APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR

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SERVIC¸O PU´BLICO FEDERAL
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´
PARFOR MATEMA´TICA
A´LGEBRA LINEAR ELEMENTAR
Elizardo Lucena
Bele´m - Para´
2012
1
Suma´rio
1 Matrizes 5
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Definic¸a˜o de Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Matrizes Usuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Operac¸o˜es com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Adic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Multiplicac¸a˜o de um Nu´mero Real por uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Multiplicac¸a˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Matrizes Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Matriz Transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2 Matriz Sime´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.3 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Escalonamento de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.1 Operac¸o˜es Sobre Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.2 Escalonamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5 Inversa˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1 Obtenc¸a˜o da Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6 Ca´lculo de Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.1 Determinantes de ordem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.2 Desenvolvimento por Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 33
2.1 Soluc¸a˜o de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1 Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2
2.1.2 Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Eliminac¸a˜o Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 Resoluc¸a˜o de um Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2 O Me´todo de Eliminac¸a˜o Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.3 Discussa˜o de um Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Espac¸os Vetoriais 42
3.1 Axiomas de Espac¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.1 Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.2 Consequeˆncias dos axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Subespac¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.1 Subespac¸os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Operac¸o˜es com Subespac¸os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.1 Operac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4 Combinac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.1 Definic¸o˜es Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.2 Subespac¸o Gerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5.1 LI ou LD? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6 Base e Dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6.1 Definic¸o˜es e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 Transformac¸o˜es Lineares 64
4.1 Definic¸o˜es Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1.1 Reconhecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Determinac¸a˜o de uma Transformac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.1 Definindo uma Transformac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Nu´cleo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3
4.3.1 Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4 Isomorfismo de Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4.1 Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5 Matriz de uma Transformac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5.1 Obtenc¸a˜o da Matriz de uma Transformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.5.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.6 Mudanc¸a de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.6.1 Matriz de Mudanc¸a de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.6.2 Matrizes Semelhantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.6.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.7 Transformac¸o˜es Lineares no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.7.1 Transformac¸o˜es Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.7.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5 Ortogonalidade 83
5.1 Espac¸os Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1.1 Produto Interno e Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1.2 Distaˆncia e Aˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.3 Exerc´ıcios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2 Base Ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2.1 Conjunto Ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2.2 Base Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3 Projec¸a˜o Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3.1 Projec¸o˜es ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3.2 Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6 Autovalores e Autovetores 91
6.1 Autovalor e Autovetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.1.1 Ca´lculo do Autovalor e do Autovetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.1.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2 Diagonalizac¸a˜o de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2.1 Base de Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Neste cap´ıtulo intrudozimos o conceito de matriz. Definimos algumas operac¸o˜es usuais e exibi-
mos alguns tipos especiais de matrizes. Em seguida, apresentamos o escalonamento de matrizes e
aplicamos esse me´todo na obtenc¸a˜o da inversa de uma matriz dada. Por fim mostraremos o ca´lculo
do determinante para matrizes de ordem 2 e 3.
1.1 Matrizes
Objetivos
• Definir matriz
• Apresentar alguns tipos usuais de matrizes
1.1.1 Definic¸a˜o de Matriz
Podemos pensar informalmente em matrizes como tabelas de nu´meros, como por exemplo:
A =
[
8 15
12 3
]
, B =
[
8 75 0
6 3 7
]
e C =
 18 35 42 6 29
0 32 −3

Matrizes costumam ser representadas por letras maiu´sculas: A, B, C, ... O nu´mero de linhas e
colunas de uma dada tabela nos permite classifica-las em diversos tipos. A esse respeito, temos a
seguinte definic¸a˜o:
Definic¸a˜o 1.1. Chamamos matriz real de ordem m × n (leˆ-se: ”m por n”), ou simplesmente
matriz de ordem m×n, a uma tabela de nu´meros reais com m linhas e n colunas, em que m,n ∈ N.
Exemplo 1.1. Considerando as matrizes A =
[
8 15
12 3
]
, B =
[
8 75 0
6 3 7
]
e C =
 18 35 42 6 29
0 32 −3

vemos que a matriz A e´ de ordem 2× 2 (leˆ-se: ”dois por dois”), pois ela possui duas linhas e duas
colunas; ja´ a matriz B e´ de ordem 2× 3, pois essa matriz tem duas linhas e treˆs colunas. A matriz
C e´ de ordem 3× 3. ¤
E´ muito u´til, para resolver problemas com matrizes, pensar em sua ”forma”. Desse modo
chamamos matriz quadrada a` uma matriz A de ordem m × n, tal que m = n e, matriz re-
tangular quando m 6= n. Considerando ainda as matrizes do exemplo acima, vemos que A e´ uma
5
matriz quadrada de ordem 2 × 2 (nesse caso diz-se simplesmente: ”ordem 2”), B e´ uma matriz
retangular de ordem 2× 3 e C e´ uma matriz quadrada de ordem 3.
Cada elemento de uma matriz tem sua posic¸a˜o determinada pela linha e coluna em que se
encontra. Podemos pensar na posic¸a˜o de cada elemento como seu enderec¸o na matriz.
Exemplo 1.2. Dada a matriz
A =
[
a b c d
e f g h
]
O elemento c encontra-se no cruzamento da primeira linha com a terceira coluna. Logo sua
posic¸a˜o e´ 13. Ja´ o elemento h esta´ no cruzamento da segunda linha com a quarta coluna. Segue-se
que a posic¸a˜o do elemento h e´ 24. A posic¸a˜o de a e´ 11 e a posic¸a˜o de g e´ 23. O enderec¸o de b e´
12. ¤
Podemos usar essa ide´ia para representar os elementos de uma matriz usando uma u´nica letra
com dois ı´ndices.
Exemplo 1.3. A forma gene´rica de uma matriz de ordem 2 × 3 (lembre-se: ”duas linhas e treˆs
colunas”) e´.
D =
[
d11 d12 d13
d21 d22 d23
]
Representamos uma matriz gene´rica de ordem m× n assim
A =

a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
a31 a32 a33 ... a3n
... ... ... ... ...
am1 am2 am3 ... amn

Ou ainda, de um modo mais compacto A = [aij]m×n. ¤
Os elementos a11, a22, a33, ..., ann formam a diagonal principal da matriz, tambe´m chamada
simplesmente diagonal.
Exemplo 1.4. A matriz C = [cij]2×2, e´ uma matriz de ordem 2 cuja forma gene´rica e´
C =
[
c11 c12
c21 c22
]
¤
Observamos na matriz acima que sua diagonal e´ formada por c11 e c22.
Exemplo 1.5. Observemos a matriz
A =

1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1

6
Trata-se de uma matriz quadrada com 5 linhas e 5 colunas, logo A e´ uma matriz quadrada de ordem
5. Descrevendo essa matriz de modo gene´rico, temos
A =

a11 a12 a13 a14 a15
a21 a22 a23 a24 a25
a31 a32 a33 a34 a35
a41 a42 a43 a44 a45
a51 a52 a53 a54 a55

Essa forma gene´rica e´ muito u´til, pois desse modo vemos a descric¸a˜o da posic¸a˜o (enderec¸o) de todos
os elementos da matriz. Comparando as duas formas, vemos, por exemplo, que os elementos na˜o
nulos de A sa˜o a11, a22, a33, a44 e a55 (sua diagonal). Notemos que em todos esses elementos os
ı´ndices sa˜o iguais e, em todas as demais posic¸o˜es os ı´ndices sa˜o diferentes. Logo podemos descrever
essa matriz do seguinte modo:
A = [aij]5×5, tal que aij =
{
1 se i = j
0 se i 6= j
¤
Em geral descrevemos matrizes usando a notac¸a˜o mais compacta A = [aij]m×n seguida de uma
fo´rmula que nos permita obter os elementos da matriz, um por um, como no exemplo a seguir.
Exemplo 1.6. Considere a matriz dada por A = [aij]2012×2012, tal que aij = i + j. Essa matriz
possui 2012 linhas e 2012 colunas! Seria muito trabalhoso descrever explicitamente todos os ele-
mentos dessa matriz. Mas podemos determinar alguns. Por exemplo, o elemento a15×3(que fica no
cruzamento da de´cima quinta linha com a terceira coluna) e´
a15×3 = 15 + 3 = 18
(note que, nesse caso, o ”i vale 15 e, o j vale 3”)
Por outro lado, o elemento a200×200 (que fica na diagonal da matriz) e´
a200×200 = 200 + 200 = 400
¤
Mais um exemplo.
Exemplo 1.7. Determine a matriz D = [dij]4×4 dada por aij =
{
0 se i ≤ j
i− j se i > j
Primeiro escrevemos a matriz gene´rica. Temos:
C =

d11 d12 d13 d14
d21 d22 d23 d24
d31 d32 d33 d34
d41 d42 d43 d44

A seguir calculamos cada elemento da matriz. Primeiramente olhemos para os elementos que
esta˜o na diagonal e acima dela. Em todos esses elementos o primeiro ı´ndice (i) e´ menor do que,
ou igual ao segundo (j). Segundo a fo´rmula dada, todos esses elementos sa˜o nulos. Logo
7
d11 = d22 = d33 = d44 = d55 = d12 = d23 = d34 = d13 = d24 = d14 = 0
Para os demais, temos:
d21 = 2− 1 = 1
d32 = 3− 2 = 1
d43 = 4− 3 = 1
d31 = 3− 1 = 2
d42 = 4− 2 = 2
d41 = 4− 1 = 3
Portanto,
C =

0 0 0 0
1 0 0 0
2 1 0 0
3 2 1 0

¤
1.1.2 Matrizes Usuais
A seguir descrevemos alguns tipos de matrizes que aparecem com bastante frequeˆncia no estudo
de matrizes.
Definic¸a˜o 1.2. Chamamos matriz nula de ordem m× n a uma matriz 0m×n = [aij]m×n, tal que
aij = 0, quaisquer que sejam i ∈ {1, ..., n} e j ∈ {1, ...,m}.
Notemos que usamos o mesmo s´ımbolo 0 para representar a matriz nula e o nu´mero zero. Uma
matriz nula e´ uma matriz que tem 0 em todas as posic¸o˜es. Podemos ter matriz nula de qualquer
ordem. Por exemplo, as matrizes
02×2 =
[
0 0
0 0
]
02×4 =
[
0 0 0 0
0 0 0 0
]
sa˜o nulas. Notemos que o s´ımbolo usado para representa-las e´ o mesmo. A fim de evitar
confusa˜o costuma-se indicar a ordem da matriz. Entretanto, quando na˜o houver perigo de confusa˜o
indicaremos a matriz nula apenas por 0.
Definic¸a˜o 1.3.Chamamosmatriz identidade de ordem n×n, a` matriz quadrada In×n = [aij]n×n,
tal que
aij =
{
1 se i = j
0 se i 6= j
Um exemplo de matriz identidade foi dada no exemplo (1.5). As matrizes identidades possuem
valor 1 na diagonal e zero nas demais posic¸o˜es. E´ importante notar que toda matriz identidade e´
necessariamente quadrada.
Definic¸a˜o 1.4. Chamamos matriz diagonal a` uma matriz quadrada da forma Dn×n = [dij]n×n,
tal que dij = 0 qualquer que seja i 6= j (fora da diagonal).
8
Matrizes diagonais sa˜o matrizes quadradas que possuem todos os elementos fora da diagonal
nulos (independentemente do que se tem na diagonal). Um exemplo bem estranho de matriz
diagonal e´ uma matriz quadrada nula, como 02×2 exibida anteriormente. Um exemplo mais usual e´
D =

