Treliças: Conceitos e Métodos de Análise

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CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I
Aula	08	– Treliças
Mapa	Conceitual
11	October	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 2
Material	didático	e	Bibliografia
Maria	Cascão	Ferreira	de	Almeida,	Estruturas	Isostáticas,	editora:	
Oficina	de	Textos,	edição:	1,	ano:	2009
MARTHA,	L.	F.	C.	R.	Análise	de	estruturas:	conceitos	e	métodos	
básicos.	Rio	de	Janeiro:	Elsevier,	2010.	
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FTOOL:	www.tecgraf.puc-rio.br/ftool/
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TRELIÇAS
• São	estruturas	formadas	de	barras	ou	
elementos	retos,	interligados	por	nós	
rotulados	ou	articulados.
• Os	elementos	são	conectados	por	nós	
perfeitamente	articulados	(rotação	liberada)
• Os	eixos	dos	elementos	são	retos	e	
coincidentes	com	os	eixos	que	conectam	os	
nós	em	suas	extremidades.	
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TRELIÇAS
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TRELIÇAS
Carga	Aplicada:
• Cargas	aplicadas	somente	nos	nós	(treliça	ideal).✔
– Atuam	em	todos	os	seus	elementos	somente	esforços	normais	(tração	ou	
compressão)
• Cargas	aplicadas	também	fora	dos	nós.
Objetivos:
• Nas	treliças	ideais	determinar	os	esforços	normais	N em	todas	as	barras
• Nas	treliças	com	cargas	fora	dos	nós:	
– determinar	os	esforços	normais	N em	todas	as	barras,	por	meio	da	resolução	da	
treliça	ideal	equivalente.
– Nas	barras	carregadas,	determinar	os	diagramas	de	esforços	normais	N,	cortantes	
Q e	momentos	fletoresM (quando	houver)
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TRELIÇAS
–Quanto	à	Lei	de	formação	as	treliças	podem	ser:
• Simples – formadas	por	adição	de	triângulos	aos	sistemas	básicos.
• Compostas – formada	por	associações	de	treliças	simples.
• Complexas – são	as	que	não	se	enquadram	nos	casos	anteriores
–Quanto	à	estaticidade:
• Hipoestática
• Isostáticas
• Hiperestática
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Métodos	de	análises	de	treliças
– A	análise	das	treliças	pode	ser	feita	estabelecendo-se	o	equilíbrio:
• Da	parte	da	estrutura	através	do	Método	das	Seções	(ou	Método	de	
Ritter)
• De	seus	nós	através	do	Método	dos	Nós	(Método	de	Cremona	ou	Método	
gráfico)
– Hipóteses	(treliça	ideal	é	uma	simplificação	para	cálculo):
• Seus	nós	são	rotulados.
• As	cargas	são	aplicadas	nos	nós.
– Os	nós	nas	treliças:
• Aço,	madeira,	outro	material	são	aparafusados,	soldados	ou	rebitados.
• Não	são	rótulas	perfeitas.
• Pequenas	cargas	também	são	aplicadas	ao	longo	dos	elementos.
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Estaticidade
• Os	conceitos	de	estabilidade	de	estaticidade	estão	sempre	
associados.
• A	estrutura	só	pode	ser	classificada	como	isostática	ou	hiperestática	
se	for	estável.	Se	for	instável	é	hipoestática.
• Treliça	temos:	
– n (número	de	nós)
– b (número	de	barras)
• Condições	para	classificação	da	estaticidade:
– Hipoestática - b <	2n-3
– Isostática - b =	2n-3
– Hiperestática - b >	2n-3
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Estaticidade
b =	2n-3
b =	4
n = 4
4	=	2(4)-3
4	<	5
Hipoestática
b =	2n-3
b =	5
n = 4
5	=	2(4)-3
5	=	5
Isostática
b =	2n-3
b =	6
n = 4
6	=	2(4)-3
6	>	5
Hiperestática
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Métodos	Principais	de	Solução
• Método	dos	Nós	✔
• Método	Analítico	(Ritter)	ou	Método	das	Seções
• Método	Gráfico	(Maxxwell-Cremona)
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Método	dos	Nós
• Estrutura	está	em	equilíbrio.
• Estabelecer	um	equilíbrio	em	todos	os	nós.
• No	nó	temos	somente	forças	concentradas.
• Em	cada	nó	temos	somente:	
– ∑𝐹#�� = 0
– ∑𝑭𝒚�� = 𝟎
• Determinar	as	reações	de	apoio.
• Determinar	os	esforços	normais	nas	barras	a	partir	de	um	nó	
com	2	forças	conhecidas.
• Continuar	estabelecendo	o	equilíbrio	de	outros	nós.
