Relatório Pendulo

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Departamento De Física – UFG Regional Catalão 
TÍTULO DO EXPERIMENTO: Pêndulo
Curso: Engenharia Civil
Professor: Ana Rita
Giovanna Aparecida Alves Rosa – 201511864
Samuel Filipe Pereira Santos – 201508564
06 de Junho de 2015
1 INTRODUÇÃO   
O fenômeno oscilatório está presente no nosso dia-a-dia mais do que percebemos, e na engenharia é possível notar diversos destes exemplos. Como quando ocorre um terremoto próximo a uma cidade, os edifícios são postos em oscilações tão intensas que podem desmoronar, (ressonância), ou também o efeito do vento sobre uma linha de transmissão elétrica fazendo com que ela vibre tão severamente até se romper...   
De acordo com Young; Freedman (2008), é considerado um sistema oscilante aquele no qual uma partícula se descola repetidamente em vaivém em torno da sua posição de equilíbrio a longo de um eixo adotado. É visto também que quando a mesma sai da sua origem surge uma força ou torque, denominada "força restauradora" que força a partícula a voltar para sua posição. Lembrando que, uma oscilação só ocorre quando existe essa força que obriga o sistema a voltar para sua posição de origem.  
São propriedades de um movimento oscilatório a sua frequência, período e amplitude. A frequência é o número de oscilações em uma unidade de tempo, o período é o tempo necessário para uma oscilação completa, e a amplitude é o módulo máximo do vetor deslocamento do corpo a partir da posição de equilíbrio. Tais propriedades podem ser calculadas de acordo com as seguintes equações: 
𝑇=∆𝑡𝑛 											(1) 
 𝑓= 𝑛∆𝑡 											(2) 
Onde, na equação 1, T representa o período do movimento, e já na equação 2, a frequência é definida pelo f. entretanto, nas duas equações há elementos em comum, é um intervalo de tempo em que se ocorre um número (n) de oscilações. Lembrando que no Sistema Internacional, o tempo é medido em segundos (s) e a frequência em Hertz (Hz).
De acordo com Halliday; Resnick; Walker (2006),é denominado movimento periódico ou movimento harmônico (MHS) qualquer movimento oscilatório que se repete em intervalos regulares. Temos o exemplo do sistema massa-mola, as ondas na corda de um violão, e o pêndulo simples, o qual será objeto de estudo nesse trabalho. 
Um pêndulo simples é composto por um fio inextensível de comprimento L com uma das extremidades fixa e a outra pressa à uma partícula de massa desprezível.  As forças que atuam nessa massa são a tensão e a força gravitacional. No entanto, quando o pêndulo inicia o seu movimento, o fio forma um ângulo com a vertical fazendo com que uma das componentes da força gravitacional seja tangencial a trajetória. Logo, essa componente tangencial produz um torque restaurador de sentido oposto ao movimento, o qual força a massa a voltar para sua posição de equilíbrio, o que faz gerar a oscilação. Como se pode ver na figura abaixo.
Figura 1 – Pêndulo Simples.
Fonte: http://www.fisica.ufpb.br/~mkyotoku/texto/texto6.htm
No entanto, Halliday; Resnick; Walker (2006), diz que todo sistema oscilante possui algum elemento "elástico" e algum elemento de "inércia". No caso do pêndulo simples o elemento de elasticidade está associado com a força gravitacional, ou seja, a única força responsável pelo movimento oscilatório é a F= P.senθ. Dessa forma, sendo o ângulo θ expresso por definição como o quociente do arco descrito pelo ângulo, que no movimento oscilatório de um pêndulo é x e o raio de aplicação do mesmo, no caso, dado por L, temos: 
	
	
	
	
	
	3
(3)
	
	
	
	
	
