Resumão AP2 C4

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Resumão 
Cálculo IV – AP2 
Integral de linha de um campo vetorial 
Seja 𝐶 ⊂ ℝ³, uma curva regular, dada por uma parametrização 𝛾: [𝑎, 𝑏] → ℝ³ de 
classe 𝐶¹, tal que 𝛾′(𝑡) ≠ 0, para todo 𝑡 ∈ ]𝑎, 𝑏[. Seja �⃗� = (𝑃, 𝑄, 𝑅) um campo vetorial 
contínuo sobre C. A integral de linha no campo �⃗� ao longo de C, é definida por: 
∫�⃗�𝑑𝑟
𝐶
= ∫ �⃗�
𝑏
𝑎
(𝛾(𝑡) ∗ 𝛾′(𝑡))𝑑𝑡
= ∫ [𝑃(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡))𝑥′(𝑡) + 𝑄(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡))𝑦′(𝑡)
𝑏
𝑎
+ 𝑅(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡))𝑧′(𝑡)]𝑑𝑡. 
 Observações: 
 
i. Seja C uma curva regular 𝐶 = 𝐶1 ∪ 𝐶2 ∪ …∪ 𝐶𝑛. Então: 
∫ �⃗�𝑑𝑟
𝐶
= ∫ �⃗�𝑑𝑟 + ⋯+
𝐶1
∫ �⃗�𝑑𝑟
𝐶𝑛
; 
ii. A integral de linha de um campo vetorial �⃗�, ∫ �⃗�𝑑𝑟
𝑐
, não depende da parametrização 
de C, desde que não se inverta sua orientação. Denotando por 𝐶− a curva C percorrida 
em outro sentido, então ∫ �⃗�𝑑𝑟 = −∫ �⃗�𝑑𝑟
𝐶𝐶−
; 
iii. Se C é uma curva fechada (𝛾(𝑎) = 𝛾(𝑏)) e está orientada no sentido anti-horário, 
denotamos a integral de linha ∮ �⃗�𝑑𝑟
𝐶+
. Caso contrário, denotamos por ∮ �⃗�𝑑𝑟
𝐶−
; 
iv. Podemos escrever ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧
𝐶
; 
v. O trabalho de um campo F em uma curva C é: 𝑊 = ∫ �⃗�𝑑𝑟
𝐶
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campo Conservativo: um campo vetorial �⃗�: 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑛 onde haja existência de 
um campo escalar diferenciável 𝜑:𝐷 → ℝ tal que ∇𝜑 = �⃗� em D. Uma condição 
Passo a passo 
1. Parametrizar a curva �⃗�(𝑡) (encontrando o intervalo 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏); 
2. Calcular �⃗�′(𝑡); 
3. Aplicar a fórmula que demos lá em cima, trazendo os valores encontrados dos 
passos anteriores e lembrando-se de escrever o campo vetorial �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) nas 
variáveis da parametrização; 
4. Fazer o produto escalar �⃗�(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡) ∗ �⃗�′(𝑡); 
5. Resolver a integral! 
 
 
necessária para �⃗� ser conservativo é que 𝑟𝑜𝑡 �⃗� = 0⃗⃗ em D. Consequentemente, se 
𝑟𝑜𝑡 �⃗� ≠ 0⃗⃗ em D, então �⃗� não é conservativo em D. 
 
Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha: Seja �⃗�: 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑛, 
(𝑛 = 2,3) de classe C². Se �⃗� é conservativo, isto é, �⃗� = ∇𝜑 em D, e se C é qualquer 
curva regular por partes com ponto inicial A e ponto final B, então: 
∫ �⃗�𝑑𝑟 = ∫∇𝜑𝑑𝑟 = 𝜑(𝐵) − 𝜑(𝐴)
𝐶𝐶
 
 Donde concluímos que a integral de linha de um campo conservativo só depende 
dos pontos A e B e não depende da trajetória que os une. 
 
