LANÇAMENTO DE UM PROJÉTIL

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CCE/DQUI
FÍSICA EXPERIMENTAL 01
RELATÓRIO 02:
A10 - LANÇAMENTO DE PROJÉTIL
ANTONY DO CARMO CAMPANHOLE
RANNA RONCHETTI CALDONHO
ROMINYCKE MÜLLER
PROFESSOR ORIENTADOR: ARMANDO BIONDO FILHO 
Vitória, ES
08 de Novembro de 2017 
SUMÁRIO
OBJETIVO............................................................................................................03
INTRODUÇÃO TEÓRICA.....................................................................................04
PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS................................................................07
MATERIAIS UTILIZADOS..............................................................................07
PROCEDIMENTOS........................................................................................07
DISCUSSÃO.........................................................................................................09
CONCLUSÃO.......................................................................................................14
BIBLIOGRAFIA....................................................................................................15
OBJETIVO
O objetivo desse experimento é analisar o lançamento de um projétil a partir de ângulos de inclinações diferentes e, a partir disso, realizar os cálculos necessários e montar um gráfico da altura máxima em função do ângulo de lançamento.
INTRODUÇÃO
Ao se tratar de movimento de projéteis, deve se considerar previamente como plana a superfície da Terra. A partir disso, deve-se considerar um sistema cartesiano de tal forma que o eixo x seja paralelo ao solo e o eixo y seja ortogonal a ele. [1]
Nessa situação física, seja o instante de tempo dado por t=t0 e sejam (x0, y0) as coordenadas cartesianas do ponto de lançamento do projétil. Admitindo que ele seja lançado com uma velocidade inicial v0 tal que o vetor velocidade inicial seja escrito:
v0 = v.t0 = v0xi + v0yj [1]
Suponha-se ainda que ele seja lançado a partir de uma altura h. Essa é a altura do lançamento. Assim, o ponto de lançamento do projétil tem coordenadas cartesianas dadas por:
(x0, y0) = (x0, h) [1]
As quatro condições acima (x0, h, v0x, v0y) especificam as condições iniciais do movimento. Por meio delas, é possível saber tudo sobre o início do movimento. [1]
Muitas vezes, especifica-se as condições iniciais do movimento a partir do módulo da velocidade inicial v0 e do ângulo Ɵ0 definido como o ângulo formado pelo vetor velocidade com a horizontal. Esse ângulo é conhecido como ângulo de tiro. Assim, outra forma de especificar as condições iniciais é utilizar as grandezas (v0, Ɵ0). As componentes do vetor velocidade inicial são relacionadas a estas por meio das relações: [1]
V0x= v0.cosƟ0 V0y= v0.senƟ0 [1]
No mais das vezes, após o lançamento, ocorrem dois acontecimentos importantes. O primeiro deles (que ocorre sempre) é a queda do objeto. Seja tq= tempo de queda, ou seja, o tempo no qual ocorre o impacto do projétil contra o solo. O tempo de voo é definido como sendo o tempo no qual ele esteve viajando. Durante o tempo de voo ou seja, o tempo de percurso, o projétil percorre uma distância horizontal conhecida como alcance. [1]
O segundo acontecimento importante é o fato de que depois de decorrido um certo instante de tempo após o lançamento, o projétil atinge uma altura máxima, a partir da qual tem início o seu movimento de queda. [1]
Independentemente de quais sejam os objetos, precisamos determinar as equações básicas do movimento, previamente, que são: [1]
S = Δs ± R (1) 
* x = xc + rc (1)
* Vy = Voy – g.t (2) 
* Vx = Vox (3) 
* Sy = Soy + Vo.t – g.t²/2 (4) 
* Sx = Sox + Vox.t (5) 
* Vy2 = Voy2 – 2g.ΔS (6) 
A fórmula (1) é utilizada para encontrar o alcance, onde, Δs é a distância entre marca feita abaixo do prumo e a marca correspondente ao centro do círculo formado entre os pontos, e R é o raio do círculo.
