Trabalho 02 2017 2

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1. Encontre o domínio da função f(x,y) = ln(y + x) + �x − y + �36 − y� − x� e represente-o graficamente. 
 
y + x > 0 x – y ≥ 0 36 – y2 – x2 ≥ 0 
y > –x –y ≥ –x –y2 – x2 ≥ –36 
y ≤ x x2 + y2 ≤ 36 
 
D = {(x, y) ∈ ℜ
2
 | y > –x, y ≤ x e x
2
 + y
2
 ≤ 36} 
 
 
 
2. Encontre as curvas de nível k (Ck) da função f(x,y) = –4x –15 + y (k = ‒15, ‒10, ‒5). Faça um esboço 
das indicadas. 
Ck = {(x, y) ∈ ℜ2 │–4x – 15 + y = k} 
Reescrevendo: 
–4x –15 + y = k � y = 4x + 15 + k � Retas 
 
C‒15 � y = 4x + 15 – 15 � y = 4x 
 � (0, 0) e (1, 4) 
 
C‒10 � y = 4x + 15 – 10 � y = 4x + 5 
 � (0, 5) e (1, 9) 
 
C‒5 � y = 4x + 15 – 5 � y = 4x + 10 
 � (0, 10) e (1, 14) 
 
 
3. Estude o comportamento da função f(x,y) = 
xyx13
yx169
2
22
−
−
 quando nos aproximamos do ponto (0, 0) sobre a 
reta x = ‒2y (L1) e também sobre a curva y = 3x2 (L2). O que podemos afirmar sobre
xyx13
yx169
lim 2
22
)0,0()y,x( −
−
→
? 
L1: x = ‒2y 
lim
�→
169�−2y�� − y�
13�−2y�� − �−2y�. y
= lim
�→
676y� − y�
52y� + 2y�
= lim
�→
675y�
54y�
= lim
�→
12,5 = ��, � 
 
L2: y = 3x2 
lim
�→
169x� − �3x���
13x� − x. 3x�
= lim
�→
169x� − 9x�
13x� − 3x�
= lim
�→
x��169 − 9x��
x��13 − 3x�
= lim
�→
169 − 9x�
13 − 3x
=
169 − 9. 0�
13 − 3.0
= �! 
 
Como L1 ≠ L2 � ∄ 
xyx13
yx169
lim 2
22
)0,0()y,x( −
−
→
 
 
 
 
NOTA: 
 Avaliação 01 – Grau 2 
Nomes: ____________________________________________ 
 ____________________________________________ 
____________________________________________ 
____________________________________________ 
Disciplina: Cálculo Dif. e Integral: Séries e Derivadas Parciais 
 Professora: Denise da Rosa Araujo Data: 22 / 11 / 2017 
 
2 
 
6x�
5y�
−
3
√x�*
−
23
�4y�
 
 
4. Justifique porque é contínua a função dada: f(x,y) = ln(5x2y3 + 2y5 – 4xy) 
 
� Função composta de funções contínuas 
5x2y3 + 2y5 – 4xy � Função polinomial 
ln(u) � Função contínua 
 
5. Seja f(x, y) = sen(3x – 5y).cos(3x7y5). Determine a inclinação da superfície f(x, y) na direção y no ponto 
(‒1, 3). 
Regra do produto: y = f.g � y’ = f.g’ + g.f ’ 
 
f = sen(3x – 5y) � fy = cos(3x – 5y).(‒5) � fy = ‒5cos(3x – 5y) 
 
g = cos(3x7y5) � gy = ‒sen(3x7y5) . (15x7y4) � gy = ‒15x7y4sen(3x7y5) 
 
No ponto (‒1, 3), temos 
f = sen(3.(–1) – 5.3) = sen(–18) = 0,751 
g = cos(3(–1)7.35) = cos(–729) = 0,989 
fy = ‒5cos(3.(–1) – 5.3) = ‒5cos(–18) = –3,302 
gy = ‒15(–1)7.34sen(3(–1)7.35) = 1215sen(–729) = –182,173 
Logo, 
fy(‒1, 3) = 0,751. (–182,173) + 0,989. (–3,302) = –140,074 
 