 Se �⃗�: 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑛, (𝑛 = 2,3) é conservativo, então ∮ �⃗�
𝐶
𝑑𝑟 = 0 qualquer que 
seja o caminho fechado. Consequentemente, se ∮ �⃗�𝑑𝑟 ≠ 0
𝐶
 para alguma curva fechada 
C, então �⃗� não é conservativo. 
 
Existência de Função Potencial: Quando uma integral independe do caminho, esse 
campo é chamado de conservativo, e podemos definir o que chamamos de função 
potencial 𝑓, para a qual: 
�⃗� = ∇𝑓 
 O campo vetorial �⃗� = (𝑃, 𝑄) é igual ao gradiente da função potencial 𝑓, logo: 
(𝑃, 𝑄) = (
𝜕𝑓
𝜕𝑥
,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
) 
𝑓 = ∫𝑃𝑑𝑥 = ∫𝑄𝑑𝑦 
Integrando a equação �⃗� = ∇𝑓 em ambos os lados ao longo de uma curva C, temos: 
∫ �⃗�
𝐶
𝑑𝑟 = 𝑓(𝐵) − 𝑓(𝐴). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫𝐹1𝑑𝑥 = 𝑓 + 𝑃(𝑦) 
∫𝐹2𝑑𝑦 = 𝑓 + 𝑄(𝑥) 
Passo a passo – Campos Conservativos – Função 
Potencial 
1. Ver que não é muito simples resolver a integral de linha 
pela definição e achar 
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= 0; 
2. Como o campo é conservativo, definimos uma função 
potencial 𝑓 e calculamos as integrais: 
3. Comparamos os resultados e descobrimos quem são as 
constantes de integração 𝑃(𝑦) e 𝑄(𝑥) e a função potencial 𝑓; 
4. Descobrimos quem são os pontos inicial e final da curva e 
aplicamos ∫ �⃗�𝑑𝑟 = 𝑓(𝐵) − 𝑓(𝐴)
𝐶
. 
 
PS: Às vezes, vemos que o campo é conservativo, mas não conseguimos calcular uma 
função potencial. Nesses casos, podemos lembrar que a integral de linha independe do 
caminho e simplesmente escolhemos outra curva mais simples que tenha os mesmos 
pontos inicial e final da curva da questão. 
Campos Conservativos no ℝ𝟑: Vamos definir o rotacional de um campo F como: 
𝑟𝑜𝑡(�⃗�) = ∇ × �⃗� = ||
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑃 𝑄 𝑅
|| = (
𝜕𝑅
𝜕𝑦
−
𝜕𝑄
𝜕𝑧
,
𝜕𝑃
𝜕𝑧
−
𝜕𝑅
𝜕𝑥
,
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
) 
 Os campos conservativos tem rotacional igual a (0,0,0)! 
 Veja que a última componente do rotacional é 
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
, por isso, no caso especial 
em que F só tem componentes 𝑥 e 𝑦 (pertence ao ℝ2), só calculamos esse termo – as 
outras componentes do rotacional sempre são zero. Mas quando a curva não é plana (o 
campo pertence ao ℝ3), calculamos o rotacional por esse determinante para ver se o 
campo é conservativo. Caso seja, podemos calcular a função potencial da mesma forma 
que já vimos! 
Teorema de Green 
 Basicamente, o Teorema é um recurso que temos para “fugir” das integrais de 
linha (vetoriais) quando é muito complicado calcular pela definição. Ele diz o seguinte: 
Sendo D uma região fechada no plano 𝑥𝑦, que possui fronteira 𝜕𝐷 orientada 
positivamente, percorrida apenas uma vez, onde 𝐹(𝑥, 𝑦) = (𝑃(𝑥, 𝑦), 𝑄(𝑥, 𝑦)) é um 
campo vetorial que possui derivadas de 1ª ordem em D, então: 
∮ �⃗�
𝜕𝐷
𝑑𝑟 = ∬ (
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
 
Importante: o campo F deve estar definido em toda região D! 
 Ok, mas e aquela parte da fronteira C estar orientada positivamente? Uma 
fronteira está orientada positivamente quando, “andando” sobre ela, nós vemos a região 
D à nossa esquerda. Se liga: 
 