A fórmula (2) é utilizada para encontrar a velocidade vertical, onde possui aceleração gravitacional negativa, pois está em queda livre.
A fórmula (3) é utilizada para demonstrar que a velocidade horizontal é constante. 
A fórmula (4) é utilizada para encontrar o espaço percorrido no eixo y, onde também possui aceleração gravitacional negativa.
A fórmula (5) é utilizada para encontrar o espaço percorrido no eixo x, que representa um movimento retilíneo uniforme. 
A fórmula (6) é utilizada para encontrar a velocidade no eixo y, quando o tempo não é definido. [1]
Em muitos casos, é importante determinar o valor do ângulo do tiro para obter-se a máxima eficiência em termos de alcance. Uma alternativa para aumentar o alcance é aumentar o valor do módulo da velocidade inicial. Outra alternativa, para um valor fíxo da velocidade inicial, é escolher o melhor ângulo de tiro. E através de testes, cientistas concluiram que para obter um maior alcance, o objeto deve ser lançado com um ângulo de 45º, como mostra a figura 01. [2]
Figura 01: Lançamento de um projétil em diferentes ângulo;
https://www.colegioweb.com.br/lancamento-de-projeteis/lancamento-obliquo.html
PARTE EXPERIMENTAL
MATERIAIS UTILIZADOS
Para a realização deste experimento, foram utilizados os seguintes materiais e equipamentos:
Um projétil;
Régua milimetrada;
Um lançador de projéteis;
Folhas de papel ofício;
Folhas de papel carbono;
Trena milimetrada;
Compasso;
Base suspensa. 
3.2 PROCEDIMENTOS
Primeiramente ajustou o lançador de projéteis no ângulo de 20º, no qual seriam feitos os primeiros lançamentos. Em seguida, com a ajuda de uma régua milimetrada, ajustou-se a base suspensa na mesma altura da boca do lançador por onde o projétil seria lançado para que o objeto caísse na mesma altura na qual foi lançado. A boca do lançador foi tomada como posição inicial x0. 
Em seguida, posicionou-se a base suspensa a uma certa distância do lançador para fazer o teste se o projétil caísse exatamente nela. Foram feitos alguns lançamentos e ajustes na posição da base mas nenhum dado foi colhido. Ao certificar-se de que a base estava em uma posição adequada, foi posto em cima dela um pedaço de folha de papel de ofício e em cima um pedaço de papel carbono, no qual a bola bateria no papel carbono e marcaria a posição exata no papel de ofício.
O próximo passo do experimento foram os lançamentos. Após 5 lançamentos no primeiro ângulo, retirou-se a folha de ofício e foi feito o menor círculo possível para conter todos os pontos de queda. Após o círculo feito, anotou-se o raio desse círculo e posicionou-se novamente o papel no mesmo lugar que estava e mediu-se a distância aproximada entre o centro do círculo e a boca do lançador, tomada como x0. Essa distância encontrada foi anotada com a incerteza aproximada do raio e tomada como o alcance do projétil.
Anotados os dados, o processo foi feito com outros diferentes ângulos (30º, 45º, 60º e 70º) ajustando a altura da base e trocando o pedaço de papel de ofício.
	
ANÁLISE DOS DADOS E DISCUSSÃO
Com os resultados obtidos, analisou-se as marcas deixadas pelos lançamentos, que não era coincidente. Em cada lançamento, as posições entre uma marca e outra se diferenciavam. Algumas eram bem próximas e outras distantes. O esperado era que as marcas fossem coincidentes pois o lançador e a base não foram deslocadas. Esse erro pode ter sido devido a força com que o componente do grupo acionava o lançador. Essas diferenças devem ter sido responsáveis pelas diferenças nas marcas.
Para fazer os cálculos, foi necessário obter uma expressão que relacionasse o alcance horizontal em função do ângulo de lançamento do projétil. Sendo assim:
S = S0 + v.t → S - S0 = v.t → A = vx.cosƟ.t (7)
Com os dados da tabela 01 foi construído o gráfico 01 do alcance horizontal em função do ângulo conforme a equação 07 e em seguida foi traçada a curva que melhorse ajustou a esses pontos.
