A integral definida

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A integral definida 
 
A integral definida foi introduzida a partir do conceito de área, visto na seção anterior. É 
uma formalização da resolução dos problemas de cálculo de áreas. 
 
Definição 6 (Definição de integral definida) 
Considere uma função 
( )y f x
, definida em um intervalo 
[ , ]a b
. Considere 
também uma partição P qualquer de 
[ , ]a b
. A integral definida da função 
f
, de 
a
 
até 
b
, denotada por 
( )
b
a
f x dx
 
é dada por 
1
( ) lim ( ).
nb
i i
a n
i
f x dx f c x


 
 
desde que o limite exista. 
 
Observação: Os valores 
a
 e 
b
, que aparecem na notação da integral definida, são 
chamados de limites de integração. O valor 
a
 é o limite inferior de integração, e o valor 
b
 é o limite superior de integração. 
 
Significado indutivo da integral definida 
 
Como consta na definição, você sabe que 
1
( ) lim ( ).
nb
i i
a n
i
f x dx f c x


 
 
Portanto, a maneira indutiva de calcular a integral definida de uma função 
f
 é 
considerar a área sob a curva 
( )y f x
, com 
 ,x a b
, coberta por uma grande 
quantidade de faixas retangulares, somar as áreas destas faixas retangulares (efetuar a 
Soma de Riemann da função), e calcular o limite dessa soma. 
 
Analisando a figura, é possível verificar que cada faixa retangular usada para cobrir a 
região 
S
 tem altura 
( )iy f c
, para algum 
1[ , ]i i ic x x
, e largura 
ix dx 
, portanto, a 
área de cada retângulo é dada por: 
( )idA f c dx
 
Esta área chama-se elemento diferencial de área ou retângulo elementar. 
 
Como os retângulos elementares cobrem toda a região 
S
, quando 
x
 cresce de 
a
 até 
b
, 
pode-se concluir que a área total da região 
S
 é dada por: 
 
b
a
A S dA 
 
  ( )
b
a
A S f x dx 
 
 
Propriedades das integrais definidas 
 
É muito importante saber quais funções são integráveis. Uma ampla classe de funções 
usadas no cálculo é a classe das funções contínuas. A primeira propriedade diz que 
funções contínuas são integráveis. 
Propriedade 1: Se 
f
 é contínua sobre o intervalo 
 ,a b
, então 
f
 é integrável em 
 ,a b
. 
 
Sempre que você encontrar um intervalo 
 ,a b
, está implícito que 
a
 é um valor menor 
que 
b
. Para os casos onde o limite superior de integração é menor ou igual ao limite 
inferior de integração, são definidos os seguintes resultados: 
Propriedade 2: 
 (i) Se 
a b
, então 
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx  
, se a integral à direita existir; 
 (ii) Se 
a b
, e se 
( )f a
 existe, então 
( ) 0
a
a
f x dx 
. 
 
As propriedades operacionais básicas da integral definida, apresentadas a seguir, podem 
ser deduzidas a partir da definição 6, mas tais deduções não serão apresentadas aqui. Se 
você tiver curiosidade de vê-las, tente realizar tais deduções. Caso tenha dúvidas, 
converse com seu professor tutor. 
 
Propriedade 3: Para qualquer número 
k
 arbitrário, se 
f
 é integrável em 
 ,a b
, então 
.k f
 é integrável em 
 ,a b
, e vale 
. ( ) . ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx 
. 
 
Propriedade 4: Se 
f
 e 
g
 são funções integráveis em 
 ,a b
, então 
 f g
 é 
integrável em 
 ,a b
, e vale 
 ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx    
. 
 