0 0 0 0
0 15 0 0
0 0 0 0
0 0 0 4

As matrizes identidades constituem o exemplo mais importante de matriz diagonal. No cap´ıtulo
de diagonalizac¸a˜o de operadores, que estudaremos mais adiante, as matrizes diagonais desempenham
um papel fundamental.
Definic¸a˜o 1.5. Chamamos matriz linha a` uma matriz de ordem 1×n. Analogamente, definimos
matriz coluna a` uma matriz de ordem m× 1.
Matriz linha e´ uma matriz que possui apenas uma linha e, matriz coluna e´ uma matriz dada
por apenas uma coluna. Um exemplo de matriz linha e´ L1×4 =
[
1 2 3 4
]
e, um exemplo de
matriz coluna e´ L3×1 =
 15
8
.
1.1.3 Exerc´ıcios
1. Escreva explicitamente a matriz gene´rica dada em cada ı´tem
(a)A = [aij]2×2 (b)B = [brs]3×4 (c)C = [ckl]5×5 (d) D = [dij]n×n
2. Descreva a matriz dada em cada ı´tem.
(a)A = [aij]2×3, tal que aij = 2i+3j (b)B = [bij]3×4, tal que bij =
{
1 se i = j
2i+j se i 6= j
(c) C = [cij]3×3, tal que cij =
{
1 se i = j
0 se i 6= j (d) D = [dij]4×1, tal que dij = i− j
(e) E = [eij]4×4, tal que eij =
{
2i+ j se i = j
0 se i 6= j (f) F = [fij]1×4, tal que fij = j − i
(g) G = [gij]2×2, tal que gij = 0 (h) H = [hij]2×4, tal que hij = i+ 5j
3. Dada a matriz A = [aij]2012×2012, tal que aij =
{
ij se i = j
i+ j − 1 se i 6= j . Determine:
(a) a55 (b) a2000×2000 (c) a1000×200 (d) a2012×2012 (e) a5×2000
1.2 Operac¸o˜es com Matrizes
Objetivos
• Calcular a soma de duas matrizes
• Multiplicar um nu´mero real por uma matriz
• Multiplicar duas matrizes
• Usar as propriedades das operac¸o˜es matriciais em equac¸o˜es com matrizes
9
1.2.1 Adic¸a˜o
Pensamos em matrizes reais como tabelas de nu´meros e, podemos pensar nesses nu´meros como
dados nume´ricos de algum problema (mais a frente veremos aplicac¸o˜es em que isso ocorre). Se-
ria u´til resolver problemas nume´ricos em que pude´ssemos determinar todos os dados de uma so´
vez. Motivados por isso definimos operac¸o˜es no conjunto das matrizes, com o objetivo de resolver
equac¸o˜es com matrizes, de modo parecido com o que fazemos com nu´meros reais. O primeiro passo
e´ definir igualdade de matrizes.
Definic¸a˜o 1.6. Duas matrizes sa˜o iguais quando teˆm mesma ordem e possuem os mesmos ele-
mentos ocupando a mesma posic¸a˜o.
Exemplo 1.8. Sejam A =
[
a b
c d
]
e B =
[
1 3
5 10
]
tais que A = B. Enta˜o a = 1, b = 3, c = 5
e d = 10. ¤
No cap´ıtulo seguinte essa definic¸a˜o de igualdade de matrizes sera´ mais enfatizada. Por hora
nosso foco sera´ nas operac¸o˜es com matrizes. Primeiramente temos a adic¸a˜o.
Definic¸a˜o 1.7. Dadas duas matrizes de mesma ordem A = [aij]m×n e B = [bij]m×n, definimos
Adic¸a˜o, ou soma das matrizes A e B a` matriz A + B, obtida somando cada elemento da matriz
A com o elemento da matriz B que ocupa a mesma posic¸a˜o. Em s´ımbolos temos A+B = [aij+ bij].
E´ importante notar que definimos a adic¸a˜o de matrizes apenas para matrizes de mesma ordem.
Para esclarecer melhor essa ide´ia temos o seguinte.
Exemplo 1.9. Dadas A =
 2 51 −4
6 2
 e B =
 0 55 0
0 5
, temos
A+B =
 2 + 0 5 + 51 + 5 −4 + 0
6 + 0 2 + 5
 =
 2 106 −4
6 7

Notemos que se tive´ssemos calculado B + A, ter´ıamos
B + A =
 0 + 2 5 + 55 + 1 0 + (−4)
0 + 6 5 + 2
 =
 2 106 −4
6 7
 o mesmo resultado!
Isso, como veremos a seguir, e´ apenas um exemplo de uma propriedade da adic¸a˜o de matrizes.
¤
Para somar mais de duas matrizes, e´ preciso definir quais somas sera˜o efetuadas primeiro, pois
definimos a soma para apenas duas matrizes. A esse respeito, temos o seguinte.
Exemplo 1.10. Sejam as matrizes A, B e C, dadas por A =
[
1 2 6
5 6 0
]
, B =
[
12 3 2
8 4 3
]
e
C =
[
2 5 0
10 −1 1
]
.
A soma (A+B) + C e´ dada por:
(A+B) + C =
([
1 2 6
5 6 0
]
+
[
12 3 2
8 4 3
])
+
[
2 5 0
10 −1 1
]
=
=
[
1 + 12 2 + 3 6 + 2
5 + 8 6 + 4 0 + 3
]
+
[
2 5 0
10 −1 1
]
=
[
13 5 8
13 10 3
]
+
[
2 5 0
10 −1 1
]
=
10
=
[
13 + 2 5 + 5 8 + 0
13 + 10 10 + (−1) 3 + 1
]
=
[
15 10 8
23 9 4
]
Do mesmo modo, temos:
A+ (B + C) =
[
1 2 6
5 6 0
]
+
([
12 3 2
8 4 3
]
+
[
2 5 0
10 −1 1
])
=
=
[
1 2 6
5 6 0
]
+
[
12 + 2 3 + 5 2 + 0
8 + 10 4 + (−1) 3 + 1
]
=
[
1 2 6
5 6 0
]
+
[
14 8 2
18 3 4
]
=
=
[
1 + 14 2 + 8 6 + 2
5 + 18 6 + 3 0 + 4
]
=
[
15 10 8
23 9 4
]
Notemos que, nesse caso, (A + B) + C = A + (B + C). Ou seja, a soma e´ associativa. Esse
exemplo tambe´m e´ caso particular de uma propriedade mais geral, exibida abaixo. ¤
O pro´ximo exemplo nos ensina a somar com uma matriz nula.
Exemplo 1.11. Sejam A =
[
2012 2011 2010
12 11 10
]
e 02×3. Temos que
A+ 02×3 =
[
2012 2011 2010
12 11 10
]
+
[
0 0 0
0 0 0
]
=
[
2012 + 0 2011 + 0 2010 + 0
12 + 0 11 + 0 10 + 0
]
=
=
[
2012 2011 2010
12 11 10
]
Com a finalidade de evidenciar as analogias, em relac¸a˜o a adic¸a˜o, entre o conjunto das matrizes
e o conjunto dos nu´meros reais, definimos o seguinte.
Definic¸a˜o 1.8. Dada a matriz A = [aij]m×n, de ordem m×n, definimos a matriz −A = [−aij]m×n,
de mesma ordem que A, chamada matriz oposta de A.
Dada uma matriz A, para obter sua oposta, basta trocar o sinal de todos os seus elementos.
Exemplo 1.12. Dada A =
[
2 −1
−7 5
]
, temos −A =
[ −2 1
7 −5
]
¤
Uma vez definida a matriz oposta, podemos atribuir um sentido para subtrac¸a˜o de matrizes.
Dadas as matrizes A e B, de mesma ordem, definimos A− B = A+ (−B). Ou seja, subtrair uma
matriz e´ o mesmo que somar com a matriz oposta.
A seguir temos as propriedades da adic¸a˜o de matrizes. Essas propriedades nos mostram que,
pelo menos em relac¸a˜o a adic¸a˜o, as matrizes teˆm um comportamento parecido com os nu´meros
reais.
Proposic¸a˜o 1.1. (Propriedades da adic¸a˜o de matrizes) Considere o conjunto de todas as matrizes
reais de mesma ordem m × n. Esse conjunto sera´ denotado por Mm×n(R). Dadas A,B,C ∈
Mm×n(R), temos:
(i) A+B = B + A (comutatividade)
(ii) (A+B) + C = A+ (B + C) (associatividade)
(iii) A+ 0 = 0 + A = A (elemento neutro)
(iv) A+ (−A) = −A+ A = 0 (Inverso aditivo)
Acima, 0 representa a matriz nula de ordem m× n e −A representa a matriz oposta de A. ¤
Exemplos do uso dessas propriedades foram dados acima em (1.9), (1.10), (1.11) e (1.12).
11
1.2.2 Multiplicac¸a˜o de um Nu´mero Real por uma Matriz
Definic¸a˜o 1.9. Dado um nu´mero real α e uma matriz A = [aij]m×n, definimos α ·A = [α · aij]m×n.
Dada uma matriz A e um nu´mero real α, a fim de obter a matriz α · A, basta multiplicar cada
elementos de A por α.
Exemplo 1.13. Dada a matriz A =
 2 −7 13 4 2
5 −9 6
, temos
(a) 2A = 2 ·
 2 −7 13 4 2
5 −9 6
 =
 2 · 2 2 · (−7) 2 · 12 · 3 2 · 4 2 · 2
2 · 5 2 · (−9) 2 · 6
 =
 4 −14 26 8 4
10 −18 12

(b) (−3) ·A = (−3) ·
 2 −7 13 4 2
5 −9 6
 =
 (−3) · 2 (−3) · (−7) (−3) · 1(−3) · 3 (−3) · 4 (−3) · 2
(−3) · 5 (−3) · (−9) (−3) · 6
 =
 −6 21 −3−9 −12 −6
−15 27 −18
(c) 0 · A = 0 ·
 2 −7 13 4 2
5 −9 6
 =
 0 · 2 0 · (−7) 0 · 10 · 3 0 · 4 0 · 2
0 · 5 0 · (−9) 0 · 6
 =
 0 0 00 0 0
0 0 0
 ¤
A seguir temos as propriedades da multiplicac¸a˜o de um nu´mero real por uma matriz.
Proposic¸a˜o 1.2. Sejam as matrizes A,B ∈Mm×n(R) e o nu´meros reais α e β, valem as seguintes
propriedades:
(i) (α · β) · A = α · (β · A) (Associatividade)
(ii) (α+ β) · A = α · A+ β · A (distributividade)
(iii) α · (A+B) = α · A+ α ·B (distributividade)
(iv) 1 · A = A (multiplicac¸a˜o por 1) ¤
A primeira propriedade nos conta que multiplicar dois nu´meros e a seguir multiplicar o resultado
por uma matriz, e´ o mesmo que multiplicar um deles pela matriz e depois o outro. A segunda diz
que o mesmo vale para a soma de dois nu´meros: tanto faz somar os nu´meros primeiro e depois
multiplicar pela matriz, como multiplicar um de cada vez e depois somar as matrizes obtidas. A
terceira propriedade nos ensina que multiplicar um nu´mero por uma soma de matrizes e´ o mesmo
que multiplicar esse nu´mero por cada matriz separadamente e depois somar os resultados. A u´ltima
e´ no mı´nimo curiosa, por parecer totalmente o´bvia. Em breve, no cap´ıtulo de Espac¸os Vetoriais,
voltaremos a esse ponto para mostrar que essa propriedade na˜o e´ ta˜o o´bvia quanto parece.
O objetivo de estabelecer essas operac¸o˜es e propriedades e´ poder tratar os ca´lculos com matrizes
da mesma forma que ja´ estamos acostumados a efetuar ca´lculos com nu´meros reais e equac¸o˜es com
nu´meros reais. O pro´ximo exemplo mostra isso.
Exemplo 1.14. Sejam A =
[ −7 1
4 2
]
, B =
[
5 0
1 3
]
e C =
[
2 −1
0 2
]
.
(a) Calcule 2 · (3A).
Temos, devido ao ı´tem (i) da proposic¸a˜o (1.2) que 2 · (3A) e´ o mesmo que 6 · A. Logo
2 · (3A) = 6 ·
[ −7 1
4 2
]
=
[ −42 6
24 12
]
12
(b) Calcule 5B + 3B.
Devido a propriedade (ii), da proposic¸a˜o (1.2) temos 5B + 3B = 8B. Logo
5B + 3B = 8 ·
[
5 0
1 3
]
=
[
40 0
8 24
]
(c) Calcule a matriz X, de modo que 2X − 10A = 6B + 10C.
Usando as propriedades das proposic¸o˜es (1.2) e (1.1), temos:
2X − 10A = 6B + 10C e´ o mesmo que 2X − 10A+ 10A = 6B + 10C + 10A que por sua vez
equivale a 2X = 6B+10C+10A. Logo 2X = 6B+10(C+A). Segue-se que X = 3B+5(C+A).
Agora calculamos a matriz X.
X = 3B+5(C+A) = 3
[
5 0
1 3
]
+5
([
2 −1
0 2
]
+
[ −7 1
4 2
])
=
[
15 0
3 9
]
+5
[ −5 0
4 4
]
=
=
[
15 0
3 9
]
+
[ −25 0
20 20
]
=
[ −10 0
23 29
]
¤
1.2.3 Multiplicac¸a˜o de Matrizes
Na subsec¸a˜o anterior vimos que as matrizes se comportam de maneira similar aos nu´meros reais
em relac¸a˜o a adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o de um nu´mero por uma matriz. Isso nos permite resolver
algumas equac¸o˜es de modo ana´logo ao que fazemos com equac¸o˜es de nu´meros reais. Perceber
essas similaridades e´ um dos principais objetivos da a´lgebra linear. Entretanto, veremos agora
nesta subsec¸a˜o, que matrizes e nu´meros reais teˆm comportamento bem distintos com relac¸a˜o a
multiplicac¸a˜o de seus elementos.
MOTIVAC¸A˜O
Dois times de futebol, FLAZA˜O e FLUZINHO, disputaram um torneio nacional, tendo
cada um deles realizado 20 jogos. A matriz X a seguir exibe o nu´mero de vito´rias (V), empates (E)
e derrotas (D) dos dois clubes. A primeira linha indica os reultados do FLAZA˜O e, na segunda
linha temos os resultados do FLUZINHO. A matriz Y indica o nu´mero de pontos que o clube
obte´m em cada resultado: 3 pontos para vito´ria, 1 ponto para empate e 0 para derrota.
V E D
X =
[
11 4 5
8 6 6
]
Y =
 31
0