	
E ao substituirmos em F, é possível concluir que em um movimento de pêndulo simples não é de forma precisa considerado um MHS. Isso se dá porque de acordo com Young; Freedman (2008) apenas pode-se considerar um movimento harmônico simples se a força restauradora for diretamente proporcional ao deslocamento ou ao ângulo. Logo, é visto que a força restauradora representada por F = P.sen θ em um movimento de pêndulo simples não é proporcional a elongação, como enunciado para um MHS, e sim ao seno dela. Evidenciando portanto que não se trata de um MHS.
Entretanto, vale lembrar que segundo Halliday; Resnick; Walker (2006), o movimento de um pêndulo simples oscilando em ângulos pequenos é aproximadamente um MHS, uma vez que para pequenos ângulos o seno tem valor aproximado ao valor do próprio ângulo. Dessa forma, a força restauradora de um pêndulo passa a ser na forma de constante vezes a elongação, fato que caracteriza um MHS.
Sendo assim, é possível encontrar a equação do período de um pêndulo simples, a qual será bastante usada nesse trabalho. A partir de conhecida a equação do período de um MHS e fazendo as suas devidas alterações quanto a respeito da força restauradora e do ângulo para um pêndulo simples, encontramos a sua equação do período (T) na forma de:
	
	
	
	
	
	4
(4)
	
	
	
	
	
	
Em que L é o comprimento do fio, e g o valor da aceleração gravitacional local.
Uma vez conhecidas as equações que envolvem um movimento oscilatório em um pêndulo simples, é possível fazer várias observações que envolvem o comprimento e o período. Como no caso de um pêndulo comprido possuir um período maior do que um pêndulo curto, e ter frequência menor. E também observar o valor da gravidade de uma região em que o pêndulo oscila, sendo este o objetivo desse trabalho. 
2 MATERIAIS UTILIZADOS
Balança analítica
Cubo metálico 
Cubo plástico
Paquímetro
Régua
Figura 2 - Suporte rígido, com o fio fino e com o cilindro maciço.
Fonte: http://www.pontociencia.org.br/imgdb/experimentos/8c11a7cf4be40b4bcda37ceffa01ce4e.jpg
	
3 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
	Primeiramente, utilizando um pêndulo simples como o mostrado na figura 1, foi adotado um comprimento qualquer do fio do mesmo desde o ponto de suspensão até o centro do cilindro para a realização do experimento. Após obtido o comprimento, foi medido um ângulo de dez graus com o transferidor e deslocado o fio da posição de equilíbrio até esse determinado ângulo. Logo, com o fio deslocado o objeto foi solto e medido o intervalo de tempo necessário para cinco oscilações através de um cronometro. Lembrando que, o experimento foi repetido 20 vezes com o mesmo ângulo, a fim de se obter precisão quando ao período do pêndulo.
4 RESULTADOS
	N
	Tempo 
	n
	Tempo 
	N
	Tempo 
	N
	Tempo 
	1
	5,35
	6
	5,38
	11
	5,62
	16
	5,36
	2
	5,31
	7
	5,42
	12
	5,56
	17
	5,32
	3
	5,52
	8
	5,38
	13
	5,3
	18
	5,57
	4
	5,35
	9
	5,42
	14
	5,4
	19
	5,6
	5
	5,51
	10
	5,28
	15
	5,41
	20
	5,4
Tabela 1 – Resultados das medições do tempo de cinco oscilações.
ANÁLISE DE RESULTADOS
No experimento de pêndulo simples realizado na sala de aula, primeiramente foi determinado um comprimento do fio de 30 cm, de forma que essa medida facilitaria a medição da oscilação. Em seguida, cronometramos o tempo necessário para 5 oscilações, partindo de um ângulo de aproximadamente 10° (medido por um transferidor). Lembrando que, foi adotado um ângulo pequeno porque o valor do seu seno é aproximadamente o valor do próprio ângulo, e é preciso considerar isso para efetuar os cálculos de um movimento de um pêndulo simples como um MHS.
Na medição dos tempos evidenciados na Tabela 1, a qual mostra o período de cinco oscilações, foi possível perceber que os mesmos diferiram do valor teórico calculado para um período de um pêndulo simples cujo comprimento seja de 30 cm e aceleração gravitacional de aproximadamente 9,78m/s² (cidade de Catalão). Através da Equação 4, foi calculado um valor ideal para o período do pêndulo de 1,10s, logo para cinco oscilações o tempo seria de 5,50s. Essa diferença pode ser explicada por meio dos erros sistemáticos e aleatórios presentes durante todo o experimento.
São erros encontrados no experimento: a vista desarmada no momento de medir o comprimento do fio e o valor do ângulo, o tempo de resposta do operador para cronometrar as oscilações, o tempo de reaçãopara soltar o cilindro, o vento que influenciou o movimento de oscilação e a incerteza do cronômetro. Dessa forma, diversos fatores interferiram no resultado final do experimento.
O objetivo do experimento é calcular o valor da gravidade através dos valores dos períodos obtidos, logo para tal primeiro era preciso ter conhecimento da incerteza do cronômetro, pois ela está relacionada ao tempo obtido a cada cinco oscilações e será utilizada quando for feita a propagação de erro para calcular o erro associado a gravidade.
Em seguida foi preciso calcular o valor do tempo médio () por meio da formula:
	
