Tópico 9

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Tópico 9 – Estimação de Variáveis 
Instrumentais e Mínimos 
Quadrados em Dois Estágios 
Bibliografia:
STOCK, James H. e WATSON, Mark W. Econometria. 1ª. Edição. Prentice Hall, 2004.
WOOLDRIDGE, J.M. Introdução à Econometria: uma abordagem moderna. 4ª 
ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 22015. (capítulo 15).
Variáveis instrumentais
Correlação entre 𝑥 e 𝑢 pode surgir de várias fontes:
Omissão de variáveis;
Erros nas variáveis (erros de medidas nos regressores);
Causalidade simultâneas (quando ela ocorre tanto “para trás, de 𝑦
para 𝑥,quanto “para frente” de 𝑥 para 𝑦).
Por exemplo: o viés de omissão de variáveis pode ser
solucionado diretamente pela inclusão da variável omitida em
uma regressão múltipla, porém isso só é viável se você tem
dados sobre essa variável.
Se uma solução direta para esses problemas não é viável ou
não está disponível, um novo método se faz necessário.
Variáveis instrumentais
Problemas de variáveis omitidas:
Ignorar o problema? (viés e inconsistência?!);
Proxy para a variável não-observada.
Se pudermos deixar a variável não-observada no termo de erro, 
mas ao invés de estimarmos por MQO, usarmos outro método 
que reconheça a variável omitida → VI
Variáveis instrumentais
A regressão de VI utiliza uma terminologia especializada para 
distinguir as variáveis que estão correlacionadas com o termo 
de erro da população 𝑢 daquelas que não estão.
Variáveis endógenas: estão correlacionadas com o termo de 
erro.
Variáveis exógenas: não-correlacionadas com o termo de erro.
Variáveis instrumentais
Abordagem diferente para o problema de endogeneidade:
Métodos da VI podem ser usados para se obter estimadores
consistentes na presença de variáveis omitidas;
Métodos da VI também podem ser usados para resolver erros de
medida.
 A regressão de variáveis instrumentais (VI) é uma forma geral de
se obter um estimador consistente dos coeficientes desconhecidos da
regressão da população quando o regressor 𝑥, está correlacionado
com o termo de erro.
Variáveis instrumentais
Para entender como a regressão de VI funciona, pense na
variação em 𝑥 como composta por 2 parte:
Uma parte que, por um motivo qualquer, está correlacionada com
𝑢 (esta é a parte que provoca problema);
Uma segunda parte que não está correlacionada com 𝑢.
 Se tivesse informações que lhe permitissem isolar a segunda parte,
poderia se concentrar nas variações de 𝑥 que estão correlacionadas
com 𝑢 e desconsiderar as variações em 𝑥 que tornam os estimadores
de MQO viesados.
 Isso é, de fato, o que a regressão de VI faz.
 As informações sobre os movimentos de 𝑥 não-correlacionados com
𝑢 são obtidas de uma ou mais variáveis adicionais→VI, ou
simplesmente instrumento.
Variáveis instrumentais
A regressão de variáveis instrumentais utiliza essas variáveis
adicionais como ferramentas ou “instrumentos” para isolar os
movimentos de 𝑥 não-correlacionados com 𝑢.
Isso, por sua vez, permite uma estimação consistente dos
coeficientes da regressão.
Variáveis instrumentais
Problema da habilidade não-observada:
log 𝑠𝑎𝑙𝑎𝑟𝑖𝑜 = 𝑦𝑖𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐 + 𝛽2ℎ𝑎𝑏𝑖𝑙 + 𝑢 (1)
Proxy: QI
Se não tivermos QI disponível?
log 𝑠𝑎𝑙𝑎𝑟𝑖𝑜 = 𝑦𝑖𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐 + 𝑢 (2)
onde u contém hábil.
Por MQO, 𝛽1 será viesado e inconsistente se 𝑒𝑑𝑢𝑐 e hábil
estiverem correlacionados.