Quantos pontos cada time obteve nesse torneio?
Independentemente do que se estudou sobre matrizes ate´ esse ponto, podemos resolver esse
problema efetuando algumas simples contas. Observe:
• O FLUZA˜O teve 11 vito´rias, 4 empates e 5 derrotas. Como cada vito´ria vale 3 pontos, cada
empate, 1 ponto e cada derrota vale 0, os pontos do FLUZA˜O sa˜o: 11×3+4×1+5×0 = 37.
• De modo inteiramente ana´logo, os pontos do FLUZINHO sa˜o: 8× 3 + 6× 1 + 6× 0 = 30
Comparando os ca´lculos efetuados com as matrizes X e Y , nessa ordem, vemos que para obter
o total do FLUZA˜O multiplicamos cada elemento da primeira linha por um elemento da coluna da
matriz Y . Analogamente o resultado 30 foi obtido multiplicando a segunda linha pela coluna de Y .
¤
Situac¸o˜es como essa nos levam a definir abstratamente o seguinte.
13
Definic¸a˜o 1.10. Dadas duas matrizes A = [aij]m×n e B = [bij]n×p a matriz P = [pij]m×p, tal que
pij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + ai3 · b3j + ai4 · b4j + ...+ ain · bnj e´ chamada matriz produto de A por B.
Escrevemos A ·B = P
Escrito desse modo, pode parecer a primeira vista bem complicado, mas na˜o e´. ”Trocando em
miu´dos”, temos o seguinte: as matrizes A e B sa˜o
A =

a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
a31 a32 a33 ... a3n
... ... ... ... ...
ai1 ai2 ai3 ... ain
... ... ... ... ...
am1 am2 am3 ... amn

m×n
e B =

b11 b12 b13 ... b1j ... b1p
b21 b22 b23 ... b2j ... b2p
b31 b32 b33 ... b3j ... b3p
... ... ... ... ... ... ...
bi1 bi2 bi3 ... bij ... bip
... ... ... ... ... ...
bn1 bn2 bn3 ... bnj ... bnp

n×p
A matriz produto A ·B e´
P =

p11 p12 p13 ... p1j ... p1n
p21 p22 p23 ... p2j ... p2n
p31 p32 p33 ... p3j ... p3n
... ... ... ... ... ... ...
pi1 pi2 pi3 ... pij ... pin
... ... ... ... ... ... ...
pm1 pm2 pm3 ... pmj ... pmn

m×p
Raciocinando como na motivac¸a˜o, cada elemento da matriz produto, e´ obtido multiplicando
certa linha de A, por determinada coluna de B. Por exemplo:
• O elemento p23, que esta´ no cruzamento da segunda linha com a terceira coluna e´ obtido
multiplicando a segunda linha de A pela terceira coluna de B. Logo
p23 = a21 · b13 + a22 · b23 + a23 · b33 + a24 · b43 + ...+ a2n · bn3
• Ja´ o elemento p2j, que esta´ no cruzamento da segunda linha com a j-e´sima coluna e´ obtido
multiplicando a segunda linha de A, com a j-e´sima coluna de B. Temos:
p2j = a21 · b1j + a22 · b2j + a23 · b3j + a24 · b4j + ...+ a2n · bnj ¤
Se ainda parece complicado, veja o exemplo a seguir
Exemplo 1.15. Sejam as matrizes A =
[
1 3 2
5 7 0
]
2×3
e B =
 3 1 5 20 2 6 5
1 1 1 3

3×4
Calcule a matriz produto A ·B.
A primeira tarefa e´ escrever a matriz produto na forma gene´rica. Para isso devemos prever a
ordem de P . Temos A2×3 e B3×4. Logo devemos ter P2×4 (nu´mero de linhas de A e nu´mero de
colunas de B). Logo P = [pij]2×4. Temos
P =
[
p11 p12 p13 p14
p21 p22 p23 p24
]
2×4
Agora calculamos cada elemento da matriz P .
14
• p11 = 1× 3 + 3× 0 + 2× 1 = 5 (primeira linha de A e primeira coluna de B)
• p12 = 1× 1 + 3× 2 + 2× 1 = 9 (primeira linha de A e segunda coluna de B)
• p13 = 1× 5 + 3× 6 + 2× 1 = 25 (primeira linha de A e terceira coluna de B)
• p14 = 1× 2 + 3× 5 + 2× 3 = 23 (primeira linha de A e quarta coluna de B)
• p21 = 5× 3 + 7× 0 + 0× 1 = 15 (segunda linha de A e primeira coluna de B)
E assim sucessivamente, obtemos
P =
[
5 9 25 23
15 19 67 45
]
2×4
¤
E´ importante notar que para obter o produto de A por B, multiplicamos as linhas de A, pelas
colunas de B. Logo nem sempre sera´ poss´ıvel calcular A ·B.
Exemplo 1.16. Considerando as matrizes do exemplo anterior, calcule B · A.
Olhando para o exemplo anterior, vemos que cada linha de B tem 4 elementos e, cada coluna
de A tem 2 elementos. Portanto, na˜o temos como multiplicar as linhas de B pelas colunas de A.
Desse modo na˜o existe, nesse caso, o produto B · A. ¤
O exemplo anterior exibe claramente certo detalhe impl´ıcito na definic¸a˜o do produto de matrizes.
Dadas as matrizes A = [aij]m×n e B = [bij]r×s, so´ podemos efetuar o produto A ·B se n = r (nu´mero
de colunas de A=nu´mero de linhas de B). Caso seja poss´ıvel a matriz produto tera´ ordem m× s.
Portanto, nemsempre podemos efetuar um produto de matrizes. Caso exista o produto A · B,
pode na˜o existir B ·A. Mesmo que seja poss´ıvel multiplicar A ·B e B ·A, pode ser que A ·B 6= B ·A,
ou seja o produto na˜o e´ comutativo. Veja!
Exemplo 1.17. Sejam A =
[
1 2
3 4
]
e B =
[
5 7
6 8
]
. Temos
A ·B =
[
1 2
3 4
]
·
[
5 7
6 8
]
=
[
17 23
39 53
]
Por outro lado,
B · A =
[
5 7
6 8
]
·
[
1 2
3 4
]
=
[
26 38
30 44
]
¤
Entretanto, existem casos de matrizes cujo produto e´ comutativo. Esses casos constituem grande
interesse em a´lgebra linear. Um deles, talvez o mais importante, sera´ estudado na sec¸a˜o seguinte.
Trata-se da matriz inversa. Outro caso, mais simples, mas na˜o menos importante e´ mostrado no
exemplo abaixo.
Exemplo 1.18. Sejam as matrizes A =
[
3 4
1 2
]
e I =
[
1 0
0 1
]
(matriz identidade de ordem 2).
Temos
A · I =
[
3 4
1 2
]
·
[
1 0
0 1
]
=
[
3 4
1 2
]
e
I · A =
[
1 0
0 1
]
·
[
1 0
0 1
]
=
[
3 4
1 2
]
Logo A · I = I · A ¤
15
Para finalizar esta sec¸a˜o temos as propriedades do produto de matrizes.
Proposic¸a˜o 1.3. (Propriedades do produto de matrizes)
(i) Dadas as matrizes Am×n, Bn×p e Cp×r, vale a associatividade do produto: (AB)C = A(BC)
(ii) Dadas as matrizes Am×n, Bm×n e Cn×p, vale a distributividade a` esquerda: (A + B)C =
AC +BC
(iii) Dadas as matrizes An×p, Bn×p e Cm×n, vale a distributividade a` direita: C(A+B) = CA+CB
(iv) Se Am×n, enta˜o vale a comutatividade com a identidade: Im · A = A · In = A
(v) Dadas as matrizes Am×n, Bn×p e um nu´mero real α, vale a homogeneidade do produto: (αA)B =
A(αB) = α(AB)
(vi) O produto de matrizes na˜o e´, de um modo geral, comutativo
(vii) O produto de duas matrizes ser nulo, na˜o implica que uma delas seja nula.
¤
Como ja´ foi dito anteriormente, as propriedades das operac¸o˜es com matrizes nos permitem
manipular equac¸o˜es matriciais, de modo ana´logo ao que ja´ fazemos com equac¸o˜es de nu´meros reais.
Isso ajuda a tornar os ca´lculos mais ”naturais”. Portanto, vale salientar o que na˜o e´ permitido
quando se trata de matrizes. Um fato importante, como ja´ vimos, e´ que o produto na˜o e´ comutativo.
Outro fato muito usado para resolver equac¸o˜es com nu´meros reais que na˜o vale para matrizes e´
expresso pela propriedade (vii) acima. Vejamos um exemplo.
Exemplo 1.19. Seja as matrizes A =
[
0 1
0 1
]
e B =
[
1 1
0 0
]
.
Temos que A ·B =
[
0 1
0 1
]
·
[
1 1
0 0
]
=
[
0 0
0 0
]
(matriz nula).
Ou seja, A ·B = 0 (matriz nula). Entretanto A 6= 0 e B 6= 0. ¤
1.2.4 Exerc´ıcios
1. Determine x e y de modo que as matrizes A e B sejam iguais.
(a) A =
[
5 3x
26− y 0
]
e B =
[
5 75
6 0
]
(b) A =
[
x2 − 40 y2 + 4
6 3
]
e B =
[
41 13
6 3
]
(c) A =
[
16 25
1 x2
]
e B =
[
16 25
1 10− x2
]
2. Dadas as matrizes
A =
[
1 2 5
3 −4 10
]
, B =
[
6 −5 −2
0 1 6
]
e C=
[
2 0 7
0 1 4
]
Calcular:
(a)A+B (b)B + C (c)A+ C
(d)A−B (e)A− C (f)B − C
(g)X = 4A− 3B − 3C (h)X = 2B − 4A− 8C (i)X = 4C + 2A− 6B
3. Considerando ainda as matrizes do exerc´ıcio anterior, determine a matriz X, de modo que
3(X + A)−B = C +X.
16
4. Nos ı´tens abaixo, calcular o produto das matrizes A e X
(a) A =
[
2 1
3 −4
]
e X =
[
x
y
]
(b) A =
 1 2 30 0 0
1 −1 1
 e X =
 x1x2
x3