	
	
	
	
	6
(5)
	
	
	
	
	
	
E com ela foi possível obter um tempo médio de 5,42s para cinco oscilações do pêndulo, o qual é diferente do teórico (5,50) pelos motivos já explicados acima. A partir do tempo médio obtido, foi efetuado o cálculo do período do pêndulo simples () usando a equação:
	
	
	
	
	
	7
(6)
	
	
	
	
	
	7
E foi encontrado um período de 1,08s (também diferente do valor teórico de 1,10s).
Depois de encontrado esse resultado para o período médio, foi calculado o erro associado referente ao período por meio do desvio padrão ():
	
	
	
	
	
	
(7)
	
	
	
	
	
	
Sendo o valor encontrado mediante o uso da Equação 7 de 0,10s. Logo é possível escrever o período médio do pêndulo com o seu devido erro na forma de: τ = (1,08 ± 0,10)s. Com esses dados é possível encontrar um valor para a gravidade média por meio da Equação 4, uma vez que já é conhecido o período médio através dos cálculos, e o comprimento do fio adotado com a sua incerteza instrumental é no valor de L= (0,30 ± 0,)cm. Dessa forma, após realizado os cálculos é encontrada uma gravidade local de 10,15 m/s².
Lembrando que, o valor do erro associado a gravidade é encontrado por meio da propagação de incertezas, a qual possui a fórmula (derivada), obtendo assim um valor de 2,37m/s². Logo, a gravidade é escrita na forma: g= (10,15 +/- 2,37)m/s², e o seu erro percentual (E) tendo como base a gravidade teórica de Catalão no valor de aproximadamente 9,78m/s² é encontrado através da equação mostrada abaixo e tem valor de 3,78%.
	
	
	
	
	
	
(8)
	
	
	
	
	
	
6 CONCLUSÃO
Foi visto que tendo como base os resultados obtidos no experimento realizado no laboratório, a gravidade calculada para a cidade de Catalão não teve o mesmo valor da gravidade teórica. Pois, segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) o valor da aceleração gravitacional é igual (9,7840 ± 0,001) m/s², sendo que a encontrada no experimento foi de (10,15 +/- 2,37)m/s², ou seja, um erro percentual de 3,78%.
Essa diferença pode ser explicada de acordo com erros sistemáticos e aleatórios que existem durante a realização do procedimento, mesmo que estes tendem a ser minimizados durante o experimento. Tais erros que interferem na obtenção dos resultados são: a vista desarmada, o tempo de reação dos operadores, interferências naturais externas e a incerteza do cronômetro e da trena.
Logo, o estudo de um pêndulo simples pode ser usado para determinar o valor da aceleração da gravidade de uma região, entretanto o valor que irá encontrar possivelmente não será o mesmo do valor teórico, pois mesmo ocorrendo a minimização dos erros sistemáticos, haveriam os erros aleatórios.
REFERÊNCIAS
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos da Física v.2: gravitação, ondas e termodinâmica. 7. ed. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2006. p. 86-88.
MOSCA, G.; TIPLER, P. A. Física para cientistas e engenheiros, volume 1: mecânica, oscilações e ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2011. p. 466-481.
YOUNG, F.; SEARS, Z. FÍSICA 2: Termodinâmica e Ondas. 12. ed. São Paulo: Editora Addison Wesley, 2008. p. 36-38, 41-43, 49-54.
	
	
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