Campo Magnético Resolução

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LISTA 2-3. ELETROMAGNETISMO APLICADO 
1) Exemplo 2-28, pg. 101, Krauss. 
Considere um circuito retangular como na figura. A largura L é constante. O comprimento x é 
incrementado uniformemente no tempo pelo movimento da barra condutora com velocidade u. O 
fluxo de campo magnético é normal à superfície do circuito, e varia com o tempo segundo 
tBB cos0
. Determine a 
femV
 total induzida no circuito. 
ux
L
x
 
SOLUÇÃO 
Solução: Neste caso, devemos usar a expressão completa da lei de Faraday: 
 
 
tButLtBxLd
t
tB
t
 sinsinsin 000 





 s
BB
 
Desde que u e B são perpendiculares, o produto vetorial entre ambos será o produto entre os 
módulos, com isso 
 
Daí, a Vfem total será: 
 
2) Krauss pag 103. 
Considerar um circuito retangular (dimensões L x R, ver figura) girando num campo magnético 
uniforme e estático B, com velocidade angular ω em torno da linha tracejada. Determinar a 
femV
 
induzida no circuito. 
B
L
R
ω
 
  

 dlBus
B
lE d
t
dV fem
   tLuB cos0 dlBu
tLuBtButLV fem  cossin 00 
2 
 
 
 
SOLUÇÃO 
Olhando o sistema com o eixo de rotação perpendicular à linha de visão, temos: 
 
 
 
 
 
Desde que o campo magnético permanece constante, devemos usar a expressão: 
 
 
Para efetuar o produto vetorial entre v e B, usamos a definição, i.e., o produto do modulo dos 
vetores pelo seno do ângulo entre eles. Observar que, o vetor resultante deste produto terá 
componente apenas nos braços de comprimento L da espira, e de sentidos contrários um respeito do 
outro, i.e., pode-se calcular a circulação desse vetor: 
 
 
onde A é a área do circuito. 
 
3) Ulaby, ex 7-8, pag 225. 
Uma onda plana uniforme se propaga para baixo, na direção positiva de z na água do mar. O plano 
xy indica a superfície do mar. Os parâmetros constitutivos da água do mar são εr = 80, μr = 1 e σ = 
4S/m. Obs.: εr = εH2O / ε0 e μr = μH2O / μ0. 
Se o campo magnético em z = 0 é 
)15102cos(100ˆ),0( 3  tyt H mA/m, 
a) obter as expressões para E(z,t) e H(z,t). 
b) Determinar a profundidade na qual a amplitude do campo E é 1% do seu valor em z = 0. 
 
SOLUÇÃO 
Devemos determinar primeiro se a agua é mesmo um condutor nessa frequência. Para isso, 
avaliamos a quantidade, 
1109
1008.7102
4 5
103
2





OH
. 
Logo, a agua se comporta como condutora nessa frequência. Daí, a expressão para a cte de 
propagação  é calculada como, 
B
vθ
R
ω
   dlBvfemV
  )sin()sin(sin2 tABtRLBLvBV fem    dlBv
3 
 
 
2

 
, 
2

 
  
)1(
2
j


 
Substituindo os valores, com σ = 4 S/m,  = 2103 rad/s e μH2O = μ0 = 410
-7
 H/m, temos: 
)1(104 2 j 
 m
–1
. Portanto: 
)15104102cos()104exp(100ˆ),( 232   ztzytz H mA/m 
 
Para calcular o campo elétrico, podemos aplicar o conceito de impedância característica, i.e., 
s
s
H
E
0
0
. A impedância característica neste caso (meio condutor), 
 
045
2
1 jej 











 



. Substituindo os valores, 





 
 

00 45245
73
102
4
1041022 jj ee  
 
Pela equação da impedância característica (
ss HE 00 
), devemos aplicar essa equação às 
amplitudes complexas (fasores). Daí, escrevemos o campo magnético em forma complexa, 
)15104102(104 0232100ˆ),( 

 ztjzeeytz H
 mA/m. 
Assim, a amplitude complexa 
)15(
0
0
100 js eH 
 mA/m. 
Usando a relação 
)60exp(2)15exp(100)45exp(102 200 
 jjjHE ss  mV/m 
 
Desde que a onda se propaga em z, e o campo magnético tem componente y, o campo elétrico estará 
orientado segundo x. Daí, podemos escrever, 
)60104102exp()104exp(2ˆ),( 0232   ztzxtz E mV/m 
Tomando a parte real: 
)60104102cos()104exp(2ˆ),( 0232   ztzxtz E mV/m. 
 
b) 
)01.0ln()ln(104)104exp(01.0 22   ezz   
6.36
104
)01.0ln(
2




z
 m 
 
 
 
 
4 
 
 
4) Ulaby, 7-45-pag237. 
O campo elétrico de uma onda plana que se propaga num meio não magnético (μ = μ0) é dado por: 
)40102cos(25ˆ),( 930 xteztx x   E V/m 
a) Obter uma expressão para o campo magnético H(x,t). 
b) Determinar a impedância característica do meio. 
SOLUÇÃO 
a) Escrevemos o campo elétrico na forma complexa: 
)40102(30 9Re25ˆ),( xtjx eeztz  E
 V/m 
Identificamos então as constantes α e β, bem como a frequência angular : 
30
 m
–1
 , 
40
 m
–1
 e 
9102  
 rad/s. 
Dos dados do problema, temos ainda 
7
0 104
 
 H/m. 
O fasor campo elétrico é dado por 
)4030(
s 25ˆ)(
xjxezx E
 V/m. 
 