(c) A =
 −1 0 1 52 0 1 −3
−4 0 7 2
 e X =

x1
x2
x3
x4

5. Dadas as matrizes
A =

1 2
3 1
7 −4
5 9
, B = [ 1 3 −5 −76 2 −8 3
]
, C =
[
2 4
−3 5
]
e D =

1 7 3 −8
−3 −1 −1 −3
4 1 9 0
5 3 2 −3

Calcular:
(a) AB
(b) (AB)D
(c) A(BD)
(d) BA
(e) (BA)C
(f) B(AC)
1.3 Matrizes Especiais
Objetivos
• Determinar a transposta de uma matriz
• Reconhecer uma matriz sime´trica
• Definic¸a˜o de matriz invers´ıvel
1.3.1 Matriz Transposta
Definic¸a˜o 1.11. Dada uma matriz A = [aij]m×n, chamamos matriz transposta de A, a` matriz
AT = [aji]n×m.
Segundo essa definic¸a˜o, dada uma matriz A = [aij]m× n, obtemos a transposta de A trocando
os ı´ndices ij, por ji. Notemos que A e´ de ordem m× n, enquanto que AT tem ordem n×m. Isso
significa que para obter a transposta, trocamos as linhas por colunas. Veja o exemplo.
17
Exemplo 1.20. Dada a matriz A =
[
2 5 7
1 3 8
]
, sua transposta AT e´
AT =
 2 15 3
7 8

Notemos que a primeira linha de A, se tornou a primera coluna de B e, a segunda linha de A
se tornou a segunda coluna de AT . Cada linha em A vira uma coluna em AT . Notemos tambe´m
que a ordem de A e´ 2× 3, enquanto que a ordem de AT e´ 3× 2. ¤
Matrizes transpostas possuem propriedades muito u´teis para o ca´lculo matricial. Vejamos as
mais nota´veis.
Proposic¸a˜o 1.4. Sejam A e B matrizes de mesma ordem e α ∈ R. valem as seguintes igualdades.
(i) (A+B)T = AT +BT
(ii) (α · A)T = α · AT
(iii) (AT )T = A
(iv) (A ·B)T = BT · AT
A primeira propriedade diz que somar duas matrizes e tomar a transposta do resultado, e´ o
mesmo que tomar a transposta de cada matriz e a seguir somar as matrizes obtidas. Veja um
exemplo:
Exemplo 1.21. Dadas A =
[
1 1
2 5
]
e B =
[
2 3
7 9
]
, temos:
A+B =
[
1 1
2 5
]
+
[
2 3
7 9
]
=
[
3 4
9 14
]
. Logo (A+B)T =
[
3 9
4 14
]
. Por outro lado,
AT +BT =
[
1 2
1 5
]
+
[
2 7
3 9
]
=
[
3 9
4 14
]
. Ou seja, (A+B)T = AT +BT . ¤
A segunda propriedade conta que multiplicar uma matriz por um nu´mero real e a seguir tomar
a transposta do resultado, e´ o mesmo que calcular primeiro a transposta e depois multiplicar pelo
nu´mero dado. Veja um exemplo.
Exemplo 1.22. Dada a matriz A =
[
3 4
9 14
]
e o nu´mero real
√
2. temos que:
(
√
2 · A) = √2 ·
[
3 4
9 14
]
=
[
3
√
2 4
√
2
9
√
2 14
√
2
]
. Logo (
√
2 · A)T =
[
3
√
2 9
√
2
4
√
2 14
√
2
]
. Por outro
lado,
√
2 · AT = √2 ·
[
3 9
4 14
]
=
[
3
√
2 9
√
2
4
√
2 14
√
2
]
. O mesmo resultado! ¤
A terceira propriedade das matrizes transpostas, diz que a transposta da transposta e´ a pro´pria
matriz. Isso e´ simples de verificar. Construa um exemplo! Por fim a u´ltima propriedade na˜o e´
nada trivial. Ela nos ensina que a transposta do produto e´ o produto das transpostas na ordem
contra´ria. Vejamos um exemplo.
18
Exemplo 1.23. Sejam as matrizes A =
[
2 9
4 1
]
e B =
[
1 5
3 7
]
. O produto dessas matrizes e´
dado por:
A ·B =
[
2 9
4 1
]
·
[
1 5
3 7
]
=
[
29 73
7 19
]
. Logo (A ·B)T =
[
29 7
73 19
]
. Por outro lado,
AT ·BT =
[
2 4
9 1
]
·
[
1 3
5 7
]
=
[
22 34
14 34
]
6=
[
29 73
7 19
]
. Entretanto,
BT · AT =
[
1 3
5 7
]
·
[
2 4
9 1
]
=
[
29 73
7 19
]
= (A ·B)T .
1.3.2 Matriz Sime´trica
Definic¸a˜o 1.12. Uma matriz A e´ chamada sime´trica, quando A = AT .
Isso significa que uma matriz e´ sime´trica quando for igual a sua transposta. Ou seja, quando a
troca de linhas por colunas na˜o mudar a matriz.
Exemplo 1.24. A matriz A =
 1 2 32 5 7
3 7 9
 e´ sime´trica pois sua transposta e´ dada por AT = 1 2 32 5 7
3 7 9
. Notemos que A = AT . ¤
Existe um truque simples para reconhecer matrizes sime´tricas. Basta pensar na diagonal da
matriz como um espelho e notar que os elementos simetricamente dispostos em relac¸a˜o a` diagonal
sa˜o iguais.
Ha´ tambe´m um truque para se obter matrizes sime´tricas. Dada uma matriz A, obtemos uma
matriz sime´trica multiplicando A pela sua transposta. Veja o exemplo.
Exemplo 1.25. Seja A =
 2 0 21 −1 2
0 3 0
. Temos AT =
 2 1 00 −1 3
2 2 0
. Logo
A · AT =
 2 0 21 −1 2
0 3 0
 ·
 2 100 −1 3
2 2 0
 =
 8 6 06 4 −3
0 −3 0
 que e´ uma matriz sime´trica. ¤
1.3.3 Matriz Inversa
Recordemos, sobre nu´meros reais, que dado um nu´mero real na˜o nulo a, seu inverso multiplicativo
b, deve ser tal que a · b = 1. Logo o inverso de a e´ b = 1
a
. Por exemplo, o inverso de 2 e´ 1
2
, pois
2 · 1
2
= 1. De modo parecido definimos para matrizes.
Definic¸a˜o 1.13. Dadas duas matrizes quadradas A e B, de mesma ordem n× n. Dizemos que B
e´ a inversa de A quando A ·B = B · A = In. Neste caso denotamos B = A−1.
Exemplo 1.26. Considere as matrizes A =
[
8 5
3 2
]
e B =
[
2 −5
−3 8
]
. Notemos que
A ·B =
[
8 5
3 2
]
·
[
2 −5
−3 8
]
=
[
1 0
0 1
]
19
e
B · A =
[
2 −5
−3 8
]
·
[
8 5
3 2
]
=
[
1 0
0 1
]
Logo B e´ a inversa de A e, escrevemos B = A−1.
(Fac¸a as contas e confirme os resultados!) ¤
Recordando o exemplo (1.17), no qual foi afirmado que o produto de matrizes na˜o e´, em geral,
comutativo. As matrizes inversas constituem um importante exemplo de produto comutativo. Pode-
mos afirmar que: matrizes invers´ıveis comutam com sua inversa.
Fica claro na definic¸a˜o e mais ainda no exemplo acima que se B for a inversa de A, enta˜o A sera´
inversa de B. Logo, se B = A−1, enta˜o A = B−1.
E´ fato que todo nu´mero real, na˜o nulo, a possui um inverso multiplicativo 1
a
. Isso torna pra´tico
resolver equac¸o˜es, como por exemplo 2x + 5 = 10. Temos 2x = 10 − 5. Ou seja, 2x = 5. Logo
x = 5
2
. Gostar´ıamos de fazer contas ana´logas com matrizes. Por exemplo, dadas as matrizes A, B e
C, gostar´ıamos de resolver equac¸o˜es do tipo A ·X +B = C, em que se deseja determinar a matriz
X. Temos o seguinte
• A ·X +B = C, logo
• A ·X = C −B, tomando a oposta de B. Segue-se que
• X = C −B
A
, logo
• X = 1
A
· (C −B), finalmente
• X = A−1 · (C −B)
Entretanto, para que isso fac¸a sentido, precisamos da inversa da matriz A, que nem sempre
existe! E, caso exista, como determina-la? Vamos desenvolver mais alguns resultados e voltaremos
a esse ponto na sec¸a˜o de inversa˜o de matrizes.
1.3.4 Exerc´ıcios
1. Dada a matriz A =
[
1 2 5 2
0 −3 1 4
]
, determine AT .
2. Dadas as matrizes A =
 1 0−3 2
5 3
, B = [ 4 2 1 −3
6 5 −1 0
]
, C =
 1 2 30 −1 2
5 4 1
 e
D =

0 0 0 1
−1 0 0 2
−1 0 1 0
0 1 0 2

calcule:
(a) (AB)T (b) (AB)DT (c) A(BDT ) (d) BTC
20
3. Dadas as matrizes A =
 1 −2 52 3 4
1 5 −8
, B = [ 0 1 −3
2 7 2
]
e C =
 1 5 32 −1 −5
1 2 −1

Calcule
(a) A+ AT (b) C + CT (c) A · AT (d) C − CT
4. Nos ı´tens que se seguem, verifique se B e´ a inversa de A.
(a) A =
 5 −1 15 5 5
0 2 3
 e B =
 2 4 12 0 −2
−2 0 1

(b) A =
 −4 −2 02 −6 −2
10 −8 −4
 e B =
 −1 1 −0, 51, 5 −2 1
−5, 5 6, 5 −3, 5

(c) A =
 4 5 02 3 0
−6 −1 −2
 e B =
 9 3 4−7 2 5
1 6 8

5. Nos ı´tem a seguir, calcule m e n para que a matriz B seja inversa da matriz A.
(a) A =
[
m −22
−2 n
]
e B =
[
5 22
2 9
]
(b) A =
[
2 5
3 8
]
e B =
[
8 m
n 2
]
1.4 Escalonamento de Matrizes
Objetivos
• Conhecer as treˆs operac¸o˜es elementares sobre linhas de uma matriz
• Obter a forma escalonada de uma matriz
• Obter o posto de uma matriz.
O principal objetivo desta sec¸a˜o e´ desenvolver uma ferramenta para a obtenc¸a˜o da inversa de
uma matriz. Essa ferramenta tera´ diversas aplicac¸o˜es no decorrer do curso, como por exemplo:
resoluc¸a˜o de sistemas lineares, ca´lculo da dimensa˜o de subespac¸os vetoriais. A partir desse ponto
trataremos apenas, salvo menc¸a˜o em contra´rio, de matrizes quadradas.
1.4.1 Operac¸o˜es Sobre Linha
Considere uma matriz A. As operac¸o˜es indicadas a seguir sa˜o chamadas operac¸o˜es ele-
mentares sobre as linhas de A.
(i) Permutar duas linhas.
(ii) Multiplicar uma linha por um nu´mero real, na˜o nulo.
21
(iii) Substituir uma linha pela soma dela com outra linha, previamente multiplicada por um nu´mero
real.
As linhas da matriz sera˜o indicadas por L1, L2, L3,... As operac¸o˜es acima descritas sera˜o
denotadas da seguinte forma:
(i) Li ↔ Lj para a permutac¸a˜o da linha Li com a linha Lj.
(ii) Li ↔ α · Li para a troca da linha Li pela linha Li multiplicada pelo nu´mero real α.
(iii) Li ↔ Lk + α · Lj para a substituic¸a˜o da linha Li pela linha Lk + α · Lj.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1.27. Dada a matriz A =
 8 5 73 2 0
3 3 3
, temos o seguinte.
(a) Aplicando em A a operac¸a˜o L1 ↔ L3, obtemos a matriz
A1 =
 3 3 33 2 0
8 5 7

