Lista 6 Derivadas

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Universidade Federal de Lavras
Departamento de Ciências Exatas
Cálculo I - GEX 104
Lista 6 - Derivadas
1. Calcule os limite:
(a) lim
x→0+
ln(x)
x
(b) lim
x→0
sin(x)− x
x3
(c) lim
x→∞
(ln(x))2
x
(d) lim
x→∞x tan
(
1
x
)
(e) lim
x→pi2
tan(x)
tan(3x)
(f) lim
x→0
tan(px)
tan(qx)
, q 6= 0
(g) lim
x→∞x
3e−x
2
(h) lim
x→0+
√
x ln(x)
(i) lim
x→−∞x
2ex
(j) lim
x→0+
(sin(x) ln(x))
(k) lim
x→0
sin(4x)
2x+ 3
(l) lim
x→∞(x− ln(x))
(m) lim
x→∞(
√
x2 + x− x)
(n) lim
x→
x+ tan(x)
sin(x)
(o) lim
x→2
(
1
x
− 1
sin(x)
)
(p) lim
x→0
x− arctan(x)
x− sin(x)
(q) lim
x→−∞
√
x2 + 1
x
(r) lim
x→∞
(
1 +
a
x
)bx
(s) lim
x→∞
(
x
x+ 1
)x
(t) lim
x→∞ (e
x + x)
1
x
(u) lim
x→∞
(
2x− 3
2x+ 5
)2x+1
(v) lim
x→0+
(x)
p
ln x
(w) lim
x→0+
(cos(x))
1
x2
(x) lim
x→0
(1− 2x) 1x
(y) lim
x→pi2
(sin(x))tan(x)
(z) lim
x→0+
(tan(2x))x
2. O produto de dois números positivos é 200; determine esses números sa-
bendo que a soma deles tem o menor valor possível.
3. Determine dois números cuja soma seja 45 e cujo produto seja o maior
possível.
4. Encontre o ponto da reta de equação y = 3x + 4 mais próximo do ponto
(1,−2). Qual é a distância entre esses dois pontos?
5. Determine as dimensões do retângulo de maior área possível que pode ser
inscrito na elipse de equação
x2
9
+
y2
4
= 1. Qual é a área desse retângulo?
6. Determine as dimensões do retângulo de maior área possível que tem um
lado sobre o eixo das abscissas e os outros dois vértices na parábola de
equação y = 8− x2, com y > 0.
1
7. Uma loja retangular tem 315m2 de área. A frente dessa loja é de vidro
e as demais paredes são de tijolo, tendo as quatro paredes a mesma al-
tura. O metro quadrado da parede de vidro custa o dobro do preço do
metro quadrado da parede de tijolos. Quais as dimensões da loja que
minimizarão o custo total do material usado nessas quatro paredes?
8. Determine o raio e a altura do cilindro de maior volume possível que pode
ser inscrito em uma esfera de raio r.
9. Um cartaz deve ter uma área de 600 cm2 para a mensagem a ser impressa;
as margens superior e inferior devem ter cada uma 7, 5 cm e as margens
laterais devem ter 5 cm cada. Determine as dimensões do cartaz para que
sua área seja mínima.
10. Dentre todos os triângulos isósceles de perímetro fixo, mostre que o de
maior área é o equilátero.
RESPOSTAS
1. (a) ∞
(b) − 1
6
(c) 0
(d) 1
(e) 3
(f) p
q
(g) 0
(h) 0
(i) 0
(j) 0
(k) 0
(l) ∞
(m) 1
2
(n) 2
(o) 0
(p) 2
(q) −1
(r) eab
(s) 1
e
(t) e
(u) e−8
(v) ep
(w) 1√
e
(x) 1
e2
(y) 1
(z) 1
e2
2. 10
√
2 e 10
√
2.
3. 45
2
e 45
2
.
4. (−1.7;−1.1). Distância é igual a √8.1.
5. 3
√
2 e 2
√
2, com área igual a 12.
6. 2
√
6
3
e 16
3
.
7.
√
210 m e 315√
210
m.
8. raio igual a r√
2
e altura igual a r
√
2.
9. largura igual a 30 cm e altura igual a 45
cm.
2