Se conseguirmos um instrumento para 𝑒𝑑𝑢𝑐, podemos usar a 
equação anterior como base para nossa estimação:
y= 𝛽0 + 𝛽1𝑥 + 𝑢 (3)
Variáveis instrumentais
Qualquer que seja a fonte da correlação entre 𝑥 e 𝑢, se existe 
uma variável instrumental válida, 𝑧, o efeito de uma variação 
em 𝑥 sobre 𝑦 pode ser estimado utilizando o estimador de VI.
As duas condições para um instrumento:
Uma variável instrumental válida (“instrumento”) deve satisfazer
duas condições:
1. Relevância do instrumento: 𝐶𝑜𝑣 𝑧, 𝑥 ≠ 0
2. Exogeneidade do instrumento: 𝐶𝑜𝑣 𝑧, 𝑢 = 0
 𝑧 é chamada de variável instrumental de x.
Variáveis instrumentais
Se um instrumento é relevante → a ∆ do instrumento está
relacionada com a ∆ em 𝑥1.
Se o instrumento for exógeno → a parte da ∆𝑥1 captada pela VI
é exógena.
Essa variação exógena pode, por sua vez, ser usada para
estimar o coeficiente da população 𝛽1.
Variáveis instrumentais
Diferenças entre os dois requisitos de uma variável instrumental:
Como 𝐶𝑜𝑣 𝑧, 𝑢 = 0 envolve a covariância entre 𝑧 e o erro não
observado 𝑢, não podemos geralmente ter esperança de testar essa
hipótese: na maioria dos casos, temos que manter essa relação,
recorrendo ao comportamento ou à introspecção econômica .
Em casos menos usais, é possível que tenhamos uma variável proxy
observável de algum fator contido em 𝑢, caso em que poderemos
verificar se 𝑧 e a variável proxy são mais ou menos correlacionada.
Se tivermos uma boa proxy de um elemento importante de
𝑢, poderemos simplesmente adicionar a proxy como uma variável
explicativa e estimar a equação expandida por MQO.
Variáveis instrumentais
Em contraposição, a condição de que 𝑧 seja correlacionado
com 𝑥 (na população) → 𝐶𝑜𝑣 𝑧, 𝑥 ≠ 0 pode ser testada dada
uma amostra aleatória na população. Neste caso, estimamos
uma regressão simples entre x e z:
𝑥 = 𝜋0 + 𝜋1𝑧 + 𝑣 (4)
Sendo 𝜋1 =
𝐶𝑜𝑣(𝑧,𝑥)
𝑉𝑎𝑟(𝑧)
, a hipótese (𝐶𝑜𝑣 𝑧, 𝑥 ≠ 0) será válida se, e
somente se, 𝜋1 ≠ 0.
Variáveis instrumentais
Para que a condição 𝜋1 ≠ 0 é necessário rejeitar a seguinte
Hipótese Nula:
𝐻0: 𝜋1 = 0
Hipótese alternativa 𝐻1: 𝜋1 ≠ 0, em um nível de significância
relativamente pequeno (digamos, 5% ou 1%).
Se esse for o caso, podemos ter uma razoável confiança em que
𝐶𝑜𝑣 𝑧, 𝑥 ≠ 0 se mantém.
Exemplo
Para a equação de salários:
log 𝑠𝑎𝑙𝑎𝑟𝑖𝑜 = 𝑦𝑖𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐 + 𝛽2ℎ𝑎𝑏𝑖𝑙 + 𝑢 (5)
 Um instrumento 𝑧 de 𝑒𝑑𝑢𝑐 deve:
não estar correlacionado com habilidades (e quaisquer outros
fatores não observáveis que afetem o salário) e correlacionado
com educação.
Algo com último dígito do número da previdência social de um
indivíduo, satisfará o primeiro requisito: será não correlacionado com
habilidades, por ser determinado de forma aleatória.
No entanto, essa variável não será correlacionada com educação →
será uma variável instrumental muito pobre de 𝑒𝑑𝑢𝑐.
Exemplo
O que chamamos de variável proxy da variável omitida
transforma-se em uma VI pobre pelo motivo oposto.
Se ℎ𝑎𝑏𝑖𝑙 for omitida, uma variável proxy de ℎ𝑎𝑏𝑖𝑙 deverá ser
não correlacionada com quanto possível com ℎ𝑎𝑏𝑖𝑙.
Uma VI deverá ser não correlacionada com ℎ𝑎𝑏𝑖𝑙 → embora a
variável QI seja uma boa candidata para ser uma variável
𝑝𝑟𝑜𝑥𝑦 de ℎ𝑎𝑏𝑖𝑙, não será uma boa VI de 𝑒𝑑𝑢𝑐.
.
Exemplo
Equações de salários: utilização de variáveis de perfil familiar
como Vis da educação. Por exemplo:
Escolaridade da mãe: positivamente correlacionada com a
educação dos filhos→ satisfará 𝐶𝑜𝑣 𝑧, 𝑥 ≠ 0