Pense em usar Green quando: 
 O campo vetorial tiver uma expressão bizarra; 
 A curva for difícil de parametrizar; 
 Você não conseguir resolver a integral de linha pela definição; 
 A questão não der a equação da curva. Nesse caso, a questão vai te dar a área de 
D e o termo (
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
) com certeza vai ser um número. Aplicando Green: 
∮ �⃗�
𝜕𝐷
𝑑𝑟 = ∬ 𝑛𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑛∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
= ∮ �⃗�𝑑𝑟 = 𝑛(Á𝑟𝑒𝑎 𝐷)
𝜕𝐷𝐷
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema das Quatro Equivalências: Seja �⃗� = (𝑃, 𝑄):𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ2 um campo de 
classeC¹ em D. Se 𝐷 ⊂ ℝ2 é um conjunto simplesmente conexo, então as seguintes 
informações são equivalentes: 
a. 
𝜕𝑄
𝜕𝑥
=
𝜕𝑃
𝜕𝑦
 em D; 
b. ∮ �⃗�𝑑𝑟
𝐶
= 0 qualquer que seja a curva fechada C de D; 
c. ∫ �⃗�𝑑𝑟
𝐶
 não depende do caminho C de D; 
d. �⃗� é conservativo. 
Superfícies Parametrizadas 
 Para descrever uma superfície, nós teremos dois parâmetros (pois temos uma 
“área”). As superfícies podem ter mais de uma parametrização. Então, cabe a nós 
Passo a passo – Teorema de Green 
1. Ver que a integral de linha em 𝐶1 é difícil de resolver pela definição e calcular o termo 
(
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
); 
2. Definir qual é a fronteira 𝜕𝐷 e a região D (é bom fazer o esboço). Se a curva não 
estiver fechada, fechar; se algum ponto não estiver definido, isolar ele com uma curva 
auxiliar 𝐶2; 
3. Aplicar o teorema, prestando atenção à orientação da curva; 
4. Escrever a região D matematicamente (se for preciso, usar coordenadas polares) e 
montar as integrais iteradas; 
5. Resolver a integral dupla; 
6. Se a fronteira for composta por mais de uma curva, resolver a integral de linha na 
curva auxiliar 𝐶2 pela definição; 
7. Encontrar a integral em 𝐶1. 
 
 
escolher a que for melhor para a questão. Vamos usar notação aqui para a superfície 
parametrizada: 𝜑(𝑢, 𝑣) = (𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣), 𝑧(𝑢, 𝑣)). 
 Dicas: 
 
 Isolar uma variável: é a forma mais simples de parametrizar,você escolhe, entre 
(𝑥, 𝑦, 𝑧), duas variáveis como parâmetros e a terceira fica em função delas. Os 
intervalos dependerão dos dados da questão. 
 
 Esfera 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² = 𝑎²: utilizamos as coordenadas esféricas para 
parametrizar. Temos: {
𝑥 = 𝑎 sin𝜙 cos 𝜃
𝑦 = 𝑎 sin𝜙 sin 𝜃
𝑧 = 𝑎 cos 𝜃
 com 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋 e 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋. 
Então: 
𝜑(𝜙, 𝜃) = ( 𝑎 sin 𝜙 cos 𝜃 , 𝑎 sin 𝜙 sin 𝜃 , 𝑎 cos 𝜃) com (𝜙, 𝜃) ∈
𝐷: {
0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋
0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
. 
Verificamos que: 
�⃗⃗⃗� =
𝜕𝜑
𝜕𝜙
×
𝜕𝜑
𝜕𝜃
= (𝑎2 sin2𝜙 cos 𝜃 , 𝑎2 sin2𝜙 sin 𝜃, 𝑎² sin𝜙 cos 𝜃) 
‖�⃗⃗⃗�‖ = 𝑎² sin𝜙. 
Logo, �⃗⃗� =
(𝑥,𝑦,𝑧)
𝑎
 é o vetor unitário normal exterior à esfera. 
 