Podemos determinar o fasor correspondente ao campo magnético, Hs, a partir da lei de Faraday em 
forma fasorial: 
ss j HE 
 
Com isto, desde que o campo elétrico tem componente segundo z e depende de x, o rotacional fica: 
   xjxss ejy
x
E
y 4030403025ˆˆ 


 E
 V/m
2
 
       xjxxjx
s e
j
ye
j
y 4030
79
2
4030
0 m
H104
s
rad102
m
V304025
ˆ
304025
ˆH 






 
 
Passando o numero complexo em forma retangular a polar, e lembrando que o Henry [H]=Vs/A, 
  )86.3640(304030
79
2
86.36
0
0
16.0ˆ
Am
Vs104
s
rad102
m
V5025
ˆ 





 xjxxjx
j
s eeye
e
y H
 A/m. 
Multiplicando por exp(jωt) e tomando parte real: 
   0930030 86.3640102cos16.0ˆ))86.3640(exp(Re16.0ˆ)(   xteytxjeyx,t xx H A/m. 
 
b) Sabemos que 
s
s
H
E
0
0
 e temos para as amplitudes dos fasores dos nossos campos 
250 sE
 V/m e 
086.36
0 16.0
j
s eH

 A/m  


0
0
86.36
86.36
25.156
m
A16.0
m
V25
j
j
e
e

 
5 
 
 
5) Os parâmetros constitutivos do cobre são: µ = µ0 = 410
7
 H/m,  = (1/36)109 F/m e  = 
5.8107 S/m. Ao longo de qual faixa de frequências o cobre é um bom condutor? 
 
SOLUÇÃO 
Para um bom condutor, temos que 
1


 
1
2



f
  
Hz 1004.1
C
V
 1004.1
F/m 10)361(2
S/m 108.5
2
1818
9-
7





 f
 
 
Hz 101 18f
 
 
Obs.: Lembrar que 1  = V/A, e 1 A (ampere)= 1 C/s (com C = Coulomb). Multiplicar e dividir o 
denominador por segundo (s), para chegar a unidade 1/s = Hz. 
 
6) Ulaby, ex 7-14, pg. 226. 
Ao longo de qual faixa de frequência o solo seco (
r
= 3, 
r
= 1 e σ = 104 S/m) pode ser 
considerado um dielétrico de baixa perda? Obs.: 
0
= 8.851012 F/m. 
 
SOLUÇÃO 
Para dielétricos, temos a condição 






2
1
2
1  f
f
 
Substituindo os valores: f >> 600 kHz. 
 
7) Cheng, exemplo 7-8, pg. 357. 
Uma onda eletromagnética harmônica de frequência f = 1 GHz, cujo campo elétrico tem uma 
amplitude de 250 V/m, se propaga num dielétrico cuja tangente de perdas é 0.001. Considerar 
r
 = 
2.5 e 
0
= 8.851012 F/m. Determine a densidade de potência média dissipada por efeito joule no 
meio. 
 
SOLUÇÃO 
Determinamos primeiramente a condutividade do dielétrico: 
m
F
1085.85.2
s
1
1012
001.0tan
129 





  σ = 1.39104 S/m 
 
6 
 
 
Para saber a densidade de potência média dissipada por efeito joule vemos, no teorema de Poynting 
que o termo correspondente é dado por, 
2EP  
.Desde que o campo elétrico varia em forma harmônica, o campo elevado ao quadrado será 
proporcional ao cos
2
(ωt), (ou sin2(ωt)), cujo valor médio temporal é ½. Portanto: 
32
2
242
0
m
W
34.4
m
V
250
m
S
1039.1
2
1
2
1
 EP 
 
 
8) Dada uma onda eletromagnética com frequência de 3 MHz propagando-se no cobre (µ = 4107 
H/m,  = (1/36)109 F/m e  = 5.8107 S/m.), calcular: 
a) Velocidade de fase (comparar com a velocidade da onda no vácuo); 
b) comprimento de onda (comparar com o comprimento de onda no vácuo); 
c) Skin depth. 
 