Problema:
Escolaridade da mãe também poderá estar correlacionada com
habilidade dos filhos (por meio da aptidão da mãe e talvez da
qualidade da nutrição em certa idade) → 𝐶𝑜𝑣 𝑧, 𝑢 = 0 falha.
Outra possível VI de 𝑒𝑑𝑢𝑐𝑎çã𝑜 é o número de irmãos durante
o crescimento→ ter mais irmãos está associado a níveis médios
mais baixos de educação. Com isso, se o número de irmãos for
não correlacionado com ℎ𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒, ele pode agir como uma
VI de 𝑒𝑑𝑢𝑐.
Motivação
Exemplo: Estimação do efeito causal de faltar às aulas sobre
as notas do exame final:
𝑁𝑜𝑡𝑎𝑠 = 𝛽0 + 𝛽1𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎𝑠 + 𝑢 (6)
Onde: 𝑛𝑜𝑡𝑎 = é a nota no exame final e 𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎𝑠 = é o número
total de faltas às aulas durante o semestre.
 Preocupadose 𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎𝑠 está correlacionado com outros fatores
em 𝑢: alunos mais aptos, altamente motivados, devem ter um
menor número de faltas.
Assim, uma regressão simples de nota sobre faltas pode não
produzir uma boa estimativa do efeito causal de faltas às aulas.
Existe uma V.I. para faltas? Precisamos de uma variável que
não tenha efeito direto sobre 𝑛𝑜𝑡𝑎 e que não seja
correlacionado com a aptidão e motivação do aluno.
Motivação
Exemplo: Estimação do efeito causal de faltar às aulas sobre
as notas do exame final:
𝑁𝑜𝑡𝑎𝑠 = 𝛽0 + 𝛽1𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎𝑠 + 𝑢 (6)
Onde: 𝑛𝑜𝑡𝑎 = é a nota no exame final e 𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎𝑠 = é o número
total de faltas às aulas durante o semestre.
Existe uma V.I. para faltas?
Distância da residência ao campus, contudo distância pode estar
correlacionado com renda.
Se incluirmos a renda como variável explicativa, distância pode
ser um bom instrumento (regressão múltipla).
Motivação
Se garantirmos:
𝐶𝑜𝑣(𝑧, 𝑢) = 0 → (exogeneidade)
𝐶𝑜𝑣(𝑧, 𝑢) ≠ 0
Então podemos identificar o parâmetro 𝛽1 da equação:
𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥 + 𝑢 (7)
Neste caso, identificação de um parâmetro significa que
podemos escrever 𝛽1 em termos de momentos populacionais
que possam ser estimados usando uma amostra de dados.
Motivação
Para escrever 𝛽1 em termos de covariâncias populacionais,
temos:
𝐶𝑜𝑣 𝑧, 𝑦 = 𝛽1𝐶𝑜𝑣 𝑧, 𝑥 + 𝐶𝑜𝑣 𝑧, 𝑢 (8)
Como 𝐶𝑜𝑣 𝑧, 𝑢 = 0 e 𝐶𝑜𝑣 𝑧, 𝑦 ≠ 0 , podemos resolver
𝛽1como:
𝛽1 =
𝐶𝑜𝑣(𝑧,𝑦)
𝐶𝑜𝑣(𝑧,𝑥)
(9)
𝛽1 é a covariância populacional entre 𝑧 e 𝑦 , dividida pela
covariância populacional entre 𝑧 e 𝑥, o que mostra que 𝛽1 é
identificada.
Motivação
Estimador de V.I para o estimador 𝛽1:
መ𝛽1 =
σ𝑖=1
𝑛 (𝑧𝑖− ҧ𝑧)(𝑦𝑖−ത𝑦)
(𝑧𝑖− ҧ𝑧)(𝑥𝑖− ҧ𝑥)
(10)
O estimador de VI de 𝛽0 é: መ𝛽0 = ത𝑦 − መ𝛽1 ҧ𝑥, que é semelhante
com o estimador MQO do intercepto, exceto pelo fato de que o
estimador de inclinação, መ𝛽1 é o estimador de VI.
Quando 𝑧 = 𝑥, obtém MQO de መ𝛽1.
Ou seja, se 𝑥 é exógeno, ele pode ser usado como seu próprio
VI , e o estimador de VI será, então, idêntico aos estimador
MQO.
Motivação
Estimador de MQO para 𝛽1:
Estimação dos parâmetros:
MQO:
መ𝛽𝑀𝑄𝑂 =
σ𝑖(𝑥𝑖− ҧ𝑥)(𝑦𝑖−ത𝑦)
σ𝑖 𝑥𝑖− ҧ𝑥
2 (11)
Exemplo -Estimação do Retorno da Educação 
para Mulheres Casadas
Estimação do Retorno da Educação para Mulheres Casadas
1. Primeiro: estimar um modelo de regressão simples
log 𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜 = 𝛽0 + 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐 + 𝑢
 
