Métodos Quantitativos Tema 4 Aula 4

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Tema 4: ANOVA com dois fatores 
Esse estudo permite saber se a influência de dois fatores determinados alteram ou não a 
característica da variável em estudo. Para ilustrar, vamos a um exemplo extraído de Martins (2010): 
Um produtor agrícola de trigo deseja saber se há diferença na sua produtividade devido ao 
fertilizante e a variedade do trigo. Para tanto, realizou uma experiência, na qual foram usados cinco 
tipos diferentes de fertilizantes e duas variedades de trigo distintas. 
A produção está indicada a seguir. 
 
Partindo desse caso particular para um 
caso genérico, tomemos como ilustração o 
quadro abaixo, no qual se tem um 
questionamento se os fatores A e B influenciam 
ou não na variável em estudo. Nesta tabela, os 
fatores A e B estão distribuídos em níveis de 
estudo a e b respectivamente. 
Dessa forma, a ANOVA de dois fatores tem como principal objetivo verificar se fatores genéricos 
A e B influenciam na característica da variável em estudo. Para tanto, inicialmente é estabelecido um 
teste de hipóteses: 
0AH : O fator A não influencia na variável de estudo
 
0BH : O fator B não influencia na variável em estudo
 
De forma similar ao estudo de ANOVA com um único fator, para realizar esse teste utiliza-se 
novamente a distribuição F. Recordemos que, quando aplicamos a ANOVA com apenas um fator, as 
fontes de variação de dados são duas: variação entre os grupos e variação dentro dos grupos. Nesse 
caso, passamos a ter três fontes de variação: entre os grupos do fator A; entre os grupos do fator B e 
dentro dos grupos. 
Matematicamente a variação total poderá ser dividida em três componentes: variação devido ao 
fator A 
A(Q )
, variação devida ao fator B
B(Q )
 e variação dentro dos grupos 
D(Q )
: 
t A B DQ Q Q Q  
 
Onde: 
 
2a b
t i j
i 1 j 1
Q y y ,
 
 
  
2a
A i
i 1
Q b y y ,

   
2b
B j
j 1
Q a y y

 
 e 
 
a b
D i j i j t A B
i 1 j 1
Q y y y y Q Q Q
 
       g g
 
Organizando essas equações numa tabela, temos: 
Tabela 1 - Quando de análise de variância ANOVA de dois fatores. 
 
Para testar as hipóeses 
0AH
 e 
0BH
, em que os fatores A e B não influenciam a variável em estudo, 
calculam-se 
A
calF
 e 
B
calF
. Note-se que os valores 
A
tabF
 e 
B
tabF
 também devem ser verificados. Caso 
A A
cal tabF F
, 
rejeita-se 
0AH
, concluindo-se com um nível de significância 

 que o fator A não influencia a variável em 
estudo. Nesse caso, o número de graus de liberdade do numerador e denominador serão 
respectivamente 
(a 1)
 e 
(n b a 1)  
. 
De forma similar, se 
B B
cal tabF F
, rejeita-se 
0BH
 e conclui-se com um nível de significância 

 que o 
fator B não influencia a variável analisada. Para tanto, usa-se como número de graus de liberdade do 
numerado e do denominador, respectivamente, os valores 
(b 1)
 e 
(n b a 1)  
. 
 Para ter mais informações sobre a ANOVA de dois fatores, clique no link a seguir e leia um texto 
complementar: 
http://www.portalaction.com.br/content/2-anova-dois-fatores