(b) Aplicando em A a operac¸a˜o L3 ↔ 2 · L3, obtemos:
A =
 8 5 73 2 0
6 6 6

(c) Aplicando agora, a operac¸a˜o L1 ↔ L1 + 2 · L3 em A, obtemos:
A =
 14 11 133 2 0
3 3 3

¤
Veremos mais exemplos a seguir. Agora temos mais uma definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 1.14. Dada uma matriz A, dizemos que outra matriz B e´ equivalente a A, se B puder
ser obtida a partir de A, por meio de uma sequeˆncia de operac¸o˜es elementares. Denotamos por
B ∼ A.
Quando aplicamos uma operac¸a˜o elementar sobre uma matriz, alteramos os elementos da matriz.
Apo´s aplicarmos seguidas operac¸o˜es elementares em uma matriz podemos obter como resultado uma
matriz com muitos zeros.
Exemplo 1.28. Dada a matriz A =
 2 1 71 3 2
5 3 4
. Aplicamos as seguintes operac¸o˜es elementares:
• A1 =
 1 12 721 3 2
5 3 4
, fazendo L1 ↔ 12 · L1 em A
22
• A2 =
 1 12 720 5
2
−3
2
5 3 4
 fazendo L2 ↔ L2 + (−1) · L1 em A1
• A3 =
 1 12 720 5
2
−3
2
0 1
2
−27
2
 fazendo L3 ↔ L3 + (−5) · L1 em A2
• A4 =
 2 1 70 5
2
−3
2
0 1
2
−27
2
 fazendo L1 ↔ 2 · L1 em A3
• A5 =
 2 1 70 5 −3
0 1
2
−27
2
 fazendo L2 ↔ 2 · L2 em A4
• A6 =
 2 1 70 5 −3
0 1 −27
 fazendo L3 ↔ 2 · L3 em A5
• A7 =
 2 1 70 1 −27
0 5 −3
 fazendo L2 ↔ L3 em A6
• A8 =
 2 1 70 1 −27
0 0 132
 fazendo L3 ↔ L3 + (−5)L2 em A7
Apo´s sucessivas operac¸o˜es elementares a matriz A se transformou em A8. Logo A8 ∼ A.
¤
1.4.2 Escalonamento
Na subsec¸a˜o anterior, vimos que a aplicac¸a˜o sucessiva de operac¸o˜es elementares em uma matriz
pode produzir uma matriz com muitos zeros. Isso e´, como veremos, particularmente u´til para a
obtenc¸a˜o da inversa de uma matriz e para a resoluc¸a˜o de um sistema linear. Nesta subsec¸a˜o vamos
estabelecer a ferramenta nessa´ria para esse fim.
Definic¸a˜o 1.15. Dizemos que uma matriz A esta´ na forma escalonada, se satifaz as seguintes
condic¸o˜es:
(i) Todas as linhas nulas de A, se existirem, ficam abaixo de todas as linhas na˜o nulas.
(ii) A quantidade de zeros antes do primeiro elemento na˜o nulo de cada linha aumenta a cada
linha.
Exemplo 1.29. Observe as seguintes situac¸o˜es.
(a) A matriz A =
 1 2 70 3 5
0 0 4
 esta´ na forma escalonada. Ha´ um zero antes do 3 e, dois zeros
antes do 4 (aumentou a quantidade de zeros).
23
(b) A matriz B =
 3 1 50 0 5
0 1 4
 na˜o esta´ na forma escalonada, pois a segunda linha tem dois zeros
antes do 5 e, a terceira linha tem apenas um zero antes do 1. Contradizendo a condic¸a˜o (ii)
da definic¸a˜o.
(c) A matriz C =
 0 3 1 50 0 0 5
0 0 0 1
 na˜o esta´ na forma escalonada, pois a segunda linha tem treˆs
zeros antes do 5 e, a terceira linha tem, tambe´m treˆs zeros antes do 1. Contradizendo a
condic¸a˜o (ii) da definic¸a˜o.
(d) A matriz D =
 0 3 0 0 00 0 0 5 2
0 0 0 0 1
 esta´ na forma escalonada. So´ importam os zeros antes de
cada elemento na˜o nulo em uma linha. Na primeira linha ha´ 1 zero antes do 3. Na segunda,
temos 3 zeros antes do 5 e, na terceira, 4 zeros antes do 1.
(e) A matriz E =

0 3 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 1 1 1
0 0 0 4 5
 na˜o esta´ na forma escalonada. Pois, ha´ uma linha nula (a
segunda),acima de linhas na˜o nulas.
¤
Agora que ja´ sabemos reconhecer matrizes na forma escalonada, podemos aprender a escalonar
matrizes. Toda matriz pode ser reduzida a sua forma escalonada por meio de operac¸o˜es elementares.
Voceˆ pode tentar fazer isso, desenvolvendo seu pro´prio me´todo. Esse processo e´, em geral, trabal-
hoso e exige muito cuidado na sua execuc¸a˜o. A seguir sugerimos um me´todo para obter a matriz
escalonada.
Me´todo do escalonamento
(1) Usando permutac¸a˜o de linhas, coloque todas as linhas nulas, se existirem, abaixo de todas as
linhas na˜o nulas. Se alguma linha se anular no processo, use permutac¸a˜o, novamente, e a
coloque abaixo de todas as linhas na˜o nulas.
(2) Novamente usando permutac¸o˜es, arrume as linhas da matriz de modo que o nu´mero de zeros
antes do primeiro elemento na˜o nulo em cada linha na˜o diminua linha apo´s linha)
(3) Identifique o primeiro elemento na˜o nulo na primeira linha. Chamamos esse elemento de pivoˆ
da primeira linha. Usando operac¸o˜es elementares, obtenha 0 para todos os elementos abaixo
dele.
(4) Repita o passo (2).
(5) Repita o passo (3) para cada linha seguinte, apo´s a primeira.
Vejamos um exemplo de aplicac¸a˜o desse me´todo.
Exemplo 1.30. Considere a matriz A =
 1 2 34 1 7
6 5 12
. Essa matriz na˜o teˆm elementos nulos.
Comec¸amos o escalonamento do passo (3).
24
(i) O pivoˆ da primeira linha e´ 1 (fica mais fa´cil quando o pivoˆ e´ 1. Se na˜o for, procure obteˆ-
lo. Trocando linhas, por exemplo ou simplificando a equac¸a˜o). Devemos ”zerar”os elementos
abaixo do pivoˆ, que sa˜o 4 e 6. Para ”zerar”o 4 fazemos a seguinte operac¸a˜o: L2 ↔ L2+(−4)L1.
Para ”zerar”o 6, fazemos o seguinte: L3 ↔ L3 + (−6)L1. Obtemos:
A1 =
 1 2 30 −7 −5
0 −7 −6

(ii) Identificamos o pivoˆ da segunda linha, que e´ −7. O objetivo agora, e´ ”zerar”os elementos
abaixo do pivoˆ. Nesse caso so´ ha´ um elemento para tornar zero, o −7. Aplicamos a seguinte
operac¸a˜o elementar: L3 ↔ L3 + (−1)L2. Note que na˜o usamos mais a primeira linha. Apo´s
os ca´lculos, obtemos:
A2 =
 1 2 30 −7 −5
0 0 −1

A matriz, agora, encontra-se na forma escalonada.
¤
Definic¸a˜o 1.16. Chamamos posto de uma matriz ao nu´mero de linhas na˜o nulas de sua forma
escalonada. Denotamos o posto da matriz A assim posto(A).
A fim de saber o posto de uma matriz, escalonamos essa matriz e contamos o nu´mero de linhas
na˜o nulas da forma escalonada.
Exemplo 1.31. Observe os casos a seguir
(a) A matriz P =
 1 2 30 −7 −5
0 0 −1
 esta´ na forma escalonada. E nenhuma linha e´ nula. Logo seu
posto e´ 3
(b) A matriz Q =
 1 2 32 4 6
3 6 9
, apo´s escalonada toma a forma Q1 =
 1 2 30 0 0
0 0 0
, com apenas
uma linha na˜o nula.
Logo posto(Q) = posto(Q1) = 1
¤
1.4.3 Exerc´ıcios
1. Obtenha uma forma escalonada para cada matriz a seguir e deˆ seu posto
(a) A =
[
1 2
3 4
]
(b) B =
 1 23 4
5 7
 (c) C =
 1 2 32 −3 8
4 15 10

(d) D =
 1 3 25 −1 10
3 12 1
 (e) E =

1 2 5
1 −2 0
2 3 10
0 5 4
 (f) F =
 1 3 7 12 −1 0 3
1 3 5 0

25
1.5 Inversa˜o de Matrizes
Objetivo
• Obter a inversa de uma matriz
1.5.1 Obtenc¸a˜o da Inversa
No final da sec¸a˜o (1.3) levantamos a questa˜o sobre quando uma matriz possui inversa e, caso
exista, como obter tal inversa. Essa sec¸a˜o tem o objetivo de responder essas questo˜es. E a resposta
esta´ em um resultado bem conhecido.
Proposic¸a˜o 1.5. Considere uma matriz quadrada A. A mesma sequeˆncia de operac¸o˜es elementares
que transforma a matriz A na matriz identidade I, transforma a matriz I na matriz inversa de A.
Portanto, uma matriz quadrada sera´ invers´ıvel quando for poss´ıvel, por meio de operac¸o˜es el-
ementares, obter a matriz identidade. Isso responde a primeira questa˜o discutida acima. Para a
obtenc¸a˜o da inversa, vejamos o seguinte.
Me´todo da Inversa
Considere uma matriz A, cuja inversa queremos determinar.
(1) Primeiramente escrevamos a matriz A e, ao lado dessa, a matriz identidade I de mesma ordem.
Com isso obtemos a matriz A. Vamos denotar A = [A||I].
(2) Agora aplicamos operac¸o˜es elementares sobre a matriz A, objetivando transformar a matriz A
em I. Para isso usaremos uma variac¸a˜o do me´todo do escalonamento.
Vejamos um exemplo.
Exemplo 1.32. Determine, se poss´ıvel, a inversa da matriz A =
 2 1 34 2 2
2 5 3
.
• Primeiro escrevemos a matriz A. Temos A =
 2 1 34 2 2
2 5 3
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
• Agora identificamos o pivoˆ da primeira linha, que e´ 2. Devemos ”zerar”os elementos 4 e
2, abaixo do pivoˆ. Aplicamos as seguintes operac¸o˜es elementares: L2 ↔ L2 + (−2)L1, para
”zerar”o 4 e, L3 ↔ L3 + (−1)L1, para ”zerar”o 2. Apo´s os ca´lculos, temos:
A1 =
 2 1 30 0 −4
0 4 0
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
−2 1 0
−1 0 1

• Agora permutamos a segunda linha com a terceira. Obtemos:
A2 =
 2 1 30 4 0
0 0 −4
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
−1 0 1
−2 1 0