 _cons -.1851969 .1852259 -1.00 0.318 -.5492674 .1788735
 educ .1086487 .0143998 7.55 0.000 .0803451 .1369523
 
 lwage Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 223.327451 427 .523015108 Root MSE = .68003
 Adj R-squared = 0.1158
 Residual 197.001028 426 .462443727 R-squared = 0.1179
 Model 26.3264237 1 26.3264237 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 426) = 56.93
 Source SS df MS Number of obs = 428
. reg lwage educ
- A estimativa 𝛽1 (educação) implica um retorno de quase 11% para um 
ano a mais de educação.
Exemplo -Estimação do Retorno da Educação 
para Mulheres Casadas
2) Usamos a educação do pai (𝑒𝑑𝑢𝑐𝑝 - 𝑓𝑎𝑡ℎ𝑒𝑑𝑢𝑐) como uma
variável instrumental de 𝑒𝑑𝑢𝑐:
Temos que sustentar que 𝑒𝑑𝑢𝑐𝑝 é não correlacionado com 𝑢;
𝑒𝑑𝑢𝑐 e 𝑒𝑑𝑢𝑐𝑝 sejam correlacionado.
Estimamos uma regressão simples de 𝑒𝑑𝑢𝑐 sobre 𝑒𝑑𝑢𝑐𝑝
(𝑓𝑎𝑡ℎ𝑒𝑟𝑑𝑢𝑐).
𝑖𝑛𝑙𝑓 == 1, isto é, utilizando somente as mulheres que trabalham
na amostra.
Exemplo -Estimação do Retorno da Educação 
para Mulheres Casadas
Utilizando 𝑒𝑑𝑢𝑐𝑝 (𝑓𝑎𝑡ℎ𝑒𝑑𝑢𝑐) como uma VI de 𝑒𝑑𝑢𝑐:
- A estimativa VI do retorno da educação é 5,9%.
- MQO: a estimativa é alta, consistente com o viés de aptidão omitida. Erro-padrão
da VI: é maior que dos MQO.
- Ainda não podemos dizer se a diferença é estatisticamente significante.
 
Instruments: fatheduc
Instrumented: educ
 
 _cons .4411035 .4461018 0.99 0.323 -.4357311 1.317938
 educ .0591735 .0351418 1.68 0.093 -.0098994 .1282463
 
 lwage Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 223.327451 427 .523015108 Root MSE = .68939
 Adj R-squared = 0.0913
 Residual 202.460089 426 .475258426 R-squared = 0.0934
 Model 20.8673618 1 20.8673618 Prob > F = 0.0929
 F( 1, 426) = 2.84
 Source SS df MS Number of obs = 428
Instrumental variables (2SLS) regression
. ivreg lwage (educ = fatheduc)
Exemplo -Estimação do Retorno da Educação 
para Homens
1. Primeiro: estimar um modelo de regressão simples
log 𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜 = 𝛽0 + 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐 + 𝑢
 