Propriedade 5: Se 
a b
, 
c
 é um numero real qualquer entre 
a
 e 
b
, e 
f
 é integrável 
em 
 ,a c
 e em 
 ,c b
, então 
f
 é integrável em 
 ,a b
, e vale 
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx   
 
 
Propriedade 6: Se 
f
 é integrável e se
( ) 0f x 
 para todo 
[ , ]x a b
, então 
( ) 0
b
a
f x dx 
, 
e se 
( ) 0f x 
 para todo 
[ , ]x a b
, então 
( ) 0
b
a
f x dx 
. 
 
Propriedade 7: Se 
f
 e 
g
 são integráveis em 
 ,a b
, e 
( ) ( )f x g x
 para todo 
[ , ]x a b
, então vale 
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx 
. 
 
Propriedade 8: (Teorema do Valor Médio para integrais) 
Se 
f
 é uma função contínua em 
 ,a b
, então existe um ponto 
c
 entre 
a
 e 
b
 tal que 
   ( ) .
b
a
f x dx b a f c 
 
Observação: A propriedade 8 é, na verdade, um teorema importantíssimo, necessário 
para a demonstração do Teorema Fundamental do Cálculo. Mas, não será demonstrado 
aqui. Caso você tenha curiosidade em conhecer essa demonstração, poderá procurá-la 
nos livros constantes nas referências bibliográficas, ao final deste livro. 
 
Seção 3 – Teorema Fundamental do Cálculo 
 
Nesta seção, você estudará a relação existente entre a integral definida (ou integral de 
Riemann) e a integral indefinida. O Teorema Fundamental do Cálculo diz que, 
conhecendo a primitiva 
( )F x
 da função 
( )f x
, continua em um intervalo 
[ , ]a b
, é 
possível utilizá-la para calcular a integral definida 
( )
b
a
f x dx
. Isso determina um modo 
rápido e relativamente simples de resolver inúmeros problemas práticos que envolvem o 
cálculo da integral definida. 
 
Para estudar formalmente o teorema, é necessário conhecer uma importante função 
auxiliar. Considere a integral definida 
( )
b
a
f t dt
. 
Considere fixo o limite inferior 
a
, e faça variar o limite superior, indicando-o por 
x
. 
Dessa forma, o valor da integral dependerá do limite superior da variável. Ao fazer 
x
 
variar no intervalo 
[ , ]a b
, você obterá uma função auxiliar 
( )G x
 dada por 
( ) ( )
x
a
G x f t dt 
 
Intuitivamente, você pode compreender o significado da função 
( )G x
, através de uma 
analise geométrica. 
 
Assim como a integral definida 
( )
b
a
f t dt
 representa a área sob o gráfico de 
f
, entre 
a
 
e 
b
, conforme a figura anterior, a mesma forma a integral definida 
( ) ( )
x
a
G x f t dt 
 
representa a área sob o gráfico da mesma função 
f
, mas entre 
a
 e 
x
, conforme 
representado na figura a seguir. 
 
O próximo teorema apresenta a derivada da função 
( )G x
. 
Teorema 5 
Considere uma função 
f
 continua em um intervalo fechado 
[ , ]a b
. Então a função 
:[ , ]G a b 
, definida por 
( ) ( )
x
a
G x f t dt 
, 
tem derivada em todos os pontos 
[ , ]x a b
, dada por: 
'( ) ( )G x f x
, 
ou seja, 
 ( ) ( )xa
d
f t dt f x
dx

. 
Demonstração: 
Pela definição de derivada, a derivada de 
( )G x
 deve satisfazer: 
0
( ) ( )
'( ) lim
x
G x x G x
G x
x 
  
  
 
. 
Como a função 
( )G x
 é definida como 
( ) ( )
x
a
G x f t dt 
, segue que 
( ) ( )
x x
a
G x x f t dt

  
. 
Assim, ao calcular a subtração 
( ) ( )G x x G x 
, obtém-se 
( ) ( ) ( ) ( )
x x x
a a
G x x G x f t dt f t dt

    
. 
Pela propriedade 5 de integral definida, é possível escrever 
( ) ( ) ( )
x x x x x
a a x
f t dt f t dt f t dt
 