 Cilindro 𝑥² + 𝑦² = 𝑎²: utilizamos coordenadas cilíndricas para parametrizar. 
Temos: {
𝑥 = 𝑎 cos 𝜃
𝑦 = 𝑎 sin 𝜃
𝑧 = 𝑧
. 
Então: 𝜑(𝜃, 𝑧) = ( 𝑎 cos 𝜃 , 𝑎 sin 𝜃, 𝑧) com (𝜃, 𝑧) ∈ 𝐷: 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, 𝑧 ∈ ℝ é uma 
parametrização de S. 
Verificamos que �⃗⃗⃗� = 𝜑𝜃 × 𝜑𝑧 = (𝑎 cos 𝜃 , 𝑎 sin 𝜃, 𝑧) . Logo, �⃗⃗⃗� = (𝑥, 𝑦, 0) é um vetor 
normal exterior a S em cada (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑆, donde �⃗⃗� =
(𝑥,𝑦,0)
𝑎
 é o vetor unitário normal 
exterior a S. 
 Plano S: uma parametrização de S é dada por: 𝜑(𝑢, 𝑣) = 𝑃0 + 𝑢�⃗� + 𝑣�⃗⃗� com 
(𝑢, 𝑣) ∈ ℝ². Um vetor normal a S em 𝑃0 é: �⃗⃗⃗� = �⃗� × �⃗⃗�. 
 
 𝑆 = gráfico de 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), com (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 e 𝑓(𝑥, 𝑦) de classe 𝐶¹ 
 
 
Uma parametrização de 𝑆 = 𝐺𝑓 é dada por: 𝜑(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦)), com (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷. 
Um vetor normal é dado por: 
�⃗⃗⃗� = 
𝜕𝜑
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦) ×
𝜕𝜑
𝜕𝑦
(𝑥, 𝑦) = 𝜑𝑥(𝑥, 𝑦) × 𝜑𝑦(𝑥, 𝑦) = (−𝑓𝑥(𝑥, 𝑦), −𝑓𝑦(𝑥, 𝑦), 1). 
 
 Superfícies de revolução: sendo 𝛾 uma curva do plano 𝑥𝑦 parametrizada por 
𝛾(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, a parametrização da superfície gerada quando 
rotacionamos 𝛾 em torno do eixo y é: 𝜑(𝜃, 𝑡) = (𝑥(𝑡) cos 𝜃, 𝑦(𝑡), 𝑥(𝑡) sin 𝜃), 
𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏; 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋. 
Em resumo: a variável 𝑦, paralela ao eixo de rotação não se altera: 𝑦 = 𝑦(𝑡). As outras 
duas variáveis serão escritas em função de 𝑥(𝑡), a coordenada da parametrização da 
curva que nos restou. Como 𝑥 é pertencente ao plano da curva, apresentará cos 𝜃; e 𝑧, 
não pertencente, apresentará sin 𝜃. Esse raciocínio pode ser seguido para rotação em 
torno dos eixos 𝑥 e 𝑧 também. 
 
Área de Superfície 
𝐴(𝑆) = ∬ ‖
𝜕𝜑
𝜕𝑢
(𝑢, 𝑣) ×
𝜕𝜑
𝜕𝑣
(𝑢, 𝑣)‖𝑑𝑢𝑑𝑣
𝐷
 
Se o gráfico de S for o de uma função de classe C¹, 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷, onde D é 
um conjunto compacto que tem área, então: 
𝐴(𝑆) = ∬ √1 + (𝑓𝑥)² + (𝑓𝑦)²𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
. 
 