26
• A matriz a` esquerda ja´ esta´ escalonada. Entretanto, precisamos transforma-la na matriz
identidade. Para isso, vamos olhar para a segunda linha e Zerar o elemento acima do 4.
Primeiro vamos dividir a segunda linha por 4, para facilitar as contas. fac¸amos a seguinte
operac¸a˜o elementar L2 ↔ 14L2. Ficamos com:
A3 =
 2 1 30 1 0
0 0 −4
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
−1
4
0 1
4−2 1 0

• Agora sim, vamos olhar para a segunda linha e ”zerar”o elemento acima do 1, que e´ tambe´m
1. Fac¸amos o seguinte: L1 ↔ L1 + (−1)L2. Resulta em:
A4 =
 2 0 30 1 0
0 0 −4
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
5
4
0 −1
4−1
4
0 1
4−2 1 0

• O pro´ximo passo e´ simplificar a terceira linha, fazendo L3 ↔ −14L3. Vem que:
A5 =
 2 0 30 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
5
4
0 −1
4−1
4
0 1
4
1
2
−1
4
0

• Olhando para a terceira linha, precisamos ”zerar”os elementos acima do 1. Nesse caso, so´
falta o 3. Logo fazemos L1 ↔ L1 + (−3)L3. Obtemos:
A6 =
 2 0 00 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
−1
4
3
4
−1
4−1
4
0 1
4
1
2
−1
4
0

• Finalmente, basta dividir a primeira linha por 2. Para isso, usamos a seguinte operac¸a˜o
elementar: L1 ↔ 12L1. Resulta em:
A7 =
 1 0 00 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
−1
8
3
8
−1
8−1
4
0 1
4
1
2
−1
4
0

Como a matriz a` esquerda foi reduzida a identidade, segue-se, pela proposic¸a˜o 1.5, que a
matriz resultante a` direita e´ a inversa de A. Temos:
A−1 =
 −18 38 −18−1
4
0 1
4
1
2
−1
4
0

¤
Caso a matriz A, na˜o seja invers´ıvel, na˜o sera´ poss´ıvel reduzi-la a identidade. Veja um exemplo
disso.
Exemplo 1.33. Considere a matriz A =
 1 2 32 4 6
5 1 4
. Vamos tentar aplicar o me´todo da inversa
nessa matriz.
27
• Primeiramente escrevemos
A =
 1 2 32 4 6
5 1 4
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
0 1 0
0 0 1

• A seguir, identificamos o pivoˆ da primeira linha, que e´ 1 e, objetivando ”zerar”os elementos
abaixo dele, fazemos L2 ↔ L2 + (−2)L1. Apo´s os ca´lculos, obtemos:
A1 =
 1 2 30 0 0
5 1 4
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
−2 1 0
0 0 1

Notemos que a segunda linha da matriz a` esquerda se anulou! Isso significa que na˜o ha´ como
transforma-la na matriz identidade. Segue-se que a matriz A na˜o e´ invers´ıvel.
¤
1.5.2 Exerc´ıcios
1. Transforme a matriz dada na matriz identidade, por meio de operac¸o˜es elementares.
(a) A =
[
3 5
1 2
]
(b) B =
 −3 4 −50 −1 2
3 −5 4
 (c) C =

1 0 0 0
−2 1 0 0
1 −2 1 0
0 1 −2 1

2. Obtenha, se poss´ıvel, a inversa da matriz a seguir.
(a) A =
[
5 2
1 3
]
(b) B =
[
3 1
2 3
]
(c) C =
[
3 1
9 3
]
(d) D =
 −3 4 −50 1 2
3 −5 4
 (e) E =

1 0 0 0
2 1 0 0
3 2 1 0
4 3 2 1
 (f) F =
 2 0 00 3 0
0 0 7

(g) G =
 2 2 23 4 71 2 5
 (h) H =
 −1 10 −7−1 −4 3
1 −2 1
 (i) I =
 0 2 −11 4 −2
−1 −7 3

1.6 Ca´lculo de Determinantes
Objetivo
• Calcular determinantes de ordem 2
• Desenvolver um determinante por uma linha, ou coluna
Determinantes sa˜o func¸o˜es que surgem naturalmente em ca´lculos matriciais. Precisamos
desse conceito em diversas a´reas da matema´tica que usam matrizes como, por exemplo no ca´lculo
de func¸o˜es de va´rias varia´veis. Usaremos determinantes no u´ltimo cap´ıtulo desse texto para estudar
os autovalores e autovetores de um operador linear.
28
1.6.1 Determinantes de ordem 2
Definic¸a˜o 1.17. Dada a matriz quadrada de ordem 2, A =
[
a11 a12
a21 a22
]
, chamamos determinante
de A ao nu´mero real:
a11 · a22 − a21 · a12
Denotamos o determinante da matriz A, por detA, ou |A|. Nesse caso, temos:
detA =
∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11 · a22 − a21 · a12
Como trata-se de um determinante de uma matriz de segunda ordem, chamaremos determi-
nante de ordem 2.
Exemplo 1.34. Calcule o determinante da matriz A =
[
2 1
5 3
]
.
Usando a fo´rmula dada na definic¸a˜o acima, temos: detA =
∣∣∣∣ 2 15 3
∣∣∣∣ = 2 · 3− 5 · 1 = 1 ¤
Pode parecer sem sentido efetuar um ca´lculo sem um significado estabelecido, como estamos
fazendo ao calcular um determinante. Entretanto, por se tratar de um ca´lculo trabalhoso, e´ relevante
estuda´-lo a parte, para que as ide´ias possam fluir mais naturalmente quando aplicarmos esse conceito
em uma teoria mais abrangente.
1.6.2 Desenvolvimento por Linha
O determinante, segundo a definic¸a˜o que demos, e´ um nu´mero real, obtido a partir de uma
matriz. Na˜o faz sentido falar em linhas ou colunas de um determinante. Contudo, o faremos
deliberadamente, com a simples intenc¸a˜o de tornar mais fa´cil a compreensa˜o dos ca´lculos.
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem maior que dois, usamos a
definic¸a˜o a seguir. Para facilitar a compreensa˜o concentremos nossa atenc¸a˜o na linha i. Esse
me´todo de calcular o determinante e´ chamado de desenvolvimento a partir de uma linha, no
caso em questa˜o, i-e´sima linha.
Definic¸a˜o 1.18. O determinante de uma matriz quadrada A =

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
ai1 ai2 ... ain
... ... ... ...
an1 an2 ... ann

