Seja a função vetorial ))z,y,x(A),z,y,x(A),z,y,x(A()z,y,x(A 321=
r
 
com )z,y,x(A1 , )z,y,x(A2 e )z,y,x(A3 funções deriváveis em relação 
às variáveis reais x, y e z. Seja a curva simples e fechada 3C ℜ⊂ de equa-
ção k.zj.yi.x)z,y,x(R rrrr ++= e tal que k.dzj.dyi.dx)z,y,x(Rd rrrr ++= . 
Em quais condições )dz).z,y,x(Ady).z,y,x(Adx).z,y,x(A( 321
C
++∫ é 
independente do percurso C? 
Solução: 
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CDCI/CMCD 
Observe, inicialmente, que: 
=++∫ )dz).z,y,x(Ady).z,y,x(Adx).z,y,x(A( 321
C
 
=++++= ∫ )k.dzj.dyi.dx).(k).z,y,x(Aj).z,y,x(Ai).z,y,x(A( 321
C
rrrrrr
 
)z,y,x(Rd).z,y,x(A
C
rr
∫= . 
Contudo, de forma análoga ao estabelecido para a integração de linha no plano, o 
)z,y,x(Rd).z,y,x(A
C
rr
∫ será independente do percurso 
3C ℜ⊂ se, e somente se, 
necessariamente, tem-se que: 0)]z,y,x(A[rot
rr
= . 
Mas, observe que: 
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
)z,y,x(A)z,y,x(A)z,y,x(A
zyx
kji
)]z,y,x(A[rot
321
rrr
r
 
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= j.
z
)z,y,x(Ak.
x
)z,y,x(Ai.
y
)z,y,x(A 123 rrr
 
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−j.
x
)z,y,x(A
i.
z
)z,y,x(Ak.
y
)z,y,x(A 321 rrr
 
+





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
= j.
x
)z,y,x(A
z
)z,y,x(Ai.
z
)z,y,x(A
y
)z,y,x(A 3123 rr
 
.k.0j.0i.0k.
y
)z,y,x(A
x
)z,y,x(A 1 rrrr ++=






∂
∂
−
∂
∂
+
 
Logo: 
z
)z,y,x(A
y
)z,y,x(A 23
∂
∂
=
∂
∂
, 
x
)z,y,x(A
z
)z,y,x(A 31
∂
∂
=
∂
∂
 e 
y
)z,y,x(A
x
)z,y,x(A 12
∂
∂
=
∂
∂
 são as condições para que o integral de linha em es-
tudo seja independente do percurso C. 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Ds1C3e01X 
 
CDCI/CMCD 
 
(08) Se no exercício anterior ))z,y,x(A),z,y,x(A),z,y,x(A()z,y,x(A 321=
r
 
representa um campo de força que age em um objeto ao se deslocar de um 
ponto a outro sobre a curva C e 0)]z,y,x(A[rot
rr
= , então o trabalho efetu-
ado não dependerá do percurso C. Como é conhecido um tal campo vetori-
al? 
Solução: 
Tal campo vetorial é conhecido como Campo Conservativo. 
Diz-se, também, que todo Campo Vetorial Conservativo é Irrotacional. 
Observe que se ))z,y,x(A),z,y,x(A),z,y,x(A()z,y,x(A 321=
r
 é um Campo Ve-
torial Conservativo e C é uma curva fechada com 0)]z,y,x(A[rot
rr
= , então 
0)z,y,x(Rd).z,y,x(A
C
=∫
rr
. 
 
(09) Enunciar o Teorema de Green no espaço. 
Solução: 
 Seja 3S ℜ⊂ uma superfície bilateral S tal que as correspondentes projeções sobre 
os planos cartesianos yOx
r
, zOy
r
 e zOx
r
 sejam domínios limitados por curvas fe-
chadas simples conforme as condições do Teorema de Green no Plano. Seja 
3C ℜ⊂ , uma curva simples e fechada, fronteira de 3S ℜ⊂ . 
Seja a normal )cos(.k)cos(.j)cos(.in θ+β+α= rrrr à superfície S. 
Sejam as funções reais de variáveis reais )z,y,x(A1 , )z,y,x(A2 e )z,y,x(A3 
funções uniformes, contínuas e com derivadas parciais também contínuas sobre S. 
Seja a função k).z,y,x(Aj).z,y,x(Ai).z,y,x(A)z,y,x(A 321
rrrr
++=
 definida so-
bre cada ponto P(x,y,z) da superfície S e a função posição 
k.zj.yi.x)z,y,x(R rrrr ++= geradora da superfície S. 
Demonstra-se, então, que: 
[ ] =++∫ dz).z,y,x(Ady).z,y,x(Adx).z,y,x(A 321
C
 
Cálculo Diferencial e Integral 
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CDCI/CMCD 
dS.)cos(.
y
A
x
A)cos(.
x
A
z
A)cos(.
z
A
y
A 123123
S






θ





∂
∂
−
∂
∂
+β





∂
∂
−
∂
∂
+α





∂
∂
−
∂
∂
∫∫ , resulta-
do este que corresponde ao Teorema de Green no Espaço. 
 
(10) Verificar se o campo vetorial definido por j.)2x(i).yx()y,x(F rrrr −+−= é 
um campo conservativo. 
Solução: 
Observando-se que: 
1
x
)2x(
x
)y,x(Q
=
∂
−∂
=
∂
∂
 e 1
y
)yx(
y
)y,x(P
−=
∂
−∂
=
∂
∂
, 
tem-se que o campo vetorial definido por j.)2x(i).yx()y,x(F rrrr −+−= não é 
conservativo. 
Resposta: 
j.)2x(i).yx()y,x(F rrrr −+−= não é conservativo. 
 
(09) Em que condições a equação diferencial 0dy).y,x(Qdx).y,x(P =+ é um 
exemplo de equação diferencial exata? 
Solução: 
0dy).y,x(Qdx).y,x(P =+ é uma equação diferencial exata desde que 
dudy).y,x(Qdx).y,x(P =+ , com )y,x(uu = . 
Ou seja, dy).y,x(Qdx).y,x(P + é um diferencial total de uma função )y,x(uu = . 
Isto é: dy.
y
udx.
x
ududy).y,x(Qdx).y,x(P
∂
∂
+
∂
∂
==+ , onde: 
x
u)y,x(P
∂
∂
= , 
y
u)y,x(Q
∂
∂
= e 0du = . 
Entretanto, observe, também, que: 
( )
y
)y,x(P)y,x(P
yx
u
yxy
u)y,x(P
x
u 2
∂
∂
=
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂
⇒=
∂
∂
 e 
Cálculo Diferencial e Integral 
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CDCI/CMCD 
( )
x
)y,x(Q)y,x(Q
xy
u
xyx
u)y,x(Q
y
u 2
∂
∂
=
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂
⇒=
∂
∂
. 
Mas, 
yx
u
xy
u 22
∂∂
∂
=
∂∂
∂
. 
Logo: 
x
)y,x(Q
y
)y,x(P
∂
∂
=
∂
∂
. 
Portanto, a condição necessária e suficiente para que a equação diferencial em es-
tudo seja uma equação diferencial exata é que: 
x
)y,x(Q
y
)y,x(P
∂
∂
=
∂
∂
.