6. Seja f(x, y, z) = 4e3z – 4x + 6y – 21x3y4z. Determine: fyxz 
 
fy = 4e3z – 4x + 6y .6 – 21.4x3y3z = 24e3z – 4x + 6y – 84x3y3z 
fyx = 24e3z – 4x + 6y .(–4) – 84.3x2y3z = –96e3z – 4x + 6y – 252x2y3z 
fyxz = –96e3z – 4x + 6y .3 – 252x2y3 � fyxz = –288e3z – 4x + 6y – 252x2y3 
 
 
7. Seja f(x, y) = . Determine fx(3, 2). 
 
Reescrevendo 
f =
6x�
5y�
− 3x,
,- −
23
�4y�
 
 
f� =
18x�
5y�
+ 2,4x,/,- − 0 
→ f��3,2� =
18.9
5.4
+ 2,4. 3,/,- = 8,1 + 0,332 = 0, 1!� 
 
8. Use a regra da cadeia para calcular 23
24
 onde z = 7.ln(2x – 5y2); x = 3t, y = –2t3 
→
dz
dt
=
∂z
∂x
∂x
∂t
+
∂z
∂y
∂y
∂t
 
dz
dt
= 7.
1
2x − 5y�
. 2.3 + 7.
1
2x − 5y�
. �−10y�. �−6t�� =
42
2x − 5y�
+
420yt�
2x − 5y�
 
3 
 
�Como x = 3t, y = –2t3 temos 
dz
dt
=
42
2.3t − 5. �−2t���
+
420. �−2t��. t�
2.3t − 5. �−2t���
=
42
6t − 20t9
−
840t:
6t − 20t9
=
42 − 840t:
6t − 20t9
 
 
→
;<
;=
=
�� − 1�>=�
!= − �>=?
 
 
 
9. Calcule a derivada direcional de f(x, y) = 3e2,4ycos(5x4), no ponto (3,–1), na direção de uAB = –3,3 ıB + 9,6ȷB. 
DFf = ∇AABf. uAB � Gradiente : ∇AABf = f�ıB + f�ȷB 
fx = –3e2,4ysen(5x4). 20x3 = –60x3e2,4ysen(5x4) 
� fx(3, –1) = –60.33e2,4.(–1)sen(5.34) = –1620e–2,4sen(405) = –38,555 
fy = 3e2,4y.2,4.cos(5x4) = 7,2e2,4ycos(5x4) 
 � fy(3, –1) = 7,2e2,4.(–1)cos(5.34) = 7,2e–2,4 cos(405) = –0,630 
� ∇AABf�2, −1� = −38,555 ıB − 0,630 ȷB 
 
Vetor unitário: HAAB
|HAAB|
 � |uAB| = �u/�+u��� |uAB| = ��−3,3�� + 9,6� = �103,050 = 10,151 
HAAB
|HAAB|
= ,�,�
/
,/:/
ıB + J,9
/
,/:/
ȷB � uAB = ‒0,325 ıB + 0,946 ȷB 
DFf = ∇AABf. uAB = (−38,555 ıB − 0,630 ȷB).(‒0,325 ıB + 0,946 ȷB) 
 = (−38,555).(‒0,325) + �−0,630� . 0,946 
 � DUf = 11,937 
 
 
10. Seja P(x, y) unidades, a produção diária de certa fábrica, onde x é o número de máquinas e y é o 
número de funcionários. Interprete Px(22, 750) = 50. 
 
� Se aumentarmos o número de máquinas em 1 unidade (de 22 para 23), a produção diária irá 
aumentar em aproximadamente 50 unidades, sendo que o número de funcionários permanece 
constante (em 750).