Integral de Superfície de um Campo Escalar 
 
 Da mesma forma que, nas integrais duplas, nós “somamos” os valores de uma 
função 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) em áreas planas 𝑑𝐴 = 𝑑𝑥𝑑𝑦, podemos fazer algo semelhante quando 
temos áreas não planas, superfícies no espaço. A integral de uma função 𝑓 escalar ao 
longo de uma superfície S é calculada pela seguinte fórmula: 
∬𝑓𝑑𝑆 =∬𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆 = ∬ 𝑓(𝜑(𝑢, 𝑣)) ‖
𝜕𝜑
𝜕𝑢
×
𝜕𝜑
𝜕𝑣
‖𝑑𝑢𝑑𝑣
⏟ 
𝑑𝑆
𝐷𝑆𝑆
 
 Onde: 𝜑(𝑢, 𝑣) é a parametrização de S, D é o domínio dos parâmetros u e v, 
𝑓(𝜑(𝑢, 𝑣)) é o campo 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) escrito em função da parametrização de S e 
𝑑𝑆 = ‖
𝜕𝜑
𝜕𝑢
×
𝜕𝜑
𝜕𝑣
‖𝑑𝑢𝑑𝑣 é o elemento de área. 
 
 Observações: 
 
i. Temos que, se S é o gráfico da função 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦), com (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷, então: 
∬ 𝑓𝑑𝑆 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧(𝑥, 𝑦))√1 + (𝑧𝑥)² + (𝑧𝑦)²𝑑𝑥𝑑𝑦⏟ 
𝑑𝑆
𝐷𝑆𝑆
, 
onde 𝑑𝑆 é o elemento de área; 
ii. Se 𝑆 = 𝑆1 ∪ 𝑆2 ∪ …∪ 𝑆𝑛, então ∬ 𝑓𝑑𝑆 = ∑ ∬ 𝑓𝑑𝑆𝑆𝑖
𝑛
𝑖=1𝑆
; 
iii. Se 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1, em S, então ∬ 1 𝑑𝑆
𝑆
= ∬ 𝑑𝑆 = 𝐴(𝑆)
𝑆
. 
 
Aplicações à Física: 
 
 Massa: ∬ 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆;
𝑆
 
 
 Momento de inércia: ∬ 𝑟2(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆
𝑆
, onde 𝑟(𝑥, 𝑦, 𝑧) = distância 
de (𝑥, 𝑦, 𝑧) ao eixo E. 
Se o eixo 𝐸 = eixo 𝑧, então 𝑟(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑥² + 𝑦² e 𝐼𝑧 = ∬ (𝑥
2 + 𝑦2)𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆
𝑆
. 
Se o eixo 𝐸 = eixo 𝑦, então 𝑟(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑥² + 𝑧² e 𝐼𝑦 = ∬ (𝑥
2 + 𝑧²)𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆
𝑆
. 
Se o eixo 𝐸 = eixo 𝑥, então 𝑟(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑦² + 𝑧² e 𝐼𝑦 = ∬ (𝑥
2 + 𝑧²)𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆.
𝑆
 
 Centro de massa: 
�̅� =
∬ 𝑥𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆
𝑆
𝑀
 
�̅� =
∬ 𝑦𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆
𝑆
𝑀
 
𝑧̅ =
∬ 𝑧𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆
𝑆
𝑀
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Passo a passo – Integrais de Superfície (caso escalar) 
1. Parametrizar S como 𝜑(𝑢, 𝑣), encontrando D; 
2. Calcular as derivadas parciais 
𝜕𝜑
𝜕𝑢
 𝑒 
𝜕𝜑
𝜕𝑣
; 
3. Calcular a normal à superfície �⃗⃗⃗�(𝑢, 𝑣) =
𝜕𝜑
𝜕𝑢
×
𝜕𝜑
𝜕𝑣
; 
4. Tirar o módulo desse vetor: ‖�⃗⃗⃗�(𝑢, 𝑣)‖ = ‖
𝜕𝜑
𝜕𝑢
×
𝜕𝜑
𝜕𝑣
‖ ; 
5. Montar a integral usando a fórmula dada, trazendo os valores encontrados 
nos passos anteriores e integrar! 
Integral de Superfície de um Campo Vetorial 
 Para calcular a integral de superfície de um campo vetorial 𝐹 ao longo de uma 
superfície 𝑆, usamos a seguinte fórmula: 
∬�⃗� �⃗⃗�
𝑆
𝑑𝑆 = ∬�⃗�(𝜑(𝑢, 𝑣))
𝐷
 (
𝜕𝜑
𝜕𝑢
×
𝜕𝜑
𝜕𝑣
)𝑑𝑢𝑑𝑣 
 Basicamente, a diferença com o que acabamos de ver é que não tiramos o 
módulo da normal à superfície. Por esse motivo, a orientação dada à superfície importa 
agora. Temos que lembrar que existem dois campos de vetores normais à 𝑆: 
 