n×n
, com
n > 2 e´ dado por:
detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
... ... ... ... ...
ai1 ai2 ai3 ... ain
... ... ... ... ...
an1 an2 an3 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
29
= (−1)i+1ai1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a12 a13 ... a1n
a22 a23 ... a2n
... ... ... ...
a(i−1)2 a(i−1)3 ... a(i−1)n
a(i+1)2 a(i+1)3 ... a(i+1)n
... ... ... ...
an2 an3 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
+(−1)i+2ai2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a13 a14 ... a1n
a21 a23 a24 ... a2n
... ... ... ... ...
a(i−1)1 a(i−1)3 a(i−1)4 ... a(i−1)n
a(i+1)1 a(i+1)3 a(i+1)4 ... a(i+1)n
... ... ... ... ...
an1 an3 an3 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
+(−1)i+3ai3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a14 a15 ... a1n
a21 a22 a24 a25 ... a2n
... ... ... ... ... ...
a(i−1)1 a(i−1)2 a(i−1)4 a(i−1)5 ... a(i−1)n
a(i+1)1 a(i+1)2 a(i+1)4 a(i+1)5 ... a(i+1)n
... ... ... ... ... ...
an1 an2 an4 an5 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+ ...
...
...+ (−1)i+nain
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 ... a1(n−1)
a21 a22 ... a2(n−1)
... ... ... ...
a(i−1)1 a(i−1)2 ... a(i−1)(n−1)
a(i+1)1 a(i+1)2 ... a(i+1)(n−1)
... ... ... ...
an1 an2 ... an(n−1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Observemos atentamente a fo´rmula acima. O determinante foi desenvolvido a partir da i-e´sima
linha de A. Vamos analisar a primeira parcela:
(−1)i+1ai1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a12 a13 ... a1n
a22 a23 ... a2n
... ... ... ...
a(i−1)2 a(i−1)3 ... a(i−1)n
a(i+1)2 a(i+1)3 ... a(i+1)n
... ... ... ...
an2 an3 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Ela foi determinada pelo primeiro elemento dessa linha, no caso: ai1, que esta´ cruzamento da
linha i, com a coluna 1 de A.
30
Primeiro temos (−1)i+1. Notemos que i+1 e´ a soma dos ı´ndices de ai1. Agora compare a matriz
A, com essa expressa˜o que estamos analizando. O determinante que aparece nessa expresa˜o foi
obtido da matriz A, eliminando a linha e a coluna do elemento ai1. Por isso, nesse determinante,
esta´ faltando a linha i e a coluna 1. Aparecem as linhas 1, 2, ... ate´ a linha (i−1). A linha seguinte,
e´ a linha (i+ 1) (observe!). Eliminamos a linha i.
O segundo elemento da linha i e´ ai2 (estamos desenvolvendo a linha i). Esse elemento esta´ no
cruzamento da linha i, com a coluna 2. Eliminando essa linha e essa coluna, obtemos o determinante
da segunda parcela. Desse modo, a segunda parcela e´
(−1)i+2ai2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a13 a14 ... a1n
a21 a23 a24 ... a2n
... ... ... ... ...
a(i−1)1 a(i−1)3 a(i−1)4 ... a(i−1)n
a(i+1)1 a(i+1)3 a(i+1)4 ... a(i+1)n
... ... ... ... ...
an1 an3 an3 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Enfatizando mais ainda, notemos que as colunas que aparecem nesse determinante sa˜o a coluna
1, depois a coluna 3, a seguir vem a coluna 4, ... ate´ a coluna final. A coluna 2 foi, de fato,
eliminada.
Seguindo esse racioc´ınio, obtemos cada parcela do desenvolvimento do determinante. E´ impor-
tante notar que, para calcular o determinante de A, o desenvolvemos em uma soma com determi-
nantes ”menores”(uma linha e uma coluna a menos). Vejamos agora alguns exemplos nume´ricos.
Exemplo 1.35. Dada a matriz de ordem 3, A =
 2 1 53 0 2
10 5 1
, calcule detA.
A fo´rmula dada nos permite desenvolver o determinante por uma linha i qualquer. Vamos
desenvolveˆ-lo a partir da primeira linha. Temos:
detA =
∣∣∣∣∣∣
2 1 5
3 0 2
10 5 1
∣∣∣∣∣∣ = (−1)1+1 · 2 ·
∣∣∣∣ 0 25 1
∣∣∣∣+ (−1)1+2 · 1 · ∣∣∣∣ 3 210 1
∣∣∣∣+ (−1)1+3 · 5 · ∣∣∣∣ 3 010 5
∣∣∣∣
Notemos que estamos desenvolvendo a primeira linha. Os elementos em questa˜o sa˜o: 2, 1 e 5.
Olhando para o 2, vemos que ele esta´ no cruzamento da primeira linha com a primeira coluna. Isso
justifica o (−1)1+1. Analogamente, o elemento seguinte, 1, esta´ no cruzamento da primeira linha
com a segunda coluna. Por isso, aparece o fator (−1)1+2. Analogamente para o 5.
Agora, como ja´ sabemos calcular determinantes de segunda ordem, conclu´ımos o ca´lculo. Temos:
detA =
∣∣∣∣∣∣
2 1 5
3 0 2
10 5 1
∣∣∣∣∣∣ = (−1)1+1 · 2 ·
∣∣∣∣ 0 25 1
∣∣∣∣+ (−1)1+2 · 1 · ∣∣∣∣ 3 210 1
∣∣∣∣+ (−1)1+3 · 5 · ∣∣∣∣ 3 010 5
∣∣∣∣ =
2 · (−10) + (−1) · (−17) + 5 · 15 = 72
¤
Vejamos mais um exemplo.
Exemplo 1.36. Calcule detA =
∣∣∣∣∣∣
3 −1 4
0 0 3
8 1 2
∣∣∣∣∣∣.
Vamos calcular esse determinante, desenvolvendo-o a partir da segunda linha. Temos:
31
detA =
∣∣∣∣∣∣
3 −1 4
0 0 3
8 1 2
∣∣∣∣∣∣ = (−1)2+1 · 0 ·
∣∣∣∣ −1 41 2
∣∣∣∣+ (−1)2+2 · 0 · ∣∣∣∣ 3 48 2
∣∣∣∣+ (−1)2+3 · 3 · ∣∣∣∣ 3 −18 1
∣∣∣∣ =
(−1) · 3 · 11 = −33
¤
Notemos que o ca´lculo ficou bem mais simples, pois a linha escolhida tinha dois zeros. Calcu-
lamos a seguir um determinante de ordem 4.
Exemplo 1.37. Calcule detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 5 2 1
3 1 0 3
4 0 1 0
1 1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣.
Desenvolveremos a terceira linha. Temos:
detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 5 2 1
3 1 0 3
4 0 1 0
1 1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1)
3+1 · 4 ·
∣∣∣∣∣∣
5 2 1
1 0 3
1 0 1
∣∣∣∣∣∣+ (−1)3+3 · 1 ·
∣∣∣∣∣∣
1 5 1
3 1 3
1 1 1
∣∣∣∣∣∣ =
Notemos que na˜o escrevemos todas as parcelas. Usamos apenas os elementos na˜o nulos da
terceira linha. Calculando cada determinante separadamente, temos
•
∣∣∣∣∣∣
5 2 1
1 0 3
1 0 1
∣∣∣∣∣∣ = (−1)2+1 · 1 ·
∣∣∣∣ 2 10 1
∣∣∣∣+ (−1)2+3 · 3 · ∣∣∣∣ 5 21 0
∣∣∣∣ = (−1) · 2 + (−1) · 3 · (−2) = 4
•
∣∣∣∣∣∣
1 5 1
3 1 3
1 1 1
∣∣∣∣∣∣ = (−1)1+1 · 1 ·
∣∣∣∣ 1 31 1
∣∣∣∣+ (−1)1+2 · 5 · ∣∣∣∣ 3 13 1
∣∣∣∣+ (−1)1+3 · 1 · ∣∣∣∣ 3 11 1
∣∣∣∣ =
−2 + (−1) · 5 · 0 + 2 = 0
Desenvolvemos a linha 2, para o primeiro e a linha 1 para o segundo.
Retomando, temos:
detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 5 2 1
3 1 0 3
4 0 1 0
1 1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1)
3+1 · 4 ·
∣∣∣∣∣∣
5 2 1
1 03
1 0 1
∣∣∣∣∣∣+ (−1)3+3 · 1 ·
∣∣∣∣∣∣
1 5 1
3 1 3
1 1 1
∣∣∣∣∣∣ =
= 1 · 4 · 4 + 1 · 1 · 0 = 16 ¤
1.6.3 Exerc´ıcios
1. Calcule os determinantes abaixo
(a)
∣∣∣∣ 2 15 3
∣∣∣∣ (b) ∣∣∣∣ 2 310 19
∣∣∣∣ (c) ∣∣∣∣ 20 59 8
∣∣∣∣ (d) ∣∣∣∣ 3 16 9
∣∣∣∣
(e)
∣∣∣∣∣∣
5 3 1
2 0 3
4 6 0
∣∣∣∣∣∣ (f)
∣∣∣∣∣∣
1 2 3
3 6 9
2 0 0
∣∣∣∣∣∣ (g)
∣∣∣∣∣∣
3 0 5
1 2 1
0 2 3
∣∣∣∣∣∣
(h)
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 1 0 1
1 2 1 3
0 1 0 0
3 5 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ (i)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 5 2
2 0 5 6
1 0 5 7
0 1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
32
Cap´ıtulo 2
Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
2.1 Soluc¸a˜o de Sistemas
Objetivos
• Conhecer equac¸o˜es e sistemas lineares
• Saber o que e´ soluc¸a˜o de um sistema linear
• Escrever um sistema linear em notac¸a˜o matricial
2.1.1 Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o 2.1. Chamamos equac¸a˜o linear a coeficientes reais a uma expressa˜o do tipo
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b
Na qual, x1, x2, ..., xn sa˜o chamadas varia´veis. Os termos a1, a2, ..., an sa˜o nu´meros reais,
chamados coeficientes das varia´veis e, b e´ denominado termo independente. No caso particular
em que b = 0, ficamos com
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = 0
e, chamamos equac¸a˜o homogeˆnea.
Observac¸a˜o: Neste texto, vamos tratar apenas de equac¸o˜es com coefientes reais. Portanto,
diremos apenas, equac¸a˜o linear.
O que caracteriza uma equac¸a˜o linear e´ que as varia´veis esta˜o sujeitas a apenas duas operac¸o˜es
(operac¸o˜es lineares), quais sejam: soma e multiplicac¸a˜o por um nu´mero real.
Exemplo 2.1. Considere a equac¸a˜o linear 2x1 + 5x2 − 8x3 + 3x4 = 1
Nessa equac¸a˜o os coeficientes sa˜o 2, 5, −8 e 3. O nu´mero 1, a` direita da igualdade e´ o termo
independente. ¤
Caso estejamos considerando uma equac¸a˜o com poucas varia´veis, costumamos escreveˆ-la usando
letras diferentes como no exemplo a seguir.
Exemplo 2.2. A equac¸a˜o 2x+ 3y + 5z = 0 e´ uma equac¸a˜o linear homogeˆnea. ¤
33
Definic¸a˜o 2.2. Uma n-upla de nu´meros reais (s1, s2, ..., sn) e´ chamada soluc¸a˜o da equac¸a˜o linear
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b quando a igualdade a1s1 + a2s2 + a3s3 + ... + ansn+ = b e´
verdadeira.
Exemplo 2.3. Considere a equac¸a˜o 2x + 3y = 17. O par de valores (4, 3) e´ uma soluc¸a˜o dessa
equac¸a˜o. Pois, substituindo na equac¸a˜o, obtemos 2 ·4+3 ·3 = 17. Por tentativas podemos encontrar
outras soluc¸o˜es para essa equac¸a˜o. Tente encontrar algumas! O par (2, 5) na˜o e´ soluc¸a˜o dessa
equac¸a˜o, pois substituindo na equac¸a˜o, obtemos 2 · 2 + 3 · 5 = 19 6= 17.
¤
Exemplo 2.4. Considere a equac¸a˜o linear homogeˆnea x + 2y + z = 0. A terna de valores (0, 0, 0)
e´ soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o, pois substituindo na equac¸a˜o obtemos: 0 + 2 · 0 + 0 = 0.
O exemplo acima evidencia uma propriedade, simples, mas muito u´til sobre equac¸o˜es lineares.
Toda equac¸a˜o linear homogeˆnea a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = 0 admite a soluc¸a˜o (0, 0, ..., 0),
chamada soluc¸a˜o trivial. Uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o linear homogeˆnea a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... +
anxn = 0, diferente da soluc¸a˜o trivial sera´ chamada na˜o-trivial. Considerando ainda o exemplo
anterior, vemos que (2, 3,−8) e´ tambe´m soluc¸a˜o da equac¸a˜o dada, trata-se de uma soluc¸a˜o na˜o-
trivial.
2.1.2 Sistemas Lineares
Definic¸a˜o 2.3. Um sistema linear com coeficientes reais e´ um conjunto de equac¸o˜es lineares.
Denotamos assim: 
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ...+ a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ...+ a3nxn = b3
... ... ...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ...+ amnxn = bm
Quando ocorre b1 = b2 = b3 = ... = bm = 0, dizemos que o sistema e´ homogeˆneo.
Vale uma observac¸a˜o ana´loga quanto a denominac¸a˜o que usamos para equac¸o˜es lineares. Diremos
apenas sistema linear, ou ainda, simplesmente sistema, para nos referirmos a um sistema linear com
coeficientes reais.
Exemplo 2.5. O sistema
4x− y − 3z = 0
3x− 2y + 5z = 0
2x+ 3y + 4z = 0
e´ um sistema linear homogeˆneo, que possui treˆs varia´veis e treˆs equac¸o˜es.
¤
Definic¸a˜o 2.4. Uma n-upla de nu´meros reais (s1, s2, ..., sn) e´ chamada soluc¸a˜o do sistema linear
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ...+ a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ...+ a3nxn = b3
... ... ...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ...+ amnxn = bm
34
quando 
a11s1 + a12s2 + a13s3 + ...+ a1nsn = b1
a21s1 + a22s2 + a23s3 + ...+ a2nsn = b2
a31s1 + a32s2 + a33s3 + ...+ a3nsn = b3
... ... ...
am1s1 + am2s2 + am3s3 + ...+ amnsn = bm
Ou seja, quando (s1, s2, ..., sn) e´ soluc¸a˜o de cada equac¸a˜o do sistema simultaneamente. O con-
junto S de todas as soluc¸o˜es do sistema linear e´ chamado conjunto soluc¸a˜o do sistema.
Exemplo 2.6. Considere o sistema
2x+ y + 3z = 8
4x+ 2y + 2z = 4
2x+ 5y + 3z = −12
Notamos que (2,−5, 3) e´ soluc¸a˜o de cada equac¸a˜o desse sistema. Vejamos:
• 2 · 2 + 1 · (−5) + 3 · 3 = 8
• 4 · 2 + 2 · (−5) + 2 · 3 = 4
• 2 · 2 + 5 · (−5) + 3 · 3 = −12
Isso significa que (2,−5, 3) e´ soluc¸a˜o do sistema. ¤
Ate´ esse ponto, nosso objetivo e´ apenas reconhecer uma soluc¸a˜o por simples substituic¸a˜o. Na
sec¸a˜o seguinte estudaremos como obter soluc¸o˜es de um sistema linear.
Definic¸a˜o 2.5. Considere um sistema linear
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ...+ a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ...+ a3nxn = b3
... ... ...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ...+ amnxn = bm
A matriz
A =

a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
a31 a32 a33 ... a3n
... ... ... ... ...
am1 am2 am3 ... amn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
b11
b21
b31
...
bm1

cujos elementos sa˜o todos os coefientes do sistema, e´ chamada matriz ampliada do sistema.
Exemplo 2.7. O sistema
x+ y + 5z = −7
x+ 2y + 3z = 5
2x− 5y = 2
possui a seguinte matriz ampliada
35
A =
 1 1 51 2 3
2 −5 0
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
−7
5
2

¤
Definic¸a˜o 2.6. Dizemos que temos um sistema escalonado, ou na forma escalonada, quando
sua matriz ampliada esta´ na forma escalonada.
2.1.3 Exerc´ıcios
1. Obtenha uma soluc¸a˜o particular, na˜o trivial, de cada equac¸a˜o linear a seguir.
(a) 2x+ y − z = 0 (b) x− 2y + z = 0 (c) 5x+ y + z − w = 0
2. Escreva a matriz ampliada de cada sistema. A seguir, determine a forma escalonada da matriz
ampliada.
(a)
{
x+ y = 4
x+ 2y = 5
(b)
{
x+ 2y = 16
x− 3y = 20 (c)
{
5x+ 8y = 34
10x+ 16y = 50
(d)

x+ y + z = 15
x+ 2y − z = 25
−x+ y − z = 8
(e)
{
x+ 3y − 5z = 0
x− y + z = 0 (f)