Cálculo da menor divisão: 
Mdx= (xf – xi) / xf Mdx = 0,715
Mdy = (yf – yi) / yf Mdy = 0,328
Cálculo da escala:
Para a escolha da escala, foram utilizadas as menores divisões e feitas as mudanças para encontrar a escala adequada para o desenho do Gráfico 1. A escala adotada para o alcance horizontal foi 1:0,750 e, para a altura atingida 1:0,5.
O gráfico 01 é representado por uma parábola de concavidade para baixo. Nota-se que por ser uma curva do segundo grau, a parábola possui infinitos coeficientes angulares. Mas para prosseguir nos cálculos, foram traçadas duas retas auxiliares. A primeira (r1) cortou o primeiro ponto, correspondente ao ângulo de 20º, e o ponto correspondente ao ângulo de 45º. Calculou-se os seus coeficientes:
Coeficiente angular: 
Coeficiente linear: O coeficiente linear é o ponto no qual o gráfico corta o eixo Y, ou seja, quando X=0. Portanto, quando o ângulo de lançamento for igual a zero, o alcance é considerado zero pois o projétil irá percorrer um movimento retilíneo e não um lançamento oblíquo, que é o que está sendo testado. Com isso, conclui-se que o coeficiente linear da reta r1 é zero.
A segunda reta (r2) foi traçada cortando os pontos correspondentes aos ângulos de 45º e 70º e calculou-se seus coeficientes:
Coeficiente angular: 
Coeficiente linear: 
Para tornar os dados mais precisos, foi realizado o cálculo das incertezas, levando em conta as medidas dos raios dos círculos traçados a partir dos pontos de queda do projétil. 
Sr= (2,4 + 1,9 + 1,3 + 1,8 + 2,2)/5
Sr= 1,92cm
d1= 1,92 – 2,4 = -0,4
d2= 1,92 – 1,9 = 0,02 
d3= 1,92 – 1,3 = 0,62
d4= 1,92 – 1,8 = 0,12
d5= 1,92 – 2,2 = -0,28
Calculou-se os desvios de cada reta separadamente e foi obtido:
dr1= (-0,4 + 0,02 + 0,62)/3 dr1= 0,08
dr2= (0,62 + 0,12 – 0,28)/3 dr2= 0,15
A partir dos dados obtidos anteriormente, provou-se que o alcance vai aumentando até o ângulo de 45º de acordo com os coeficientes da reta r1 e a partir desse ângulos, o alcance vai diminuindo de acordo com os coeficiente da reta r2. Os módulos dos coeficientes angulares das retas são aproximadamente iguais, isso mostra que os alcances são praticamente iguais para os ângulos e .
Com os dados obtidos, foi possível calcular a velocidade do disparo:
Vy = V0y – gt Vy=0 no ponto mais alto
V0y = gt V0y = 9,8t (8)
Vx = V0x pois no movimento horizontal a velocidade obedece ao MRU e para o ângulo de 45º, V0y e V0x são iguais.
A = VxcosƟt
V0x = A/cosƟt (9)
Igualando as equações 8 e 9, obtêm-se:
9,8t = A/cosƟt
t2 =0,1156 t=0,34s
Esse tempo encontrado, é o tempo de voo para o ângulo de 45º. Substituindo na equação 8, V0y=3,372 m/s. E para achar a velocidade de disparo Vd, foi utilizada a relação de Pitágoras, onde foi encontrada Vd=4,77 m/s. A partir dessa velocidade de disparo, foi possível calcular a velocidade do disparo nas componentes x e y.