�⃗⃗⃗�(𝑢, 𝑣) =
𝜕𝜑
𝜕𝑢
×
𝜕𝜑
𝜕𝑣
 e �⃗⃗⃗�(𝑢, 𝑣) =
𝜕𝜑
𝜕𝑣
×
𝜕𝜑
𝜕𝑢
 
 
Em geral, o problema vai nos dizer a orientação que devemos tomar. 
 
Fluxo 
O fluxo de um campo �⃗� sobre uma superfície S é: Φ = ∬ �⃗�
𝑆
�⃗⃗� 𝑑𝑆. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema de Gauss (Teorema do Divergente) 
 
 Ele relaciona uma integral tripla sobre um volume W com uma integral de 
superfície sobre a sua fronteira, que chamamos de 𝜕𝑊. Precisamos nos preocupar com a 
orientação de S: para uma superfície que limita um sólido estar orientada 
positivamente, seu vetor normal deve sempre apontar para fora do sólido. Assim, 
sendo 𝜕𝑊 uma superfície orientada positivamente, fronteira de uma região sólida W, e 
�⃗� um campo vetorial que tenha derivadas parciais contínuas em W: 
∬ �⃗� �⃗⃗�
𝜕𝑊
𝑑𝑠 =∭ 𝑑𝑖𝑣(�⃗�)
𝑊
 𝑑𝑉 
Onde o divergente 𝐹 = (𝑃, 𝑄, 𝑅) é dado por: 
𝑑𝑖𝑣(�⃗�) = ∇�⃗� =
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+
𝜕𝑄
𝜕𝑦
+
𝜕𝑅
𝜕𝑧
 
Passo a passo – Integrais de Superfície (caso vetorial) 
1. Parametrizar 𝑆 como 𝜑(𝑢, 𝑣), encontrando 𝐷; 
2. Calcular as derivadas parciais 
𝜕𝜑
𝜕𝑢
 𝑒 
𝜕𝜑
𝜕𝑣
; 
3. Calcular a normal à superfície �⃗⃗⃗�(𝑢, 𝑣) =
𝜕𝜑
𝜕𝑢
×
𝜕𝜑
𝜕𝑣
 e verificar a 
orientação pedida pelo problema; caso seja a contrária, escolher 
como normal o vetor oposto, trocando o sinal de �⃗⃗⃗�(𝑢, 𝑣); 
4. Montar a integral usando a fórmula que dada, trazendo os 
valores encontrados nos passos anteriores; 
5. Fazer o produto escalar �⃗�(𝜑(𝑢, 𝑣)) × �⃗⃗⃗�(𝑢, 𝑣); 
6. Integrar! 
 
 Em outras palavras, trocamos a integral de superfície por uma integral tripla do 
divergente do campo no sólido limitado por essa superfície. 
 
Pensaremos em Gauss quando: 
 A superfície da integral é difícil de parametrizar; 
 O campo tem uma expressão complicada; 
 S é formada por várias superfícies. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema de Stokes 
 O Teorema de Stokes vai nos dar uma relação entre a integral de superfície 
sobre uma superfície𝑆 com a integral de linha sobre a sua fronteira, que é uma curva 
no espaço. Para aplicar Stokes, precisamos de uma curva orientada positivamente. 
 
 Com base na orientação de 𝑆, podemos orientar sua fronteira usando a Regra da 
Mão Direita. Fique atento a isso porque se você orientar ao errado vai dar treta. O 
conceito é o seguinte: quando seu polegar direito apontar no sentido da curva C, seus 
outros dedos, que vão “furar” a superfície S devem estar no sentido de �⃗⃗�. Dessa forma, 
a curva estará orientada positivamente. 
 