−x+ 2y + 5z = 0
x+ 3y + z = 0
y + 2z = 1
2.2 Eliminac¸a˜o Gaussiana
Objetivos
• Resolver um sistema linear
• Discutir a soluc¸a˜o de um sistema linear
2.2.1 Resoluc¸a˜o de um Sistema Linear
A seguir veremos exemplos de como resolver alguns sistemas lineares.
Exemplo 2.8. Considere o seguinte sistema
x+ y − 3z = 15
y + z = 10
z = 7
Da u´ltima equac¸a˜o conclu´ımos que z = 7. Substituindo esse valor na segunda equac¸a˜o, obtemos:
y + 7 = 10. Logo y = 3. Substituindo os valores z = 7 e y = 3 na primeira equac¸a˜o, podemos
escrever: x + 3 − 3 · 7 = 15. Ou seja, x = 33. Reunindo os valores encontrados conclu´ımos que a
terna (33, 3, 7) e´ soluc¸a˜o do sistema dado. ¤
Considerando a matriz ampliada do sistema acima, vemos que
A =
 1 1 −30 1 1
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
15
10
7

ela se encontra na forma escalonada. Logo o sistema foi dado na forma escalonada. Nesses casos
e´ bastante simples obter a soluc¸a˜o do sistema, como vimos no exemplo.
36
2.2.2 O Me´todo de Eliminac¸a˜o Gaussiana
Nesta sec¸a˜o estudaremos como obter soluc¸o˜es de um sistema linear qualquer.
Definic¸a˜o 2.7. Dois sistemas lineares sa˜o ditos equivalentes quando possuem o mesmo conjunto
soluc¸a˜o.
Teorema 2.1. Dois sistemas lineares sa˜o equivalentes se, e somente se suas matrizes ampliadas
sa˜o equivalentes.
¤
Esse teoremae´ a base do que chamamos me´todo da eliminac¸a˜o gaussiana. Dado um sistema
linear qualquer, escrevemos sua matriz ampliada e a seguir, escalonamos essa matriz. Devido ao
teorema acima, o sistema escalonado obtido por esse processo, e´ equivalente ao sistema inicial. Isso
significa que o sistema escalonado tem a mesma soluc¸a˜o do sistema original. E, como ja´ vimos, e´
bastante simples resolver um sistema escalonado. Desse modo obtemos a soluc¸a˜o, caso exista, de
um sistema qualquer.
Exemplo 2.9. Considere o seguinte sistema:
x+ 2y + 3z = 10
3x+ 4y + 6z = 23
3x+ 2y + z = 10
Sua matriz ampliada e´  1 2 33 4 6
3 2 1
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
10
23
10

Escalonamos a matriz ampliada
(1) Primeiro usamos as seguintes operac¸o˜es elementares: L2 ↔ L2+ (−3)L1 e L3 ↔ L3+ (−3)L1.
Obtemos:  1 2 30 −2 −3
0 −4 −8
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
10
−7
−20

(2) Agora aplicamos L3 ↔ L3 + (−2)L2. Com isso chegamos a: 1 2 30 −2 −3
0 0 −2
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
10
−7
−6

Apo´s o escalonamento, retornamos a forma de sistema:
x+ 2y + 3z = 10
−2y − 3z = −7
−2z = −6
e, resolvemos por substituic¸a˜o. A u´ltima linha nos da´ z = 3. Substituindo esse valor na segunda
equac¸a˜o obtemos: −2y − 3 · 3 = −7. Segue-se que y = −1. Substituindo esses valores na primeira
37
equac¸a˜o, temos: x+ 2 · (−1) + 3 · 3 = 10. Logo x = 3. Reunindo os resultados obtidos, conclu´ımos
que (3,−1, 3) e´ soluc¸a˜o do sistema escalonado. Portanto, (3,−1, 3) e´ soluc¸a˜o do sistema original.
Verifique! ¤
Vejamos outro exemplo.
Exemplo 2.10. Considere o seguinte sistema:
x+ 2y + 3z = 10
3x+ 4y + 6z = 23
3x+ 2y + 3z = 10
Sua matriz ampliada e´  1 2 33 4 6
3 2 3
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
10
23
10

Escalonando (fac¸a as contas!), obtemos: 1 2 30 −2 −3
0 0 0
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
10
−7
−13

Retornando a forma de sistema, temos:
x+ 2y + 3z = 10
−2y − 3z = −7
0 = −13
A u´ltima equac¸a˜o e´ no mı´nimo curiosa, pois afirma algo sem sentido. Portanto, o sistema
escalonado na˜o possui soluc¸a˜o. Consequentemente, o sistema original tambe´m na˜o possui soluc¸a˜o.
¤
Vejamos um u´ltimo exemplo.
Exemplo 2.11. Seja o sistema

x+ 3y + 2z = 10
x+ y + z = 14
2x+ 2y + 2z = 28
Sua matriz ampliada e´  1 3 21 1 1
2 2 2
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
10
14
28

apo´s o escalonamento, obtemos  1 3 20 −2 −1
0 0 0
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
10
4
0

Portanto, o sistema escalonado e´
38
{
x+ 3y + 2z = 10
−2y − z = 4
Na˜o ha´ como obter um valor nume´rico para z nesse caso. Isolando z na u´ltima equac¸a˜o obtemos:
z = −2y − 4. Podemos supor que y e´ um valor conhecido e substituir o valor de z na primeira
equac¸a˜o. Segue-se que: x + 3y + 2(−2y − 4) = 10. Logo x + 3y − 4y − 8 = 10. Como estamos
supondo que y e´ um valor conhecido, podemos calcular x. Temos: x = y+ 18. Portanto, os valores
obtidos sa˜o: 
x = y + 18
y = y
z = −2y − 4
Conclu´ımos que a soluc¸a˜o do sistema e´ (y+18, y,−2y−4), supondo y um nu´mero real conhecido.
Para cada valor fixado de y obtemos uma soluc¸a˜o diferente. Por exemplo, fixando y = 1, obtemos
a soluc¸a˜o (19, 1,−6). Portanto, esse sistema possui infinitas soluc¸o˜es. ¤
2.2.3 Discussa˜o de um Sistema Linear
Definic¸a˜o 2.8. Dizemos que um sistema linear e´
1. Imposs´ıvel caso seu conjunto soluc¸a˜o seja vazio.
2. Poss´ıvel quando ele possui alguma soluc¸a˜o.
(a) Poss´ıvel e determinado quando ele possui exatamente uma soluc¸a˜o.
(b) Poss´ıvel e indeterminado caso possua mais de uma soluc¸a˜o
Para melhor entender o teorema a seguir, considere o seguinte. Quando aplicamos o me´todo da
eliminac¸a˜o gaussiana em um sistema
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ...+ a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ...+ a3nxn = b3
... ... ...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ...+ amnxn = bm
Temos que escalonar a matriz ampliada
a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
a31 a32 a33 ... a3n
... ... ... ... ...
am1 am2 am3 ... amn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
b11
b21
b31
...
bm1

que vamos representar de um modo mais compacto assim [A|B]. Denotemos o posto da matriz
A como posto(A) e, da matriz ampliada [A|B], posto([A|B]). Naturalmente, existem apenas duas
possibilidades:
• posto(A) <posto([A|B])
39
• posto(A) =posto([A|B])
O estudo da discussa˜o de um sistema linear e´ baseado no seguinte teorema
Teorema 2.2. Considerando o exposto acima temos que o sistema linear dado e´:
1. Imposs´ıvel, se posto(A) <posto([A|B]).
2. Poss´ıvel, se posto(A) =posto([A|B])
(a) Poss´ıvel e determinado, se posto([A|B]) = n
(b) Poss´ıvel e indeterminado, se posto([A|B]) < n
Observe que n e´ o nu´mero de varia´veis do sistema. ¤
Discutir um sistema linear significa classifica-lo segundo a definic¸a˜o 2.8. Vimos, no final da
subsessa˜o anterior, alguns exemplos de como resolver um sistema. Vimos que nem sempre existe
soluc¸a˜o para um dado sistema e, mesmo que exista a soluc¸a˜o pode na˜o ser u´nica, como se viu no
u´ltimo exemplo daquela subsessa˜o. O teorema acima nos permite obter essa classificac¸a˜o sem que,
para isso, seja necessa´rio resolver o sistema. Vejamos isso em um exemplo.
Exemplo 2.12. Vamos discutir o seguinte sistema
3x+ 9y + 12z = 24
4x+ 16y + 26z = 46
x+ 7y + 14z = 20
• O primeiro passo e´ escrever a matriz A, dos coeficientes e a matriz ampliada A. Temos
A =
 3 9 124 16 26
1 7 14
 e A =
 3 9 124 16 26
1 7 14
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
24
46
20

• Agora, devemos escalonar a matriz ampliada. Apo´s o escalonamento, obtemos:
A =
 3 9 120 4 10
0 0 0
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
24
14
−2

• Agora comparamos o posto da matriz A, (parte a` esquerda da matriz ampliada) com o posto
da matriz ampliada. Vemos que posto(A) = 2 e para a matriz ampliada, posto([A|B)] = 3.
Devido ao teorema 2.2, o sistema dado e´ imposs´ıvel. ¤
¤
Vejamos mais um exemplo.
Exemplo 2.13. Consideremos o sistema
2x− 5y − z = −8
3y − 2y − 4z = −11
−5x+ y + z = −9
Sua matriz ampliada e´ A =
 3 9 124 16 26
1 7 14
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
24
46
20
. Que apo´s o escalonamento se torna
40
A =
 3 9 120 11 −5
0 0 −74
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
24
2
−296

Vemos que posto(A) = 3 e posto[(A|B)] = 3. Devido a parte 2 do teorema 2.2, como
posto(A) =posto[(A|B)], trata-se de um sistema poss´ıvel. Agora, vemos que o sistema dado tem
3 varia´veis e que posto[(A|B)] = 3. Portanto, o sistema e´ poss´ıvel e determinado. ¤
E´ relevante comentar que a forma escalonada de uma matriz na˜o e´ u´nica. Talvez voceˆ obtenha
uma forma escalonada diferente. Mas, o posto e´ o mesmo, independentemente da forma escalonada.
Vale a pena enfatizar que, a discussa˜o de um sistema e´ apenas para classifica-lo, ou seja, nesse caso,
na˜o estamos interessados em resolver o sistema.
2.2.4 Exerc´ıcios
1. Resolva os seguintes sistemas.
(a)

x− y − 3z = 15
y + 5z = −7
z = 7
(b)

x+ y + 2z = 10
y − z = 3
z = 1
(c)

x+ y + z = 25
y + z = 3
z = 12
2. Resolva os seguintes sistemas pelo me´todo do escalonamento.
(a)

x+ y − z = 2
2x+ 3y + z = 15
x− y − z = −14
(b)

x+ 2y + z = 10
2x− y + 2z = 15
x− 2y + z = 4
(c)

x+ y + z = 15
2x− y = 7
x+ y − 2z = −8
3. Discuta os seguintes sistemas
(a)

2x+ 3y − 2z = 2
3x− 5y + 4z = 5
x− 2y − 7z = −24
(b)

x+ 2y + 3z = 10
3x+ 4y + 6z = 23
3x+ 2y + 3z = 10
(c)

x− 3y − z = −5
4x− y − z = 2
5x− 4y − 2z = −3
(d)
{
x− 8y − 9z = 14
7x+ 3y + 2z = −12
4. Determine que condic¸o˜es devem satisfazer os coeficientes a, b e c, para os sistemas abaixo
sejam poss´ıveis.
(a)

x+ 2y + 8z = a
2x+ 5y + 3z = b
x+ 4y − 4z = c
(b)

x+ 4y + 2z = a
3x+ 8y + 5z = b
4x+ 12y + 7z = c
(c)

x+ 2y + z = a
6x+ 11y + 8z = b
5x+ 9y + 7z = c
(d)

x+ y − z = a
−x+ 2z = b
y + z = c
41
Cap´ıtulo