SOLUÇÃO 
Do exercício anterior (probl.5), o cobre é bom condutor para 
Hz 101 18f
. Logo, o cobre é um 
excelente condutor para a frequência f = 31061/s. Assim, usamos as expressões deduzidas para 
bons condutores: 
a) 
   
 
m/s 720
1/Ω/)Vs/Am(2.23
1/s 1012
1/Ω/108.5H/m104
1/s 10322
1/Ω/108.5H/m104
1/s 103222
6
77
6
77
6








 





v
 
Vemos que é muito menor que a velocidade da onda eletromagnética no vácuo, i.e., 3108 m/s. 
 
b) 
 
    
m 1039.2
1/Ω/1/mVs/A1/s1096.6
1
2
1/Ω/108.5H/m1041/s 103
22
4
7
776






 



f
 
i.e.   0.24 mm. Comparando com o comprimento de onda no vácuo, 0 =c/f = 310
8 
(m/s)/3106 
(1/s) = 100 m. 
 
7 
 
 
c) 
 
    
m1081.3
1/Ω/1/mVs/A1/s1096.6
1
2
1/Ω/108.5H/m1041/s 103
1
2
1
5
7
776







  fZSk
 
O skin depth (profundidade na qual o módulo do campo elétrico decresce a 1/e do seu valor na 
entrada nesse meio), é de  0.038 mm., i.e., o meio atenua fortemente uma onda EM nessa 
frequência. 
 
9) Ulaby, 7-47, pg. 238. 
Um bloco de cobre retangular tem 30 cm de altura (ao longo de z). Em resposta a uma onda 
incidente nesse bloco, uma corrente é induzida na direção x. Determinar a razão entre a resistência 
CA e CC em f = 1 kHz. Considere µ = 4107 H/m,  = (1/36)109 F/m e  = 5.8107 S/m. 
 
SOLUÇÃO 
Utilizamos 
)(
1
CA 
w
l
Zw
l
RR
SK
s 
. Vamos calcular RCA para l = w = 1 m. O valor de Rs é dado 
por, 





 

 1025.8
Ωm
1
m
1
A
Vs
s
1
1081.6
m
S108.5
m
H104
s
11011 6
11
7
73 



f
Z
R
SK
s
 
Para calcular a resistência CC, usamos a expressão usual, RCC = (1/σ)l/A = 1.7210
8
 
(Ω/m)1m/0.3m2 = 5.7410-8 Ω. Observação, para calcular a resistência CC, lembrar que o cobre é 
um bloco de 30 cm de altura; isto foi levado em conta para a seção reta através da qual foi calculada 
a resistência CC. A= 1 m0.3 m = 0.3 m2. 
Daí, a razão RCA/ RCC = 144. 
 
10) Exemplo Weinthworth, pg. 137 (pg. 358 na nova ed.) 
Considerar uma corrente continua I atravessando um condutor cilíndrico de comprimento “L” , raio 
“a” e condutividade σ. 
a) Calcular os campos elétrico e magnético num ponto da superfície desse condutor; 
b) Calcular o vetor de Poynting, verificar o teorema de Poynting e interpretar o resultado. 
 
SOLUÇÃO 
8 
 
 
a) Primeiro, observamos que a situação é estática. Logo, o teorema de Poynting fica reduzido a 
  dvEd
Scie
 
2sHE
 
 
A densidade de corrente no condutor será 
EJ 
. Pela simetria do problema, tanto E quanto J são 
vetores unidimensionais; escolhemos z como eixo de simetria do condutor, ao longo do seu 
comprimento. 
Pelo fato da corrente ser uniformemente distribuída, teremos 
z
a
I
ˆ
2
J
. 
Assim, 
z
a
I
ˆ
2

J
E
. 
Para calcular H, utilizamos a lei de Ampère: 
 ˆ22.d. a
I
IaHd   HSJlH
 
 
b) Calculando o vetor de Poynting, temos 
r
a
I
z
a
I
a
I
ˆ
2
ˆˆ
2 32
2
2   HES
. 
Claramente, o vetor aponta para dentro do condutor (direção 
rˆ
). Vamos calcular o fluxo dele na 
superfície fechada. Desde que consideramos a normal à superfície cilíndrica apontando para fora do 
volume, i.e., na direção 
rˆ
, e nas faces superior e inferior do condutor o vetor de Poynting é 
perpendicular às normais, o fluxo de S fica (desde que S é constante na superfície do condutor, a 
integral de superfície se obtém simplesmente multiplicando o integrando pela superfície do cilindro, 
sem considerar as faces superior e inferior): 
   
2
2
32
2
ˆˆ
2
2
a
LI
rr
a
aLI
ScieScie


  dsHEdsS
 
Para verificar o teorema, calculamos σE2 e fazemos a integral de volume (multiplicada por 1). 
 
Volume
a
LI
a
LaI
dv
a
I
a
I
E
2
2
42
22
42
2
42
2
2 


 
z J
H
EL
a
φ
r 
9 
 
 
Com o qual o teorema se verifica (desde que E é constante no condutor, a integral de volume se 
obtém simplesmente pela multiplicação do integrando vezes o volume do cilindro). 
Interpretação: o resultado nos diz que a potência fluindo para fora da superfície fechada é 
RI
a
LI 2
2
2


, o que significa que 
RI 2
 de potência está fluindo para o fio, sendo essa a energia 
que está sendo dissipada. Obtemos assim a lei de Joule de dissipação de potência.