 Então, sendo 𝑆 uma superfície orientada, se 𝐹 = (𝑃, 𝑄, 𝑅) é um campo vetorial 
de classe 𝐶¹ (sua primeira derivada é contínua) e se a fronteira de 𝑆, 𝜕𝑆 está orientada 
positivamente, pelo Teorema de Stokes: 
∬(𝑟𝑜𝑡(�⃗�)�⃗⃗�)𝑑𝑆 = ∮ �⃗�𝑑𝑟
𝜕𝑆𝑆
 
 Isso quer dizer que a integral de superfície do rotacional de 𝐹 em 𝑆 é igual à 
integral de linha de 𝐹 na sua fronteira. E o rotacional de 𝐹 é dado pelo produto vetorial: 
 
𝑟𝑜𝑡(�⃗�) = ∇ × �⃗� = ||
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑃 𝑄 𝑅
|| = (
𝜕𝑅
𝜕𝑦
−
𝜕𝑄
𝜕𝑧
,
𝜕𝑃
𝜕𝑧
−
𝜕𝑅
𝜕𝑥
,
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
) 
 Lendo o teorema da direita para a esquerda: a integral de linha de 𝐹 sobre uma 
curva 𝜕𝑆 é igual à integral de superfície do rotacional de 𝐹 sobre uma superfície que 
Passo a passo – Teorema de Gauss 
1. Ver que não é fácil resolver a integral de superfície pela definição e calcular 𝑑𝑖𝑣 (�⃗�); 
2. Fazer um esboço para identificar a região 𝐷 e aplicar Gauss (se 𝑆 não formar uma região 
fechada, fechar com uma superfície auxiliar); 
3. Escrever matematicamente a região 𝐷 (se for preciso, fazer mudança para coordenadas 
cilíndricas ou esféricas) e resolver a integral tripla; 
4. Se você tiver usado uma superfície auxiliar, resolver a integral nela pela definição e encontrar a 
integral em 𝑆. 
 
tenha 𝜕𝑆 como fronteira. Isso quer dizer que podemos escolher 𝑆 dada uma curva! 
Claro, a boa é escolher 𝑆 de uma forma que simplifique o problema! 
 
Pensaremos em Stokes quando: 
 A curva da integral de linha é difícil de parametrizar; 
 O campo F tem uma expressão bizarra. 
 
 
 
Passo a passo – Teorema de Stokes 
 
1. Ver que não conseguimos calcular a integral de linha pela 
definição e calcular 𝑟𝑜𝑡(�⃗�) (torcendo para ser uma expressão 
tranquila); 
2. Escolher uma superfície 𝑆 que tenha a curva do problema como 
fronteira (o campo 𝐹 deve estar definido ao longo dela); 
3. Parametrizar 𝑆 como 𝜑(𝑢, 𝑣), encontrando o domínio dos 
parâmetros 𝐷; 
4. Calcular sua normal �⃗⃗⃗�(𝑢, 𝑣) =
𝜕𝜑
𝜕𝑢
×
𝜕𝜑
𝜕𝑣
 e usar a Regra da Mão 
Direita para ver se a orientação está de acordo com a da curva; se 
não, trocar o sinal de �⃗⃗⃗�(𝑢, 𝑣); 
5. Montar a integral de superfície pela seguinte forma: 
∬ (𝑟𝑜𝑡(�⃗�)�⃗⃗�)𝑑𝑆 =
𝑆
∬ 𝑟𝑜𝑡 (�⃗�(𝜑(𝑢, 𝑣))) . �⃗⃗⃗�(𝑢, 𝑣)𝑑𝑢𝑑𝑣
𝐷
, trazendo 
o que encontramos nos passos anteriores e escrevendo 𝑟𝑜𝑡(𝐹 ⃗⃗⃗⃗ ) em 
função das variáveis da parametrização; 
6. Fazer o produto escalar 𝑟𝑜𝑡(�⃗�(𝜑(𝑢, 𝑣))). �⃗⃗⃗�(𝑢, 𝑣); 
7. Integrar!