Métodos Quantitativos Tema 6 Aula 2

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Tema 6: Distribuições de probabilidades de variáveis aleatórias contínuas 
Analogamente ao tema 5, onde foram tratados conceitos de probabilidades referente à 
distribuição de probabilidades de variáveis aleatórias discretas, o tema 6 abordará esse mesmo 
conceito aplicado a variáveis aleatórias contínuas e discutirá um dos modelos mais importantes para 
distribuições de probabilidades de variáveis desta natureza: a distribuição normal. Além disso, outros 
modelos de distribuição também serão discutidos. 
Valor esperado ou média de uma variável aleatória contínua 
Suponha que X represente uma variável aleatória contínua. Assim, o valor esperado de X (ou 
esperança matemática de X) ou simplesmente a média de X é dada por (MARTINS, 2010): 
   x E x xf x dx


   ( ) .
 
De maneira similar, calcula-se a variância e o desvio padrão, os quais representam medidas de 
dispersão do fenômeno em estudo. 
Distribuição normal 
Devido ao elevado número de fenômenos que empregam esse modelo de distribuição, como 
altura, pressão arterial, tempo de vida útil de dispositivos mecânicos e eletrônicos, entre outros, a 
distribuição normal possui uma grande importância (ROSA, 2009). Além disso, esse modelo pode ser 
empregado para aproximar outras distribuições e possui uma elevada utilização em técnicas de 
inferência estatística, as quais serão tratadas na próxima aula. 
Esse modelo de distribuição é também chamado de distribuição de Gauss. Considerando X uma 
variável aleatória contínua com distribuição normal, pode-se definir sua função densidade de 
probabilidade como (MARTINS, 2010): 
 
x
f x e para x
 
 
      
 
2
1
21
, ,
2
 
Sendo 

 e 

 a média e o desvio padrão da 
distribuição, nesta ordem. 
Segundo Rosa (2009), esse modelo de distribuição tem algumas características: 
a. A curva normal possui o formato de boca de sino, apresentando simetria em relação à média; 
b. A média, moda e mediana são valores coincidentes; 
c. A variável aleatória X relacionada a sua distribuição oscila de 
x   
; 
d. A função densidade de probabilidade tem ponto máximo onde x é igual a média populacional. 
Para o cálculo das probabilidades, dois problemas são revelados (ROSA, 2009): a integração de 
f(x) e a construção de uma tabela de probabilidades, pois f(x) é calculada por uma combinação da 
média e da variância. De modo a suprir tais dificuldades, realiza-se uma mudança de variável 
resultando-se, assim, na distribuição normal padronizada, aqui denotada por Z. 
Distribuição normal padronizada 
A distribuição normal padronizada é idêntica a uma distribuição normal com 
  0
 e 
  1
. Para 
conseguir essa distribuição padronizada, quando se possui uma variável X com distribuição normal com 
média 
  0
 e/ou desvio padrão 
  1
, devemos reduzi-la a uma variável Z, considerando a seguinte 
transformação linear de variáveis (MARTINS, 2010): 
i
i
X
Z



. 
Como são fixas a média (nula) e a variância (unitária), as probabilidades (áreas) sob f(z) são 
tabeladas. Assim, para determinar as probabilidades de f(x), modificam-se suas abcissas para z, 
calculando a probabilidade com a ajuda de uma tabela de distribuição normal padronizada. Desse 
modo, temos: 
   P a X b P z Z z    1 2
, onde: a b
z e z
 
 
 
1 2
. 
Exemplo (MONTGOMERY e RUNGER, 2011): O diâmetro do eixo de um dispositivo óptico de 
armazenagem é normalmente distribuído, com média de 0,2508 polegada e desvio padrão de 0,0005 
polegada. As especificações do eixo são 0,2500 ± 0,0015 polegadas. Que proporção de eixos obedece 
às especificações? 
Solução: Seja X o diâmetro em polegadas, do eixo. A probabilidade requerida é: 
   
     
P X P z Z z
P Z
P Z P Z P Z
    
  
   
 
        
  
1 20,2485 0,2515
0,2485 0,2508 0,2515 0,2508
0,0005 0,0005
4,6 1,4 1,4 4,6
0,91924 0,0000 0,91924
 
A maioria dos eixos não conformes é muito grande, em virtude de a média do processo estar 
localizada muito perto do limite superior da especificação. Se o processo estivesse centralizado, de 
modo que sua média fosse igual ao valor alvo de 0,2500, então: 
   
     
P X P z Z z
P Z
P Z P Z P Z
    
  
   
 
        
  
1 20,2485 0,2515
0,2485 0,2500 0,2515 0,2500
0,0005 0,0005
3 3 3 3
0,99865 0,00135 0,9973
 
Interpretação: por meio da recentralização do processo, o resultado é aumentado para 99,73%. 
Clique no link a seguir e assista a um vídeo que explica de forma detalhada como usar a tabela 
da distribuição normal. 
https://www.youtube.com/watch?v=ec9HWoY2kt8 
Outras distribuições de probabilidades são frequentemente utilizadas para descrever diferentes 
fenômenos, como a qui-quadrado, a t de Student e a F de Snedecor. Para entender como são 
descritas essas distribuições, clique no botão a seguir: 
http://www.salvas.info/Estatistica_Geral_e_Aplicada.pdf 
 
Desta forma, foi possível termos uma visão das principais distribuições de probabilidades 
aplicadas a variáveis aleatórias contínuas. 
 
Síntese 
Nessa aula, foram expostos os principais modelos de distribuição de probabilidade de uma 
variável aleatória contínua, enquanto na aula um foram estudadas medidas descritivas de uma 
determinada amostra. Quando ocorre a junção das distribuições de probabilidade e as medidas 
descritivas da amostra é possível obter as distribuições amostrais. 
Lembrando que o principal objetivo da estatística é realizar uma inferência sobre a população 
com base em dados de uma amostra. A partir disso, é possível medir a incerteza associada a cada 
inferência ou afirmação feita sobre a amostra. O nível de incerteza é medido em função de 
probabilidades, tendo como base as distribuições amostrais. 
Esperamos você na próxima aula! 
Referências 
Corrêa da Rosa, J. M. Estatística II (Notas de Aula). Departamento de Estatística UFPR, 2009. 
Disponível em: http://www.est.ufpr.br/ce003/material/apostilace003.pdf. Acesso em: 9 jun. 2015. 
Martins, G. A. Estatística Geral e Aplicada. 4. edição. Editora Atlas, 2011. 
Morettin, P. A.; Bussab, W. O. Estatística Básica. 7. edição. Editora Saraiva, 2012. 
Triola, M. F. Introdução à Estatística. 7. edição. LTC, 1999. 
PORTAL Action. Disponível em: http://www.portalaction.com.br/. Acesso em: 9 jun. 2015.