 _cons 5.973062 .0813737 73.40 0.000 5.813366 6.132759
 educ .0598392 .0059631 10.03 0.000 .0481366 .0715418
 
 lwage Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 165.656294 934 .177362199 Root MSE = .40032
 Adj R-squared = 0.0964
 Residual 149.518587 933 .16025572 R-squared = 0.0974
 Model 16.1377074 1 16.1377074 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 933) = 100.70
 Source SS df MS Number of obs = 935
. reg lwage educ
Exemplo -Estimação do Retorno da Educação 
para Homens
2º: utilizamos a variável 𝑠𝑖𝑏𝑠 (𝑖𝑟𝑚𝑠 - número de irmãos) como 
uma instrumental de 𝑒𝑑𝑢𝑐. 
Elas são negativamente correlacionadas.
 
 _cons 14.13879 .1131382 124.97 0.000 13.91676 14.36083
 sibs -.2279164 .0302768 -7.53 0.000 -.287335 -.1684979
 
 educ Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 4506.81925 934 4.82528828 Root MSE = 2.134
 Adj R-squared = 0.0562
 Residual 4248.7642 933 4.55387374 R-squared = 0.0573
 Model 258.055048 1 258.055048 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 933) = 56.67
 Source SS df MS Number of obs = 935. reg educ sibs
- Cada irmão estar associado, na média, com cerca de menos 0.23 ano de 
educação. 
- Segundo: se presumirmos que 𝑖𝑟𝑚𝑠 é não correlacionado com o termo 
de erro, o estimador de VI será consistente.
Exemplo -Estimação do Retorno da Educação 
para Homens
 
Instruments: sibs
Instrumented: educ
 
 _cons 5.130026 .3551712 14.44 0.000 4.432999 5.827053
 educ .1224327 .0263506 4.65 0.000 .0707194 .1741459
 
 lwage Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 165.656294 934 .177362199 Root MSE = .4233
 Adj R-squared = .
 Residual 167.176033 933 .179181172 R-squared = .
 Model -1.5197389 1 -1.5197389 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 933) = 21.59
 Source SS df MS Number of obs = 935
Instrumental variables (2SLS) regression
. ivreg lwage (educ = sibs )
- Estimativa do MQO: 𝛽1 é 0.059 com erro-padrão de 0.006.
- Estimativa VI: É mais alta que o MQO (𝛽1 0.1224 com erro-padrão 
0.026).
Exemplo -Estimação do Retorno da Educação 
para Homens
 
Instruments: sibs
Instrumented: educ
 
 _cons 5.130026 .3551712 14.44 0.000 4.432999 5.827053
 educ .1224327 .0263506 4.65 0.000 .0707194 .1741459
 
 lwage Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 165.656294 934 .177362199 Root MSE = .4233
 Adj R-squared = .
 Residual 167.176033 933 .179181172 R-squared = .
 Model -1.5197389 1 -1.5197389 Prob > F = 0.0000
 F( 1, 933) = 21.59
 Source SS df MS Number of obs = 935
Instrumental variables (2SLS) regression
. ivreg lwage (educ = sibs )
- Pode ser que 𝑠𝑖𝑏𝑠 (𝑖𝑟𝑚𝑠) também seja correlacionada com aptidão: mais 
irmãos significa, em média, menos atenção dos pais, o que pode resultar 
em menor aptidão. 
- O estimador MQO viesado para ser em razão de um erro de medida em 
𝑒𝑑𝑢𝑐. 
1) A equação seguinte explica o número de horas por semana que
uma criança passa assistindo televisão, em termos da idade da
criança, educação da mãe, educação do pai e número de irmãos:
𝑡𝑣ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠∗
= 𝛽0 + 𝛽1𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 + 𝛽2𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
2 + 𝛽3𝑒𝑑𝑢𝑐𝑚 + 𝛽4𝑒𝑑𝑢𝑐𝑝 + 𝛽5𝑖𝑟𝑚𝑠
+ 𝑢
Estamos preocupados com a possibilidade de que 𝑡𝑣ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠∗ tenha
sido medida com erro em nossa pesquisa. Seja 𝑡𝑣ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 o número
de horas por semana que se gasta assistindo televisão. O que as
hipóteses do erro clássico nas variáveis (CEV) requerem nesta
aplicação?
2) Qual a motivação para o uso da estimação por variáveis
instrumentais?
Exercício