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Exemplo	01
• ∑𝐹#�� = 0 𝐻+ − 30 = 0𝐻+ = 30	𝐾𝑁
• ∑𝑀+�� = 0 −20×4 + 30×4 − 30×4 + 8×𝑉8 = 0𝑉8 = 10	𝐾𝑁
• ∑𝐹:�� = 0 𝑉+ − 20 − 30 + 𝑉8 = 0𝑉+ + 𝑉8 = 50𝑉+ = 40	𝐾𝑁
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Exemplo	01
• Ângulo entre	as	barras:	45º
• 𝑠𝑒𝑛	𝛼 = cos 𝛼 = 	 C� C
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Exemplo	01
• Nó 1:
• ∑𝐹#�� = 0	 ∴ 𝑁+ + 30 + 𝑁8. cos 𝛼 = 0
• ∑𝐹:�� = 0	 ∴ 40 + 𝑁8 sin 𝛼 = 0𝑁8 = − 402� 2 = − 802�𝑁8 = −56,56	𝐾𝑁	 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜𝑁+ = −30 − −56,56× 2� 2 = −30 + 40𝑁+ = 10	𝐾𝑁	(𝑡𝑟𝑎çã𝑜)
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Exemplo	01
• Nó 2:
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2
U𝐹#�� = 0	 ∴ −10 + 𝑁C = 0𝑁C = 10	𝐾𝑁	(𝑡𝑟𝑎çã𝑜)
U𝐹:�� = 0	 ∴ 𝑁V − 30 = 0𝑁V = 30	𝐾𝑁	(𝑡𝑟𝑎çã𝑜)
Exemplo	01
• Nó 3:
• ∑𝐹#�� = 0	 ∴ −10 − 𝑁W cos 𝛼 = 0𝑁W = − 102� 2 = − 202	�𝑁W = −14,14	𝐾𝑁	(𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜)
OU
• ∑𝐹:�� = 0	 ∴ 𝑁W sin 𝛼 + 10 = 0	(𝑑𝑒𝑠𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑠á𝑟𝑖𝑜)
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Exemplo	02
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Exemplo	02
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Exemplo	03
11	October	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 21
Exemplo	03
11	October	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 22
Exemplo	04
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Exemplo	04
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Métodos	Principais	de	Solução
• Método	dos	Nós
• Método	Analítico	(Ritter)	ou	Método	das	Seções	✔
• Método	Gráfico	(Maxxwell-Cremona)
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Método	das	Seções	(Método	de	Ritter)
• Uma	vez	a	estrutura	equilibrada.
• Definimos	uma	seção	no	ponto	aonde desejamos	conhecer	os	
esforços.
• Aplica-se	as	equações	de	equilíbrio	em	uma	das	partes.
• Cada	barra	possui	apenas	um	esforço	(incógnita),	a	seção	pode	
cortar	até	três barras,	desde	que	não	estejam	nem	paralelas	e	
nem	concorrentes	num	mesmo	nó.
• Para	se	obter	os	esforços	em	toda	a	estrutura,	torna-se	
trabalhoso	por	exigir	um	número	grande	de	seções.
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Método	das	Seções	– Exemplo	05
• Reações de	Apoio
• Cálculo nas seções
• Ângulo 𝛼:
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𝛼 = 𝑎𝑟𝑐	𝑡𝑔 21 = 63,43°
Método	das	Seções	– Reações	de	Apoio
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U𝐹#�� = 0−𝐻] + 3 = 0𝐻] = 3	𝐾𝑁 U𝑀^�� = 0−3×2 − 3×1 − 6×3 − 3×5 + 6×𝑉] = 0𝑉] = 6 + 3 + 18 + 156 = 426𝑉] = 7	𝐾𝑁U𝐹�� = 0𝑉 + 𝑉] − 3 − 6 − 3 = 0𝑉 = 12 − 7𝑉 = 5	𝐾𝑁
Método	das	Seções	– Seção	S1
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U𝐹#�� = 03 + 𝑁 + 𝑁ba. 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑁bc = 0𝑁 = −3 − 1 − 6,5𝑁 = 2,5	𝐾𝑁
U𝐹:�� = 05 − 3 − 𝑁ba. 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 0𝑁ba = 20,89438…𝑁ba = 2,23	𝐾𝑁 U𝑀a
�
� = 0−5×2 − 3×2 + 3×1 − 𝑁bc×2 = 0𝑁bc = −10 − 6 + 32 = −132𝑁bc = −6,5	𝐾𝑁
Método	das	Seções	- Seção	S2
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U𝐹:�� = 07 − 3 + 𝑁cf. 𝑠𝑒𝑛α=0𝑁cf = 3 − 70,89438… = − 40,89438…𝑁cf = −4,47	𝐾𝑁 U𝑀c�� = 07×3 − 3×2 − 𝑁af×2 − 3×2 = 0𝑁af = 21 − 6 − 62 = 92𝑁af = 4,5	𝐾𝑁U𝐹#
�
� = 0−3 − 𝑁cg − 𝑁af − 𝑁cf. cos α = 0𝑁cg = −7,5 + 4,5. 0,44729…𝑁cg = −7,5 + 2𝑁cg = −5,5	𝐾𝑁
Método	das	Seções	- Exemplo
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-6,5	KN
+2,5	KN +4,5	KN
-5,5	KN
Exemplo	06
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Exemplo	06
11	October	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 33
Exemplo	07
11	October	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 34
Exemplo	07
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Exemplo	08	– método dos	nós
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Exemplo	08
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Exemplo	09	– método dos	nós
11	October	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 38
Exemplo	09
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