prova solução fundamentos de geometria

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MAT035 – Fundamentos de Geometria Plana e Desenho Geométrico 
Turma N – 2o semestre 2017 
2a prova – 12/10/17 
 
1. Na figura ao lado as retas r e s são paralelas. Mostre que 
𝐴𝐵
𝐴´𝐵´
=
𝐵𝐶
𝐵´𝐶´
 
 
Solução: Os triângulos OAB e OA’B’ são semelhantes e temos então 
. Analogamente obtemos e o resultado segue. 
 
 
2. A figura mostra duas circunferências de raios distintos, centros A e B e 
suas tangentes comuns, que se encontram em P e Q. 
 
a) Mostre que P, A e B estão alinhados. 
b) Mostre que A, Q e B estão alinhados. 
c) Mostre que 
𝑃𝐴
𝑃𝐵
=
𝑄𝐴
𝑄𝐵
 
 
Solução: a) Como A e B equidistam das tangentes por P, segue que A e B 
pertencem à bissetriz do ângulo , ou seja, P, A e B estão alinhados. 
 
b) Argumento análogo ao de (a) mostra que e são bissetrizes de dois 
ângulos opostos pelo vértice em Q, e segue que Q, A e B estão alinhados. Logo 
P, Q, A e B pertencem à reta . 
 
 
c) Seja T como na figura. Da semelhança dos triângulos APR e BPT 
obtemos , onde a e b denotam os raios das 
circunferências de centros A e B, respectivamente. 
 
 
Argumento análogo ao anterior, aplicado à figura ao lado, mostra 
que e o resultado segue. 
 
 
3. No triângulo ABC da figura os segmentos BC e DE são paralelos. O ponto F é 
escolhido arbitrariamente no segmento BD, e os segmentos FE e BG são paralelos. 
Mostre que CF e GD são paralelos. Sugestão: use a recíproca do teorema de Tales. 
 
Solução: Os triângulos ADE e ABC são semelhantes e segue que , ou seja, 
. Da semelhança dos triângulos AFE e ABG segue , ou seja, . Logo 
, ou seja, , o que mostra que CF e GD são paralelos. 
 
4. Na figura ao lado AD e BE são alturas do triângulo ABC. Mostre que 
 
𝐴𝐵2 = 𝐴𝐸 ∙ 𝐴𝐶 + 𝐵𝐷 ∙ 𝐵𝐶 
 
Sugestão: Há quatro triângulos retângulos na figura. Use dois deles para AB, um 
para AD e outro para BE. 
 
Solução: O teorema de Pitágoras aplicado aos triângulos retângulos ADB e AEB nos fornece as expressões 
. Dos triângulos ADC e BEC temos, respectivamente, e 
. Desse modo 
 
e 
 
A expressão procurada segue somando essas duas igualdades. 
 
5. Na figura as retas AD e BC são paralelas e AC é perpendicular a 
BC; temos também 𝐷𝐹 = 2𝐴𝐵. Mostre que 𝐴𝐵�̂� = 2𝐶𝐵�̂�. 
 
Sugestão: Seja 𝛼 = 𝐶𝐵�̂�. Calcule AD em função de 𝛼, use a lei dos 
senos no triângulo ABD e lembre-se que sen 2𝛼 = 2 sen𝛼 cos𝛼. 
 
Observe que essa é outra trissecção de ângulo (no caso, do ângulo 𝐴𝐵�̂�). Como sempre, ela não é possível com 
régua e compasso, pois depende de achar a reta por B tal que 𝐷𝐹 = 2𝐴𝐵. 
 
Solução: Sejam 
a
 e 
b
 como na figura ao lado. Do 
paralelismo de e segue que . Como o 
triângulo ADF é retângulo temos , e a lei dos 
senos aplicada ao triângulo ADB nos dá . 
Logo e segue que . (fica para o(a) leitor(a) eliminar o caso )