Ɵ=20º
V0y = Vsen20º V0y = 1,63 m/s
V0x = Vcos20º V0x = 4,48 m/s
Ɵ=30º
V0y = Vsen30º V0y = 2,385 m/s
V0x = Vcos30º V0x = 4,13 m/s
Ɵ=45º
V0y = Vsen45º V0y = 3,372 m/s
V0x = Vcos45º V0x = 3,372 m/s
Ɵ=60º
V0y = Vsen60º V0y = 4,13 m/s
V0x = Vcos60º V0x = 2,385 m/s
Ɵ=70º
V0y = Vsen70º V0y = 4,482m/s
V0x = Vcos70º V0x = 1,63 m/s
A partir dos valores obtidos, foi possível observar que com o aumento do ângulo de lançamento, a velocidade de disparo no eixo y vai aumentando, explicando o aumento da altura que o projétil alcança e a velocidade de disparo no eixo x vai diminuindo, explicando o menor alcance do projétil devido ao seu movimento ser representado por um MRU.
Com os valores das velocidades de disparo em cada eixo para cada ângulo, encontrou-se o tempo de voo para cada inclinação. Utilizando a equação 8, encontrou-se o tempo de subida e para achar o tempo de voo, basta multiplicar o tempo de subida por 2 pois o tempo de subida é o mesmo de descida.
Ɵ=20º
V0y = 9,8t t = 0,166s tvoo = 0,333s
Ɵ=30º
V0y = 9,8t t = 0,243s tvoo = 0,487s
Ɵ=45º
V0y = 9,8t t = 0,344s tvoo = 0,688s
Ɵ=60º
V0y = 9,8t t = 0,421s tvoo = 0,843s
Ɵ=70º
V0y = 9,8t t = 0,457s tvoo = 0,915s
Como já era esperado, com o aumento do ângulo de lançamento, mais tempo o projétil permanece no ar pois sua altura aumenta. 
Com os dados obtidos, e utilizando a equação 6, foram encontradas as alturas máximas atingidas pela esfera, em cada caso:
Ɵ=20º HMÁX=0,136m
Ɵ=30º HMÁX=0,29m
Ɵ=45º HMÁX=0,58m
Ɵ=60º HMÁX=0,871m
Ɵ=70º HMÁX=1,025m
Com os valores obtidos das altura máximas, foi construído o Gráfico 02 que relaciona a altura máxima em função do ângulo de lançamento do projétil. E para a sua construção, foram realizados alguns cálculos:
Cálculo das menores divisões:
Mdx = (xf – xi) / xf Mdx = 0,715
Mdy = (yf – yi) / yf Mdy = 0,867
Cálculo da escala:
A partir dos resultados obtidos nos cálculos das menores divisões, a escala adotada que melhor reproduz o desenho do gráfico foi: 1:0,750 para x e 1:1 para y.
Cálculos das incertezas:
S = (0,136 + 0,29 + 0,58 + 0,871 + 1,025) / 5
S = 0,5803m
Cálculo dos coeficientes angular e linear:
 
O coeficiente linear é zero pois, quando o ângulo de lançamento do projétil é zero, o objeto não se desloca no eixo y. Portanto, a altura quando o ângulo de lançamento é zero também é zero. 
CONCLUSÃO
Ao se lançar um objeto, além da distância que ele alcança, é interessante também saber a altura atingida. Ambas grandezas estão relacionadas com o ângulo de lançamento e, devido a isso, na prática foram testadas o lançamento a 20°, 30°, 45°, 60° e 70°.
Como já era esperado, à medida que se aumentava o ângulo, obtinha-se uma maior altura e até mesmo um maior alcance. Entretanto, essa última constatação só é válida até 45° quando o alcance é máximo e, a partir daí, como o lançador estava mirado mais para cima, a bolinha mais subia do que percorria uma distância horizontal, ficando muito tempo no ar.
Pelos resultados obtidos em laboratório, foi possível calcular o tempo gasto para bolinha chegar à base, encontrando, como já esperado e dito no parágrafo anterior, o aumento do tempo de voo a medida que se aumentava o ângulo. Foi possível ainda calcular as velocidades de lançamento em cada ângulo, que foram diferentes entre si devido a inconstância do atirador ao puxar o gatilho. 
	
BIBLIOGRAFIA
[1] http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Cinematica/movobl.php]
[2] http://brasilescola.uol.com.br/fisica/lancamento-horizontal-no-vacuo.htm