   
, 
logo 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x x x x
a x a
G x x G x f t dt f t dt f t dt
 
      
 
  
 
( ) ( ) ( )
x x
x
G x x G x f t dt

   
. 
Como 
f
 é contínua em 
[ , ]x x x
, o Teorema do Valor Médio para integrais diz que 
existe um ponto 
[ , ]c x x x 
 tal que 
( ) [( ) ]. ( )
x x
x
f t dt x x x f c

  
 
( ) ( ). ( )
x x
x
f t dt x fc

 
 
e, portanto, 
( ) ( ) ( ).( )G x x G x f c x   
. 
Assim, o cálculo da derivada da função 
( )G x
 se reduzirá a 
0
( ) ( )
'( ) lim
x
G x x G x
G x
x 
  
  
 
 
0
( ).( )
'( ) lim
x
f c x
G x
x 
 
  
 
 
0
'( ) lim ( )
x
G x f c
 

. 
 Como 
c
 está no intervalo 
[ , ]x x x
, segue que 
c x
 quando 
0x 
. Como 
f
 é 
contínua, é possível concluir que 
0
lim ( ) lim ( ) ( )
x c x
f c f c f x
  
 
. 
Portanto, a derivada da função 
( )G x
 é 
'( ) ( )G x f x
. 
Isso conclui a demonstração deste teorema. 
 
Observação: Na demonstração do último teorema, quando 
x
 é um dos extremos do 
intervalo 
 ,a b
, os limites utilizados na demonstração serão limites laterais. Neste caso, 
'( )G a
 será a derivada à esquerda, e 
'( )G b
 a derivada à direita. 
 
Acompanhe a seguir o Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
Teorema 6 (Teorema Fundamental do Cálculo) 
Considere uma função 
f
 contínua sobre 
 ,a b
. Se 
F
 é uma primitiva de 
f
 nesse 
intervalo, então 
( ) ( ) ( )
b
a
f t dt F b F a 
 
Demonstração: 
Como a função 
f
 é contínua no intervalo 
 ,a b
, é possível aplicar o Teorema 5 para 
obter uma primitiva de 
f
 sobre este intervalo. Ainda segundo o Teorema 5, tal 
primitiva é dada por 
( ) ( )
x
a
G x f t dt 
. 
Considere agora uma primitiva qualquer 
( )F x
 da função 
f
 sobre 
 ,a b
. Então, como 
( )G x
 é também uma primitiva de 
f
, vale a relação 
( ) ( )F x G x C 
, 
para qualquer , sendo 
C
 uma constante qualquer. 
Agora, acompanhe o cálculo explícito da subtração 
( ) ( )F b F a
. Pela relação 
( ) ( )F x G x C 
, segue que 
   ( ) ( ) ( ) ( )F b F a G b C G a C    
 
( ) ( ) ( ) ( )F b F a G b G a  
. 
Como 
( ) ( ) 0
a
a
G a f t dt 
 e
( ) ( )
b
a
G b f t dt 
 , segue que 
( ) ( ) ( ) ( )
b a
a a
F b F a f t dt f t dt   
 
( ) ( ) ( ) 0
b
a
F b F a f t dt  
 
( ) ( ) ( )
b
a
F b F a f t dt  
. 
A variável 
t
, que aparece na última igualdade, pode ser substituída pela variável 
x
 sem 
nenhum prejuízo no resultado, afinal, é apenas uma letra usada para representar uma 
variável. Ao fazer tal substituição, encontra-se 
( ) ( ) ( )
b
a
F b F a f x dx  
. 
Com isso, a demonstração do Teorema Fundamental do Cálculo está concluída. Se você 
tiver ficado com alguma dúvida, converse com seu professor tutor. 
 
Observação: Normalmente, a diferença 
( ) ( )F b F a
 é escrita como 
( )
b
a
F x
, ou seja, 
( ) ( ) ( ) ( )
b b
aa
f x dx F x F b F a  